TS – spé maths – Contrôle n°5 – mardi 12 avril 2016 gaelle.buffet

TS – spé maths – Contrôle n°5 – mardi 12 avril 2016
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EXERCICE 1. (10 points)
Les questions sont indépendantes. Pour chaque question, indiquer si l’affirmation est vraie ou fausse. Une
réponse non justifiée ne sera pas prise en compte. Toute trace de recherche sera valorisée.
1. On considère l’équation
3 − 2 = 1, où et sont des entiers relatifs.
Affirmation : les solutions de l’équation
sont les couples 9 + 2 ; 13 + 3 , avec
l’ensemble ℤ des entiers relatifs.
appartenant à
2. Affirmation : S’il existe un couple de nombres entiers relatifs $; % tel que $' + %( = 3, alors
*+,- '; ( = 3.
3. Soit / un entier naturel. On considère les deux entiers ' et ( définis par :
' = 2/0 + 7/ + 21 et ( = 2/ + 2.
Affirmation : pour tout entier naturel /, le quotient et le reste de la division euclidienne de ' par ( sont
respectivement égaux à / + 2 et / + 17.
4. Soit / un entier naturel. On considère les deux entiers ' et ( définis par :
' = 3/ + 1 et ( = 2/ + 3.
Affirmation : le PGCD de ' et ( est égal à 7 si et seulement si / est congru à 2 modulo 7.
5. Affirmation : Si
≡ 7 + 3 3265 alors
≡ 15 + 7 3265.
EXERCICE 2. (10 points)
PARTIE A :
1. R.O.C : En utilisant le théorème de Bézout, démontrer le théorème de Gauss.
2. Soient F et G deux entiers naturels premiers entre eux et ' est un entier relatif
Démontrer que, si ' ≡ 0 3F5 et ' ≡ 0 3G5 alors ' ≡ 0 3FG5.
PARTIE B : On se propose de déterminer l’ensemble J des entiers relatifs / vérifiant le système :
/ ≡ 9 3175N
M
/ ≡ 3 355
1. a Justifier l’existence d’un couple d’entiers relatifs tel que 17$ + 5% = 1.
b On pose /P = 3 × 17$ + 9 × 5%. Démontrer que /P appartient à J.
c Donner un exemple d’entier /P appartenant à J.
2. a Soit / un entier relatif appartenant à J. Démontrer que / − /P ≡ 0 3855.
b En déduire qu’un entier relatif / appartient à J si et seulement si il peut s’écrire sous la
forme / = 43 + 85 où est un entier relatif.
3. Zoé sait qu’elle a entre 300 et 400 jetons. Si elle fait des tas de 17 jetons, il lui en reste 9. Si elle fait
des tas de 5 jetons, il lui en reste 3. Combien a-t-elle de jetons ?