Chingatome : l`algorithme de Babylone

L’algorithme de Babylone
L’algorithme de Babylone
Partie A : Etude d’un pas de l’algorithme
Partie A : Etude d’un pas de l’algorithme
On considère un rectangle ABCD ayant pour dimensions
x et y. On place le point B ′ du segment [AB] tel que :
x+y
AB ′ =
2
La droite parallèle à la droite (B ′ D) passant par le point
On considère un rectangle ABCD ayant pour dimensions
x et y. On place le point B ′ du segment [AB] tel que :
x+y
AB ′ =
2
La droite parallèle à la droite (B ′ D) passant par le point
B intercepte la droite (AD) au point D′ .
On place le point C ′ tel que AB ′ C ′ D′ soit un parallélo-
B intercepte la droite (AD) au point D′ .
On place le point C ′ tel que AB ′ C ′ D′ soit un parallélo-
gramme.
gramme.
D′
C′
C
x B′
C
y
A
C′
D
y
y′
D
x+y
2
y′
D′
x+y
2
A
B
1. Justifier que les rectangles ABCD et AB ′ C ′ D′ ont la
x B′
B
1. Justifier que les rectangles ABCD et AB ′ C ′ D′ ont la
même aire.
même aire.
2. On note y ′ la distance AD′ . Exprimer y ′ en fonction
de x et de y.
2. On note y ′ la distance AD′ . Exprimer y ′ en fonction
de x et de y.
Partie B : Etude de l’algorithme
Partie B : Etude de l’algorithme
On considère un rectangle de longueur 6 cm et de largeur
1 cm. Voici représentée la figure obtenue après 3 itérations
On considère un rectangle de longueur 6 cm et de largeur
1 cm. Voici représentée la figure obtenue après 3 itérations
de l’algorithme de Babylone :
n=3
n=2
de l’algorithme de Babylone :
n=3
n=2
n=1
n=1
n=0
y0 =1
y0 =1
n=0
x0 =6
x0 =6
(
)
Cet algorithme permet d’obtenir la suite xn des longueurs
( )
et la suite yn des largeurs des rectangles obtenues.
1. A l’aide d’un logiciel tableur :
( )
Cet algorithme permet d’obtenir la suite xn des longueurs
( )
et la suite yn des largeurs des rectangles obtenues.
1. A l’aide d’un logiciel tableur :
a. déterminer les valeurs approchées des vingt premiers
( ) ( )
termes des suites xn et yn .
a. déterminer les valeurs approchées des vingt premiers
( ) ( )
termes des suites xn et yn .
b. Emettre une conjecture quant à la convergence des
( ) ( )
suites xn et yn .
( )
( )
2. On admet que les termes des suites xn et yn sont
strictement positifs.
(
)2
xn − yn
)
a. Etablir l’égalité : xn+1 − yn+1 = (
2 xn + yn
( )
b. Montrer que la suite xn est décroissante sur N.
( )
c. En déduire le sens de variation de la suite yn .
( )
( )
d. Etablir la convergence des suites xn et yn vers
une même limite qu’on précisera.
b. Emettre une conjecture quant à la convergence des
( ) ( )
suites xn et yn .
( )
( )
2. On admet que les termes des suites xn et yn sont
strictement positifs.
(
)2
xn − yn
)
a. Etablir l’égalité : xn+1 − yn+1 = (
2 xn + yn
( )
b. Montrer que la suite xn est décroissante sur N.
( )
c. En déduire le sens de variation de la suite yn .
( )
( )
d. Etablir la convergence des suites xn et yn vers
une même limite qu’on précisera.
e. Quelle est alors la forme du rectangle “limite”.
e. Quelle est alors la forme du rectangle “limite”.
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