Seconde Chapitre 1 : Généralités sur les fonctions

Seconde Chapitre 1 : Généralités sur les fonctions Page 1 sur 6
I) Les nombres réels
a) Le vocabulaire des ensembles
Définitions :
On dit qu’un ensemble ܣ est inclus dans un ensemble ܤ si tous les éléments de ܣ appartiennent aussi
à ܤ . On note ܣ ⊂
⊂⊂
⊂ ܤ .On dit que ܣ est un sous – ensemble de ܤ .
ܤ ܣ
On appelle intersection de deux ensembles ܣ et ܤ , l’ensemble des éléments qui appartiennent à ܣ
et à ܤ . On la note ࡭ ∩ ࡮ .
On appelle réunion de deux ensembles ܣ et ܤ , l’ensemble des éléments qui appartiennent à ܣ ou à
ܤ . On la note ࡭ ∪ ࡮ .
Exercice :
1) On considère les deux ensembles ܣ = ሼ−5 ; 4 ; 1 ; 0ሽ et ܤ = ሼ−7 ; 3 ; 0 ; −5ሽ .
Déterminer ܣ ∩ ܤ et ܣ ∪ ܤ .
2) On considère les deux ensembles ܣ = ሼ10 ; −9 ; 1 ; −15ሽ et ܤ = ሼ7 ; −5 ; 3 ; 0ሽ .
Déterminer ܣ ∩ ܤ et ܣ ∪ ܤ .
B
A B
∩
A
A
A B
∪
B

Seconde Chapitre 1 : Généralités sur les fonctions Page 2 sur 6
b) Les nombres réels :
Définitions :
L’ensemble des abscisses des points d’une droite graduée est appelé l’ensemble des nombres réels.
On note ℝ l’ensemble de tous ces nombres .
L’ensemble des entiers naturels ( positifs ) est noté IN .
L’ensemble des entiers relatifs ( positifs ou négatifs ) est noté ℤ .
Remarque : Les ensembles ℕ et ℤ sont des sous – ensembles de ℝ .
« Le saviez-vous ? » sur les nombres page 28 du manuel «maths repères »
c) Intervalles de 
Définitions : Soient ܽ et ܾ deux réels tels que ࢇ < ܾ :
Exercice 2 : Compléter le tableau suivant :
ݔ
vérifie
l’inégalité en français représentation
graphique
ݔ
appartient
à l’intervalle
Les nombres x supérieurs à
−1
et strictement
inférieurs à 5
6 ;8
3 1
x
− < ≤ −
Les nombres x strictement supérieurs à − 5
]
]
; 2
− ∞ −
Les nombres x strictement inférieurs à 3
Remarques :
1) – 1 ∈ [ – 1 ; 5 [ mais 5 ∉ [ – 1 ; 5 [ .
2) Les crochets sont toujours ouverts en + ∞ et en – ∞ .
3) IR = ] – ∞ ; + ∞ [ IR
+
= [ 0 ; + ∞ [ IR
+*
= ] 0 ; + ∞ [ IR
–
= ] – ∞ ; 0 ] IR
–*
= ] – ∞ ; 0 [
4) Les réels a et b s’appellent les bornes de l’intervalle .
5) Ne pas confondre {2 ; 5} , [2 ; 5] et (2 ; 5) .
Exercices 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 et 8 page 26
Origine des nombres “le saviez-vous” page 28
du manuel «maths repères »
Notations des ensembles dues à Péano “le saviez-vous” page 26 du manuel «maths repères »
LOGIQUE parties 1, 2 et 3 pages 16 et 17 du manuel

Seconde Chapitre 1 : Généralités sur les fonctions Page 3 sur 6
II) Qu’est ce qu’une fonction ?
( )
Définition:
Une fonction définie sur un sous-ensemble de
est une relation qui à tout nombre de
associe un réel, noté , appelé de
.
f I
x I unique f x image x
On appelle ensemble de définition l’ensemble de tous les nombres dont on peut déterminer l’image.
1) Exemples
a) Fonction définie par un tableau de données
Remarque Interpolation ou extrapolation
Exercices 9 et 10 page 26 du manuel «maths repères »
Exercices 18 page 28 du manuel «maths repères »
b) Fonction définie par une courbe
ACTIVITE page 8 du manuel «maths repères »
Attention, une courbe ne correspond pas toujours à une fonction (contre-exemple du cercle)
Exercice 13 page 27 du manuel «maths repères »
Exercices 28, 29, 30, 31 page 29-30 du manuel «maths repères »

Seconde Chapitre 1 : Généralités sur les fonctions Page 4 sur 6
2) Fonction définie par une formule
ACTIVITE page 9 du manuel «maths repères »
avec « le saviez-vous »
a) Exemples
Exemple 1 :
On définit sur , la fonction
f
par
( )
si est pair
2
2n+7 si est impair
nn
f n
n
=
Exemple 2 :
Définit-on une fonction sur en associant à chaque fraction son numérateur ?
Exemple 3 :
On définit sur
+
, la fonction racine par
x x
→
Exemple 4 :
On définit sur
∗
, la fonction inverse par
1
x
x
→
Exercices 15, 17, 19, 24 page 27-29 du manuel «maths repères »
Exercices 36, 37, 40 page 31-33 du repère du manuel «maths repères »
« Le saviez-vous ? » sur Leibniz page 27 du manuel «maths repères »
b) Déterminer l’ensemble de définition
Exemple 1 :
On définit la fonction f par
1
:
2 6
f x
x
→
−
.
Pour que l’on puisse déterminer l’image de x , il ne faut pas que
2 6 0 3
x x
− = ⇔ =
La fonction
f
est donc définie sur l’ensemble
{ }
\ 3
f
=
D
Exemple 2 :
On définit la fonction f par
: 2 6
f x x
→ −
.
Pour que l’on puisse déterminer l’image de x , il faut que
2 6 0 3
x x
− ≥ ⇔ ≥
La fonction
f
est donc définie sur l’ensemble
[ [
3;
f
= +∞
D
Exercices 47 page 32 du repère du manuel «maths repères »
c) Image, antécédent
( )
Vocabulaire :
Soient une fonction définie sur un sous-ensemble de et deux réels et ,
tels que .
On dit alors que est l'image de et que est antécédent de .
f I a b a I b f a
b a a un b
∈ =

Seconde Chapitre 1 : Généralités sur les fonctions Page 5 sur 6
d) Courbe représentative
( )
( )
( )
Définition:
Soient une fonction définie sur un sous-ensemble de ,
et , , un repère du plan.
A tout réel , on fait correspondre le point , .
La courbe représentative de la fonction est
f I
O I J
x I M x f x
f
∈
alors l'ensemble des points .
M
Tracer la courbe représentative d’une fonction définie par une formule, à la main, à la calculatrice
Activités pages 18 et 19 du manuel
 Ecrire un algorithme de tracé de courbe (notamment pour une fonction affine par morceaux)
Exercices 75 page 40 du repère du manuel «maths repères »
PROBLEMES : Exercices 70, 73 page 38-39 du repère du manuel «maths repères »
INFO 74 page 38-39 du repère du manuel «maths repères »
Activité de recherche page 44
III) Sens de variation d’une fonction
1) Définitions :
Dire que la fonction
f
est croissante sur un intervalle I signifie que
pour tous réels a et b de l’intervalle I, on a :
(
)
(
)
si alors
a b f a f b
≤ ≤
Dire que la fonction
f
est décroissante sur un intervalle I signifie que
pour tous réels a et b de l’intervalle I, on a :
(
)
(
)
si alors
a b f a f b
≤ ≥
Dire que la fonction
f
est constante sur un intervalle I signifie que
pour tous réels a et b de l’intervalle I, on a :
(
)
(
)
f a f b
=
2) Tableau de variations
Etudier les variations d’une fonction, c’est déterminer les intervalles sur lesquels elle est monotone, c'est-à-dire
croissante ou décroissante.
On résume les résultats obtenus dans un tableau.
Exemple :
4
( )
7
x
f x
−∞ +∞
−
Exercices 53, 54, 55, 57, 60, 63 page 34 du manuel