Loi normale centrée réduite - APMEP Régionale de Toulouse

STATISTIQUE
ET
PROBABILITÉS
AU LYCÉE
(séries ES, S, STI2D, STL)
Brigitte CHAPUT - Journée de la Régionale APMEP de Toulouse - 18 janvier 2012
Contexte de travail
Des notions de statistique inférentielle
introduites pour la première fois dans les
programmes du secondaire.
Ces notions sont enseignées dans différents
cursus de l'enseignement supérieur mais le point
de vue adopté dans les programmes de lycée est
différent.
La compréhension de ces notions passent par une
maîtrise des fondements de la théorie des
probabilités.
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Les nouveautés
Les lois normales sont introduites en terminales
ES et S comme loi-limite d'une suite de variables
aléatoires.
Théorème de Moivre-Laplace (cas particulier du
théorème limite central).
Intervalle de fluctuation asymptotique de la
fréquence d'échantillonnage.
Intervalle de confiance d'une proportion et non
d'une probabilité (attention aux confusion !!) à
partir de l'intervalle de fluctuation asymptotique.
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Les programmes : Statistique
Collège
•
•
•
•
•
•
effectif
fréquence
classe
médiane
quartiles
diagramme
en bâtons
• graphiques
cartésiens
Seconde
Premières
• moyenne
• effectifs et
fréquences
cumulés
• variance
• écart-type
• histogrammes
• diagrammes en
Terminales
boîte
• statistique à
deux variables
• ajustement
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Les programmes : Probabilités
Collège
Seconde
• notion de
probabilité
• probabilité sur un
ensemble fini
• événement
• P(A∪B)+P(A∩B)=P(A)+P(B)
• tableau croisé
• arbre des
possibles
Premières
Terminales
• variables
aléatoires
discrètes
• espérance
• variance
• écart-type
• probabilité
conditionnelle
• indépendance
• variables
aléatoires à
densité sur un
intervalle
• lois de Bernoulli
• lois binomiales
• lois
• lois uniformes
• lois exponentielles
• lois normales
géométriques
tronquées
• approche de la
loi des grands
nombres
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Les programmes : Statistique inférentielle
Seconde
Premières
Terminales
échantillonnage
• intervalle de
fluctuation
• intervalle de
• intervalle de
fluctuation binomiale
fluctuation
asymptotique
prise de décision
prise de décision
• prise de décision à
• prise de décision à
partir d'un intervalle
partir d'un intervalle
de fluctuation
de fluctuation
binomiale
asymptotique
• égalité de deux
proportions
estimation
• intervalle de confiance
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Quelques points délicats
des programmes de terminales
• Introduction des lois continues à densité sur
un intervalle
• lois uniformes
• lois exponentielles
• loi normale centrée réduite
• lois normales
• Intervalle de fluctuation asymptotique
• Estimation par intervalle de confiance
• Prise de décision
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Loi à densité sur un intervalle
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Loi à densité sur un intervalle
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Loi uniforme
sur l'intervalle [a ; b]
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Loi uniforme sur [a ; b]
Les programmes de terminales
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Loi uniforme sur [a ; b]
• Introduction
• Densité
• Espérance
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Loi uniforme sur [a ; b]
Introduction
Introduction de la loi uniforme sur [0 ; 1] à partir
des fonctions "RANDOM" des calculatrices ou
"ALEA" de logiciels
(Fichier EXCEL 1-loi uniforme)
Questionnement sur la signification d'équiprobabilité sur un intervalle.
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Loi uniforme sur [a ; b]
• Introduction
• Densité
• Espérance
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Loi uniforme sur [a ; b]
Densité
Un variable aléatoire X prend ses valeurs dans
l'intervalle I = [a ;b] et de telle sorte sorte que
tous les nombres de I puissent être atteints de
manière semblable.
On ne peut raisonner en attribuant une même
probabilité à chaque élément de I, on ne
pourrait pas avoir 1 comme somme des
probabilités élémentaires.
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Loi uniforme sur [a ; b]
Densité
On choisit une distribution de probabilité qui
fasse en sorte que la probabilité que X prenne
sa valeur dans l'intervalle J= [α ; β], inclus
dans I, soit proportionnelle à l'amplitude de J.
1
β−α
β
Ainsi P(X ∈ J) =
=
[t]α
b−a b−a
⌠β 1
1 ⌠⎮β
⎮
P(X ∈ J) =
d
t
=
dt
⎮
⎮
b − a ⌡α
⌡α b − a
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Loi uniforme sur [a ; b]
Densité
1 unité d'aire
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Loi uniforme sur [a ; b]
Densité
P(X ∈ J)
1 unité d'aire
J
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Loi uniforme sur [a ; b]
Densité
La densité de la loi uniforme sur l'intervalle [a ; b]
est la fonction f définie par :
⎧ 1
⎪
f (x) = ⎨ b − a
⎪ 0
⎩
si x ∈ I
sinon
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Loi uniforme sur [a ; b]
• Introduction
• Densité
• Espérance
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Loi uniforme sur [a ; b]
Espérance
On définit l'espérance d'une variable
aléatoire X suivant la loi uniforme sur
l'intervalle [a ; b] par :
E(X) =
d'où
⌠b
⎮
⎮
⌡a
E(X) =
t
⌠b
f (t) d t = ⎮
⎮
⌡a
t
b−a
dt
a+b
2
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Loi exponentielle
de paramètre λ
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Loi exponentielle de paramètre λ
Les programmes de terminales
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Loi exponentielle de paramètre λ
• Densité
• Espérance
• Radioactivité
• Durée de fonctionnement d'un système sans
vieillissement
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Loi exponentielle de paramètre λ
Densité
La densité de la loi exponentielle de paramètre λ
est la fonction f définie par :
f(x) = λ e– λ sur ]0; + ∞[
x
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Loi exponentielle de paramètre λ
Densité
Loi exponentielle de
paramètre 4
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Loi exponentielle de paramètre λ
Densité
Ainsi, pour une variable aléatoire X de loi
exponentielle de paramètre λ et pour a et b
réels positifs :
P(a ≤ X ≤ b) =
⌠b
⎮
⎮
⌡a
⎡
⎢
⎢
⎣
f (t) dt =
P(a ≤ X ≤ b) = − e
– λ t⎥b
⎤
⎥
⎦a
=e
⌠b
⎮
⎮
⌡a
– λa
λe
– λt
dt
– λb
−e
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Loi exponentielle de paramètre λ
• Densité
• Espérance
• Radioactivité
• Durée de fonctionnement d'un système sans
vieillissement
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Loi exponentielle de paramètre λ
Espérance
On définit l'espérance d'une variable
aléatoire X suivant la loi exponentielle de
paramètre λ par :
E(X) =
d'où
lim
x→+
⌠x
⎮
⎮
∞⌡0
t f(t) dt =
lim
x→+
⌠x
⎮
⎮
∞⌡0
– λt
tλe
dt
1
E(X) = λ
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Loi exponentielle de paramètre λ
Espérance
La formule
E(X) =
lim
x→+
⌠x
⎮
⎮
∞⌡0
t f(t) dt
prolonge dans le cadre continu, l'espérance
d'une variable discrète
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Loi exponentielle de paramètre λ
• Densité
• Espérance
• Radioactivité
• Durée de fonctionnement d'un système sans
vieillissement
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Loi exponentielle de paramètre λ
Radioactivité
Voir le document d'accompagnement des
anciens programmes de terminale S sur ce
thème (pp. 77-79).
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Loi exponentielle de paramètre λ
• Densité
• Espérance
• Radioactivité
• Durée de fonctionnement d'un système sans
vieillissement
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Loi exponentielle de paramètre λ
Durée de fonctionnement d'un système sans
vieillissement
Les lois exponentielles modélisent la durée de
vie d'un matériel.
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Loi normale
centrée réduite
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Loi normale centrée réduite
Les programmes de terminales
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Loi normale centrée réduite
• Introduction à partir de lois binomiales de
même paramètre de probabilité
• Théorème de Moivre-Laplace
• Densité
• Valeurs particulières
• Espérance
• Variance
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Loi normale centrée réduite
• Introduction à partir de lois binomiales de
même paramètre de probabilité
• Théorème de Moivre-Laplace
• Densité
• Valeurs particulières
• Espérance
• Variance
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Loi normale centrée réduite
Introduction à partir de lois binomiales de
même paramètre de probabilité
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Loi normale centrée réduite
Introduction à partir de lois binomiales de
même paramètre de probabilité
Les lois discrètes donnant lieu à des calculs de
probabilités fastidieux lorsque le nombre de
valeurs observées est important, on recherche
une façon d'approcher une loi binomiale par une
loi continue.
On peut pour cela, rechercher des éléments de
stabilité des lois binomiales de même paramètre
p.
Fichiers GeoGebra
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Loi normale centrée réduite
Introduction à partir de lois binomiales de
même paramètre de probabilité
La représentation de la distribution binomiale et son
évolution lorsque n augmente ne permet pas d'observer
de stabilité.
(Fichier GeoGebra 1-binomiale effectif.ggb)
Si on travaille sur la distribution des fréquences au lieu
de celle des effectifs, des éléments de stabilité
apparaissent.
(Fichier GeoGebra 2-binomiale frequence.ggb)
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Loi normale centrée réduite
Introduction à partir de lois binomiales de
même paramètre de probabilité
On constate de même des éléments de stabilité si on
travaille sur la distribution centrée et réduite de lois
binomiales.
(Fichier GeoGebra 3-binomiale reduite.ggb)
Le problème de la variation des hauteurs des bâtons est
réglé en remplaçant les bâtons précédents par des
rectangles adjacents d'aire totale 1, en vue de l'approche
par une loi continue, cela revient à diviser la hauteur des
bâtons du graphique précédent
par l'écart en deux
1
bâtons successifs np ( 1 − p )
(Fichier GeoGebra 4-binomiale rectangles.ggb)
Calculs de probabilités
(Fichier GeoGebra 5-binomiale rectangles probabilite.ggb)
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Loi normale centrée réduite
• Introduction à partir de lois binomiales de
même paramètre de probabilité
• Théorème de Moivre-Laplace
• Densité
• Valeurs particulières
• Espérance
• Variance
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Loi normale centrée réduite
Théorème de Moivre-Laplace (terminale S - admis)
Soit p un réel de ]0 ; 1[ et pour n ∈IN, Xn une
variable aléatoire suivant la loi binomiale de
paramètres n et p.
Pour tout n ∈IN, on note Zn la variable centrée
réduite associée à Xn.
Pour tous réels a et b :
lim
n→ +∞
P( a ≤ Z n
⌠b
≤ b) = ⎮
⌡a
1
e
2π
− x2
2
dx
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Loi normale centrée réduite
• Introduction à partir de lois binomiales de
même paramètre de probabilité
• Théorème de Moivre-Laplace
• Densité
• Valeurs particulières
• Espérance
• Variance
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Loi normale centrée réduite
Densité
La fonction f définie par :
f (x) =
1
2π
− x2
e
2
est la densité de la loi normale centrée réduite.
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Loi normale centrée réduite
Densité
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Loi normale centrée réduite
Densité
La densité de la loi normale centrée réduite est la
fonction f définie par : f (x) =
1
2π
− x2
e
2
La fonction f n'a pas de primitives algébriques,
pour déterminer des probabilités, on utilise :
• des tables,
• les fonctions des calculatrices ou de logiciels.
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Loi normale centrée réduite
• Introduction à partir de lois binomiales de
même paramètre de probabilité
• Théorème de Moivre-Laplace
• Densité
• Valeurs particulières
• Espérance
• Variance
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Loi normale centrée réduite
Valeurs particulières
X est une variable aléatoire suivant la loi normale
centrée réduite.
Pour tout réel de ]0 ; 1[, il existe un unique réel
positif uα tel que :
P(− uα ≤ X ≤ uα) = 1 − α.
u0,05 ≈ 1,96
u0,01 ≈ 2,58
u0,1 ≈ 1,64
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Loi normale centrée réduite
• Introduction à partir de lois binomiales de
même paramètre de probabilité
• Théorème de Moivre-Laplace
• Densité
• Valeurs particulières
• Espérance
• Variance
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Loi normale centrée réduite
Espérance
On définit l'espérance d'une variable
aléatoire X suivant la loi normale centrée
réduite par :
E(X) =
lim
x→−
⌠0
⎮
⎮
∞⌡x
t f(t) d t +
lim
y→+
⌠y
⎮
⎮
∞⌡0
t f(t) d t
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Loi normale centrée réduite
Espérance
E(X) =
E(X) =
lim
x→−
⌠0
⎮
⎮
∞⌡x
⌠0
lim ⎮
x → − ∞⌡x
t f(t) dt +
t
2π
e
− t2
2
lim
y→+
dt +
⌠y
⎮
⎮
∞⌡0
t f(t) dt
⌠y
lim ⎮
y → + ∞⌡0
t
2π
− t2
e
2
dt
2
2
⎡ −1 −t⎤ 0
⎡ − 1 −t ⎤ y
E(X) = lim ⎢
e 2 ⎥ + lim ⎢
e2⎥
2π
⎦ x y → + ∞⎣ 2π
⎦0
x → − ∞⎣
d’où E(X) = 0
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Loi normale centrée réduite
• Introduction à partir de lois binomiales de
même paramètre de probabilité
• Théorème de Moivre-Laplace
• Densité
• Valeurs particulières
• Espérance
• Variance
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Loi normale centrée réduite
Variance
On définit la variance d'une variable aléatoire X
suivant la loi normale centrée réduite par :
V(X) = E[(X − E(X))2]
On admet que : V(X) = 1.
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Lois normales
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Lois normales
Les programmes de terminales
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Lois normales
• Introduction à partir de la loi normale
centrée réduite
• Introduction à partir d'une somme de
variables aléatoires uniformes
• Espérance
• Variance
• Valeurs particulières
• Exemples issues d'autres disciplines
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Lois normales
• Introduction à partir de la loi normale
centrée réduite
• Introduction à partir d'une somme de variables
aléatoires uniformes
• Espérance
• Variance
• Valeurs particulières
• Exemples issues d'autres disciplines
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Lois normales
Introduction à partir de la loi normale centrée
réduite
μ est un réel et σ un réel strictement positif.
Une variable aléatoire X suit la loi normale
N (μ ; σ2) si (X− μ)/σ suit la loi normale centrée
réduite N (0 ; 1).
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Lois normales
• Introduction à partir de la loi normale centrée
réduite
• Introduction à partir d'une somme de
variables aléatoires uniformes
• Espérance
• Variance
• Valeurs particulières
• Exemples issues d'autres disciplines
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Lois normales
Introduction à partir d'une somme de
variables aléatoires uniformes
Les lois normales sont introduites à partir de
l'observation, à l'aide d'un logiciel, du cumul
des valeurs obtenues lors de la répétition
d'une expérience aléatoire dont le résultat
suit une loi uniforme.
(Fichier EXCEL somme-alea)
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Lois normales
• Introduction à partir de la loi normale centrée
réduite
• Introduction à partir d'une somme de variables
aléatoires uniformes
• Espérance
• Variance
• Valeurs particulières
• Exemples issues d'autres disciplines
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Lois normales
Espérance
Représentation des densité des lois normales
d'espérances 3 ; 0 et - 4 et de variance 0,5.
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Lois normales
• Introduction à partir de la loi normale centrée
réduite
• Introduction à partir d'une somme de variables
aléatoires uniformes
• Espérance
• Variance
• Valeurs particulières
• Exemples issues d'autres disciplines
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Lois normales
Variance
Représentation des densité des lois normales
d'espérance 3 et de variances 1 ; 0,5 et 2.
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Lois normales
• Introduction à partir de la loi normale centrée
réduite
• Introduction à partir d'une somme de variables
aléatoires uniformes
• Espérance
• Variance
• Valeurs particulières
• Exemples issues d'autres disciplines
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Lois normales
Valeurs particulières
X est une variable aléatoire suivant la loi normale
N (μ ; σ2).
P(X ∈ [μ − σ ; μ + σ] ≈ 0,68
(à 10-2 près)
P(X ∈ [μ − 2σ ; μ + 2σ] ≈ 0,95
(à 10-2 près)
P(X ∈ [μ − 3σ ; μ + 3σ] ≈ 0,997 (à 10-3 près)
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Lois normales
Valeurs particulières
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Lois normales
• Introduction à partir de la loi normale centrée
réduite
• Introduction à partir d'une somme de variables
aléatoires uniformes
• Espérance
• Variance
• Valeurs particulières
• Exemples issues d'autres disciplines
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Intervalles de fluctuation
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Intervalles de fluctuation
Les programmes de terminales
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Intervalles de fluctuation
Un cadre théorique
Pour α ∈ ]0 ; 1[, tout intervalle [a ; b] tel que
P(X ∈ [a ; b]) ≥ 1 - α
peut être considéré comme un intervalle de
fluctuation de X au seuil 1 - α.
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Intervalles de fluctuation
Un cadre théorique
On peut chercher l'intervalle de fluctuation de X :
• d'amplitude minimale,
• d'amplitude minimale centré sur E(X),
• d'amplitude minimale qui symétrise les
probabilités que X soit extérieure à [a ; b]...
Ces différentes approches ne sont pas toujours
faciles à mettre en oeuvre, surtout si la loi de X
est discrète. L'approximation de la loi de X par
une loi continue permet de faciliter la démarche.
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Intervalles de fluctuation
asymptotiques
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Intervalles de fluctuation asymptotiques
Z est une variable aléatoire suivant la loi normale N(0 ; 1).
α est un réel de ]0 ; 1[, il existe un unique réel uα tel que
P(− uα ≤ Z ≤ uα) = 1 − α.
Xn est une variable aléatoire suivant la loi binomiale
B (n ; p).
Xn − n p
Zn =
) est la variable centrée, réduite associée
n p (1 − p)
à Xn.
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Intervalles de fluctuation asymptotiques
Le théorème de Moivre-Laplace permet de dire que
lim P(− uα ≤ Zn ≤ uα) = P(− uα ≤ Z ≤ uα)
n→+∞
soit
⎛
P⎜⎜− uα
∞ ⎝
lim
n→+
ce qui s'écrit encore
avec In =
⎡
⎢
⎢p
⎣
lim
n→+
− uα
⎛X
⎜ n
P⎜
n
∞ ⎝
≤
∈
⎞
Xn − n p
≤ uα⎟⎟ = 1 − α
n p (1 − p)
⎠
⎞
⎟
In ⎟
⎠
=1−α
p (1 − p) .
, p + uα
n
p (1 − p)⎤⎥
n ⎥⎦
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Intervalles de fluctuation asymptotiques
Théorème
Si la variable aléatoire Xn suit la loi binomiale B (n ; p),
alors, pour tout α dans ]0 ; 1[, on a :
⎛Xn
⎜
lim P⎜ ∈
n→+∞ ⎝n
⎞
⎟
In⎟ = 1 − α
⎠
p (1 − p)⎤⎥
uα
n ⎥⎦
et uα désigne l’unique réel tel que P(− uα ≤ Z ≤ uα) = 1 − α
⎡
⎢
avec In = ⎢p −
⎣
p (1 − p)
,. p + uα
n
où Z suit la loi normale N(0 ; 1).
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Intervalles de fluctuation asymptotiques
L’intervalle In est un intervalle de fluctuation
Xn
au seuil 1 − α.
"approché" de
n
Définition
Xn
appartient à In avec une probabilité d’autant plus
n
proche de 1 − α que n est grand : on dit que In est un
Xn
intervalle de fluctuation asymptotique de
au seuil
n
1 − α.
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Intervalles de fluctuation asymptotiques
Lien avec l'intervalle de fluctuation du
programme de seconde
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Intervalles de fluctuation asymptotiques
Lien avec l'intervalle de fluctuation du
programme de seconde
• Pour α = 0,05, uα ≈ 1,96.
• Pour tout p ∈ [0 ; 1], p (1 − p) = 0,25.
Ainsi, uα
In
⎡
⎢
= ⎢p −
⎣
p (1 − p) est majoré par 2 × 0,5 = 1.
uα
p (1 − p) .
, p + uα
n
⎡
1 .
⎢
,
et approché par ⎢p −
n
⎣
p (1 − p)⎤⎥
est inclus dans
n ⎥⎦
1 ⎤⎥
p + ⎥.
n⎦
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Estimation par
intervalle de confiance
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Estimation par intervalle de confiance
Construction d'un abaque
On constitue, avec remise, des échantillons de
taille 40, dans une population. On considère une
modalité d’un caractère qualitatif observée pour
p =37 % des individus de la population.
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Estimation par intervalle de confiance
Construction d'un abaque
On constitue, avec remise, des échantillons de
taille 40, dans une population. On considère une
modalité d’un caractère qualitatif observée pour
p =37 % des individus de la population.
L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil
de 95%, relatif aux échantillons de taille 40, est
[0,22 ; 0,52].
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Estimation par intervalle de confiance
Construction d'un abaque
Représentation de l'intervalle de fluctuation
asymptotique au seuil de 95%, relatif aux échantillons
de taille 40 pour p =0,37.
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Estimation par intervalle de confiance
Construction d'un abaque
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Estimation par intervalle de confiance
Construction d'un abaque
Représentation de l'intervalle de fluctuation
asymptotique au seuil de 95%, relatif aux échantillons
de taille 40 pour p =0,37 et p =0,40.
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Estimation par intervalle de confiance
Construction d'un abaque
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Estimation par intervalle de confiance
Construction d'un abaque
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Estimation par intervalle de confiance
Construction d'un abaque
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Estimation par intervalle de confiance
Construction d'un abaque
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Estimation par intervalle de confiance
Construction d'un abaque
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Estimation par intervalle de confiance
Construction d'un abaque
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Estimation par intervalle de confiance
Construction d'un abaque
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Estimation par intervalle de confiance
Construction d'un abaque
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Estimation par intervalle de confiance
Construction d'un abaque
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Estimation par intervalle de confiance
Construction d'un abaque
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Estimation par intervalle de confiance
Construction d'un abaque
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Estimation par intervalle de confiance
Utilisation de l'abaque
On souhaite estimer la proportion p (inconnue)
d'individus présentant une propriété donnée dans
une population statistique à partir d'un échantillon
de taille 40 prélevé au hasard et sans remise.
Supposons que la propriété est observée dans
l'échantillon avec une fréquence de 60 %.
On détermine ensuite les valeurs de p qui font en
sorte que 0,6 appartienne à l'intervalle
de
fluctuation asymptotique de F au seuil de 0,95,
relatif aux échantillons de taille 40.
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Estimation par intervalle de confiance
Utilisation de l'abaque
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Estimation par intervalle de confiance
Utilisation de l'abaque
Intervalle à 95 %
de confiance de p
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Statistique inférentielle
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Comparaison de fréquences
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Comparaison de fréquences
Problème
On souhaite comparer les proportions p1 et p2
d'un même caractère, dans deux populations
distinctes, à partir de l’observation des
fréquences f1 et f2 observées sur un
échantillon de chacune des deux populations.
La question posée est de savoir si la différence
f1 - f2 est significative.
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Comparaison de fréquences
Première démarche
Pour i ∈ {1 ; 2}, Fi est la variable aléatoire qui prend pour valeur fi.
F1 et F2 sont supposées indépendantes.
n1 F1 + n2 F2
.
On pose F =
n1 + n2
F1 − F2
Si p1 = p2, la loi de Z =
est approchée
⎛F1 (1 − F1) F2 (1 − F2)⎞
⎜
⎟
+
⎝
n1
n2
⎠
par la loi normale N(0 ; 1) si
ƒ n1 et n2 sont supérieurs ou égaux à 30,
ƒ n1 p1 et n2 p2 sont supérieurs à 5,
ƒ n1 (1 − p1) et n2 (1 − p2) sont supérieurs à 5.
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Comparaison de fréquences
Première démarche
Au seuil de 95 %, un intervalle de fluctuation de
Z est [- 1,96 ; 1,96].
On admet que la différence f1 - f2 est
significative si la valeur observée de Z est hors
de l'intervalle [- 1,96 ; 1,96], ce qui se traduit
par :
|f1 – f2| > 1,96
⎛F1 (1 − F1) F2 (1 − F2)⎞
⎜
⎟
+
n1
n2
⎝
⎠
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Comparaison de fréquences
Seconde démarche
On détermine des intervalles de confiance de p1
et p2 respectivement.
On admet que la différence f1 - f2 est
significative si ces intervalles sont disjoints.
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Comparaison de fréquences
Seconde démarche
Cela se traduit par :
⎡
⎢f1 − uα
⎣
f 1 (1 − f1) .
, f1 + uα
n
f 1 (1 − f1)⎤
⎥ et
n
⎦
⎡
⎢f2 − uα
⎣
f 2 (1 − f2) .
, f1 + u α
n
f 2 (1 − f2)⎤
⎥ disjoints,
n
⎦
soit |f1
⎛
– f2| > 1,96 ⎜
⎝
⎛F1 (1 − F1)⎞
⎜
⎟+
n1
⎝
⎠
F2 (1 − F2)⎞
⎟
n2
⎠
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Comparaison de fréquences
Comparaison des deux démarches
Les conditions de différence significative sont :
• pour la première méthode
|f1 – f2| > 1,96
⎛F1 (1 − F1) F2 (1 − F2)⎞
⎜
⎟
+
n1
n2
⎝
⎠
• pour la seconde méthode
| f1
⎛
– f2| > 1,96 ⎜
⎝
Comme
⎛
⎛F1 (1 − F1)⎞
⎜
⎜
⎟+
n1
⎝
⎝
⎠
⎛F1 (1 − F1)⎞
⎜
⎟+
n1
⎝
⎠
F2 (1 − F2)⎞
⎟≥
n2
⎠
F2 (1 − F2)⎞
⎟
n2
⎠
⎛F1 (1 − F1) F2 (1 − F2)⎞
⎜
⎟
+
n1
n2
⎝
⎠
la seconde méthode est "plus sévère" que la première.
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