Exercices REVISIONS D`ELECTROCINETIQUE 2π ω

Exercices
REVISIONS D’ELECTROCINETIQUE
Exercice 1 : Etude dʼun circuit RC à lʼoscilloscope.
Pour étudier expérimentalement un circuit RC série, on lʼalimente par un
générateur BF et on connecte le condensateur à un oscilloscope. On tient
compte de lʼimpédance dʼentrée de lʼoscilloscope, modélisable par
lʼassociation dʼune résistance Re et dʼun condensateur Ce en parallèle.
1°) Quels sont les ordres de grandeur de Rg, Re et Ce ?
2°) Etablir lʼéquation différentielle vérifiée par Us. Déterminer la constante
de temps τ du circuit.
Quelles conditions sur R et C permettent de négliger lʼinfluence des appareils ?
Exercice 2 : Obtention dʼune tension continue.
2π
= et dʼamplitude Um. Elle
ω
est envoyée sur un redresseur double alternance qui délivre alors la tension u1(t) = Um⏐sin(ωt)⏐.
Pour obtenir une tension continue, on dispose dʼune tension sinusoïdale u(t) de période T =
1°) Exprimer la valeur moyenne de u1(t) en fonction de Um.
€ continue ?
2°) Quel type de filtre faut-il placer à la sortie du redresseur pour obtenir une tension
3°) Parmi les 4 filtres ci-dessous, le(s)quel(s) conviennent pour obtenir cette tension continue ?
4°) Pour les filtres b) et c), établir la fonction de transfert. Quels sont les avantages et les inconvénients de ces filtres ?
a)
b)
R
L
C
C
Ue
Us
R0
R0
Ue
c)
Us
d)
L
C
Ue
R0
Us
Ue
C
R0
Us
Exercice 3 : Détecteur de crête.
La tension dʼentrée ue(t) est de la forme ue(t) = UM.cos (ωt), de période T
La diode à jonction est supposée idéale.
1°) A partir de t = 0, la diode est supposée passante : l'intensité i(t) est
positive, de la forme i(t) = IM.cos (ωt + ϕ).
Exprimer IM en fonction de UM, R, C et ω. Même question pour ϕ.
2°) À partir de t = 0, l'intensité i(t) décroît. À l'instant t0, ce courant i(t)
s'annule une première fois. Exprimer t0 en fonction de ω et ϕ. En déduire la valeur U0 = ue(t = t0). Préciser l'état de la diode
à une date immédiatement postérieure à t0.
3°) La diode est supposée bloquée. Donner l'équation différentielle satisfaite par us. Établir l'expression de la tension us.
Tracer, sur le même graphe, l'allure des courbes représentatives des tensions ue et us.
4°) A quelle condition sur ue et us la diode reste-t-elle bloquée ?
Préciser, sur le graphe précédent, les intervalles de temps pour lesquels la diode est passante, el ceux pour lesquels la
diode est bloquée.
5°) On suppose que RC >> T. Tracer l'allure des courbes représentatives des tensions ue et us dans ce cas. Justifier le nom
de « détecteur de crête » donné à ce circuit.
Exercice 4 : Choix dʼun filtre à partir dʼun gabarit.
On désire réaliser un filtre passe-bas, entrant dans le gabarit ci-contre.
On donne fp = 1,90 kHz et fa = 6,2 kHz.
1°) Déterminer lʼordre du filtre à utiliser.
2°) Déterminer lʼintervalle des pulsations caractéristiques ω0 possibles
pour le filtre à choisir.
Le filtre utilisé a pour fonction de transfert :
H(jω) =
Vs
1
=
Ve 1+ 2 jRCω − R 2CC'ω 2
2°) Quelle relation doit-il exister entre les capacités C et C’ pour que ⎪H(jω)⎪ =
€
€
1
ω4
1+ 4
ω0
.
En déduire lʼexpression de ω0 en fonction de R et C.
On supposera cette condition vérifiée dans la suite.
€de filtre a t-on réalisé ?
3°) Tracer le diagramme de Bode asymptotique de ce circuit. Quel type
4°) Déterminer lʼexpression de la pulsation de coupure à — 3 dB de ce filtre
Exercice 5 : Spectre dʼun signal échantillonné.
Pour numériser un signal analogique s(t) (provenant dʼun capteur par
exemple), il est nécessaire de lʼéchantillonner.
Lʼéchantillonnage est une opération qui consiste à prélever un ensemble de
valeurs prises à des instants tk.
Une possibilité dʼobtenir un signal échantillonné est de multiplier le signal
s(t) par un autre signal u(t) composé dʼune série dʼimpulsions périodiques
(période Te), de durée t très petite (voir ci-contre). On note
1
ωe
= Fe =
Te
2π
1°) Le signal à échantillonner est représenté ci-contre. Représenter lʼallure du
signal se(t) obtenu après échantillonnage.
€
€
2°) Le signal u(t) étant périodique, écrire son développement en série de Fourier.
En déduire une nouvelle expression de se(t) et justifier que le signal échantillonné
est beaucoup plus riche fréquentiellement que le signal s(t).
3°) Supposons, pour simplifier, que s(t) = S0.cos(ωt). Exprimer se(t) et représenter le spectre en fréquence du signal
échantillonné.
4°) Le signal s(t) est maintenant un signal quelconque, dont le spectre comprend des fréquences comprises entre fmin et fmax.
A lʼaide de la question 3, représenter le spectre du signal obtenu après échantillonnage. Montrer quʼil est alors possible de
retrouver le signal s(t) à partir de se(t) par une opération de filtrage, dont on précisera les caractéristiques.
Montrer également que lʼopération nʼest possible quʼà condition que Fe > 2fmax (résultat appelé théorème de Shannon).