1 Droite des milieux d`un triangle. Propriétés : Dans
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Droite des milieux d’un triangle. Propriétés : Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté. Dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du troisième côté. Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté parallèlement à un second côté alors elle coupe le troisième côté en son milieu. Les médiatrices Définition : La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. Propriétés :Si un point appartient à la médiatrice d’un segment alors il est équidistant des extrémités de ce segment. Si un point est équidistant des extrémités d’un segment alors il appartient à la médiatrice de ce segment. Les médiatrices des côtés d’un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle circonscrit au triangle. Les hauteurs Définition : Dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé. Propriété : Les hauteurs d’un triangle sont concourantes. Les médianes Définition : Dans un triangle, une médiane est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé. Propriété : Les médianes d’un triangle sont concourantes en un point qui est le centre de gravité du triangle. Il se trouve aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet. Les bissectrices. Définition : La bissectrice d’un angle est la droite qui partage cet angle en deux angles égaux. Propriétés : • Si un point est sur la bissectrice d’un angle, alors il est équidistant des deux côtés de cet angle. • Si un point est équidistant des deux côtés d’un angle, alors il est sur la bissectrice de cet angle. • Les bissectrices d’un triangle sont concourantes. Ce point de concours est le centre du cercle inscrit dans le triangle. Triangles particuliers Propriété : Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal, la bissectrice de l’angle au sommet, la médiane issue du sommet principal et la médiatrice de la base sont confondues. Propriété : Dans un triangle équilatéral, les hauteurs, les bissectrices, les médianes et les médiatrices sont confondues. Triangle rectangle et cercle. Propriété : Si un triangle est rectangle alors son cercle circonscrit a pour diamètre son hypoténuse. Propriété réciproque : Si on joint un point d’un cercle aux extrémités d’un diamètre alors le triangle formé est rectangle en ce point. 1 Tangente à un cercle. Définition : Soient (C ) un cercle et A un point de ce cercle. On appelle tangente au cercle (C ) en A l’unique droite n’admettant que A comme point d’intersection avec ce cercle. Propriétés : Soit (C ) un cercle de centre O et A un point de ce cercle. • Si une droite (d) est tangente au cercle (C ) en A, alors les droites (d) et (OA) sont perpendiculaires. • Si une droite passant par A est perpendiculaire à la droite (OA), alors c’est la tangente au cercle (C ) en A. Définition de la symétrie axiale : A’ est le symétrique de A par rapport à O signifie que le point O est le milieu du segment [AA’]. Définition de la symétrie centrale : A’ est le symétrique de A par rapport à la droite d signifie que d est la médiatrice du segment [AA’]. Vocabulaire sur les angles. • Angles adjacents. : Des angles qui ont le même sommet, un côté commun et qui sont de part et d'autre de ce côté. • • Deux angles sont complémentaires si leur somme est égale à 90°. Deux angles sont supplémentaires si leur somme est égale à 180°. • a sont des angles alternes-internes. Angles alternes-internes : a xAB et ABy’ • a sont des angles correspondants. Angles correspondants : a t’Ax’ et ABy’ • Angles opposés par le sommet : a xAB et a t’Ax’ sont des angles opposés par le sommet. Propriétés sur les angles • Des angles opposés par le sommet sont égaux. 2 • • • • Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante alors ces droites forment des angles alternes-internes égaux. Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante alors ces droites forment des angles correspondants égaux. Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes égaux alors ces deux droites sont parallèles Si deux droites coupées par une sécante forment des angles correspondants égaux alors ces deux droites sont parallèles. Définition du parallélogramme. Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles Conditions pour qu’un quadrilatère soit un parallélogramme. Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles alors c’est un parallélogramme. Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors ..... Si un quadrilatère a ses côtés opposés de même longueur alors ....... Si un quadrilatère a ses angles opposés égaux alors ...... Si un quadrilatère non croisé a deux côtés parallèles et de même longueur alors ...... Définition du losange. Un losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur. Conditions pour qu’un quadrilatère soit un losange. Si un quadrilatère a quatre côtés de même longueur alors c’est un losange. Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur alors c’est un losange. Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires alors c’est un losange. Définition du rectangle. Un rectangle est un quadrilatère qui a ses quatre angles droits. Remarque : C’est un parallélogramme (les angles opposés ont même mesure). Conditions pour qu’un quadrilatère soit un rectangle. Si un quadrilatère a trois angles droits alors c’est un rectangle. Si un parallélogramme a un angle droit alors c’est un rectangle. Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur alors c’est un rectangle. Définition du carré. Un carré est à la fois un rectangle et un losange. Conditions pour qu’un quadrilatère soit un carré. Si un rectangle a deux côtés consécutifs de même longueur alors c’est un carré. Si un rectangle a des diagonales perpendiculaires alors c’est un carré. Si un losange a un angle droit alors c’est un carré. Si un losange a des diagonales de même longueur alors c’est un carré. 3
