2. Sous-groupes distingués, quotients

Licence L3 – Algèbre II Printemps 2013
2. Sous-groupes distingués, quotients
Rappel : Sous-groupe distingué
On dit qu’un sous-groupe H⊂Gest distingué (ou normal) si pour tout x∈Gon a xH =Hx.
Exercice 1.1. Montrer que le sous-groupe H={id,(12)} ⊂ S3n’est pas distingué, et expliciter les classes
à droite et à gauche modulo H.
2. Trouver tous les sous-groupes distingués du groupe symétrique S3.
Exercice 2.On considère le sous-groupe Hde S5engendré par (12)et (13).
1. Le sous-groupe Hest-il distingué dans S5?
2. Déterminer le nombre de classes à droite modulo H.
Exercice 3.Montrer que tous les sous-groupes du groupe quaternionique H8sont normaux dans H8.
Exercice 4.Montrer qu’un sous-groupe H⊂Gd’indice 2 est toujours distingué.
Exercice 5.Montrer que le groupe des automorphismes du groupe Z/2Z×Z/2Zest isomorphe au groupe
symétrique S3.
Rappel : Quotient
Si Hest un sous-groupe distingué de G, l’ensemble des classes (à droite ou à gauche) de Gmodulo
Hforme un groupe G/Happelé groupe quotient de Gpar H.
Exercice 6.Soit Het Kdeux sous-groupes finis d’un groupe G. Montrer que
card(HK) = card(KH) = |H||K|
|H∩K|.
Exercice 7.Soit Hun sous-groupe normal de A5.
1. Montrer que si Hcontient un 3-cycle alors H=A5.
2. Montrer que si Hcontient σproduit de deux transpositions à supports disjoints, alors il existe un 3-cycle
γ∈A5tel que γσγ−1σ−1soit un 3-cycle.
3. En s’inspirant de la question précédente, montrer que Hcontient toujours un 3-cycle.
4. Montrer que A5est un groupe simple.
Exercice 8.1. Donner un exemple de groupe contenant au moins deux sous-groupes d’indice 2.
2. Soit Hun sous-groupe d’indice 2 de Sn. Montrer que pour tout σ∈Sn,σ2∈H. En déduire que H
contient l’ensemble des 3-cycles et donc que H=An.
3. Pour un groupe G, on pose D(G)le sous groupe de Gengendré par les commutateurs {σ−1τ−1στ,∀σ,τ∈
G}. Montrer que pour n≥5, D(An) = D(Sn) = An.
4. Déterminer tous les sous-groupes distingués de S3,S4,A3et A4.

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Exercice 9.Soit Gun groupe et Hun sous-groupe. Le normalisateur de Hdans Gest défini par :
NG(H) = {g∈Gtel que gHg−1=H}.
1. Quel est le normalisateur d’un sous-groupe distingué ? Est-ce une caractérisation des sous-groupes
distingués ?
2. Vérifier que Hest distingué dans son normalisateur.
3. Dans le groupe S4, trouver le normalisateur du sous-groupe à 2 éléments h(12)(34)i.
4. Montrer que NG(H)est le plus grand sous-groupe de Gdans lequel Hest normal.
Rappel : Passage au quotient
Si f:G→G′est un morphisme de groupe, il existe un unique morphisme injectif ¯ f:G/Ker(ϕ)→
G′tel que f(x) = ¯ f(xKer(ϕ)).
Exercice 10.1. Soit Hle sous-ensemble de (Z/3Z)[X]constitué des polynômes P(X)vérifiant P(¯ 1) =
P(¯ 2) = 0. Montrer que Hest un sous-groupe (additif) et donner le nombre d’éléments dans le quotient
(Z/3Z)[X]/H.
2. On note (X2+1)le sous-groupe de R[X]constitué des polynômes de la forme (X2+1)Q(X). Montrer
qu’il existe un isomorphisme naturel entre R[X]/(X2+1)et C.
Exercice 11.On se donne Net Hdeux groupes, ϕ:H→Aut(N)un morphisme de groupe et on définit sur
N×Hla loi de composition suivante :
(n,h)(n′,h′) = (nϕ(h)(n′),hh′)
a) Montrer que cela muni N×Hd’une structure de groupe, on note N⋊ϕHle groupe ainsi obtenu, et on
l’appelle produit semi-direct de Het N.
b) Montrer que Het Ns’injectent dans N⋊ϕHet que Hn’est pas distingué lorsque ϕ6=Id.
c) Si Het Ksont des sous-groupes de Gsous quelles conditions peut-on écrire G=HK ∼
=H⋉K?
d) Montrer que Sn=An⋊ Z/2Z.
Exercice 12.a) Soit Gun groupe et Hun sous-groupe distingué de G. On note φla surjection canonique
φ:G→G/H. Montrer que l’ordre d’un élément xde Gest un multiple de l’ordre de φ(x).
b) Pour tout x∈Gon pose τxl’application de Gdans Gdéfinie par τx(y) = xyx−1. Montrer que τxest un
automorphisme de Get que l’application x→τxest un morphisme de groupes de Gdans Aut(G). Quel est le
noyau de ce morphisme ?
c) On suppose que Gest fini et que Hest un sous-groupe distingué dont l’ordre est le plus petit nombre
premier pdivisant l’ordre de G. Montrer que pour tout x∈Gl’ordre de la restriction à Hde τxest un diviseur
de p−1 et de l’ordre de G. En déduire que τxrestreint à Hest l’identité pour tout xet donc que Hest contenu
dans le centre de G.