Marche aléatoire - Cours et exercices

BCPST 1A
M. Molin - Lycée Marcelin Berthelot
Année 2016-2017
DEVOIR MAISON No10
MARCHE ALÉATOIRE
À rendre le 10 mars 2017 à 8h00 en début de cours
Une copie mal présentée ne sera pas corrigée.
Il s’agit d’un exercice type que l’on rencontre très souvent (sous une forme ou une autre.. .).
Il est donc vivement conseillé de le chercher assidument, pour comprendre la démarche et être en mesure de le refaire, même
avec moins de questions intermédiaires.
PROBLEME 1
On définit un graphe par des sommets et des arcs orientés aussi appelés flèches.
Chaque flèche du graphe relie deux sommets : un sommet origine iet un sommet destination j. On dit que la flèche va de i
vers j.
Un graphe doit suivre les règle suivantes :
• Une flèche peut relier un sommet à lui-même.
• Pour deux sommets iet j, il y a une seule flèche au maximum qui va de ivers j. Par contre, si les sommets sont distincts,
il peut y avoir une flèche de ivers jet une autre de jvers i.
• Chaque flèche possède un poids que l’on indique en label.
• Tous les sommets sont virtuellement reliés entre eux. Mais lorsque la flèche est de poids nul, elle n’est pas représentée.
A
1
4
1
2
1
4
B
1
2
??
1
2
,,C
1
4
jj
1
2
VV
1
4
ll
Graphe G1
Le graphe est un graphe de probabilités si :
• Chaque flèche a un poids compris entre 0 et 1.
• La somme des poids de flèches partant d’un même sommet est égale à 1.
Dans ce cas, le poids de la flèche représente la probabilité de passer du sommet iau
sommet j.
Dans ce problème, on considère le graphe de probabilités G1ci-
contre.
Lecture du graphe : Un mobile se déplace sur le graphe, suivant les prob-
abilités indiquées par les flèches. Ainsi, s’il se trouve en position Aà
l’instant n, alors à l’instant n+1, il reste en position Aavec la probabil-
ité 1
4, en position Bavec la probabilité 1 4et en position Cavec la probabil-
ité 1
2.
On note pla loi de probabilité associée à ce graphe.
On suppose qu’à l’instant n=0, le mobile est en position Aet on veut connaître la probabilité qu’il soit à nouveau en posi-
tion Aà l’instant n.
Pour tout n∈N,
on définit les trois événements :
An: “le mobile est en position Aà l’instant n.”
Bn: “le mobile est en position Bà l’instant n.”
Cn: “le mobile est en position Cà l’instant n.”
et on pose
Un=
p(An)
p(Bn)
p(Cn)
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Année 2016-2017
Partie 1 : Écriture matricielle
1) Tracer le graphe, et mettre en label de chaque flèche la probabilité conditionnelle qu’elle représente (entre les instants
net n+1).
2) Pour n∈N, les trois événements (An,Bn,Cn) forment-ils un système complet d’événements ?
3) Montrer qu’il existe une matrice M∈M3(R) telle que ∀n∈N,Un+1=M Un.
Donner d’abord l’expression littérale de Mpour un graphe de probabilité quelconque à 3 sommets A,Bet C(on pourra
s’aider de la première question).
Puis donner son expression, pour le graphe G1considéré.
4) Justifier que la somme des coefficients de chaque colonne de Mest égale à 1.
Méthode : Dans les exercices de ce type, il faudra toujours faire cette vérification, même si elle n’est pas demandée.
5) Donner l’expression de Unen fonction de U0et des puissances de M.
(Écrire une justification très soignée)
Partie 2 : Calcul des puissances
1) Montrer que M2=3
4M+1 4I3
2) En déduire l’existence de deux suites (an)n∈Net (bn)n∈Ntelles que ∀n∈N,
Mn=anM+bnI3
Donner une relation de récurrence vérifiée par les suites (an) et (bn).
3) Trouver les expressions de anet de bnen fonction de n.
4) En déduire une expression “simple” de Mnen fonction de M,I3et de n.
5) Donner l’expression de U0.
6) En déduire l’expression de p(An) en fonction de n.
A
1
4
1
2
1
4
B
1
2
??
1
2
,,C
1
4
jj
1
2
VV
1
4
ll
Graphe G1
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Indications
Partie 1 : Écriture matricielle
1) La probabilité de passer de Avers Best la probabilité d’être en Bà l’instant n+1, sachant qu’on est en Aà l’instant n.
2)
3) Écrire p(An+1) comme combinaison linéaire de p(An), p(Bn) et p(Cn) en utilisant les probabilités conditionnelles.
4) Si ce n’est pas le cas, c’est qu’il y a un problème.. .
5) Prouver par récurrence.
Partie 2 : Calcul des puissances
1) Calculer.. .Si vous n’avez pas l’égalité, soit vous vous êtes trompé dans le calcul, soit pour les coefficients de M.
2) Construire les suites par récurrence.
3) On commencera par trouver une relation linéaire d’ordre 2 pour la suite (an) (voir le chapitre sur les suites usuelles).
En déduire l’expression de anen fonction de n, puis celle de bn.
4)
5) On sait que le mobile est en Aà l’instant 0. Cela correspond à une probabilité certaine.
6) Cela correspond au premier coefficient de Unque l’on obtient avec les puissances de Met le calcul de U0.
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