Formation des PLC2 de mathématiques Année 2008-2009

Formation des PLC2 de mathématiques
Année 2008-2009
Séminaire de didactique des mathématiques
Î Séance 6 : jeudi 12 mars 2009
[PLC2Maths0809_Seminaire6]
0. Le bulletin officiel .................................................................................................................. 1 1. Questions de la semaine ......................................................................................................... 1 2. Forum des questions ............................................................................................................... 6 3. Exposés................................................................................................................................. 20 4. Le travail d’étude et de recherche (TER) : l’évaluation....................................................... 20 L Ce jeudi après-midi, le GSF de Roland Pouget aura lieu sur le site de Rangueil (salle 8), à
partir de 14 h 15.
L En raison des mouvements sociaux, les cours prévus le jeudi 19 mars sont annulés. La
journée du jeudi 26 mars est réorganisée comme suit en quatre séances d’une heure et demie.
Groupe A
Groupe B
Groupe C
9 h – 10 h 30
Outils didactiques 4
Enseigner la statistique 3
TICE 2
10 h 45 – 12 h 15
TICE 2
Outils didactiques 4
Enseigner la statistique 3
13 h 45 – 15 h 15
Enseigner la statistique 3
TICE 2
Outils didactiques 4
15 h 30 − 17 h
GDM
0. Le bulletin officiel
• Abonnement au Bulletin officiel
http://www.education.gouv.fr/cid2560/abonnement.html.
• Bulletin officiel n° 9 du 26 février 2009
Enseignements élémentaire et secondaire / Vie scolaire / Fournitures scolaires.
http://www.education.gouv.fr/cid23891/mene0900080c.html.
1. Questions de la semaine
1.1. La question de la semaine
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1
Noter la question sur une feuille de format A5, orientation paysage. Indiquer en haut de la
page la semaine, la date, ses prénom et nom ainsi que ses classes en responsabilité et les
initiales de son formateur référent. Merci !
Semaine 23
Jeudi 12 mars 2009
Aurore Dupin (2de et TPE 1re S, GC)
a) Lors du ramassage puis de la correction du dernier DM donné à mes élèves, l’un
d’eux était absent. À son retour, je lui ai demandé de me rendre son DM comprenant les
exercices initialement demandés augmenté d’un exercice supplémentaire de même
difficulté. Mon but était de vérifier que les notions en jeu étaient comprises et de lui
permettre d’avoir une note comme ses camarades. L’élève a pris cela comme une
sanction malgré mes explications. Comment aurais-je pu / dû gérer cette situation ?
b) Dans la construction de mon cours en statistique, je vois qu’il est conseillé un
« résumé numérique par une ou plusieurs mesures de tendance centrale », dont la classe
modale. Et là, surprise ! Dans mon manuel (Transmath 2de), je vois une définition de
la classe modale alors que dans le Déclic 1re ES, la définition est différente. Par
exemple, soit le diagramme suivant :
a
bc de
Dans le Transmath 2de, la classe modale est [a, b], la classe de plus grande aire. Dans
le Déclic 1re ES, la classe modale est [d, e], la classe la plus haute. Qu’en est-il ? Je ne
souhaite pas introduire une notion erronée !
1.2. Les dernières questions de la semaine et quelques « réponses express »
Les questions repérées par un pique bleu (♠) seront abordées dans le forum express. Les
éléments de réponse seront quelquefois apportés uniquement oralement.
Les questions repérées par un trèfle rouge (♣) sont abordées dans le forum des questions.
Î Sur la validation des compétences du C2i2e
http://portfolio.toulouse.iufm.fr
Un document sera prochainement déposé sur le BV qui fournira quelques indications
concernant les dépôts restant à réaliser.
• Comment peut-on savoir quand doit-on valider des compétences pour le portfolio ? Je n’ai pas
compris ce que l’on attend de nous.
♠ Quelle est la date limite pour l’évaluation du C2i2e ?
La date limite, à partir de laquelle il sera impossible aux stagiaires de déposer des documents sur
le portfolio, est fixée au 9 mai 2009. Cela dit, afin de réguler aussi bien le travail des stagiaires
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2
que celui des formateurs, une date limite a été fixée pour chacune des compétences. Elles sont
indiquées dans la colonne de droite du tableau des « Productions attendues », situé en bas de la
page de la compétence C8.
• Quel type de document faut-il déposer dans le portfolio ?
• Pourrions-nous avoir une formation ou des indications sur la façon d’intégrer des documents
dans le portfolio et sur la nature des documents à fournir ?
♠ Les documents que nous déposons sur le portfolio peuvent-ils être des documents tirés de stage
réalisés pendant l’année de préparation IUFM au CAPES ?
Non. On n’acceptera pour valider les compétences du C2i2e que des documents réalisés lors de
cette année de stage.
♠ Pour la validation des compétences C31 et C41, je n’ai pas compris quel travail doit être déposé
sur le portfolio.
Pour les compétences (au sens du cahier des charges) autres que la compétence C8 (qui est
validée par le C2i2e), aucun travail ne doit être déposé sur le portfolio. Seul l’un des groupes de
suivi (celui qui est dirigé par Roland Pouget) utilise le portfolio pour l’évaluation desdites
compétences.
♠ Pour la validation du C2i2e, faut-il faire une séance TICE lors de la 2e visite ?
Il n’est pas obligatoire de réaliser une séance utilisant les TICE lors de la 2e visite. C’est par
contre tout à fait possible (et souhaitable) dans le cas où leur utilisation s’avère pertinente.
• Comment utiliser le portfolio ?
• Comment déposer un document à partir de l’ENT ? (Séquence d’enseignement, activités,
devoirs, DS, …)
♠ Est-ce le sujet de bac blanc de terminale ES préparé en équipe au sein du lycée peut être déposé
sur le portfolio pour valider une compétence ?
Il est tout à fait possible d’utiliser un tel document, par exemple pour valider la compétence B12 :
« Contribuer à une production ou à un projet collectif au sein d’équipes disciplinaires,
interdisciplinaires, transversales ou éducatives. » Il faut bien entendu présenter le travail effectué,
mais ce conseil est valable pour tous les documents déposés.
♠ Dans une des compétences du C2i2e à valider, il est demandé un rapport sur la participation à
un projet pluridisciplinaire dans l’établissement. Cela veut-il dire qu’on doit dès à présent faire
partie d’un projet pluridisciplinaire dans notre établissement ? Que se passe-t-il s’il n’y en a pas ?
Cette question fait référence à la compétence B13 : « Concevoir des situations de recherche
d’information dans le cadre des projets transversaux et interdisciplinaires. » Dans le cas où l’on
ne participe pas à un projet pluridisciplinaire dans l’établissement, il est possible d’utiliser des
documents correspondant à des situations de recherche d’information qui auront été proposées à
la classe, du moment que ces situations se réfèrent à plusieurs disciplines (mathématiques &
économie ; mathématiques & histoire ; mathématiques & géographie ; etc.) Il faut alors bien
décrire l’organisation mise en place.
♠ [Par courriel en date du 26/02/2009] Je souhaite déposer sur le portfolio le document visant à
valider la compétence B12. Mon souci est le suivant : dois-je mettre quelque chose en particulier
dans la case « activité du référentiel professionnel » ? Est-ce que cela correspond au descriptif de
l’une ou l’autre des compétences (par exemple C1, C2, C3, ou B1, B12, etc.) ?
Tous ces champs sont en liaison avec des renseignements qui permettront de retrouver les fichiers.
Pour renseigner ce champ, même si c’est redondant, on peut indiquer la ou les compétences visées
par le travail effectué.
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Î Sur le stage de pratique accompagnée
• Pour notre rapport de SPA, pouvons-nous le déposer non signé sur le BV et le renvoyer signé
hors délai (après le 23 février) ?
♠ Le rapport de SPA doit-il être rendu manuscrit ou par mail ?
♠ Faut-il donner le rapport de SPA sous forme papier ou par mail ?
Le rapport de SPA doit être rendu sur support papier et sous forme électronique :
− il faut rendre au secrétariat une version sur support papier, à raison d’un exemplaire par
stagiaire : cet exemplaire figurera dans le dossier de validation ;
− il faut aussi déposer une version électronique de ce rapport sur le BV (dossier SPA), à raison
d’un exemplaire par binôme ou trinôme.
• En ce qui concerne le rapport de stage de pratique accompagnée, peut-on le faire de façon
individuelle s’il est difficile de trouver des disponibilités communes aux deux stagiaires et qu’il est
donc difficile de le faire à 2 ?
♠ Je n’ai pas rempli le quota d’heures du SPA.
Merci de signaler les cas particuliers, si ce n’est pas déjà fait, au secrétariat.
♠ Au sujet du rapport de SPA rédigé par le tuteur, on lui demande de renseigner : 1) le nombre
d’heures (du professeur stagiaire) en intervention devant les élèves ; 2) le nombre d’heures
« d’entretien » stagiaires-tuteur. Ma question est : où sont comptabilisées les heures de présence en
classe en observation ? Car pour le moment, ma tutrice m’a compté 3 heures d’intervention et 7
heures d’entretien. Elle ne savait pas où stipuler les heures d’observation simple.
Il semble qu’effectivement rien n’ait été prévu dans le modèle de document pour indiquer le
nombre total d’heures de travail.
Î Sur les projets (GSF de Roland Pouget)
• Je me pose […] beaucoup de questions en ce qui concerne le projet que l’on traite sur le
handicap :
− Comment doit-on le présenter ?
− Quelle doit-être le nombre de pages approximatif du rapport ?
− Doit-on y joindre un cahier de bord (présentant toutes nos heures de travail) ?
− Peut-on aller voir des centres (par exemple l’institut des jeunes aveugles) ? Et pour ce faire, a-ton besoin d’un papier de l’IUFM ou est-ce que je peux juste prendre contact directement avec eux
pour voir leurs méthodes de travail ?
Î Sur le travail d’étude et de recherche (TER) menant à la rédaction du mémoire
• Pourrait-on avoir plus d’exemples concrets sur l’organisation mathématique d’une séance ?
• Nous aurions besoin d’indications sur la façon de présenter l’organisation didactique de notre
mémoire.
♠ Est-ce un défaut si, en analysant une activité, on s’aperçoit que le moment exploratoire survient
après une suite de questions élémentaires mais longues à traiter, repoussant ce moment en fin de
séance (ce qui laisse ensuite peu de place pour les autres moments) ?
S’il s’agit de l’analyse d’une activité dans le cadre du mémoire, ce n’est pas cela qu’on va
évaluer : il vaut évidemment mieux que la séance observée ne soit pas « catastrophique », mais ce
n’est pas cette séance qui va être évaluée. C’est le travail d’étude et de recherche que le trinôme
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va effectuer − c’est-à-dire l’observation, l’analyse, l’évaluation et le développement − qui sera
l’objet d’une évaluation par le jury de soutenance.
♠ Pour le mémoire, est-il demandé de rédiger un nombre de pages minimum ?
Des précisions seront apportées lors de la prochaine séance du séminaire.
♠ Je n’ai toujours pas compris ce qu’allait être le développement dans le mémoire.
Cette partie du travail d’étude et de recherche sera abordée très prochainement.
• Comment prendre en compte dans l’organisation mathématique des questions préliminaires ?
Exemple : construction de points pour la droite d’Euler.
Î Sur les organisations mathématiques
♣ En 6e, on aborde les angles sans parler d’orientation. Comment réagir si un élève nous demande
comment savoir si cet angle est l’angle rentrant ou saillant pour ABC ? (à part en dessinant
l’angle dont on parle).
A
B
C
♣ Quand peut-on faire des abus de notations ? « Carré de côté 5 cm ».
♣ Pour la démonstration du théorème de Pythagore, dans beaucoup de manuels on admet que
EFGH est un carré. Faut-il le démontrer ou est-il suffisant de l’admettre ?
c
c
c
c
• Lors de l’utilisation du théorème de Pythagore, faut-il raisonner avec des grandeurs (on se
retrouve alors avec AB2 = ...cm2 ) ou avec des mesures (on se retrouve alors avec AB = 3)?
• En ce qui concerne le théorème de Pythagore, faut-il faire intervenir les unités lors des calculs de
longueurs (pour la cohérence). Par exemple : « AB2 = 25 cm2 et donc AB = 25 cm2 = 5 cm. »
• Doit-on imposer les calculs avec les unités ? ou bien avec les mesures ?
• Comment introduire « les grandeurs et mesures » à des élèves qui n’ont pas fait de distinctions
entre ces notions l’année précédente ?
• Doit-on sanctionner les calculs effectués uniquement avec les mesures ? ou acceptons-nous les
deux formes de raisonnement ?
Les questions sur les grandeurs seront abordées ultérieurement.
Î Sur les organisations didactiques
• Est-on obligé de démontrer « la quatrième proportionnelle » en 5e ou peut-on la montrer
uniquement sur un exemple ?
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♠ Lors de la correction des exercices, les élèves sont de moins en moins attentifs, j’aimerais
changer la façon dont je procède : je pensais noter les élèves mais je ne sais pas de quelle façon.
• Comment préparer une séance TICE ?
Î Sur des problèmes divers
• Quelle appréciation donner à un élève qui a 0,5/20 sans le décourager ?
♠ Je suis au lycée de Castres qui est le seul lycée de l’académie toujours bloqué (5 semaines de
blocus). Je m’en fais pour ma progression. Quels dispositifs puis-je mettre en place pour pouvoir
terminer le programme ?
♠ Orientation en 2de. Quel niveau en math dois-je exiger d’un élève pour l’autoriser à passer de 2de
à 1re (L ou STG par exemple) ? Quel niveau pour ES ? (Sachant qu’à partir de 10 de moyenne,
j’accepte le passage en 1re S.)
♠ Les élèves de mes deux classes, dans la majorité, ont un cahier très mal tenu, malgré ma
vigilance continue en séance. Je pense faire venir (en retenue) les élèves concernés pour qu’ils
recopient ENTIÈREMENT leur cahier (→ achat d’un nouveau cahier), à l’aide d’un cahier
modèle. Qu’en pensez-vous ? Autres propositions possibles ?
Î Autres questions
• À quelle date exactement saurons-nous si nous sommes validés ? À quelle date connaîtrons-nous
le lieu (ville, établissement) de notre futur poste ?
• À quelle date serons-nous remboursés des frais de déplacement ?
2. Forum des questions
Des abus de notation ?
Quand peut-on faire des abus de notations ? « Carré de côté 5 cm ».
Matériaux pour une réponse
• Considérons tout d’abord le mot « droite » et faisons un retour en arrière, du temps où l’on
faisait de ce mot un usage utilement polysémique. Voici par exemple comme un Traité de
géométrie élémentaire publié en 1885 formule des théorèmes encore classiques en 4e :
… la droite qui joint les milieux de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté et
égale à sa moitié.
…
Corollaire. – Si dans un trapèze on mène une parallèle aux bases par le milieu d’un de ses côtés
non parallèles, cette droite est égale à la demi-somme des bases.
Cette pratique traditionnelle a été critiquée – en particulier à l’occasion de la réforme « des
mathématiques modernes », autour de 1970 – au nom de la « rigueur ». De là qu’on se soit
mis à vouloir faire en toutes circonstances un emploi distinct de termes distincts, quel que soit
le contexte d’emploi, et qu’on ait cherché de manière systématique à « épurer » sévèrement le
langage en usage en distinguant par exemple le segment [AB] et la droite (AB) « support » du
segment [AB], etc.
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6
• On peut faire des remarques analogues concernant le mot « côté ». Considérons par exemple
cet extrait d’un ouvrage intitulé Traité de géométrie élémentaire (Eugène Rouché & Charles
Jules Félix de Comberousse, Gauthier-Villars, 1868, p. 14) 1 .
Si deux triangles OBC, ABC, qui ont un côté commun BC, sont compris l’un dans l’autre, la
somme des deux côtés OB et OC du triangle enveloppé est moindre que la somme des deux
côtés AB et AC du triangle enveloppant.
On reproduit ci-après l’original, avec la figure.
Dans l’énoncé de ce théorème, la première occurrence de côté (« Si deux triangles OBC,
ABC, qui ont un côté commun BC… ») désigne un segment, alors que les deux autres (« la
somme des deux côtés OB et OC du triangle enveloppé » et « la somme des deux côtés AB et
AC du triangle enveloppant ») désignent des longueurs.
• On retrouve constamment les anciennes pratiques polysémiques dès lors que l’on parle de
côté, de médianes, de hauteurs, de bissectrices, etc. Il est en effet économique (et traditionnel)
d’employer le même mot pour désigner des entités étroitement apparentées – par exemple la
droite hauteur, le segment hauteur, la longueur hauteur –, dès lors que le contexte d’emploi
permet de les distinguer. Bien entendu, ce langage peut comporter des ambiguïtés. Mais on
cherchera à gérer celles-ci de manière spécifique dans chaque type de cas plutôt qu’à s’en
prémunir « une fois pour toutes ». On conclura avec un extrait de l’ouvrage déjà cité (pp. 7374), qui propose deux énoncés pour un même théorème, en explicitant le pourquoi et le
comment de la deuxième formulation adoptée.
1. Cet ouvrage a été numérisé par Google ; il est disponible à l’adresse suivante :
http://books.google.com/books?id=ykM4AAAAMAAJ&hl=fr.
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Angle rentrant ou angle saillant ?
En 6e, on aborde les angles sans parler d’orientation. Comment réagir si un élève nous
demande comment savoir si cet angle est l’angle rentrant ou saillant pour ABC ? (à part en
dessinant l’angle dont on parle).
A
B
C
Matériaux pour une réponse
Notons tout d’abord que la question posée aborde simultanément, nous semble-t-il, le
problème de l’orientation du plan et celui des angles rentrants et saillants. Pour ce deuxième
problème, il s’agirait de savoir comment indiquer s’il s’agit d’un angle rentrant ou d’un angle
saillant sans avoir recours à une figure.
Examinons tout d’abord la question des angles (rentrants et saillants) et, tout d’abord, ce
qu’en dit le programme de la classe de 6e. Dans la partie consacrée au domaine de la
géométrie, on trouve 13 occurrences pour les mots « angle » et « angles ». On les reproduit ciaprès, dans leur contexte.
• Dans la section « 3.1. Figures planes *médiatrice, *bissectrice », l’une des trois capacités
mentionnées est la suivante : « *Reproduire un angle ». La colonne « Exemples d'activités,
commentaires » indique alors pour les trois capacités mentionnées (qui sont alors nommées
compétences) :
Ces compétences sont à développer en priorité sur papier uni, en utilisant les instruments usuels
(règle, équerre et compas). Elles prennent leur sens lorsqu’elles sont mobilisées pour résoudre
un problème : reproduire une figure, *en compléter un agrandissement ou une réduction déjà
amorcée, construire une figure d’après une de ses descriptions. Les méthodes doivent varier en
fonction de l’espace dans lequel est posé le problème et des instruments laissés à la disposition
des élèves :
− […]
− *pour la reproduction d’un angle : usage d’un gabarit ou du rapporteur ;
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La colonne « Commentaires spécifiques pour le socle » précise ensuite que « l’usage du
rapporteur est travaillé en classe de 6e mais [que] sa maîtrise ainsi que celle des différentes
techniques de comparaison, de report ou de mesure d’angles n’est pas un exigible en fin de 6e
pour le socle ».
On notera que, toujours dans cette même section mais dans la partie « Notions de parallèle,
perpendiculaire », la colonne « Capacités » apporte ensuite les précisions suivantes :
*Le rapporteur est, pour les élèves de 6e, un nouvel instrument de mesure dont l’utilisation doit
faire l’objet d’un apprentissage spécifique.
À l’école primaire, les élèves ont utilisé le fait que l’écartement entre deux droites parallèles est
constant. En Sixième, deux droites parallèles sont définies comme deux droites non séantes et
caractérisées par le fait que si l’une est perpendiculaire à une troisième droite, l’autre l’est
également. Deux droites perpendiculaires sont définies comme deux droites sécantes
déterminant quatre angles égaux (qui sont des angles droits).
On trouve ensuite une sous-section consacrée aux « propriétés des quadrilatères usuels ». Il
s’agit ici, pour les capacités, de…
− Connaître les propriétés relatives aux côtés, aux angles, *aux diagonales pour le rectangle et
le carré.
− Connaître les propriétés relatives aux côtés, aux angles, aux diagonales pour les
quadrilatères suivants :
− *losange,
− cerf-volant.
Les commentaires précisent alors que « certaines des propriétés évoquées ont déjà été étudiées
à l’école primaire (notamment celles relatives aux côtés, à la présence d’angles droits ou à
celle d’axes de symétrie), *d’autres sont nouvelles (notamment celles relatives aux angles
autres que les angles droits et celles relatives aux diagonales) », avec une mention spécifique
pour le socle : « Les propriétés relatives aux angles autres que les angles droits sont exigibles en
5e. »
La dernière occurrence dans le programme de 6e apparaît dans la sous-section « Propriétés des
triangles usuels », la colonne « Capacités » indiquant qu’il s’agit de « connaître les propriétés
relatives aux côtés et aux *angles des triangles suivants : triangle isocèle, triangle équilatéral,
triangle rectangle ».
• On peut tout d’abord noter que l’on doit lire ces passages en ayant présent à l’esprit que l’on
y fait du mot « angle » un usage particulièrement (et utilement) polysémique. Quand on lit par
exemple qu’il faut savoir « reproduire un angle », il est clair qu’il ne s’agit pas d’une
grandeur : de même qu’on ne reproduit pas « 3 cm », mais un « segment de [longueur]
3 cm », on ne reproduit pas « 36° », mais un « angle de 36° », angle étant pris ici dans un sens
qu’il va falloir préciser. Par contre, quand le programme signale que « deux droites
perpendiculaires sont définies comme deux droites sécantes déterminant quatre angles
égaux », il s’agit d’égalités entre grandeurs, même si ces grandeurs sont attachées à des
parties du plan qu’on appellera aussi des angles.
Quelles sont ces parties du plan qu’on appelle angles ? Sans que ce soit la seule possibilité (on
reviendra sur ce point ultérieurement), on peut considérer que ce sont les parties du plan qui
sont « délimitées » par deux demi-droites de même origine, que l’on notera ici [OA) et [OB).
Mais, dans ce cas, on doit alors distinguer deux types d’angles (au sens de secteur angulaire).
Sans approfondir ces questions ici, notons qu’on peut définir les secteurs angulaires saillants
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et les secteurs angulaires rentrants de la façon suivante (on se placera dans le cas où les points
O, A et B ne sont pas alignés) :
− le secteur angulaire saillant délimité par les demi-droites [OA) et [OB) est l’intersection de
B
A
, demi-plan fermé de frontière (OA) qui contient B, et de Π (OB)
, demi-plan fermé de
Π (OA)
frontière (OB) qui contient A ;
− le secteur angulaire rentrant délimité par les demi-droites [OA) et [OB) est alors la réunion
nonB
nonA
de Π (OA)
, demi-plan fermé de frontière (OA) qui ne contient pas B, et de Π (OB)
, demi-plan
fermé de frontière (OB) qui ne contient pas A.
Quand on parle d’angle saillant et d’angle rentrant, on fait donc référence à ce qu’on
appelait avant – à une époque, celles des mathématiques modernes, où il était de bon ton de
distinguer tout ce qui était distinguable – un secteur angulaire saillant et un secteur angulaire
rentrant.
• Pour préciser ces distinctions, considérons maintenant un manuel de 6e paru en 1969
(Wattiaux et al., 6e Mathématique Brédif Livre, Hachette). Le chapitre 7, intitulé Secteurs
angulaires. Rubans. Arcs de cercle, est structuré de la façon suivante :
I. Intersection de deux droites d’un plan
3. Secteurs angulaires adjacents
1. Positions relatives de deux droites
IV. Opérations sur les classes angulaires
2. Angles et bandes
1. Somme de deux classes
II. Un partage du plan
2. Quelques secteurs angulaires particuliers
1. Une droite dans le plan
V. Une étude des rubans
2. Deux droites dans le plan
VI. Cercle
III. Une étude des secteurs angulaires
1. Une étude
1. Secteurs angulaires isométriques
2. Arc de cercle
2. Comparaison de secteurs angulaires
3. Une correspondance
On reproduit ci-après l’intégralité de la section I.2, dans laquelle on trouve la définition d’un
angle.
2 angle et bande
1. Angle
Soit deux droites x’x et y’y sécantes en un point O (fig. 91). On observe que le point O est
l’origine commune des demi-droites Ox, Ox’, Oy, Oy’.
On appelle angle l’ensemble formé par deux demi-droites de même origine.
On note, pour les demi-droites Ox et Oy : l’angle { Ox, Oy }.
On dit : les demi-droites Ox et Oy sont les côtés de l’angle ; le point O est le sommet de l’angle.
Remarque. Si les demi-droites Ox et Oy coïncident, l’angle { Ox, Oy }est l’angle nul (fig. 92). Si les
demi-droites Ox et Oy sont opposées sur une même droite-support, l’angle {Ox, Oy} est un angle plat
(fig. 93).
2. Bande
Soit deux droites parallèles x’x et y’y (fig. 94).
On appelle bande l’ensemble formé par les deux droites parallèles.
On note, pour les droites x’x et y’y :
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la bande { x’x, y’y }.
On peut noter qu’ici un angle est un ensemble de points, mais que ce n’est pas un secteur
angulaire : c’est la réunion de deux demi-droites de même origine. On peut vérifier qu’il
revient au même de se donner deux demi-droites de même origine (mais de support différent)
et un secteur angulaire saillant : il s’agit là de ce qu’on appelle classiquement un angle
géométrique. Il faut aussi signaler que l’angle formé par les demi-droites Ox et Oy, à savoir
l’angle { Ox, Oy }, est le même que celui qui est formé par les demi-droites Oy et Ox, à
savoir l’angle { Oy, Ox }. Autrement dit :
{ Ox, Oy } = { Oy, Ox }.
En utilisant les notations actuellement usuelles, on peut donc écrire que :
xOy = yOx.
On dit alors qu’un tel angle est non orienté, par opposition aux angles orientés, qui sont
définis par la donnée, non pas d’un ensemble de deux demi-droites de même origine, mais par
celle d’un couple de deux demi-droites de même origine. Par exemple, les demi-droites Ox et
Oy définissent deux angles orientés qui sont (sauf dans des cas particuliers) distincts. On les
note classiquement (Ox, Oy) et (Oy, Ox), ou encore, pour éviter des notations lourdes, (Ox,
Oy) et (Oy, Ox) 2 .
• Si l’on reprend l’ouvrage cité, on voit que la section 2, intitulée « Deux droites dans le
plan », introduit les notions de secteurs angulaires saillant et rentrant. On ne citera ici que
l’extrait présentant les définitions, qui se place dans le cas où les droites considérées, Ox et
Oy, sont sécantes ; les demi-plans fermés de frontière Ox (resp. Oy) sont notés P1 et P2
(resp. Q1 et Q2) ; P1 (resp. Q1) est le demi-plan qui contient (Ox) (resp. (Oy)).
On observe : un angle détermine deux secteurs angulaires.
On note, pour les secteurs angulaires associés à l’angle { Ox, Oy } :
%
P1 ∩ Q1 = [Ox, Oy] ; P2 ∩ Q2 = [Ox, Oy]
On dit :
[Ox, Oy] est un secteur angulaire saillant, intersection de deux demi-plans dont les droites
frontières sont sécantes ; c’est un ensemble de points convexe (fig. 99).
%
[Ox, Oy] est un secteur angulaire rentrant, réunion de deux demi-plans dont les droites
frontières sont sécantes ; c’est un ensemble de points non convexe (fig. 100).
Remarques. 1. Pour alléger l’écriture, et quand aucune confusion n’est possible, on convient de noter le
secteur angulaire saillant :
[Ox, Oy]
2. L’angle nul détermine aussi deux secteurs angulaires : l’un réduit aux points d’une demi-droite et
appelé secteur angulaire nul, l’autre réunissant tous les points du plan et appelé secteur angulaire plein.
3. Chacun des deux secteurs angulaires déterminés par un angle plat réunit tous les points d’un demiplan ; il est appelé secteur angulaire plat.
• Revenons maintenant à la question posée.
2. On notera simplement ici qu’on n’a pas besoin de se placer dans un plan orienté pour définir des angles
orientés. C’est seulement lorsqu’il s’agit de les mesurer qu’il est indispensable de choisir une orientation du
plan.
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En 6e, on aborde les angles sans parler d’orientation. Comment réagir si un élève nous demande
comment savoir si cet angle est l’angle rentrant ou saillant pour ABC ? (à part en dessinant
l’angle dont on parle).
Ici, comme on l’a vu, il ne s’agit pas d’orientation : on n’a pas besoin d’orienter le plan pour
distinguer ce qu’on appelle des angles saillants (= des secteurs angulaires saillants) et des
angles rentrants (= des secteurs angulaires rentrants). Pour distinguer ces deux types d’angles,
on peut bien évidemment utiliser le registre de l’oralité, en indiquant que l’on considère
« l’angle rentrant de sommet A et de côtés [AB) et [AC) » ; on peut aussi utiliser le registre
%
de la trace − soit sous forme d’écriture, avec la notation ABC, soit sous forme de graphisme,
comme dans la figure reproduite ci-après (fig. 1) − ; on peut encore utiliser le registre gestuel,
en dessinant une figure composée de deux demi-droites de même origine (fig. 2) et en
balayant de la main la partie du plan correspondante.
Figure 1
Figure 2
À suivre !
Comment démontrer le théorème de Pythagore ?
Pour la démonstration du théorème de Pythagore, dans beaucoup de manuels on admet que
EFGH est un carré. Faut-il le démontrer ou est-il suffisant de l’admettre ?
c
c
c
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c
12
Matériaux pour une réponse
Commençons tout d’abord par examiner une autre démonstration du théorème de Pythagore,
s’appuyant aussi sur la notion d’aire et le calcul algébrique.
• Sur la figure, ABC est un triangle rectangle en A, D ∈ [AC) est le point tel que AD = AC +
AB, E ∈ [AB) est le point tel que AE = AC, et F est tel que le quadrilatère ADFE est un
rectangle.
B
F
E
A
C
D
• On a d’un côté : A(ADFB) = A(ADFE) + A(EFB) = AD⋅AE +
1
(AC + AB)2
(AC + AB)⋅(AB – AC) =
⋅
2
2
1
EF⋅EB = (AC + AB)⋅AC +
2
On a d’un autre côté : A(ADFB) = A(ABC) + A(CDF) + A(BCF) =
BC⋅CF = AC⋅AB +
1
1
1
AC⋅AB + CD⋅DF +
2
2
2
1
BC⋅CF.
2
• Si l’on admet qu’on a CF = BC et que l’angle BCF est droit, il vient : A(ADFB) = AC⋅AB +
1
1
(AC + AB)2
BC⋅CF = AC⋅AB + BC2. En égalant les deux expressions de A(ADFB), on a
2
2
2
1
= AC⋅AB + BC2, et donc AC2 + AB2 + 2 AC⋅AB = 2AC⋅AB + BC2, soit enfin : AC2 + AB2
2
= BC2.
• Bien entendu, il reste à démontrer que CF = BC. Pour cela, on dispose de deux types de
transformations : les symétries axiales (étudiées en 6e) et les symétries centrales (travaillées
en 5e). En effectuant éventuellement plusieurs transformations successivement, il s’agit de
parvenir à transformer le triangle ABC en le triangle
DCE, afin de pouvoir conclure que CE = BC. Plusieurs
d’
d
possibilités s’offrent : on en esquisse une ci-après.
B
− On peut considérer l’image du triangle ABC par la
F
E
symétrie d’axe la bissectrice d de l’angle BAC : (AB) se
transforme en (AC) et le point E se transforme en C,
tandis que le point B se transforme en un point G de
[AD]. On a ainsi EG = BC.
D
A
C
G
− La symétrie ayant pour axe la médiatrice d’ de [AD]
transforme alors A en D, F en E, et G en C. On a donc
CF = GE = BC, CQFD.
− On laissera le lecteur vérifier qu’on peut aussi démontrer que l’angle BCF est droit.
On notera que l’on passe du triangle ABC au triangle DCF par la composée de deux symétries
axiales d’axes sécants, et qu’il s’agit donc d’une rotation (ici, un quart de tour). On pourra
PLC2Maths0809_Seminaire6
13
vérifier que le programme actuel de la classe de seconde permet de démontrer « directement »
que CF. = BC.
• Reprenons maintenant la question posée.
Pour la démonstration du théorème de Pythagore, dans beaucoup de manuels on admet que
EFGH est un carré. Faut-il le démontrer ou est-il suffisant de l’admettre ?
c
c
c
c
Les quelques développements proposés ci-dessus fournissent des éléments permettant de
proposer une démonstration du théorème de Pythagore en s’appuyant sur la configuration que
l’on rappelle ci-après :
Sur cette figure, on a volontairement omis d’indiquer que le quadrilatère EFGH était un
losange (ABCD est un carré de côté a + b et BF = CG = DH = AE). Pour démontrer que les
quatre côtés du quadrilatère EFGH ont même longueur et que les quatre angles dudit
quadrilatère sont droits, on peut s’appuyer sur la démonstration esquissée précédemment.
Bien entendu, il resterait à apprêter cette démonstration pour qu’elle puisse être mise en
place dans une classe de 4e. On laissera ce point de côté, tout en signalant qu’il est tout à fait
possible dans une classe d’admettre certains résultats intermédiaires, mais qu’alors, dans ce
cas, il faut l’indiquer explicitement.
Î Comment insérer des extraits de programme dans un fichier ?
Je voudrais savoir comment vous faites pour travailler sur les documents du type programme
officiel ou document d’accompagnement (copie d’une partie, sélection d’un mot), je ne les
trouve qu’en PDF et donc je ne peux pas en copier une partie et fabriquer ainsi le document
de référence pour le mémoire. Existent-ils en document d’un autre format ? (1re L Maths-info
& Term ES, semaine 10)
Matériaux pour une réponse
Notons tout d’abord que les programmes sont disponibles en format PDF sur le site du CNDP,
à l’adresse
http://www.cndp.fr
PLC2Maths0809_Seminaire6
14
En cliquant tout d’abord sur le lien « Programmes et accompagnements », on arrive sur la
page suivante :
Il suffit alors de cliquer sur « Mathématiques » pour obtenir la page du « Collège » à partir de
laquelle on peut aussi accéder à la page du « Lycée ».
PLC2Maths0809_Seminaire6
15
On peut alors obtenir les programmes de collège, mais aussi les programmes de lycée (voie
générale et technologique, voie technologique et voie professionnelle), sous format PDF.
Par exemple, en cliquant sur « Consulter/Commander » les nouveaux programmes du collège
à la rentrée 2009, la fenêtre suivante s’ouvre :
On peut alors télécharger (ou ouvrir) le document en format PDF ou bien encore le
commander sur support papier. Ces fichiers sont de bonne qualité (bien meilleure que celle
PLC2Maths0809_Seminaire6
16
des fichiers du Bulletin officiel) et on peut alors utiliser l’outil Sélection d’Adobe Reader (ou
l’équivalent de tout autre logiciel permettant de lire des fichiers PDF) pour copier-coller un
extrait et l’insérer en tant que texte, et non pas en tant qu’image, dans un fichier, comme on le
présente ci-après, sur un extrait de la page 5.
Dans le fichier de traitement de texte, on obtient alors ceci …⋅
I. La culture scientifique acquise au collège
À l’issue de ses études au collège, l’élève doit s’être construit une première représentation
globale et cohérente du monde dans lequel il vit1. Il doit pouvoir
apporter des éléments de réponse simples mais cohérents aux questions :
« Comment est constitué le monde dans lequel je vis ? », « Quelle y est ma
place ? », « Quelles sont les responsabilités individuelles et collectives ? ».
… qu’il s’agit ensuite de mettre en forme, bien entendu, en supprimant les marques de
paragraphes pour éviter les passages à la ligne intempestifs, en rajoutant les espaces
insécables aux bons endroits, en justifiant le texte obtenu, en appliquant la police de
caractères que l’on souhaite utiliser, en remplaçant les espaces doubles par des espaces
simples, etc.
On notera que pour effectuer cette mise en forme, il vaut mieux avoir activé l’affichage de
tous les caractères :
− avec Word 2007 : Accueil / Paragraphe / ¶ (ou Ctrl+8)
PLC2Maths0809_Seminaire6
17
Avec OpenOffice (writer) : Affichage / Caractères non imprimables (ou Ctrl+F10)
I. La culture scientifique acquise au collège
À l’issue de ses études au collège, l’élève doit s’être construit une première représentation
globale et cohérente du monde dans lequel il vit. Il doit pouvoir apporter des éléments de
réponse simples mais cohérents aux questions : « Comment est constitué le monde dans lequel
je vis ? », « Quelle y est ma place ? », « Quelles sont les responsabilités individuelles et
collectives ? ».
Pour terminer, on notera que le site du CNDP ne fournit pas le projet de document
d’accompagnement des programmes du collège. Pour les obtenir, il faut aller sur le site
ÉduSCOL, à l’adresse : http://eduscol.education.fr.
En cliquant sur Sommaire…
PLC2Maths0809_Seminaire6
18
… on peut accéder à la page Mathématiques :
On obtient alors page donnant les programmes en vigueur durant l’année scolaire actuelle, à
laquelle on peut accéder directement à l’aide du lien :
http://eduscol.education.fr/D0015/LLPHPR01.htm
Les chapitres du projet de document d’accompagnement des programmes du collège sont
alors disponibles en cliquant sur le lien intitulé « Ressources pour le collège et le lycée »
figurant dans la colonne de gauche de la page obtenue.
PLC2Maths0809_Seminaire6
19
Remarque. Le site de l’académie de Nancy-Metz fournit certains programmes dans un format
directement utilisable dans un traitement de texte. Dans ce cas, il ne s’agit pas des textes
« officiels ».
http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/maths/m2002/institut/programmes/programmes.html.
3. Exposés
Ces exposés permettront un travail de remémoration des travaux réalisés concernant
l’analyse didactique de la séance Modélisation & fonctions
Chaque équipe utilisera aussi bien le travail réalisé lors de la séance d’Outils didactiques que
les notes figurant dans ce fichier. Un vidéoprojeteur et un rétroprojecteur seront à sa
disposition pour la présentation de l’exposé, qui ne dépassera pas 10 minutes.
¾ La rubrique Structure et contenu sera présentée par Géraldine Berry, Alexandre Picart et
Guillaume Vicente (groupe A).
¾ Pour l’organisation mathématique OM1 constituée autour du type de tâches T1, l’analyse
de l’OM et de l’OD sera présentée par Théotime Caulet, Aadil El Oidi, Sylvain Haas, Joël
Ortega et Romain Rouzaud (groupe B).
¾ Pour l’organisation mathématique OM2 constituée autour du type de tâches T2, l’analyse
de l’OM sera présentée par Charline Laloi, Laëtitia Pradeilles, Nadine Reboulet-Cros et
Christine Vassal (groupe C). (On ne demande pas l’analyse de l’OD.)
4. Le travail d’étude et de recherche (TER) : l’évaluation
On rappelle tout d’abord les quelques dates (prévisionnelles) qui vont jalonner la suite du
travail d’étude et de recherche (notamment les dates limites d’envoi par courrier électronique
au directeur de mémoire − ou de dépôt sur le BV − des différentes versions rédigées). Cette
PLC2Maths0809_Seminaire6
20
version de la programmation du TER présente quelques légères modifications par rapport à la
version précédente, qu’elle annule et remplace.
−− jjeeuuddii 55 fféévvrriieerr 22000099 ((G
GD
DM
M 33)) :: ttrraavvaaiill ssuurr ll’’aannaallyyssee ((eett ssuurr ll’’éévvaalluuaattiioonn)) ddee llaa ssééaannccee ;;
−− lluunnddii 99 m
maarrss 22000099 ((rreennttrrééee ddee llaa sseem
maaiinnee ccoom
mm
muunnee BB)) :: ddaattee lliim
miittee dd’’eennvvooii ddee llaa vveerrssiioonn dduu
a
n
c
e
;
m
é
m
o
i
r
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c
l
u
a
n
t
l
’
a
n
a
l
y
s
e
d
e
l
a
s
é
mémoire incluant l’analyse de la séance ;
− jeudi 26 mars 2009 (GDM 4) : travail sur l’évaluation de la séance et début du travail sur
le développement ;
− vendredi 3 avril 2009 (veille des vacances de printemps) : date limite d’envoi de la version
du mémoire incluant l’évaluation de la séance et le choix du sujet de développement ;
− mardi 28 avril 2009 : date limite d’envoi de la version du mémoire incluant le début du
développement ;
− jeudi 30 avril 2009 (GDM 5) : poursuite du travail sur le développement ;
− jeudi 7 mai 2009 : remise de la version définitive 3 du mémoire (chaque trinôme remettra à
son directeur de mémoire deux exemplaires sur support papier) ;
− mercredi 13 et jeudi 14 mai 2009 : soutenance des mémoires.
Nous allons maintenant expliciter quelques critères d’évaluation relative à une OML [Ti / τi /
θ / Θ]i∈I. Ces critères ont été rapidement présentés dans les notes de la séance précédente du
séminaire : on rappelle qu’ils se réfèrent à une séquence plutôt qu’à une séance isolée, et
qu’ils fournissent donc des repères à adapter au cas d’une séance (ou d’un fragment de
séance).
3.1. L’évaluation de l’organisation mathématique
3.1.1. On s’arrête d’abord sur l’évaluation des types de tâches Ti.
n Un premier critère de jugement est fourni par le critère d’identification : les types de
tâches Ti sont-ils clairement dégagés et bien identifiés ? En particulier, sont-ils représentés par
des corpus Ki effectivement disponibles de spécimens suffisamment nombreux et
adéquatement calibrés ? Ou au contraire ne sont-ils connus que par quelques spécimens peu
représentatifs ?
Î Exemple
Considérons la tâche problématique suivante : il s’agit de construire des points S, D, G, F tels
que SG = 6 cm, SD = 4 cm, FG = 5 cm, avec SDG = SFG = 90° (voir la figure ci-contre).
D
S
G
F
3. Cette version pourra ensuite, sur proposition de la commission de soutenance, être très légèrement remaniée.
PLC2Maths0809_Seminaire6
21
– Cette tâche t relève en principe du grand type de problèmes suivant :
T0. Construire un polygone convexe satisfaisant des conditions de distance et d’angles.
– Le fait que SDG = SFG = 90° rend a priori pertinente la mobilisation de l’élément
technologique θ1 : « si un triangle est rectangle, alors le centre du cercle circonscrit est le
milieu de l’hypoténuse. »
Un programme de construction possible est par exemple le
suivant :
Æ marquer des points S et G tels que SG = 6 cm ;
Æ prendre pour point D un point d’intersection du cercle de
diamètre [SG] et du cercle de centre S de rayon 4 cm
(puisque SD = 4 cm) ;
Æ prendre pour point F le point d’intersection du cercle de
diamètre [SG] et du cercle de centre G de rayon 5 cm situé du
côté de (SG) où D n’est pas.
D
S
G
F
Dans une classe où ce problème a été posé, une très grande partie des élèves ont procédé en
« calculant » DG = SG2 – SD2. Or cette manière de faire ne peut pas être mise sur le même
plan que la technique décrite dans le programme de construction que l’on vient de proposer.
Cette technique adoptée par les élèves, en effet, n’est pas un procédé de construction exacte :
elle ne fournit qu’une construction approchée du quadrilatère cherché. Chaque type de
construction a certes sa valeur, mais ces deux solutions ne résolvent pas le même problème.
On constate ici une première absence : celle de la notion de construction géométrique
(exacte), qui fonde technologiquement le type T∞ des tâches de construction géométrique.
Pour le dire autrement, les élèves se réfèrent spontanément à un certain type de tâches Ť∞ ⊃
T∞ – les constructions approchées – alors qu’ici le professeur attendait qu’ils situent la tâche
problématique proposée dans le type T∞ des problèmes de construction exacte – type de
problèmes qui, à l’évidence, n’a pas été construit dans cette classe.
o Un deuxième critère est celui des raisons d’être : les raisons d’être des types de tâches Ti
sont-elles explicitées ? Ou au contraire ces types de tâches apparaissent-ils immotivés ?
Î Exemple
À titre d’exemple, on considère brièvement ici la notion d’angle. La question de la présence
de cette notion en géométrie peut être posée d’autant plus pertinemment qu’on peut
développer la géométrie sans faire jamais usage des angles, en n’utilisant jamais que la
notion de distance (ce que faisaient les programmes du collège autour de 1970, au temps de la
réforme « des mathématiques modernes »). On sait ainsi, par exemple, que l’aire A d’un
1
triangle ABC peut s’écrire A = bc sin A mais qu’elle s’écrit aussi :
2
A = p(p – a)(p – b)(p – c) où 2p = a + b + c (« formule de Héron »).
c Il faut donc en fait avoir de bonnes raisons pour introduire la notion d’angle en géométrie !
Qu’est-ce alors qui en motive l’usage ? Dans un manuel conforme au programme de 1978
pour la classe de 3e, une réponse importante, historiquement et pratiquement, était par
exemple donnée dès la première page du chapitre consacré aux angles (voir ci-après) : la
réponse apportée, c’est que les angles permettent de calculer des distances que, pour des
raisons diverses, on ne peut mesurer directement. Il s’agit là d’une raison fondatrice de la
PLC2Maths0809_Seminaire6
22
notion d’angle, dont le professeur doit s’efforcer de faire que les élèves acquièrent une
connaissance claire.
d Considérons le problème 1 de ce manuel : on veut
déterminer la distance d’un point visible C, situé sur l’autre
rive du fleuve, à deux points de visée, A et B. Pour
résoudre ce problème avec un outillage mathématique
rudimentaire (c’est-à-dire, en l’espèce, sans le secours de la
trigonométrie), on peut tracer sur le papier une épure abc
correspondant à la figure dont deux angles et une distance
sont censées avoir été mesurés (AB = 500 m, A = 70°, B =
51°) en prenant par exemple ab = 5 cm (voir ci-après). On
mesure alors sur l’épure les distances ac ≈ 4,5 cm et bc ≈ b
5,5 cm, et on déduit par un calcul de proportionnalité que
AC ≈ 450 m et BC ≈ 550 m.
c
51°
70°
5 cm
a
e Grâce à la trigonométrie, on peut remplacer un peu plus encore les mesurages par des
calculs.
On montre ainsi que l’on a :
PLC2Maths0809_Seminaire6
23
C
AC =
sin B
sin 51°
BA =
× 500 m ≈ 453 m ;
sin 59°
sin C
sin A
sin 70°
BC =
AB =
× 500 m ≈ 548 m.
sin 59°
sin C
51°
345 m
B
A
En 4e, les outils trigonométriques disponibles sont beaucoup plus limités : les points de visée
A et B devront ainsi être choisis afin que BAC = 90°. On a alors :
BC =
BA
345 m
BA
345 m
=
≈ 548 m ; AC = BC cos C =
cos C =
cos 39° ≈ 426 m.
cos
51°
cos
51°
cos B
cos B
En 3e on écrira directement : AC = BA tan B = 345 m × tan 51° ≈ 426 m.
f L’utilisation précédente des angles, en relation ou non avec les « rapports
trigonométriques » (cosinus, sinus, tangente), n’est bien entendu pas la seule raison d’être des
angles, même au collège : les angles servent aussi à faciliter la démonstration de propriétés.
Considérons ainsi le programme suivant de construction de la parallèle à une droite d qui
passe par un point P ∉ d :
Æ marquer un point A de d ;
B
Æ tracer le segment [AP] ;
Æ marquer un point M situé entre A et P ;
Æ marquer un point B à l’intersection de d et du cercle de centre
A passant par M ;
A
M
P
Q
Æ marquer le point Q, second point d’intersection de la droite
(BM) avec le cercle de centre P passant par M ;
Æ tracer la droite (PQ).
Pour démontrer que la droite (PQ) est bien parallèle à (AB), on peut procéder ainsi. Le
triangle MPQ étant isocèle en P, on a PQM = PMQ. On a ensuite PMQ = AMB comme angles
opposés par le sommet. Le triangle MAB étant isocèle en A, on a alors AMB = ABM. Il vient
finalement PQM = ABM, soit encore PQB = ABQ : l’égalité de ces angles, alternes internes
par rapport aux droites (AB) et (PQ) et à la sécante (BQ), entraîne le parallélisme de (AB) et
(PQ)
g Dans le cadre du TER, on s’imposera de faire apparaître les raisons d’être de la (ou des)
principale(s) entité(s) mathématique(s) en jeu. Chaque fois que la chose sera possible, cette
mise en évidence se fera à travers la présentation et l’analyse a priori d’une situation d’étude
et de recherche qui prendra place dans le scénario didactique alternatif élaboré. Dans tous les
cas, elle se fera aussi par le moyen d’une explicitation illustrée telle celle ébauchée ci-dessus
à propos de la notion d’angle.
p Un troisième critère concerne la pertinence des types de tâches étudiés : fournissent-ils un
bon découpage relativement aux situations mathématiques les plus souvent rencontrées ?
Sont-ils pertinents au regard des besoins mathématiques des élèves, pour aujourd’hui ? Pour
demain ? Ou au contraire apparaissent-ils comme des « isolats » sans lien véritable – ou
explicite – avec le reste de l’activité scolaire – mathématique ou non – des élèves ?
PLC2Maths0809_Seminaire6
24
Î Exemple
Pour illustrer ce troisième critère, on s’arrête ici un instant sur un ce qu’on peut appeler un
« super-type de tâches » : « vérifier un calcul ». La pertinence de ce « super-type de tâches »
paraît évidente, mais on observe que sa concrétisation sous la forme de types de tâches
déterminés est en général mal prise en charge dans l’enseignement secondaire actuel.
c Un type de tâches que l’on peut considérer à cet égard est relatif au thème des écritures
7 4 13
fractionnaires : vérifier le résultat d’un calcul de fractions, telle l’égalité + = . En
9 6
9
l’espèce, une technique peut consister à vérifier, à l’aide d’une calculette, l’égalité du produit
de chacun des deux membres de l’égalité obtenue par le produit des dénominateurs des
7 4
13
fractions ; ainsi aura-t-on : (9 × 6)⎛⎜ + ⎞⎟ =c 78 & (9 × 6) =c 78.
9
⎝9 6 ⎠
d Un deuxième type de tâches consiste à vérifier le résultat d’un calcul algébrique, telle
l’égalité (x – 3)(2x + 1) = 2x2 – 5x – 3.
En l’espèce on peut, à la main ou par calcul mental, vérifier l’égalité obtenue pour quelques
valeurs simples de x (0, ±1, ±2, etc.).
On peut aussi, à l’aide d’une calculette, vérifier l’égalité pour x = π ou x = 2 par exemple.
On obtient ainsi : (x–3)(2x+1)|x=0 = –3 & 2x2–5x–3|x=0 = –3 ; (x–3)(2x+1)|x=3 = 0 & 2x2–5x–3|x=3 =
18–15–3 = 0 ; (x–3)(2x+1)|x=π =c 1,031245534 & 2x2–5x–3|x=π =c 1,031245534.
Une autre technique consiste à choisir une valeur c pour x et à remplacer certaines
occurrences de x par cette valeur, avant de résoudre l’équation ainsi obtenue pour vérifier
qu’elle admet bien la solution x = c. Ainsi, s’agissant de l’égalité déjà contrôlée, a-t-on, pour x
= 4 : 2x+1 = 29–5x ⇔ 7x = 28 ⇔ x = 4 ; pour x = 2 : –(2x+1) = 5–5x ⇔ 3x = 6 ⇔ x = 2.
e Un troisième type de tâches consiste à vérifier le résultat d’un calcul avec radical, telle
2
l’égalité (3 + 5) = 18 + 8 5. On peut ici remplacer le radical 5 par x et résoudre
3– 5
l’équation ainsi obtenue pour vérifier qu’elle admet bien la solution x = 5. On a ainsi :
(3 + x)2 = 18 + 8x ⇔ (3 + x)2 = (3 – x)(18 + 8x) ⇔ x2 + 6x + 9 = –8x2 + 6x + 54 ⇔ 9x2 = 45
3–x
⇔ x2 = 5 ⇔ x = ± 5.
4.1.2. L’évaluation des techniques suppose de même des critères. Les techniques proposées,
ainsi, sont-elles effectivement élaborées, ou seulement ébauchées ? Sont-elles faciles à
utiliser ? Leur portée est-elle satisfaisante ? Leur fiabilité est-elle acceptable étant donné leurs
conditions d’emploi ? Sont-elles suffisamment intelligibles ? Ont-elles un avenir, et pourrontelles évoluer de manière convenable ?
n Considérons tout d’abord la question de la fiabilité, ce qu’on peut reformuler de la façon
suivante : l’accomplissement du type de tâches à l’aide de la technique considérée peut-il être
considérée comme régulier et sûr ?
Î Exemple 1
PLC2Maths0809_Seminaire6
25
Par exemple, une technique peut être insuffisamment fiable. C’est ainsi que le calcul,
traditionnel en France, non sur des grandeurs (comme 5 km, 32 cm2, 18 m/s2, 12 g/dm3, etc.),
mais sur les seules mesures de ces grandeurs (5, 32, 18, 12, etc.), c’est-à-dire en excluant les
unités des calculs pour ne les réintroduire qu’à la fin, constitue une technique peu fiable, si on
la compare avec la technique, certes plus « lourde », consistant à calculer directement sur les
grandeurs, c’est-à-dire avec les unités.
c Soit ainsi à calculer la masse linéique M, en g/cm, d’un barreau d’acier de section
constante, de 4 dm de longueur, qui pèse 2,85 kg ; la masse linéique est, par définition, le
quotient de la masse par la longueur ; on a donc :
M=
2,85 kg 2,85 (103 g) 285 g 285
=
=
=
g/cm = 71,25 g/cm.
4 (10 cm)
4 dm
4 cm
4
d De même, soit à déterminer la masse M, en grammes, de 9 cm3 de zinc, sachant que la
masse volumique du zinc est de 7,29 kg/dm3 ; par définition de la masse volumique, la masse
est égale au produit de la masse volumique par le volume ; on a donc :
M = (7,29 kg/dm3)(9 cm3) = (7,29 kg⋅dm–3)(9 cm3) = 7,29(103 g)(10 cm)–3(9 cm3)
= 7,29 × 9 g ≈ 65,6 g.
Î Exemple 2
Dans un autre domaine, celui de l’arithmétique, considérons maintenant la recherche d’une
solution particulière de l’équation diophantienne ax + by = c, dans le cas où cette équation
admet des solutions (entières), c’est-à-dire dans le cas où le PGCD de a et b divise c.
c Une technique classique consiste à s’appuyer sur les égalités numériques obtenues en
calculant le PGCD de a et b à l’aide de l’algorithme d’Euclide. Considérons par exemple
l’équation 35x – 27y = 2, qui admet des solutions car PGCD(35, 27) = 1 − ce que l’on peut
vérifier par exemple en mettant en œuvre l’algorithme d’Euclide.
35 = 27 × 1 + 8
(1)
r1 = 8
27 = 8 × 3+ 3
(2)
r2 = 3
8=3×2+2
(3)
r3 = 2
3=2×1+1
(4)
r4 = 1 = PGCD(35, 27)
2=1×2+0
(On notera qu’il n’est pas indispensable d’écrire cette dernière égalité, du fait que le reste
précédent est égal à 1.)
Pour obtenir une solution de l’équation 35x – 27y = 2, on peut par exemple « remonter » les
égalités obtenues dans l’algorithme en éliminant les restes successifs sauf le PGCD.
3=2×1+1
(4)
Dans l’égalité (3), on élimine le reste r3 = 2 en utilisant l’égalité (4) ; pour ce faire, on
multiplie ses deux membres par 1, qui est le cofacteur du reste r3 dans l’égalité (4).
8 × 1 = 3 × 2 + 2 × 1 = 3 × 2 + (3 – 1) = 3 × 3 – 1
(3’)
Dans l’égalité (2), on élimine le reste r2 = 3 en utilisant l’égalité (3’) ; pour ce faire, on
multiplie ses deux membres par 3, qui est le cofacteur du reste r2 dans l’égalité (3).
27 × 3 = 8 × 9 + 3 × 3 = 8 × 9 + 8 × 1 + 1 = 8 × 10 + 1
PLC2Maths0809_Seminaire6
(2’)
26
Dans l’égalité (1), on élimine le reste r1 = 8 en utilisant l’égalité (2’) ; pour ce faire, on
multiplie ses deux membres par 10 (qui est le cofacteur du reste r1 dans l’égalité (2).
35 × 10 = 27 × 10 + 8 × 10 = 27 × 10 + 27 × 3 – 1 = 27 × 13 – 1
On obtient donc 35 × 10 = 27 × 13 – 1, ce qui donne 35 × (−10) − 27 × (−13) = 1. Il reste
alors à multiplier par 2 les deux membres de cette égalité, pour pouvoir conclure…
35 × (−20) − 27 × (−26) = 2
…tout en s’empressant de vérifier le résultat, par exemple à l’aide d’une calculatrice.
(On notera que la calculatrice, contrairement à l’usage dans les calculs mathématiques,
n’affiche pas les parenthèses dans une écriture du type a × (-b), où b est un nombre positif : le
signe « − » de la soustraction est distingué du signe « - » indiquant qu’un nombre est négatif.)
d Les calculatrices actuelles permettent d’obtenir beaucoup plus facilement ce résultat, car
elles permettent de mettre en œuvre une technique beaucoup plus fiable. On décrit ci-après
(sans la justifier) une technique utilisant les possibilités offertes par le tableur d’une
calculatrice.
On note tout d’abord que si 35x – 27y = 2, alors 35x ≡ 2 [27]. La calculatrice fournit les
résultats suivants quand on demande la valeur du reste de la division de 35x par 27, lorsque x
prend (toutes) les valeurs entières comprises entre 1 et 26.
Ici, il est inutile de continuer l’exploration des résultats fournis par la calculatrice, car on a
obtenu : 35 × 7 ≡ 2 [27]. Il reste maintenant à déterminer y tel que 35 × 7 – 27 × y = 2. On
obtient y = 9 et on peut alors conclure que…
35 × 7 – 27 × 9 = 1
…avant de vérifier le résultat sur la calculatrice :
PLC2Maths0809_Seminaire6
27
35
2
x−
et d’afficher les
27
27
(premières) valeurs de y quand x prend les valeurs entières comprises entre 1 et 26 : on peut
s’arrêter quand le résultat obtenu pour y est entier et l’on obtient alors directement un couple
solution.
Il est aussi possible de considérer la fonction définie par y =
Si x = 7 et y = 9, alors 35x – 27y = 2.
p On est aussi amené à examiner si la portée des techniques considérées est satisfaisante :
une technique τ ne réussit jamais que sur une partie P(τ) des tâches du type T auquel elle est
relative, partie qu’on nomme la portée de la technique ; elle tend à échouer sur T\P(τ), de
sorte qu’on peut dire que « l’on ne sait pas, en général, accomplir les tâches du type T ». La
chose est évidente, mais très souvent oubliée, en mathématiques. Ainsi toute technique de
calcul sur ² échoue-t-elle à partir d’une certaine taille de nombres. Le fait qu’on ne sache pas
en général factoriser un entier donné est notamment à la base de certaines techniques de
cryptographie.
Î Exemple 1
Le programme de seconde propose des « thèmes d’étude », que nous appellerons ici thèmes
d’étude libre (TEL) – par opposition aux thèmes d’étude « imposés » figurant dans le texte du
programme stricto sensu :
Le programme […] est écrit dans le cadre d’une seconde de détermination. Il est composé de
trois grands chapitres : statistique, calcul et fonctions, géométrie. Pour chaque chapitre, les
capacités attendues, en nombre volontairement limité, constituent la base commune sur laquelle
se fonderont les programmes des années ultérieures. De plus, un ensemble de thèmes d’études
est proposé, dans lequel l’enseignant pourra puiser au gré du questionnement et des motivations
de ses élèves ; ces thèmes, entourant le contenu du chapitre, permettent de faire vivre
l’enseignement au-delà de l’évaluation sur les capacités attendues et de prendre en compte dans
une certaine mesure l’hétérogénéité des classes. L’enseignant a toute liberté pour choisir les
thèmes au-delà de ces propositions.
S’agissant de ces TEL, donc, le programme prend grand soin de préciser qu’ils ne renvoient
pas à des « capacités attendues » et qu’ils se situent donc « au-delà de l’évaluation sur les
capacités attendues », précision que le document d’accompagnement reprend en ces termes :
PLC2Maths0809_Seminaire6
28
Comme il est indiqué, il s’agit de « faire vivre l’enseignement au-delà de l’évaluation sur les
capacités attendues » explicitées par le programme ; cela signifie d’abord que les programmes
ultérieurs ne considéreront pas comme acquis en 2de les éventuels contenus nouveaux
accessibles à travers l’étude de certains thèmes…
Et, là comme ailleurs, il convient de dégager des types de problèmes et des techniques
correspondantes. Si l’on considère le domaine Calcul et fonctions, l’un de ces thèmes d’étude
est le suivant :
Problèmes historiques sur les nombres, irrationalité de 2, crible d’Ératosthène…
On pourra par exemple retenir le type de problèmes suivant :
Étant donné un nombre irrationnel x, déterminer une approximation rationnelle r de x à une
précision donnée ε > 0.
Bien évidemment, à propos d’un type de problèmes si vaste, on mettra en place une technique
à portée limitée, relative par exemple aux seules racines carrées. On pourra ainsi rencontrer
le procédé de Héron, qui consiste à partir d’une valeur r0 (rationnelle) proche de x = a puis
à prendre
1
a
r1 = ⎛⎜r0 + ⎞⎟
2⎝
r0 ⎠
avant de répéter sur r1, si nécessaire, les opérations effectuées sur r0. Cet algorithme fut
longtemps utilisé comme un procédé de calcul mental de racines carrées : pour a = 52 par
exemple, on peut prendre r0 = 7, et il vient alors
1
52
26
r1 = ⎛⎜7 + ⎞⎟ = 3,5 +
≈ 3,5 + 3,7 = 7,2
2⎝
7⎠
7
ce qui est une bonne approximation puisque 7,22 = 51,84. On a :
52 – 7,2 =
52 – 7,22
0,16
16
1
<
=
=
≤ 0,012
52 + 7,2 7,2 + 7,2 1440 90
On peut estimer que si l’on s’en tient à déterminer une approximation rationnelle r de 52 à
10−4 près, la portée de cette technique est tout à fait satisfaisante. En effet, on peut vérifier que
n
dans ce cas il suffit de calculer r3 (on peut en effet vérifier que rn − 52 ≤ 141− 2 ).
1
52 101
r1 = ⎛⎜7 + ⎞⎟ =
2⎝
7 ⎠ 14
1 101 52 ⎞ 20393
r2 = ⎛⎜
+
=
2 14 101⎟ 2828
⎜
⎟
14 ⎠
⎝
1 20393
52 ⎞ 831748817
r3 = ⎛⎜
+
=
2 2828 20393⎟ 115342808
⎜
⎟
2828 ⎠
⎝
On notera que la calculatrice de l’ordinateur fournit les résultats suivants (les décimales
exactes sont repérées en bleu) :
52 =calc 7,211102550927978586238442534941.
r1 =
101
= 7,2142857142857142857142857142857
14 calc
PLC2Maths0809_Seminaire6
29
r2 =
20393
= 7,2111032531824611032531824611033
2828 calc
r3 =
831748817
= 7,2111025509280127808228840761359
115342808 calc
On peut de même calculer r4 :
r4 =
1383612189161792417
= 7,2111025509279785862384425350221
191872488206916272 calc
On laisse au lecteur le soin d’examiner le cas général et de vérifier que, pour des valeurs de a
et de ε « raisonnables », on obtient avec peu d’itérations des valeurs rationnelles approchées
de a à ε près (ainsi que des valeurs décimales approchées de a à ε près).
Remarque. Le document d’accompagnement ajoute, toujours à propos des « thèmes
d’étude » :
… le travail sur les thèmes vise des capacités plus générales telles la capacité à chercher et
utiliser une documentation, à réinvestir des acquis antérieurs, à produire un document écrit ou
oral de synthèse, etc. ; cela signifie encore que devraient être privilégiées ici des dimensions
souvent difficiles à mettre en place dans le cadre normal du cours : plaisir du questionnement et
de la découverte, incitation à la curiosité, etc.
Dans cette perspective, on pourra par exemple travailler sur des textes originaux (en général
en traduction) afin de dégager les réponses à apporter à telle ou telle question qu’on se sera
posée. À propos du procédé de Héron, la classe pourra ainsi partir de la formulation due à
Héron d’Alexandrie lui-même (Histoire d’algorithmes, Belin, 1994, p. 231), mathématicien
grec du IIe siècle dont le texte ne fut retrouvé qu’en… 1896 :
Puisque 720 n’a pas de côté rationnel, nous extrairons le côté avec une très petite différence de
la façon suivante. Comme le premier nombre carré plus grand que 720 est 729 qui a pour côté
2
2
27, divise 720 par 27, cela fait 26 et , ajoute 27 cela fait 53 ; prends-en la moitié, cela fait
3
3
11
11
1
26
. En fait, 26
multiplié par lui-même donne 720 ; de sorte que la différence (sur les
23
23
36
1
1
carrés) est . Si nous voulons rendre cette différence inférieure encore à , nous mettrons
36
36
1
trouvé tout à l’heure à la place de 729 et, en procédant de la même façon, nous
720
36
1
trouverons que la différence (sur les carrés) est beaucoup plus petite que .
36
La formulation de Héron, « rhétorique », sera mise sous forme « symbolique », par exemple
de la manière suivante :
1⎛
720⎞ 1 ⎛
80 1
2 1
2
1 1
5
27 +
= ⎜27 + ⎞⎟ = ⎛⎜27 + 26 + ⎞⎟ = ⎛⎜53 + ⎞⎟ = 26 + + = 26 + .
⎜
⎟
2⎝
27 ⎠ 2 ⎝
3⎠ 2⎝
3⎠ 2 ⎝
3⎠
2 3
6
On a bien :
⎛26 + 5⎞2 = 676 + 130 + 25 = 676 + 43 + 1 + 25 = 719 + 37 = 720 + 1 .
⎜
6⎟⎠
3
36
3 36
36
36
⎝
4.1.3. L’évaluation de la technologie appelle des remarques analogues à celles faites à propos
de la technique. Ainsi, étant donné un énoncé, le problème de sa justification est-il seulement
PLC2Maths0809_Seminaire6
30
posé ? Ou bien cet énoncé est-il considéré tacitement comme allant de soi, évident, naturel, ou
encore bien connu, « folklorique » comme disent les mathématiciens de langue anglaise ? (Le
mot anglais folklore est formé à partir de folk, « peuple », et de lore, « savoir » : il désigne
donc, à strictement parler, le « savoir du peuple », peuple des mathématiciens ou peuple des
élèves de la classe.) Les formes de justification utilisées sont-elles proches des formes
canoniques en mathématiques ? Sont-elles adaptées à leurs conditions d’utilisation ? Les
justifications explicatives sont-elles favorisées ?
Î Exemple
c Un résultat effectivement utilisé peut n’avoir même pas fait l’objet d’une interrogation.
Ainsi en va-t-il fréquemment s’agissant de l’unicité des écritures canoniques utilisées, par
exemple quand on doit écrire sous la forme u + v e une expression du type
a+b e
c+d e
où a, b, c, d, u, v ∈ 4 et où e ∈ ² est un entier non carré parfait. L’unicité est, ici comme en
d’autres cas, pragmatiquement impliquée par le « postulat pédagogique » selon lequel existe
une « bonne » réponse – ce qui seul justifie que le professeur rejette comme forcément
erronée la réponse d’un élève qui aurait obtenu une autre expression. Dans le cas évoqué, la
justification est en fait relativement peu coûteuse : si u + v e = s + t e et si v ≠ t, alors e =
u–s
∈ 4, or e ∉ 4, donc…
t–v
d La justification d’un « théorème en acte » dans la classe peut en outre mettre en jeu des
éléments technologiques qui sont non seulement disponibles mais qui se situent au cœur des
mathématiques étudiées. Ainsi en va-t-il pour ce « postulat implicite » selon lequel, quels que
soient a, b, c, d ∈ 4 et e ∈ ² non carré parfait, il existe x, y ∈ 4 tels que
a+b e
= x + y e.
c+d e
En supposant connue l’unicité, on a ici :
a+b e
= x + y e ⇔ a + b e = (c + d e)(x + y e) ⇔ cx + dey = a & dx + cy = b.
c+d e
Le système obtenu a pour déterminant c2 – d2e ≠ 0. Il possède donc une solution (x, y) –
unique, mais nous le savions déjà. Ici comme dans le cas précédent, la clé de la démonstration
est le fait que, si e est un entier non carré parfait, e ∉ 4, un fait qui, au lieu de n’avoir qu’un
statut de curiosité culturelle, se trouvera motivé par ce qu’il y a de plus central dans l’activité
mathématique de la classe.
e Le résultat technologique évoqué dans ce qui précède – l’existence et l’unicité d’une
certaine écriture canonique – n’a pas pour unique fonction de justifier des pratiques
existantes. Il peut être exploité en vue de produire de nouvelles techniques. C’est ainsi qu’on
a+b e
pourra envisager de déterminer l’écriture canonique d’une expression de la forme
par
c+d e
la technique illustrée par l’exemple ci-après :
(3 + 5)2
= x + y 5 ⇔ (3 + 5)2 = (3 – 5)(x + y 5) ⇔ 14 + 6 5 = (3x–5y) + (–x+3y) 5
3– 5
PLC2Maths0809_Seminaire6
31
⇐ 3x – 5y = 14 & –x + 3y = 6 ⇔ x = 18 & y = 8.
4.1.4. Des questions analogues devront bien entendu être soulevées à propos des éléments
théoriques de l’organisation mathématique examinée : y a-t-il des éléments théoriques
explicites ? Implicites ? Que permettent-ils d’éclairer ? De justifier ? Etc.
4.2. L’évaluation de l’organisation didactique
L’analyse de l’organisation didactique s’organise essentiellement à partir de l’identification
des moments de l’étude réalisés en tel épisode du processus didactique, et de la manière dont
ces moments son réalisés. Il reste maintenant à analyser ce que produit ou ce que permet la
réalisation de ces moments de l’étude, afin d’apprécier plus finement la qualité de l’OD mise
en place. Nous distinguerons quatre fonctions de production que doit assurer l’OD :
– la création d’un temps didactique endogène, ou temps de l’avancée dans l’étude, propre à la
classe, comme distinct du temps allogène de l’horloge ;
– la création d’un milieu suffisamment enrichi en outils de tous ordres pour mener à bien les
différents moments de l’étude ;
– la création d’un « lieu » pour le professeur et d’un « lieu » pour l’élève optimisant les
conditions d’étude et d’apprentissage génériques.
– le développement d’une dialectique du groupe et de l’individu, qui optimise les conditions
d’étude et d’apprentissage spécifiques à telle ou telle « espèce » d’élèves, et qui en même
temps favorise une mise à distance critique par ces élèves de leurs assujettissements faisant
obstacle à l’apprentissage.
Dans le cadre du TER, on s’efforcera, très modestement, d’examiner « localement », à propos
de tel fragment ou détail d’OD observée, ce que la réalisation de ces moments a ainsi permis
de produire.
Dans la suite, on apportera des éléments nouveaux uniquement dans le cas du topos et du
milieu didactique. Le reste est repris brièvement à partir des notes des séances précédentes.
4.2.1. La création du temps didactique [chronogenèse]
Le temps de l’horloge passe, mais le temps ainsi consommé aura-t-il permis une production
de savoir appropriée ? Ou bien y a-t-il eu, au contraire, sous-production, ou production
inadéquate (parce qu’on s’est trop hâté, par exemple) ? Une organisation idoine de l’étude
doit produire un temps didactique qui revienne à créer, conformément à la programmation
arrêtée, les OM que l’on aura déterminées (et dont la mise en place est prévue par le
programme d’études en vigueur).
L’analyse de la création du temps didactique passe par l’analyse de l’OM qu’elle aura permis
de créer : aura-t-elle – par exemple – engendré une technologie bien adaptée, ouverte sur
l’avenir, etc. ? Aura-t-elle assuré une synthèse efficace, appuyées sur des bilans précis, etc. ?
La chronogenèse ne se mesure qu’en prenant ainsi en compte la qualité des OM construites.
Une chevauchée rapide à travers un thème d’études n’est nullement équivalente à une
chronogenèse de qualité, productrice d’un temps didactique qui ne soit pas illusoire : le temps
de l’horloge peut passer sans qu’avance sensiblement le temps du savoir. Une erreur
commune, à cet égard, est de tenter de « prendre des raccourcis » alors que, contre un certain
sens commun, pour « aller vite et bien » (du point de vue didactique), il faut savoir renoncer à
aller trop vite – « à la va-vite ». Il faut savoir temporiser. En d’autres termes, il convient de se
PLC2Maths0809_Seminaire6
32
régler sur l’adage latin Festina lente (« Hâte-toi lentement ! »), qu’un commentateur
d’aujourd’hui rend ainsi : « Ne nous pressons pas : nous n’avons pas de temps à perdre. »
4.2.2. La création du milieu didactique [mésogenèse]
Ce qu’on nomme usuellement le milieu didactique est l’ensemble des moyens et ressources
didactiques (de nature théorique, expérimentale, etc.), qui sont nécessaires ou utiles à la
création en classe des OM prévues par le programme d’études.
L’expérimentation et la déduction sont, dans la classe de mathématiques, les deux principaux
types de milieu. Par exemple, dans le cas de l’observation en classe de 5e sur les propriétés du
parallélogramme, le moment technologico-théorique s’est essentiellement appuyé sur une
vérification expérimentale du résultat précédemment conjecturé, et ce à l’aide d’un logiciel
de géométrique dynamique.
Î Exemple
On reste ici dans le cadre de l’étude de faits géométriques, en se plaçant dans le cas de la
construction du cercle circonscrit à un triangle en classe de 5e. Dans le cas du concours des
médiatrices, la déduction théorique paraît incontestable : si les points A, B, C ne sont pas
alignés, les droites (AB) et (BC) ne sont pas parallèles et les médiatrices de [AB] et [BC],
perpendiculaires à des droites non parallèles, sont donc sécantes en un point O qui est ipso
facto équidistant de A, B et C. Mais comment la vérifier expérimentalement ? La chose n’est
pas si facile qu’il y paraît !
• Le programme de la classe de 6e indique que les élèves doivent « connaître et utilise la
définition de la médiatrice ainsi que la caractérisation de ses points par la propriété
d’équidistance » et « utiliser différentes méthodes pour tracer […] la médiatrice d’un
segment ». Ces mentions sont reprises dans le programme de 5e, la colonne « Commentaires
spécifiques pour le socle » mentionnant en outre : « Au niveau des exigibles du socle, il suffit
de connaître une méthode de construction. » Par ailleurs, le programme de 6e – dans les
commentaires spécifiques pour le socle – précise : « On travaillera à la fois les constructions
sur papier par les outils de dessin traditionnels et les constructions à l’aide d’un logiciel de
géométrie. » On peut donc être amené à construire les médiatrices « à la règle et au compas »,
mais nous allons voir ici que la règle et le compas ne constituent pas le système d’instruments
le plus adéquat pour mener à bien une vérification expérimentale du concours des médiatrices
d’un triangle.
c Soit à établir expérimentalement que, dans un triangle ABC, le fait spatial suivant a lieu :
les médiatrices des trois côtés sont concourantes. Supposons, plus précisément, que l’on
veuille établir ce fait spatial en établissant que le point d’intersection de deux des trois
médiatrices est en fait équidistant des trois sommets A, B, C.
d On choisit de procéder ainsi : désignant par O le point commun aux médiatrices de [BC] et
[CA], on se propose de vérifier que le cercle de centre O passant par C passe aussi par A et B.
L’expérience graphique à réaliser peut être représentée par le schéma suivant, dont la
précision importe peu pourvu qu’elle n’entraîne pas d’ambiguïté de lecture (le schéma d’une
expérience graphique gagnera d’ailleurs à être tracé « à main levée »).
Classe de 5eD – Expérience
Les médiatrices de [BC] et
[CA] se coupent en O. Le
cercle de centre O passant par
C passe-t-il par B et A ?
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33
e La réalisation de l’expérience graphique, qui revient au tracé d’une épure, révèle pourtant
des difficultés : en général, le cercle ne passe pas « exactement » par B et C, comme ci-après.
A
O
C
B
f La raison d’un tel phénomène se trouve évidemment dans l’imprécision du tracé : les
milieux de [BC] et [CA] ne sont pas exactement… au milieu ; les médiatrices, même si elles
passent par les milieux des côtés, ne sont pas exactement perpendiculaires aux côtés ; le cercle
de centre O passant par C ne passe pas exactement par C et n’est peut-être pas exactement de
centre O...
g Avant d’imputer ces faits à la maladresse ou au manque de soin des élèves, il convient de
voir que, à moins que l’on ne triche, il s’agit là d’un phénomène inévitable, même si son
ampleur peut être plus ou moins réduite.
− La figure précédente a été obtenue à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique en
introduisant (volontairement) de très légères erreurs (les médiatrices ne passent pas
exactement par les milieux I et J), ce que montre plus nettement la figure ci-après :
A
J
O
C
I
B
− Ce phénomène peut être précisé par le calcul. (La petite étude mathématique qui suit, ainsi
que ses multiples variantes possibles, qui ont le mérite de partir d’un vrai problème –
comment expliquer objectivement l’à-peu-près des tracés géométriques ? – pourront utilement
être menées à bien en classe de 2de.) Considérons le cas particulier de la figure suivante, où le
point H est le projeté orthogonal de A et où AH = HC = 4 et BH = 2.
A
O
B
PLC2Maths0809_Seminaire6
H
C
34
Par rapport au repère (H, C, A), les médiatrices de [BC] et [CA] ont x = 1 et y = x pour
équations, et le point O a donc pour couple de coordonnées (1, 1). Supposons alors que, par
suite d’une erreur de tracé, la médiatrice de [BC] soit remplacée subrepticement par la droite
d’équation x = 1+ε, avec ε « petit ». Le point O est alors remplacé par le point Oε de
coordonnées (1+ε, 1+ε) ; le point C ayant pour coordonnées (4, 0), le rayon OC est remplacé
par
OεC =
[4–(1+ε)]2 + (1+ε)2 =
10 – 4ε + 2ε2.
Par ailleurs, le point B ayant pour coordonnées (–2, 0), on a
OεB =
[–2–(1+ε)]2 + (1+ε)2 = 10 + 8ε + 2ε2.
On voit ainsi que l’on a OεB ≥ OεC ou OεB ≤ OεC selon que ε ≥ 0 ou ε ≤ 0, l’égalité se
produisant si et seulement si ε = 0. Lorsque ε ≠ 0, donc, le cercle ne passe pas par B.
− Supposons, pour fixer les idées, que ε > 0, et considérons la différence
δε = OBε – OCε =
δε
10 + 8ε + 2ε2 –
10 – 4ε + 2ε2 =
12ε
.
10 + 8ε + 2ε + 10 – 4ε + 2ε2
2
6
≈ 1,89736… Même avec une erreur ε « petite », presque invisible à l’œil
10
pressé ou non éduqué, la distance δε, qui est presque deux fois plus grande, peut fort bien être
nettement visible.
On a : lim
ε→0+ ε
=
− Dans le cas très simplifié examiné, on peut encore préciser les choses en étudiant
l’application
xa
12x
10 + 8x + 2x2 + 10 – 4x + 2x2
sur l’intervalle [0 ; 0,2] (par exemple). (La courbe représentative admet pour tangente à
6
l’origine la droite d’équation y =
x, avec laquelle elle se confond pratiquement ici.) On
10
obtient ce qui suit :
Si l’erreur ε est de 0,9 mm, le point B est a une distance δε du cercle de plus de 1,5 mm, ce qui
commence à se remarquer ; si ε est de 1,8 mm, δε dépasse 2,5 mm !
h Il n’est guère possible d’éliminer les très petites erreurs : dans certains cas, elles se
compenseront à peu près, tandis que, dans d’autres cas, elles se cumuleront, sans pour autant
qu’on puisse conclure que le dessinateur – l’élève – a été plus maladroit qu’un autre.
− En réalité, il faudra, dans la réalisation d’épures « aux instruments » en vue d’une
expérimentation graphique admettre le principe expérimental suivant : si les points sont
presque sur le cercle dans toutes les réalisations de l’expérience graphique, on devra
considérer que, aux imprécisions de tracé près, le cercle passe effectivement par ces points, et
PLC2Maths0809_Seminaire6
35
on tiendra alors la chose pour un fait spatial expérimentalement établi, ou du moins très
hautement vraisemblable.
− On pourra encore appliquer le principe suivant : lorsqu’on agrandit le tracé dans un rapport
n = 2, 3…, si la distance δ du point B au cercle n’était pas due aux imprécisions du tracé, elle
serait elle aussi augmentée dans le rapport n choisi ; s’il n’en est pas ainsi, on conclura que le
phénomène observé résulte très vraisemblablement de l’imprécision du tracé.
− À titre d’exemple, on examinera les figures ci-après, réalisées à l’aide d’un logiciel de
géométrie : les triangles ABC et A’B’C’ sont homothétiques l’un de l’autre dans le rapport
2±1, tandis que les erreurs de tracé sur les médiatrices (non représentées) sont les mêmes : les
distances δ et δ’ ne sont visiblement pas dans le rapport 2±1.
A
’
A
B
C
B
’
C
’
i Les difficultés évoqués se retrouvent en fait dans les dessins des manuels d’autrefois, où
elles sont, bien sûr, réduites par l’habileté du dessinateur (qui, en général, était un
professionnel), et, surtout, masquées, en particulier par… l’épaisseur des traits (ce qui fait de
ces dessins des schémas plutôt que des épures).
− On examinera à cet égard le dessin suivant, extrait d’un manuel de 5e publié en 1958.
− La pratique du « maquillage » plus ou moins habile, destiné à pallier les imprécisions du
tracé, se retrouvent même dans les ouvrages de dessin technique, comme dans cet ouvrage,
paru en 1957 (et destiné, certes, à former modestement au « dessin géométrique » les
candidats au certificat d’études primaires), dont on a extrait les figures ci-après.
PLC2Maths0809_Seminaire6
36
• Pour terminer, notons que le programme de 6e comporte le commentaire suivant.
Les procédés utilisés pour la reproduction ou la construction dépendent des indications fournies
à l’élève et des instruments disponibles. Pour les figures suivantes : cerf-volant, losange, carré,
triangle isocèle, triangle équilatéral, leur construction à la règle graduée et au compas est un
objectif de la classe de sixième (dans la mesure où la construction ne fait pas intervenir le
parallélisme).
− L’idée de « système d’instruments » affleure dans le passage cité. Or cette notion est
indispensable dans la culture de la classe pour permettre de comprendre l’activité de la classe,
tant devant des problèmes de construction de figures que des problèmes de conduite de
calculs notamment. Plus généralement, c’est l’idée de résoudre un problème sous des
contraintes données qui doit émerger dans la culture de la classe.
− L’instrument expérimental pertinent dans le cas envisagé ici est certainement le
quadrillage, qu’il faut évidemment apprendre à utiliser. Mais cela aussi devrait être fait
depuis la 6e, classe dont le programme précise ceci.
Les travaux géométriques sont conduits dans différents cadres : espace ordinaire (cour de
récréation, par exemple), espace de la feuille de papier uni ou quadrillé, écran d’ordinateur. La
résolution des mêmes problèmes dans ces environnements différents, et les interactions qu’elle
suscite, contribuent à une approche plus efficace des concepts mis en œuvre.
− En prenant des configurations adéquates (à déterminer…), on obtiendra alors des épures
« exactes », comme ci-après.
4.2.3. Création d’un « lieu » pour le professeur et d’un « lieu » pour l’élève [topogenèse]
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On parlera du topos du professeur et du topos de l’élève. « Topos » signifie, en grec, « lieu »
(qui vient du latin locus) : on le retrouve dans « topologie », « topographie », etc. Quel est
donc le topos – c’est-à-dire le lieu – offert aux élèves dans l’étude d’une question Q
(comment accomplir la tâche t ?) génératrice d’une certaine OM ? Solidairement, bien sûr,
quel est le topos alloué au professeur ? L’examen du topos de l’élève (et de celui du
professeur) suppose l’investigation de l’ensemble des gestes didactiques que la création d’une
OM peut supposer, à propos de chacun des moments de l’étude. Quelle est, ainsi, la place de
l’élève dans l’élaboration de la technique ? dans l’élaboration de la technologie qui lui est
relative ? etc.
Pour préciser cette présentation, introduisons un couple de notions : la notion de rôle et la
notion de topos. Les tâches didactiques sont en général des tâches coopératives, c’est-à-dire
dans l’accomplissement desquelles il y a une intrication plus ou moins forte entre les
« gestes » que doit accomplir le professeur (« donner un DM », « corriger les travaux des
élèves », etc.) et les « gestes » que doivent accomplir les élèves (« faire l’exercice », « suivre
la correction du devoir », etc.). L’ensemble réglé des gestes dévolus au professeur et
l’ensemble réglé des gestes dévolus à l’élève définissent respectivement le rôle du professeur
et le rôle de l’élève. Les rôles en question sont interdépendants : le professeur ne peut guère
jouer son rôle si les élèves n’assument pas le leur, et réciproquement ! Mais au sein de ces
rôles, on voit apparaître un sous-système de gestes que chacun des deux partenaires accomplit
de façon relativement indépendante de l’intervention de l’autre : il faut que les élèves rendent
leurs travaux pour que le professeur puisse les corriger, mais une fois la chose faite, la
correction des copies se fait de manière autonome, hors de la présence des élèves par
exemple. De même, il faut que le professeur donne un DM pour que l’élève puisse le faire ;
mais la chose faite, l’élève opèrera « en autonomie didactique », hors la présence du
professeur. L’ensemble des « gestes » que chacun doit accomplir en autonomie constitue son
topos. Le rôle du professeur lui impose en principe de veiller à ce que l’élève dispose d’un
topos adéquat qu’il vienne effectivement occuper, sans quoi les apprentissages visés ne
pourront guère se faire : c’est bien évidemment une question cruciale.
Î Exemple 1
Ainsi, s’agissant de tracer une figure en géométrie, l’activité de nomination (de points, de
droites, d’angles) relève-t-elle traditionnellement (et de manière souvent non explicite) du
topos du professeur, et non de celui de l’élève ; en conséquence, ce dernier ne pourra
conquérir, du moins du seul fait de son activité en classe, une véritable autonomie didacticomathématique en la matière.
Î Exemple 2
Traditionnellement, de même, les élèves de Terminale scientifique sont initiés à l’étude des
suites arithmético-géométriques, de la forme un+1 = aun + b (où a ≠ 1 et b ≠ 0). Ici, la
dépendance didactique des élèves prend la forme suivante : le professeur (ou l’énoncé) doit
fournir à l’élève le nombre l tel que la suite de terme général un – l soit une suite
géométrique, sujet d’étude sur lequel les élèves sont alors censés être autonomes. Il n’est pas
prévu, dans ce cadre topogénétique, que les élèves aient à « produire » eux-mêmes le
paramètre l (ce qui par exemple sera demandé l’année d’après aux élèves des classes
préparatoires). Le nombre l est simplement le point fixe solution de l’équation l = al + b, soit
b
l=
. En soustrayant l’égalité l = al + b de l’égalité un+1 = aun + b on obtient en effet
1–a
aussitôt : un+1 – l = a(un – l).
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Î Exemple 3
On partira d’une question posée par une professeure stagiaire il y a quelques années.
Doit-on attendre des élèves de passer de l’expression développée –2x2 + 12x + 3 (par exemple) à
la forme canonique –2(x – 3)2 + 21 ? Ou bien doit-on se contenter de leur demander de montrer
l’égalité –2x2 + 12x + 3 = –2(x – 3)2 + 21 ?
On peut reformuler ainsi la question posée : doit-on faire que le topos de l’élève de 2de en
vienne à contenir le type de tâches qui fait passer d’une expression du second degré
quelconque à la forme « canonique » d’icelle ? Ou bien ce type de tâches doit-il rester dans le
topos du professeur, en sorte que, pour effectuer une telle opération, l’élève restera – du
moins en classe de 2de – dépendant du professeur (ou de l’énoncé), qui devra le faire « à sa
place ».
D’une manière générale, le topos de l’élève n’est pas constitué seulement de ce que l’élève a
à faire. Il est fait aussi, de manière cruciale, de ce que l’élève peut faire, par exemple lorsque,
pour la première fois, il rencontre un type de tâches promis en fin de compte à entrer dans son
topos. Ce qu’il peut faire devant tel problème dépend évidemment du topos qui se sera
construit jusque-là pour lui et que lui-même sera venu occuper (on peut à cet égard distinguer
le topos assigné et le topos occupé). Supposons que l’expression –2(x – 3)2 + 21 soit appelée
par le désir de déterminer le maximum de l’expression –2x2 + 12x + 3. Dans un certain milieu
didactique qui, aujourd’hui, existe encore bien peu, l’élève peut d’abord faire tracer par une
calculatrice graphique la courbe représentative de la fonction x a –2x2 + 12x + 3, comme ciaprès.
Il semble que le maximum soit atteint pour x = 3, valeur en laquelle l’expression étudiée vaut
3(–6 + 12) + 3 = 21. On peut alors être porté à écrire –2x2 + 12x + 3 = 21 – P(x) où P(x)
devrait être positif pour tout x, et nul en x = 3. Comme P(x) est de degré 2, on doit s’attendre à
ce que P(x) = k(x – 3)2. On a en fait : P(x) = 21 – (–2x2 + 12x + 3) = 2x2 – 12x + 18 = 2(x2 – 6x
+ 9) = 2(x – 3)2. On aurait pu aussi procéder par identification : –2x2 + 12x + 3 = 21 – P(x) ⇔
–2x2 + 12x + 3 = 21 – k(x – 3)2. Comme on doit avoir 21 – 32k = 3, il vient k = 2 ; il ne reste
plus alors qu’à vérifier que –2x2 + 12x + 3 = 21 – 2(x – 3)2.
On voit ici que le fait de donner simplement aux élèves cette dernière vérification à faire
élimine tout un travail mathématique qui pourra rester indéfiniment hors du topos de l’élève
(et peut-être du professeur…), appauvrissant d’autant son « expérience mathématique ». À cet
égard, le fait de mettre entre les mains des élèves la technique consistant à écrire ax2 + bx =
b 2 b2
a⎛⎜x + ⎞⎟ – 2 n’est qu’une autre manière de neutraliser le travail évoqué, et d’enrichir le
2a⎠
4a
⎝
milieu didactique tout en le privant d’une expérience et de savoir-faire didactiques sans
lesquels la technique dévoilée risque fort de n’être qu’une recette immotivée et, pour cela,
pauvre d’emplois.
4.2.4. La quatrième fonction à assurer est celle de la dialectique du groupe et de l’individu
(qui relève d’abord de l’OD, et pas seulement de la gestion de la séance). C’est en effet non
seulement le topos de l’élève « générique » qui devra être évalué, mais aussi le topos
particulier à tel ou tel élève de la classe ou à telle ou telle « catégorie » d’élèves (filles et
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garçons, « forts » et « faibles », etc.). La gestion du groupe est-elle attentive à chacun ? Ou
bien laisse-t-elle se créer et perdurer une géographie didactique visible et invisible de la classe
avec des lieux d’activité et des foyers d’inactivité ? En d’autres termes, la classe est-elle un
bon outil au service des apprentissages de chacun de ses membres ? Inversement, ceux-ci ontils la possibilité concrète de contribuer, chacun à sa mesure et à sa façon, à la vie et au travail
de la classe pour qu’il en soit ainsi ?
4.3. L’évaluation de la gestion de la séquence ou de la séance
La question de l’évaluation de la gestion de la séance fera l’objet de remarques assez brèves.
Lorsque le professeur entre dans la classe, ce qui va advenir au plan didactique et
mathématique est en grande partie fixé : les dés sont jetés – plus ou moins. Si, par exemple,
l’activité que le professeur a prévu de proposer aux élèves est grossièrement sur-calibrée ou
sous-calibrée, il est vraisemblable que le niveau sonore va monter, les élèves vont désinvestir
rapidement le topos prévu pour eux, etc. : aucune « gestion de classe » ne peut compenser
entièrement un choix de contenus d’activité inadéquat.
En revanche, il est vrai qu’une gestion inadéquate des processus de chronogenèse (on perd du
temps sans avancer, ou au contraire on fait une économie de temps qui se révèlera
dommageable), de mésogenèse (on ne construit pas les outils du travail expérimental utile, ou
au contraire on met en place des ressources sans grande utilité, qui diminuent la lisibilité du
système de travail de la classe), de topogenèse (on réduit à l’extrême le topos de l’élève, ou au
contraire on abandonne l’élève en un topos trop vaste, non structuré et en quelque sorte non
« viabilisé ») conduit aisément à ne pas réaliser en classe les promesses du travail réalisé par
le professeur en amont de la classe. À cela s’ajoute, de façon essentielle, le traitement de la
dialectique du groupe et de l’individu. On sera donc attentif à la qualité de la prise en charge
des quatre fonctions présentées ci-dessus.
On notera pour terminer que s’il est vrai que le topos de l’élève s’inscrit d’abord dans
l’organisation didactique (qui prédéfinit le topos « assigné »), il se réalise concrètement (il
devient topos « occupé ») par l’activité des élèves et dépend donc de la gestion de la séance
par le professeur.
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