TD selection oraux 2014 de PCSI

22/06/2015 C:\Users\guillaume\Documents\SPE-PC\PC star 2014 2015\TD 2014-2015\TD selection oraux 2014 de PCSI.docx
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Cahiers de Vacances
Voici une sélection d'oraux 2014 portants sur le programme actuel de PCSI (a ce jour nous n'avons pas les 2015).
Ces exercices seront tous abordés et corrigés durant l'année dans les différentes feuilles de TD. Vous pouvez profiter des
vacances pour vous avancer dans votre travail.
Certains exercices sont difficiles d'énoncé minimal sans indication (typiquement mines ponts). A défaut de les résoudre il faut
essayer de proposer des pistes, d'étudier un exemple etc ... C'est le principe même de l'oral de créer un dialogue constructif
entre vous et l'examinateur.
Ces exercices ont aussi pour objectif d'illustrer les fiches résumées de cours de PCSI qui contiennent parfois quelques (rares)
situations à la limite du programme de PCSI (essentiellement en algèbre).
Présentation des oraux de PC
Oraux CCP
Préparation d'un exercice (type I) énoncé détaillé souvent avec des réponses. Exposé 20 minutes. Puis l'examinateur pose un
exercice (type II) sans préparation exposé 10 minutes.
Oraux Centrales
Changement important avec la réforme 2015.
Oral 1 sans préparation. Nous n'avons pas encore ce type de sujets, ils ressembleront sans doute aux oraux actuels des mines
ponts. L'énoncé peut donc être court et hermétique puisqu'interaction (souhaitable) entre vous et l'examinateur.
Oral 2 préparation 30 minutes. Pour cet exercice l'usage de python peut être demandé. Vous trouverez dans ce TD plusieurs
situations de ce type, une réelle (sujet0) les autres adaptées de l'ancienne épreuve oral 2 math Maple. Vous trouverez sur le site
une documentation sur les bibliothèques utilisées par centrale en 2015 pour l'oral 2. Cette documentation est très bien faite
aussi bien pour cet oral que pour le cours python.
Oraux mines ponts
La notice du concours précise qu'il n'y a pas de cadre strict à cet oral. Vous ne savez pas à l'avance si vous préparez ou pas la
planche. On trouve souvent dans ce concours des planches courtes et difficiles.
Oraux petites mines
Les petites mines recrutent à l'écrit par la banque mines ponts, mais ont leurs oraux spécifiques plus abordables que ceux de
mines ponts. On peut noter que ce concours ayant recruté de nombreuses années en PCSI, on voit encore pas mal de planches
de PCSI.
Oraux X ESPCI
Quasi identiques à ceux de mines ponts. Il est fréquent de voir des planches communes.
Oraux ENS
Depuis 2009 l'écrit X, ESPCI, ENS a fusionné. Par contre les oraux sont spécifiques sans doute les plus difficiles de tous les
concours. Je n'en ai pas mis dans ce TD.
Autres oraux
Ecoles militaires, concours TPE EIVP ENSAM etc...

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Oraux de probabilités
Les probabilités arrivent en 2015. En 2014 il n'y a pas d'oraux de proba en PC. J'ai mis des planches de BCPST on peut tout
aussi bien faire celles de la filière ECS.
Les énoncés
Exercice 1. Ecole militaire. Type math python.
1) Soit n un entier naturel pair. Montrer qu'il existe 3 entiers naturels (a, b, c) tels que : 5
n = 1 a + 1 b + 1 c
2) Pour n = 7 trouver avec Python tous les triplets (a, b, c) solutions de 5
n = 1 a + 1 b + 1 c , avec max(a, b, c)  100
Exercice 2. CCP PC type I
Soit l’équation ( E ) P( X
2
– 1) = P(X – 1)P(X+ 1) d’inconnu P ∈ [X].
1 – Trouver les polynômes constants solutions de (E)
2 – P(X) = 2X – 1 est il solution de (E) ?
3 – Montrer que si z est une racine de P solution de (E) non constant, (z+1)
2
– 1 est aussi racine de P.
4 – Justifier qu’un polynôme non constant admet une racine complexe que l’on note a
0
pour la suite.
Soit P solution de (E) non contant. a
0
une racine de P.
5 – Montrer que les termes de la suite (a
n
) de premier terme a
0
et vérifiant ∀ n ∈ , a
n+1
= a
n2
+ 2a
n
sont tous racines de P.
6 – Montrer que si a
0
∈ 
+
, (a
n
) est strictement croissante, en déduire que P n’a pas de racine dans 
+
. Montrer que – 1 n’est
pas racine de P.
7 - Exprimer b
n
= a
n
+ 1 en fonction de n et a
0
et en déduire que |a
0
+ 1| = 1. On admet que |a
0
– 1| = 1. Conclure quant aux
solutions de (E)
Exercice 3. Centrale PC mais aussi petites mines
A quelle(s) condition(s) sur a et b réels, P(X) = aX
n
+ bX
n – 1
+ 1 est il divisible par (X+1)
2
?
Quel est alors le quotient dans ce cas ?
Exercice 4. Ecole militaire. Type oral math python
Soit n un entier non nul, a et b deux réels. Soit l'équation
(E) nP(X) = (X – a) P '(X) + b P ''(X)
d'inconnu un polynôme P ∈ 
n
[X].
1 – Déterminez les solutions de (E). On cherchera P sous la forme d'un développement de Taylor en a, c'est à dire écrit dans la
base B
a
= (1, X – a, ....., (X –a)
n
) . On déterminera alors ses coordonnées dans B
a
par une relation de récurrence.
2– Ecrire une fonction python solution(n,a,b) de paramètre d'entrée n un entier, a et b deux réels qui renvoie une solution
de (E) sous la forme de la liste de ses coordonnées dans la base B
a
.
Exercice 5. CCP PC type II
Montrer que si B est une matrice réelle carrée de taille n et nilpotente, alors B + I
n
et B – I
n
sont inversibles.

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Exercice 6. CCP PC type II
Soit A(X) = X
2
+ X + 1.Montrer que ϕ qui à P ∈ [X] associe le reste de la division euclidienne de P par A est linéaire et
donner son noyau et son image.
Exercice 7. CCP PC type I
Soit E un espace vectoriel de dimension p.
1 – Donner la dimension de L(E) et de L(L(E))
Soit u ∈ L(E) un endomorphisme nilpotent. On définit T : v ∈ L(E)  u
°
v – v
°
u
2 – Montrer que T ∈ L(L(E))
3 – On suppose ici que E =
2
et qu'il existe une base (e
1
, e
2
) de E telle que u(e
1
) = 0 et u(e
2
) = e
1
.
3a – Monter que u est nilpotent et donner son indice de nilpotence (On rappelle que c'est le plus petit entier r tel que u
r
= 0).
3b – Calculer T
2
(v) et T
3
(v) pour tout v ∈ L(E). En déduire que T est nilpotent et son indice de nilpotence.
4 – On revient au cas général E de dimension p et u ∈ L(E) nilpotent.
4a – Montrer que pour tout k ∈ , pour tout v ∈ L(E), T
k
(v) =
∑
 = 0
k
( –1)
k
 u
k -
°
v
°
u
4b – Montrer que T est nilpotent.
Exercice 8. Mines d'Ales
Soient A et B ∈ M
n
() telles que A
2
= B
2
= I
n
. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que A et B soient
semblables.
Exercice 9. Mines d'Ales
Soient E = C([0,1], ) et τ l'application qui à f ∈ E associe l'application τ(f) : x ∈ [0,1]  (x –1)
⌡
⌠
0
x
t f(t)dt + x
⌡
⌠
x
1
(t – 1)f(t) dt
1 – Montr er que τ est un endomorphisme de E.
2 – Soit f ∈ E, calculer τ(f)(0) et τ(f)(1).
3 – Soit f ∈ E, montrer que τ(f) est de classe C
2
et déterminer τ(f) ''
4 –Déterminer le noyau de τ
5 – Montrer que l'image de τ est l'ensemble des fonctions de E de classe C
2
et nulles en 0 et en 1.
Exercice 10. Centrale PC
Définition : Deux matrices A et B de M
n
() sont dites équivalentes si ∃ P et Q ∈ GL
n
() / A = PBQ
1 – Montrer que toute matrice non inversible de M
n
(K) est équivalente à une matrice nilpotente.
2 – Soit f une application de M
n
(K) dans K non toujours égale à 1 et telle que ∀ A, B ∈ M
n
(K), f(AB) = f(A) f(B).
Montrer que si U n’est pas inversible alors f (U) = 0.
Exercice 11. Centrale PC
Montrer que la matrice A réelle de taille n dont les coefficients diagonaux sont nuls et tous les autres valent 1 est inversible et

4
donner son inverse. Calculer A
p
pour tout p ∈  et trouver tous les polynômes de [X] annulateurs de A.
Exercice 12. Mines Ponts PC
Soit E un Kev de dimension finie, f ∈ L(E) et H hyperplan de E. Montrer que :
H est stable par f ⇔ il existe un scalaire λ tel que Im(f – λ id) ⊂ H.
Exercice 13. X ESPCI et Mines ponts
a) Soient A et B dans M
n,p
(K). Montrer que |rg(A) – rg(B)|  rg(A+ B)  rg(A) + rg(B)
b) Soient V
1
, ..., V
k
W
1
, ..., W
k
dans M
n,1
(K) tels que V
1t
W
1
+ V
2t
W
2
+ ... + V
k
t
W
k
= I
n
. Montrer que k  n
c) Soit M ∈M
n
(K) de rang r. Montrer qu'il existe X
1
, ..., X
r
, Y
1
, ...,Y
r
2r éléments de M
n,1
(K) tels que M =
∑
i = 1
r
Y
i t
X
i
Exercice 14. Mines ponts
Soient A et B dans M
n
(). On suppose que AB = BA et B nilpotente. Montrer que A est inversible ⇔ A+ B est inversible.
Exercice 15. Mines Ponts Soit A ∈M
n
() non inversible.
1) existe t il B ∈ M
n
() non nulle telle que AB = BA = 0 ?
2) Déterminer la dimension de { B , B ∈ M
n
() telles que AB = BA}
Exercice 16. Mines Ponts PC
Soit A =
colonnes
[C
1
,…, C
n
] ∈ M
n
(K) . Soit B ∈ M
n
(K) dont la colonne j vaut
∑
k = 1, k ≠ j
n
C
k
. Calculer det(B) en fonction de det(A).
Exercice 17. Mines Ponts PC
Soit E  espace vectoriel de dimension finie n. Soit u ∈ L( E ) tel que u
2
= – id. Montrer que n est pair et qu’il n’y a pas
d’hyperplan de E stable par u.
Exercice 18. CCP PC 2014 RMS 2015 1032
Soit B = (e
1
, e
2
, e
3
, e
4
) la base canonique de 
4
. On considère le sous espace vectoriel P de 
4
donné par ses équations dans
la base canonique (P)
x + y + z + t = 0
x – y + z –t = 0 .
Déterminez la matrice dans la base B de la symétrie orthogonale par rapport à P.
Exercice 19. CCP PC 2014 type I
Soit λ ∈ . Soit la suite (u
n
)
n 0
définie par u
0
∈ , u
1
∈ , ∀ n ∈ , u
n+2
= u
n+1
+ λu
n
1 – Montrer que si la suite (u
n
) converge alors sa limite est nulle.
2 – On suppose – 1/4 < λ < 0. Montrer que X
2
– X – λ admet deux racines réelles. Montrer que la suite (u
n
) converge.
3 – On suppose – 1 < λ < – 1/4. Montrer que X
2
– X – λ admet deux racines complexes conjuguées r et r. Comparer |r| et 1.
La suite (u
n
) converge t elle ?
4 – On suppose que λ = – 1
4 . Expliciter u
n
en fonction de n, u
0
et u
1
.

5
5 – On revient au cas général λ ∈ .
Montrer que la série de terme général u
n
converge si et seulement si la suite (u
n
) converge.
5 – Etudier le cas λ  2.
Exercice 20. Mines Ponts PC
Trouver les fonctions continues de [0,1] vers  telles que : ∀ x ∈ [0,1], f (x) =
∑
n = 1
+∞
f (x
n
)
2
n
Exercice 21. Centrale PC
1) Avec Python calculer α
n
= n!
∑
k = 0
n
( –1)
k
k! pour n allant de 1 à 11 et α
n+1
– (n+1) α
n
pour n allant de 1 à 10.
Que peut on conjecturer ? Prouver cette conjecture.
2) Avec Python Calculer n!
e pour n allant de 1 à 10. Que peut on conjecturer ? Prouver cette conjecture.
3) On considère sur l'intervalle ] – 1,1[ l'équation différentielle (E) (1 – x)y ' – xy = 0.
Expliciter la solution f qui vérifie la condition initiale f (0) = 1.
4) Montrez que f
(n)
(0) = α
n
. On pourra utiliser la formule de Leibniz.
Exercice 22. CCP PC type II
Définition, parité, variations et limites de f : x 
⌡
⌠
x
2x
ch(t)
t dt
Pour les limites, on pourra montrer qu’il existe α >0 tel que ∀ t ∈ ]0, α[ , | ch(t) – 1
t |  t
Exercice 23. CCP PC 2014 type I
1 – On pose f : x  x sin(x). Calculer f ’’(x) + f (x).
2 – Résoudre sur  (E
1
) y’’ + y = cos(x) (E
2
) y’’ – y = x
3 – Donner les solutions paires de (E
1
) et les solutions impaires de (E
2
).
4 – Trouver toutes les fonctions f de classe C
2
sur  et telles que f ’’(x)+ f ( – x) = x + cos(x)
5 – Montrer que Φ défini sur E = C
∞
(,) par Φ(f)(x) = f ’’(x) + f ( –x) est un endomorphisme dont on précisera le noyau.
6 – Quelle est la dimension de E ?
Exercice 24. Mines d'Ales
Résoudre (E) y ''(x) – 3 y'(x) + 2 y(x) = exp(x) – x – 1
Exercice 25. Navale