EXERCICES CORRIGES

1
ECONOMIE DE LA DECISION
EXERCICES CORRIGES
Laurence ABADIE
1- APPLICATIONS ASSURANCE
Exercice 1
Soit un individu dont la fonction d'utilité est la suivante: U (W) = (W)
a
où W est la richesse de l'individu.
Cet agent a une richesse initiale de 200 000 € qu'il investit entièrement dans un studio à la montagne.
Devant renouveler son assurance incendie pour l'année à venir, cet individu a estimé que la probabilité d'un
incendie est égale à 10% (Lors d'un incendie, le studio est entièrement détruit).
Une compagnie d'assurance lui propose un contrat qui lui offre comme indemnité I= X en cas de sinistre
contre paiement d’une prime
(
)
(
)
XEP
α
λ
+
=
1
où :
X = le montant de la perte
λ = le facteur de chargement appliqué par la compagnie d'assurance
α = la part de la perte prise en charge par la compagnie d'assurance avec
10
≤
≤
α
Question 1 : Quelle est la prime d'assurance maximale que l'individu est prêt à payer pour une
couverture complète ? Quelle relation existe-t-il entre cette prime maximale et la notion de prime de
risque ? Evaluer ces 2 primes pour a=0.2 , a = 0.5 et a = 1. Commentez les valeurs obtenues.
Prime maximale = prime qu’il est prêt à payer pour profiter d’une couverture complète Elle vérifie donc:
Eu(assurance complète) = Eu(sans assurance)
Sans assurance :
(
)
)()1()(
00
wupXwpuwEu
f
−
+
−
=
Avec assurance complète :
(
)
)()()1()(
000
PwuPwupXXPwpuwEu −=−−++−−=
. La prime
maximale qu’il est prêt à payer est donc telle que :
(
)
(
)
f
wEuPwu =−
max
0
, c’est donc l’inverse de la
notion de prix de vente !!! On aura donc p
v
= -P
max
et donc
(
)
Π+= XEP
max
où E(X) est l’espérance
de sinistre et Π la prime de risque.
Lorsqu’il court le risque de perdre 200 000€ avec proba 0.1, l’agent a comme espérance d’utilité :
(
)
(
)
(
)
(
)
a
f
uuwEu 2000009,001,02000009,0 =+=
De la même façon,
(
)
(
)
a
PPwu maxmax
0200000 −=−
Donc,
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
a
a
a
f
PPwEuPwu
/1maxmaxmax
0
9,012000002000009,0200000 −=⇔=−⇔=−
Ainsi pour a=0,2 : P
max
=200 000 (1 – 0,9
5
) = 81902.. La relation entre la prime de risque et la prime
maximale est
(
)
Π+= XEP
max
, donc comme
(
)
20000200000*1,0
=
=
XE
,

2
Π = 81 902 –20 000 = 61 902. La prime de risque de l’agent est alors positive, il est donc averse au risque.
Ainsi pour a=1/2 : P
max
=200 000 (1 – 0,9
2
) = 38 000. Donc Π = 38 000 –20 000 = 18 000.
La prime de risque de l’agent est positive, il est donc averse au risque.
RMQ : le coefficient d’aversion pour le risque est Aa(w)=(1-a)w
-1
, pour a = 0.2 il vaut 0.8w
-1
et pour a = 0.5
il vaut 0.5w
-1
. Plus a est faible, plus il est averse au risque.
Ainsi pour a=1 : P
max
=200 000 (1 – 0,9
1
) = 20 000. Donc, Π = 20 000 –20 000 = 0. La prime de risque de
l’agent est alors nulle, il est donc neutre au risque.
Question 2 : Si la compagnie d’assurance ne prélève aucun frais de gestion, quel seront le taux de
couverture choisi par notre agent et le montant de sa prime d’assurance pour a=0.5 ?
pour a = 0.2 ?
Lorsque le taux de chargement est nul, quel que soit son degré d’aversion au risque, un agent averse au
risque choisira toujours de s’assurer complètement ! Donc
000200%,100
=
=
I
α
en cas de perte, 0
sinon et
(
)
00020000200%10001
=
+
=
P
Question 3 : Mêmes questions si à présent le facteur de chargement λ
λ λ
λ =
==
= 50%.
Dans ce cas là la richesse finale dans les différents états de la nature s’écrit :
Si pas de perte (avec proba 0,9) :
(
)
α
α
00030000200000205,1000200000200
−
=
×
×
−
=
−
=
Pw
f
Si perte (avec proba 0,1) :
(
)
α
α
α
000170200000000205,1000200000200000200
=
+
×
×
−
−
=
+
−
−
=
IPLw
f
Donc son espérance d’utilité s’écrit :
(
)
(
)
(
)
aa
f
wEU αα 0001701,0000300002009,0 +−=
qui est maximum pour α tel que :
(
)
( ) ( ) ( ) ( ) 00001700001701,000030000200000309,0
11
=+−−=
−− aa
f
aa
d
wdEU
αα
α
(
)
( ) ( )
11
000300002002700000017017000:
−−
−=
aa
f
d
wdEU
αα
α
On peut simplifier des deux côtés :
(
)
( ) ( )
11
000300002002700017017:
−−
−=
aa
f
d
wdEU
αα
α
.
Les valeurs du contrat d’assurance vont varier en fonction de l’aversion pour le risque de l’agent . On
montre que l’agent choisira de ne s’assurer que partiellement, et plus son aversion/risque est importante,
plus il choisira une couverture élevée (mais tjs <1 puisqu'il n'est jamais optimal pour lui de s'assurer
totalement).
Pour a=0.2, la CN1 s'écrit: 170 000 〈
= 112
172,51 - 16 825,87 α, ce qui nous donne alors
α*=0.6004
Pour a=0.5, la CN1 s'écrit: 170 000α = 79286,69 –
11893a, ce qui nous donne alors α*=0.4359
On a donc α*=60,04% , P*=
18 012
€
et I*= 120 080€
On a donc α*=43,59% et P*= 24 565,71
€
et I*= 87 179,50€
Question 4 : Supposons à présent que l’individu possède en plus de son studio un place
ment monétaire de 100 000€. Cela modifie-t-il les résultats obtenus aux ques
tions précédentes ? Commentez .
Il s'agit de regarder comment se modifie la décision d'assurance lorsque la richesse initiale de l'individu
s'accroît. Il apparaît alors que notre agent, devenu plus riche, optera pour un contrat d'assurance lui offrant
une couverture moins importante (ce qui est en général observé dès lors que les préférences d'un tel agent

3
sont DARA).
a=0.2 a=0.5 a=1
P= 28444 P= 24823 P= 20000
Π= 8444 Π= 4823 Π= 0
a=0.5 a=0.2
α=0.10407 et P=3122. 1 et I=20814. α=0.36536 et P= 10961 et I=73072
Exercice 2
Un armateur, dont la fonction d’utilité est
(
)
(
)
wwu ln=
possède une flottille évaluée à 100 000 000 €,
souhaite assurer un navire évalué à 5 000 000 € . La probabilité pour que son navire soit détruit est de 1%.
Une compagnie d'assurance lui propose de l'assurer contre ce risque de sinistre.
Question 1 : Comment l'assureur détermine-t-il la prime actuarielle correspondant à une couverture
totale du risque ? Quel sera ici son montant ?
Pour une assurance totale, l'assureur versera une indemnité I = L et percevra une prime P qui doit lui
permettre au moins de couvrir l'indemnité espérée. Le profit réalisé par l'assureur sur la couverture du
sinistre est ainsi égal à P – pL. La prime qui lui permet tout juste de couvrir l'indemnité espérée vaut donc P
= pL, c'est la prime actuarielle telle que son profit est nul. Cette prime représente donc le « juste » prix du
risque. Elle vaut ici 50 000.
Question 2 : Quelle est la prime maximale de pleine assurance que l’armateur serait prêt à payer
pour se garantir totalement contre la perte de son navire ?
Si l'armateur n'assure pas son risque, alors son espérance d'utilité sera
(
)
(
)
420,1800000095%1000000100%99)(
0
=
+
=
uwuwEu
f
Si l'armateur achète à un prix P une
assurance totale, sa richesse finale sera la même quel que soit l’état de la nature qui se réalisera :
PPwW
f
−=−= 000000100
~
0
. Il serait prêt à payer un prix P
max
pour être totalement couvert, tel que
son utilité avec cette assurance soit au moins égale à celle qu’il aurait sans, soit u(100 000 000 – P
max
) =
18,420. Il nous faut donc résoudre ln(100 000 000 – P
max
) = 18,420, soit 1 ce qui nous donne P
max
=
68 051,23€.
Question 3 : En déduire le montant de la prime de risque de l’armateur pour la perte de son navire.
Commentez la relation entre la prime d'assurance maximale et cette prime de risque, et en déduire le
taux de chargement maximal que la compagnie pourrait fixer pour cet armateur.
La prime maximale qu'est prêt à payer l'armateur est égale à la prime actuarielle + la prime de risque:
P
max
= P
a
+ P: cela signifie que l'armateur est prêt à payer au-delà du juste prix du risque pour bénéficier
d'une couverture complète. Ce supplément correspond précisément à la prime de risque. Dans notre cas, la
prime de risque est ainsi égale à 68 051,23 – 50 000 = P = 18 051,23 €.
Cela signifie que l'assureur pourrait au maximum appliquer un taux de chargement 50 000 λ = 18 051,23,
soit λ = 36,10% !
La compagnie d’assurance propose à l’armateur un contrat de co-assurance avec un taux de chargement
de 2%.
Question 4 : Déterminez, en expliquant votre démarche, le contrat d'assurance optimal qui sera
choisi par l'armateur. Quel sera alors avec ce contrat son espérance d'utilité ? L'armateur a-t-il
choisi un taux de couverture de 100% ? Pourquoi ?
Dès lors que la prime d'assurance est chargée, l'armateur ne choisira jamais un contrat de pleine

4
assurance. Celui qui maximise son utilité est celui qui maximise son espérance d'utilité. Un contrat
d'assurance sera caractérisé par une indemnité proportionnelle au sinistre I = 5 000 000 α en cas de
sinistre et une prime chargée
(
)
(
)
LEP αλ += 1
soit :
(
)
αα 000510005002,1 ==P
.
Si pas de perte (avec proba 0,99) :
α 000510000001 −=
f
w
Si perte (avec proba 0,01) :
α 000949400000095 +=
f
w
Donc son espérance d’utilité s’écrit :
(
)
(
)
(
)
αα 000949400000095%100051000000100ln%99 ++−=
f
wEU
qui est maximum pour α tel que :
(
)
(
)
0
000949400000095 )0009494%(1 00051000000100 00051%99 = +
+
−
−
=
ααα d
wdEU
f
En simplifiant, on obtient
donc :
(
)
( ) ( )
45,152115,275
24,254949875,24955,4796
51,010049,49949,49549,50
949400095 )9494%(1 51000100 51%99
=⇔ −=+⇔
−=+⇔
+
=
−
ααα
αα
αα
Et donc notre armateur choisira une taux de couverture optimal :
%41,55*
=
α
L'armateur ne s'est donc pas assuré à 100%, mais a opté pour un contrat d'assurance l'indemnisant à
hauteur de I* = 2 770 660 € pour une prime d'assurance de P * = 28 260,73 €.
Avec un tel contrat, son espérance d'utilité vaut alors ..., ce qui plus que ce qu'il aurait pu avoir en ne
s'assurant pas.
2- APPLICATIONS CHOIX DE PORTEFEUILLE
Exercice 1
Vous êtes le manager d’un fonds d’investissement. Ce fond a une espérance de rentabilité de 17% et un
écart type de 27%. Il est également possible pour un investisseur de placer son argent dans des obligations
du Trésor et de réaliser ainsi un placement au taux sans risque de 7%.
Question 1- L’un de vos clients est une compagnie d’assurance. Cette compagnie vous a confié un
portefeuille de 1milliard d’€. En moyenne la compagnie doit faire face à des versements nets pour
un montant annuel de 100 millions d’€. Comment devriez vous répartir les actifs dans le fond et
dans l’actif sans risque pour faire face en moyenne aux besoins en cash de votre client ?
Il faut que le placement de ce client ait un rendement de 100 pour 1 000, soit 10% ( aléatoire donc en espérance) .
L’espérance d’un pf P composé en proportion α d’actif risqué et en proportion (1- α ) d’actif sans risque est :
E(P)= α 17%+(1- α )7% = 0,1 α +0,07 sera de 10% si α = 30%. Il faut donc lui proposer un pf composé à 30% d’actif
risqué et 70% d’actif sans risque.
Question 1- Un autre de vos clients est une caisse de pension. Les statuts de la caisse limitent cette
dernière dans son exposition au risque. Au maximum elle peut avoir une exposition au risque de
20%. A quelle espérance de rentabilité ce client peut-il s’attendre ?
Ce client là accepte au maximum un risque de 20 %. L’écart-type d’un pf P vaut σ
P
= α σ
x
= 27% α qui doit
donc être égal à 20%, soit α = 0.74074 . le manager peut donc lui proposer un pf composé à 74,07% d’actif
risqué et 35,93% d’actif sans risque, qui lui rapportera un rendement moyen de E(P)= 14,41 %
Question 3- Puis il y a Gaston, un autre client qui maximise son utilité. Celle-ci est donnée par U(x)=
E(x) – 0,5 k σ
σσ
σ
2
22
2
où k = 3,5. Que représente le paramètre k ? Quelle proportion α
αα
α de sa richesse devrait
il investir dans votre fonds ? Expliquez bien les étapes de votre raisonnement, vos calculs et le
résultat obtenu.
k représente l’aversion pour le risque de l’individu.

5
 S’il investit une part α de sa richesse initiale dans l’actif risqué et le reste dans l’actif sans risque, il
aura comme richesse finale :
(
)
0
07110 w. +.wE
f
α =
et comme variance :
(
)
2222
07290 %)27()( α.rVarw
Bf
=== αασ
L’agent a une fonction d’utilité de type Markowitz, d onc, l’utilité de la richesse finale de l’agent est :
(
)
²k.-w. +.wu αα 07290007110=
Le maximum est atteint pour
k
k.-w. +.
d
du 0.68587
soit 00729007110
0
=== ααα
α
(c’est plus intelligent
de ne pas fixer k puisqu’il va changer à la question 6). Mais pour le moment, k = 3,5 et donc α
αα
α = 0.19596
(19,60%)
Question 4- Pourquoi le portefeuille optimal de Gaston ne dépend-t-il pas de son niveau de
richesse initial ?
Car la richesse initiale n’est pas aléatoire et n’influe pas directement (si l’on raisonne en part de la richesse
investie) sur la variance du portefeuille. Son utilité espérée est donc définie à une constante (w
0
) près : le montant
investi sera donc identique .
Question 5- Comment se modifie le choix optimal de Gaston si à présent on suppose que k = 4,5 ?
Commentez.
Pour k=4.5 on a α = 0.15242 soit 15,24%
Son aversion pour le risque augmente, il diminue donc la part qu'il va investir dans l'actif risqué!
Question 6- On suppose maintenant que votre fonds est composé de trois actifs élémentaires dont
les parts relatives (proportions) sont : action A: 27% , action B: 33%, action C: 40%. Considérez
encore l’investisseur de la question 3, Gaston. Quelles sont les proportions en A, B et C dans son
portefeuille ? Si sa richesse est de 2 000 € quelle somme aura-t-il placé dans A, B, C et dans l’actif
sans risque ?
Exercice 2
Un investisseur est caractérisé par une fonction d’utilité de type Markovitz. Il désire investir son argent dans
des actifs risqués, et s’intéresse plus particulièrement aux deux actifs A et B dont les caractéristiques sont
les suivantes :
Espérance de Rendement Variance
Actif A 7% 22,00%
Actif B 10% 30,00%
De plus la corrélation entre les actifs risqués est notée ρ .
Question 1- Est-il possible de construire un portefeuille composé de ces deux actifs risqués dont le
rendement soit supérieur à 10% ? Justifiez votre réponse.
Question 2- Pour les 3 cas de figure suivants : ρ = 1, ρ = 0 , ρ = −0.5 et ρ = -1, quel est le portefeuille le
moins risqué que l’on puisse composer à partir de ces deux actifs ? Quelle est alors la variance de ce
portefeuille et son espérance de rendement ?
Question 3- Représentez graphiquement l’ensemble des portefeuilles possibles correspondant aux 4 cas
(approximativement) et commentez.
Question 4- Supposons à présent qu’il existe un actif sans risque et limitons-nous dans tout ce qui va suivre
au cas où seul l’actif risqué B est retenu pour constituer un portefeuille avec l’actif sans risque. Le
rendement de l’actif sans risque est i = 5%. Quels seront les portefeuilles ( notés P
1
et P
2
) choisis par deux
investisseurs dont les fonctions d’utilité sont respectivement :
)(5,0)(
2
1PP
rrEU σ −=
et
)()(
2
2PP
rrEU σ −=
? Proposez une représentation graphique détaillée permettant d’illustrer le choix
optimal de chacun des ces investisseurs.
Correction :