Rapport PFE Rakhis Ilyas et Ezzouine Fatima

Résumé :
Dans le cadre de la nouvelle réforme de Bâle II, la Banque Marocaine de Commerce
Extérieur a lancé de grands projets pour s’adapter aux nouveaux enjeux de la gestion de
risque imposés par cette nouvelle réglementation ainsi que les défis caractérisant le marché
financier international.
L’objectif du présent projet de fin d’étude est la diversification du portefeuille de la
BMCE et ceci via la quantification et la mise en place des limites de concentration de
risque de crédit par contrepartie, par secteur d’activité et par zone géographique. Ce travail
s’articule autour de trois volets : la mesure de risque de crédit par secteurs d’activités, par
rating et zone géographique, la distribution des pertes et consommation des fonds propres
économiques afin de déterminer la structure du portefeuille ainsi que les limites de
concentration.
Pour la réalisation de cette tâche, nous avons choisi d’appliquer deux modèles de
gestion de risque : CreditMetrics et CreditRisk+ tout en faisant appel aux outils
informatiques : SPSS, SGBD Access et EXCEL.
Mots clés : risque de crédit, la perte, la probabilité de défaut, rating, la VaR, CreditMetrics,
CreditRisk+, Bâle II.
Citation
« BETTER RISK MEASUREMENT, BETTER RISK MANAGEMENT »
Projet de fin d’étude
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Rapport
Table des matières
Tables des matières :
Remerciement : .................................................................................................................. - 5 Liste des abréviations : .................................................................................................... - 6 Figures et Tables : ............................................................................................................ - 7 Avant-propos : .................................................................................................................. - 8 Introduction : ................................................................................................................... - 9 I
POLE ENGAGEMENTS ET RISQUES DE LA BMCE BANK : .................... - 11 I.1.
Présentation de la BMCE BANK : ............................................................... - 11 I.2.
Les activités des entités de la Banque: ......................................................... - 12 I.2.1 Les métiers du groupe BMCE BANK : ....................................................... - 12 I.2.2 Le réseau clientèle Maroc : .......................................................................... - 12 I.2.3 L’activité internationale : ............................................................................. - 13 I.2.4 La banque d’affaires : .................................................................................. - 13 I.2.5 Les filiales : .................................................................................................. - 13 I.1.
Pôle Engagements et Risques :...................................................................... - 14 I
LE RISQUE :.......................................................................................................... - 16 I.1
Définition : ....................................................................................................... - 16 I.2
Les types de risque : ......................................................................................... - 16 II LE RISQUE DE CREDIT : .................................................................................. - 17 II.1
Définition : ....................................................................................................... - 17 II.2
Modèle de risque de crédit : ............................................................................. - 17 III
DE BALE I A BALE II : ................................................................................... - 19 IV
LA MESURE DES RISQUES : ........................................................................ - 22 IV.1 Value-at-risque :............................................................................................. - 22 I
LE MODELE DE KMV : ...................................................................................... - 27 I.1
Préliminaires: ................................................................................................... - 27 I.2
Hypothèses du modèle : ................................................................................... - 27 I.3
Le paramétrage du modèle : ............................................................................. - 27 I.3.1 Calcul des probabilités de défaut individuelles : ......................................... - 27 I.3.2 Le moteur de corrélation : ............................................................................ - 29 I
LE MODÈLE CREDITMETRICS: ......................................................................... - 32 I.1
Evaluation du risque de crédit : méthodologie : ......................................... - 33 I.1.1 Mesure du risque : ..................................................................................... - 33 I.1.2 Méthode de valorisation : .......................................................................... - 33 I.1.3 Calcul des probabilités : ............................................................................ - 34 I.1.4 Estimation des corrélations entre rendements actifs :............................ - 35 I.2
Mise en œuvre de la méthodologie : ............................................................. - 36 I.2.1 Matrice de transition : ............................................................................... - 36 I.2.2 Rendements de transition : ....................................................................... - 37 I.3
Modélisation des corrélations entre rendements d’actifs : ........................ - 37 I.4
Simulation des rendements des actifs : ........................................................ - 38 I.5
Reconstitution des notations à l’horizon : ................................................... - 38 I.6
Calcul des facteurs d’actualisation : ............................................................ - 38 I.7
Application aux données de la Bmce Bank: ............................................... - 38 -
Projet de fin d’étude
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Rapport
Table des matières
I.7.1 Statistique descriptive : ............................................................................. - 38 I.7.2 Application : ............................................................................................... - 39 I
LE MODELE CREDITRISK+ : ........................................................................... - 45 I.1
Une approche économique de la gestion du risque de crédit :................... - 45 I.1.1 La mesure du risque de crédit : ................................................................ - 45 I.1.2 L’objectif : une distribution de perte de crédit : ..................................... - 45 I.1.3 Principes et hypothèses de base : .............................................................. - 46 I.2
Données pour l’implémentation : ................................................................. - 47 I.2.1 Probabilité de défaut (PD) : ...................................................................... - 47 I.2.2 La perte en cas de défaillance (loss given default ou LGD) : ................. - 48 I.2.3 L’exposition en cas de défaillance (Exposure At Default ou EAD) : .......... - 48 I.2.4 Modèle d’évaluation du risque de crédit : ............................................... - 49 I.3
Développement du modèle : .......................................................................... - 49 I.3.1 Méthodologie du modèle CreditRisk+ du risque de crédit : ................... - 49 I.4
Modélisation des probabilités de défaut : ................................................... - 51 I.5
Formalisation mathématique / Applications : ............................................. - 53 I.5.1 Modélisation à taux de défaut fixes : ........................................................ - 53 I.5.2 Procédures de calcul de la Value-At-Risk : ............................................. - 58 II.5.3
Modélisation à des taux de défaut aléatoires :..................................... - 60 II.6 Allocation de capital : .................................................................................... - 65 II.6.1
La contribution en risque :.................................................................... - 65 II.6.2
Concept et analyse RAROC : Risk Adjusted Return On Capital : ... - 67 II.6.3
Capital économique marginal :............................................................. - 68 II.7.2
Limites par contrepartie : ..................................................................... - 73 II.7.3
Limites par zone géographique : .......................................................... - 75 II.
COMPARAISON ENTRE LES MODELES : ................................................ - 77 -
Projet de fin d’étude
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Rapport
Remerciement
Remerciement :
On se place dans des situations difficile lorsqu'il nous est demandé de prononcer en
faveur de ceux ou celles qui nous ont porté conseil, soutien et bienveillance, des mots de
gratitudes qui puissent combler l'immense contrepartie qu'ils nous ont générée.
Nous tenons à remercier vivement notre professeur Mme N.ZAOUJAL pour avoir
accepté de nous encadrer ainsi que le temps qu’elle nous a consacré pendant la période de
notre stage.
Nous remercions également Mr.Mostapha HABOUCHA pour nous avoir accordé ce
stage ainsi que pour son accueil au sein de la D.G.G.R.
Nous tenons à exprimer notre reconnaissance et notre profonde gratitude à
Mr.Mounir NOUZHANI et Mr.Mounssif MOUTANABBIR pour nous avoir prodigué tout
au long de ce travail, conseils , collaboration et encouragements.
Nos remerciements vont aussi à tout le personnel de la D.G.G.R pour leur accueil et
leur soutien.
Nous remercions aussi Mr. Hamid Lotfi pour sa collaboration et ses
encouragements.
Nous conservons un remerciement spécial à Mr. Lahcen ACHY d’avoir accepter
de faire partie des membres du jury.
Enfin, nous devons exprimer nos remerciements à toute personne ayant participé de
près ou de loin à la réalisation de ce mémoire.
Projet de fin d’étude
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Rapport
Liste des abréviations
Liste des abréviations :
BMCE : Banque Marocaine de Commerce Extérieur
RMA : Royale Marocaine des Assurances
RCM : Réseau clientèle Maroc
CA : Chiffre d’affaires
D.G.G.R : Direction gestion globale de risque
D.A.G.C : Direction Analyse et Gestion des Crédits
RC : Ratio de Cooke
FP : Fonds propres
EPC : Encours pondérés de crédits
VaR : Value-at-risque
DD : Distance au défaut
EL : Expected loss (Perte attendue, perte anticipée, perte moyenne)
ES : Rendement du spread
PD : Probabilité de défaut
LGD : Loss given default (perte en cas de défaillance)
EAD : Exposure at default (exposition en cas de défaillance)
RAROC: Risk adjusted return on capital
UL: Perte inattendue, perte non anticipée, perte exceptionnelle
Projet de fin d’étude
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Rapport
Figures et Tables
Figures et Tables :
Figure 1: Le tour de la Table de la Bmce Bank ............................................................... - 11 Figure 2 : Organigramme de la Direction Gestion Globale de Risque ............................ - 15 Figure 3 : Les piliers de la réforme de Bâle II ................................................................. - 21 Figure 4 : Comparaison risque de marché-risque de crédit ............................................. - 33 Figure 5: Distribution de la valeur actuelle du portefeuille ............................................. - 42 Figure 6: Eléments de l’output de la modélisation .......................................................... - 46 Figure 7: Structure de la composition de lois de distribution .......................................... - 50 Figure 8: Méthodologie du modèle élaboré ..................................................................... - 51 Figure 9: Portefeuille Moyenne-Variance ....................................................................... - 53 Figure 10: Représentation graphique de la loi de Poisson de paramètre 2,58 ................. - 55 Figure 11: Distribution cumulée des pertes agrégées avec taux de défaut fixes ............. - 59 Figure 12: Distribution cumulée de la perte .................................................................... - 65 Table 1: la répartition de la charge en fonds propres selon Bâle II ................................. - 21 Table 2: Matrice de transition à un an de Standard&Poor’s ............................................ - 35 Table 3: Statistique descriptive du portefeuille ............................................................... - 39 Table 4 : Répartition en fonction de la classe de rating ................................................... - 39 Table 5 : les nouvelles classes de rating avec leurs probabilités de défaut...................... - 40 Table 6 : Matrice de transition à un an ............................................................................ - 40 Table 7: Taux forward pour le portefeuille. ..................................................................... - 41 Table 8: Valeur actuelle du portefeuille........................................................................... - 42 Table 9 : Calcul de la VaR pour notre portefeuille .......................................................... - 43 Table 10 : La VaR pour notre portefeuille ....................................................................... - 43 Table 11 : Probabilités de défaut par notation ................................................................. - 48 Table 12: Notation ........................................................................................................... - 56 Table 13: Exposition et perte attendue en L .................................................................... - 56 Table 14 Notation ............................................................................................................ - 57 Table 15 : Illustration de la simulation de Monte Carlo .................................................. - 58 Table 16: Calcul de la VaR et perte attendue .................................................................. - 59 Table 17 : Illustration de la simulation de Monte Carlo .................................................. - 64 Table 18: la VaR .............................................................................................................. - 65 Table 19: la contribution de quelques contreparties ........................................................ - 67 Table 20: le RAROC pour le portefeuille ........................................................................ - 68 Table 21 : Le ratio rentabilité/risque................................................................................ - 69 Table 22: La part d’exposition pour chaque secteur ........................................................ - 72 Table 23: La contribution en risque de chaque secteur d’activité ................................... - 73 Table 24: Les limites de concentration de quelques contreparties .................................. - 74 Table 25: La part d’exposition pour chaque zone géographique ..................................... - 75 Table 26 : La contribution en risque des zones géographiques ....................................... - 76 Table 27 : Etude comparative entre les trois modèles ..................................................... - 77 -
Projet de fin d’étude
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Rapport
Avant-propos
Avant-propos :
Les banques sont présentes dans le système financier afin de servir
d’intermédiaires entre les fournisseurs de capitaux et les utilisateurs de ces capitaux qui
sont habituellement les contreparties. D’un côté, elles récoltent les dépôts des particuliers
et de l’autre, elles les distribuent aux firmes qui désirent financer des projets.
Au cours de ses activités principales, la banque fait face à plusieurs risques, tel que
le risque de marché, mais le plus important, et celui ayant le plus d’impact sur les
opérations des institutions financières, est sans contredit le risque de crédit. Cette forme de
risque est une conséquence des transactions contractées entre les utilisateurs de fonds et
ceux qui les offrent. Le risque de crédit est la forme de risque la plus ancienne présente
dans les marchés financiers et est vraisemblablement la catégorie de risque la plus
importante en terme de volume dans les marchés financiers actuels. De plus, le risque de
crédit préoccupe beaucoup les autorités à cause de la perception générale de la relation
entre la stabilité des institutions financières et la conjoncture économique.
Projet de fin d’étude
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Rapport
Introduction
Introduction :
Le secteur bancaire marocain ainsi qu'international connaît un ensemble de
changement dans sa réglementation régie par les instances internationale à savoir les
réglementations de Bâle.
Cette réglementation, dans sa nouvelle version Bâle II, stipule aux banques
d'adopter un système de gestion de risque pour une évaluation plus objective et correct des
risques de crédit, de marché et opérationnel.
Les objectifs de notre projet, consacré au risque de crédit, sont la quantification et
la mise en place des limites de concentration de risque de crédit. Ce risque de concentration
est tout encours unique, ou groupe d’encours, qui peut produire potentiellement une perte
importante (par rapport aux fonds propres, au total des actifs et au niveau global des risques
de la banque) qui peut menacer la situation d’une banque. Le risque de concentration est la
plus importante cause des problèmes majeurs des banques. Avant la détermination de ces
limites de concentration, il s’agit d’adopter des modèles pour la détection du risque, la
mesure de la perte potentielle associées à un scénario défavorable de crédit, puis le calcul
des fonds propres alloués à la couverture du risque de crédit afin de mettre en place une
approche optimale d’allocation de capital entre les différentes activités de la banque
« consommatrices » de risque. L’objectif de la quantification du risque peut se concrétiser
par la réponse à la question « Si l’année à venir est une mauvaise année, combien allonsallonsnous perdre sur notre portefeuille de crédit ? ».
Pour répondre à cet objectif, nous avons opté pour l’application de deux modèles
CREDITMETRICS et CREDITRISK+, dédiés pour ce genre de modélisation, tout en nous
basant sur des paramètres quantitatifs et qualitatifs caractérisant un portefeuille
représentatif de la clientèle de BMCE Bank. Notre modélisation s’est basée essentiellement
sur les critères suivants: le secteur d’activités, la classe de notation rating et la zone
géographique, puisqu’ils forment un champ fréquent de risque,
Projet de fin d’étude
-9-
Rapport
Première Partie : Présentation & Problématique
Première partie :
Présentation & Problématique
Chapitre I : Présentation
Chapitre I :
I
POLE ENGAGEMENTS ET RISQUES DE LA BMCE BANK :
I.1.
Présentation de la BMCE BANK :
Vers la fin des années cinquante, le Maroc a connu une période de transition que
ce soit sur le plan politique, social ou économique. L'état se devait d'intervenir pour
remédier aux problèmes pouvant entraver la bonne marche et l'évolution du pays.
En effet, les pouvoirs publics se sont lancés dans la création d'organismes qui
seront la base sur laquelle reposera l'économie nationale tels que Bank Al Maghreb et la
Caisse de Dépôt et de Gestion.
C'est dans ce cadre qu'a été créée la Banque marocaine du Commerce Extérieur,
le 1er septembre 1959 avec pour mission principale le développement du commerce
extérieur.
Depuis sa création, la BMCE n'a cessé de se perfectionner en matière de produits
bancaires fournis aux clients, en plus de l'augmentation du nombre de ses agences, de ses
bureaux de représentation et de son effectif.
La BMCE a été privatisée, par la suite, en 1995, chose qui a considérablement
aidé à l'amélioration et l'expansion de la banque sur le plan national et surtout à
l'international, puisqu'elle possède des antennes à FRANKFORT, SHANGAI et plusieurs
autres villes dans le monde.
BMCE Bank fait aujourd’hui partie intégrante de “Finance.Com”.
Un groupe de grande envergure, qui s’est constitué autour de la Royale Marocaine
d’Assurances (RMA).
Le tour de table de la Banque est constitué de :
Figure 1: Le tour de la Table de la BMCE Bank
Source : Rapport annuel de le BMCE Bank pour l’an 2005
Projet de fin d’étude
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Rapport
Chapitre I : Présentation
I.2.
I.2.1
Les activités des entités de la Banque:
Les métiers du groupe BMCE BANK :
La diversification des champs de compétence de la BMCE lui permet de mieux
s’affirmer sur un marché financier de plus en plus concurrentiel. En effet, ses différents
métiers peuvent être classés ainsi:
Les métiers Produits :
•
•
•
•
•
•
•
Monétique ;
Crédit à la consommation ;
Assurance ;
Courtage ;
Gestion des actifs ;
Leasing ;
Factoring.
Les métiers intégrés Particuliers :
•
•
•
•
•
Services bancaires de base ;
Epargne ;
RME ;
Crédit Immobilier ;
Change manuel.
Les métiers intégrés Entreprises :
•
•
•
•
•
•
I.2.2
Services bancaires de base ;
Epargne ;
RME ;
Crédit de fonctionnement ;
Crédit d’équipement ;
International.
Le réseau clientèle Maroc :
La banque du réseau Maroc dédie ses efforts au renforcement du réseau d’agences,
au développement commercial et à l’amélioration de la productivité.
L’amélioration de la productivité constitue pour le RCM1, un axe stratégique
majeur, notamment à travers le développement des ressources humaines appropriées,
l’automatisation des tâches et des actions visant la sensibilisation à l’importance de la
maîtrise des frais généraux.
1
RCM : Réseau clientèle Maroc.
Projet de fin d’étude
- 12 -
Rapport
Chapitre I : Présentation
Les choix stratégiques de la banque du réseau vont dans le sens de l’amélioration de
la qualité du service, de la fidélisation de la clientèle et de l’accroissement du CA2, aussi
bien dans les domaines d’activité classique que dans ceux des nouveaux produits
financiers.
I.2.3
L’activité internationale :
La BMCE Bank est aussi la banque de l’international. En effet, elle est
représentée en France, depuis 1973, à travers sa succursale BMCE Paris et un réseau
d’Agences et de bureaux de représentation, en Espagne à travers une filiale de droit
espagnol instituée en 1993, au RU, en Allemagne, en chine et en Italie.
I.2.4
La banque d’affaires :
L’entité d’Affaire de la BMCE BANK regroupe l’ensemble de ses activités
autour de quatre métiers :
Asset Management - Gestion d’Actif, à travers sa filiale BMCE CAPITAL
GESTION ;
Intermédiation en bourse au sein de la filiale société de bourse BMCE
CAPITAL BOURSE ;
Les Marchés de Capitaux à travers la création d’une salle des marchés ;
Les métiers de Corporate finance et d’ingénierie financière à travers :
I.2.5
Une unité Corporate chargée du conseil et de l’accompagnement des
entreprises pour l’ensemble des opérations du haut de bilan.
Une unité Structured Finance–Financement Structurés, chargée de
développer les activités de financement sur le marché des capitaux.
Une unité Capital Développement, en charge de la gestion du fond
d’investissement.
Les filiales :
Parallèlement à son activité classique, la BMCE Bank a renforcé ses domaines
d’activités par la création d’entités spécialisées dans les métiers de la finance notamment le
Factoring, les crédits à la consommation, la gestion du portefeuille, etc.
Le groupe BMCE Bank a développé son activité financière à travers la création
ou la participation au capital des filiales financières :
Maroc Inter Titre : Cette société de bourse, filiale à 67,5% de la
BMCEBank, se positionne actuellement au deuxième rang de son domaine
d’activité avec une part de marché de 18%. MIT demeure l’un des acteurs
majeurs de la place de Casablanca.
Maroc Factoring : Créée à l’initiative de la BMCE qui détient 95% de son
capital. Cette entité est considérée comme étant pionnière de l’activité
2
CA : Chiffre d’affaires.
Projet de fin d’étude
- 13 -
Rapport
Chapitre I : Présentation
factoring aux Maroc. Maroc factoring offre aux entreprises différents produits s’articulant
autour de son activité principale :
Le financement immédiat de leurs factures, en totalité ou en partie ;
La gestion et le recouvrement des factures lieu et place du client ;
La garantie à 100% contre les risques des impayés sur les acheteurs privés.
ACMAR : Cette société d’assurance crédit est le seul opérateur au Maroc
dans le secteur. BMCE Bank détient 35% du capital de cette filiale. Elle offre une
couverture du risque d’impayés sur toutes les opérations traitées localement. La garantie
d’ACMAR s’inscrit dans le cadre d’un ensemble de service :
La prévention du risque en mettant à la disposition des assurés un service de
collecte de données économiques et financières sur un grand nombre de sociétés
marocaines leur permettant la sélection et la surveillance de leur clientèle ;
Le recouvrement : l’assuré peut s’en permette à ACMAR pour toutes les
démarches à entreprendre ;
L’indemnisation des assurés : remboursement des pertes subies du fait de
l’insolvabilité de leur client.
SALAFIN : Créée en 1997, SALAFIN est la société de crédit à
la consommation. Elle est filiale à 100% de la BMCE Bank, avec un capital de 100
millions de DH, elle se positionne parmi les sociétés de financement les mieux
capitalisées
au
Maroc. SALAFIN
intervient principalement en matière de
financement de l’acquisition de véhicules, les produits Locasalaf, la carte Oxygène
relative au crédit revolving… et s’attache à développer le segment du crédit personnel
sous convention employeur.
MAGRHEBAIL : Depuis plus de 25 ans, Magrhebail est le leader des
sociétés du crédit bail. Elle est filiale à 39% de la BMCE Bank et elle est à la tête des
sociétés avec 25% de part de marché.
INTERFINA : Filiale à 100% de la BMCE Bank, cette société
d’investissement créée en 1992, a pour objectif de promouvoir l’investissement et la
croissance économique soit dans le cadre de programme de privatisation, soit sous d’autre
formes de financement ou de prise de participation directe.
I.1.
Pôle Engagements et Risques :
Le Pôle Engagements et Risques est composé de deux directions :
•
•
Direction Gestion Globale des Risques D.G.G.R
Direction Analyse et Gestion des Crédits D.A.G.C
La Direction Gestion Globale des Risques a un rôle normatif critique, elle participe
activement à la définition de la stratégie d’intervention de la banque ainsi qu’à la
détermination des conditions et des limites de cette politique et ce à travers :
La proportion de la politique des risques de la banque;
Le suivi périodique de l’état du portefeuille de risque de la banque en
concordance avec la politique proposée.
Projet de fin d’étude
- 14 -
Rapport
Chapitre I : Présentation
Figure 2
: Organigramme de la Direction Gestion Globale de Risque
Source: Direction Gestion Globale de Risque
Quatre départements contribuent à la réalisation de la mission de la D.G.G.R à
savoir :
• Le Département Normes et Outils qui a pour mission de définir les normes
et les outils permettant la mise en application concrète de la politique des risques ainsi
que la participation à la surveillance des risques de crédit, de marché et opérationnel.
• Le Département Politique et Gestion du risque de crédit qui a pour mission
la maîtrise globale du risque par l’étude de la composition du portefeuille de crédits en
fonction des critères de risques.
•
Le Département Risque opérationnel groupe.
•
Le Département Surveillance permanente du risque de marché.
Ce projet s’est déroulé au sein de la Direction Gestion globale des Risques (voir
figure 2). Il est sensé répondre particulièrement à un parmi les besoins du Département
Politique et Gestion des risques de crédit.
Pour l’ensemble de la Direction, il s’agit de proposer la politique de risques de la
banque et de s’assurer périodiquement de l’état du portefeuille de risques de la banque par
rapport à cette politique.
Projet de fin d’étude
- 15 -
Rapport
Chapitre II : Problématique
Chapitre II
I
I.1
LE RISQUE :
Définition :
Le risque désigne un danger bien identifié, associé à l’occurrence d’un
événement ou d’une série d’événements, parfaitement descriptibles, qui sont probables
mais non sûr. C’est la probabilité qu'un effet spécifique se produise dans une période
donnée ou dans des circonstances déterminées.
La gestion des risques a pour objet de mesurer les risques pour les suivre et les
contrôler. Ses fonctions sont d’assurer une visibilité suffisante sur les résultats futurs et les
aléas qui les affectent. Il s’agit d’un outil de pilotage et d’un facteur concurrentiel de
première importance.
I.2
Les types de risque :
Les risques se divisent en trois grands types :
a) Le risque de marché :
Le risque de marché intéresse les activités de négociation sur les marchés de
capitaux. Le risque de marché est celui de déviations défavorables de la valeur de marché
des positions pendant la durée minimale requise pour liquider les positions. Ce type de
risque se divise en deux principaux risques :
Le risque de taux d’intérêt :
Le risque de taux d’intérêt est le risque de voir les résultats affectés
défavorablement par les mouvements des taux d’intérêt.
Le risque de change :
Le risque de change est analogue au risque de taux. C’est le risque d’observer des pertes
à cause des évolutions des taux de change.
b) le risque opérationnel :
Le risque opérationnel est défini comme le risque de perte résultant de processus
internes défaillants ou inadéquats, de personnes et de systèmes, ou d’événements externes.
Dans ce type de risque, on trouve : risque de désastre, risque de fraude, risque de traitement
et risque technologique.
c) le risque de crédit :
C’est l’objet de notre étude. Il sera traiter avec plus de détails dans ce qui suit.
En plus de ces trois risques, on trouve aussi :
d) Le risque de liquidité :
Le risque de crédit fait l’objet de diverses acceptions : l’illiquidité extrême ; le
matelas de sécurité que procurent les actifs liquides, ou la capacité à mobiliser des capitaux
à un coût normal.
Projet de fin d’étude
- 16 -
Rapport
Chapitre II : Problématique
e) Le risque de solvabilité :
Le risque de solvabilité est celui de ne pas disposer de fonds propres suffisants pour
absorber des pertes éventuelles. Par contre, le risque de contrepartie désigne le risque de
dégradation de la solvabilité des contreparties, et non celui de l’établissement prêteur.
II
LE RISQUE DE CREDIT :
II.1 Définition :
Le risque de crédit est le risque de perte inhérent au défaut d'un emprunteur par
rapport au remboursement de ses dettes (obligations, prêts bancaires, créances
commerciales...). Ce risque se décompose en :
a) Risque de défaut de la contrepartie :
Il se traduit par l’incapacité du débiteur à faire face à ses obligations de
paiements (paiement des intérêts ou remboursement du capital). Ce risque concerne les
activités traditionnelles de l’établissement de crédit, mais intervient encore dans le cadre de
son activité de marché. Les banques réalisent en effet un certain nombre d’opérations sur le
marché interbancaire et se trouvent de ce fait engagées les unes vis-à-vis des autres ce qui
génère des risques de contrepartie.
b) Risque de dépréciation de la qualité de signature d’un emprunteur :
La valeur des obligations et actions d’une entreprise dépend (au moins en partie)
de la confiance qu’elle inspire au marché, ce qui se traduit par la « qualité de la signature »
de l’émetteur. Cette composante du risque concerne avant tout les activités de marché.
Ainsi une anticipation négative du marché quant à la solidité financière d’un émetteur
entraîne la dégradation de la valeur de ses titres, et une banque possédant certains de ces
titres subit donc une perte. Ce risque de dépréciation peut avoir indirectement des
conséquences sur son activité de banque commerciale : le principe de provisionnement, par
le biais de provisions pour bad loans peut dégrader la solvabilité de la banque.
II.2 Modèle de risque de crédit :
Un modèle de risque de crédit a pour objectif d’optimiser la gestion du couple
risque/rentabilité d’un portefeuille de crédit. Sa fonction première est de quantifier le risque
potentiel maximum que peut générer un portefeuille de crédit, sous certaines hypothèses et
notamment du seuil de confiance choisi.
Les modèles de gestion du risque de crédit sont utilisés par les banques pour
différents usages :
La mesure des pertes potentielles ;
La mise en place d’un système d’allocation des fonds propres ;
La gestion d’un portefeuille de crédit ;
La tarification des crédits qui prennent en compte du risque économique.
Les composantes du risque de crédit sont le défaut ou la défaillance, l'exposition à
la date de défaut, les pertes en cas de défaut (attendues et inattendues), et l'horizon de
défaut.
Chapitre II : Problématique
i.
Défaillance :
La défaillance d'une entreprise exprime un état d'insolvabilité constaté à une
échéance donnée. Celui-ci engage l'entreprise dans un processus économique, juridique,
voire judiciaire, impliquant un ou plusieurs prêteurs. Il existe cependant, avant la cessation
des paiements et son éventuelle conséquence judiciaire le dépôt de bilan, une période de
vulnérabilité durant laquelle les créanciers, les actionnaires ou les régulateurs peuvent être
alertes des difficultés rencontrées par l'entreprise et mettre en oeuvre des mesures de
prévention (provision ou renégociation de dette, notamment).
Le Comité de Bâle définit le défaut de la façon suivante : « Un défaut de la part d'un
débiteur intervient lorsque l'un des événements ci-dessous se produit :
a) La banque estime improbable que le débiteur rembourse en totalité son crédit au
groupe bancaire sans qu'elle ait besoin de prendre des mesures appropriées telles que
la réalisation d'une garantie (si elle existe).
b) L'arriéré du débiteur sur un crédit important dû au groupe bancaire dépasse 90
jours. »
Remarquons que la définition du défaut est assez peu stricte, et laisse une certaine
latitude au prêteur. Ainsi, la première condition peut conduire à un défaut sans qu'il y ait de
retard de paiement de la part du débiteur. En pratique, la banque pourrait considérer qu'il y
a défaut, si les provisions introduites pour couvrir ce risque potentiel dépassent un certain
seuil. Et même la période de 90 jours comme arriéré peut ne pas être la même pour toutes
les banques de chaque pays.
ii.
Pertes attendues et inattendues :
Chaque établissement de crédit évalue le montant qu'il risque de perdre en
moyenne sur son portefeuille de crédits à un horizon donné. Ce montant correspond aux "
pertes attendues " et est en théorie couvert par des provisions. Pour chaque ligne de crédit3,
cette perte est fonction de la probabilité de défaut (vraisemblance que le défaut survienne),
de l'exposition à la date de défaut, c'est-à-dire du montant du capital restant du dans le cas
d'un crédit standard, et de la perte en cas de défaut qui dépend du taux de récupération sur
un crédit ayant fait défaut.
Les pertes effectives peuvent cependant différer des pertes attendues du fait de
l'incertitude, et une banque est tout autant préoccupée par le montant de ses pertes
inattendues que par le montant des pertes attendues. La banque cherche alors à connaître le
montant maximum des pertes potentielles, qui risquent de survenir à un horizon donné avec
un certain degré de (mal) chance.
iii.
Notation :
L'analyse et le suivi du risque de crédit n'ont pas débuté avec la nouvelle
réglementation mise en place par le Comité de Bâle. Il existe depuis longtemps des
instruments de suivi de risque, notamment des notations (rating) permettant de classer les
prêts ou emprunteurs selon leur niveau de risque.
3
Ligne de crédit : est un engagement de la banque de prêter à un certain taux et sous certaines conditions négociées d’avance si le client
en fait la demande, voire spontanément dans le cas du découvert autorisé.
Chapitre II : Problématique
La notation est l'évaluation du risque de non-paiement en temps et en heure de la
totalité du principal et des intérêts relatifs à une obligation financière. Formellement, il
s'agit d'une évaluation de la probabilité de défaillance à un certain horizon. On distingue
généralement les notations présentées de façon quantitative ou score, de celles présentées
de façon qualitative ou rating.
Il existe deux grandes approches pour attribuer des notations à des prêts ou des
emprunteurs :
a) Une première approche repose sur l'opinion d'experts ; on parle de score par
expertise. Elle reste prépondérante pour les notations des grandes entreprises, des
pays, des collectivités locales et des financements de projets. Elle s'appuie sur une
analyse approfondie des bilans, des projets... et sur une comparaison avec les
notations des agences.
b) Une seconde approche s'appuie sur des analyses statistiques des défaillances
observées dans le passé pour des dettes ou des emprunteurs comparables. Elle est
prépondérante pour les crédits à la consommation, les prêts hypothécaires, les crédits
permanents (cartes de crédit), les prêts aux petites et moyennes entreprises... Par son
caractère plus automatique, elle est très adaptée à la gestion des accords de crédit en
ligne.
III DE BALE I A BALE II :
Le capital d'une banque est une protection contre les pertes susceptibles de survenir.
Ce principe est retenu par les autorités de tutelle qui imposent de respecter un niveau
minimal de capital, appelé capital réglementaire ou fonds propres réglementaires.
Mis en place en 1988, le ratio Cooke, élaboré par le Comité de Bâle, avait pour
objectif de renforcer la solidité et la stabilité du système bancaire international et de
promouvoir des conditions d'égalité de concurrence entre les banques à vocation
internationale. Il est définit par la formule suivante :
RC =
FP
Fonds propres
=
≥ 8%
EPC Encours pondérés de crédits
(1)
Le ratio Cooke repose sur la définition d'une norme de solvabilité, selon une
logique de calcul simple : le niveau d'exigence en fonds propres, constitue du capital, des
réserves, des provisions générales et de titres subordonnés, doit être égal à au moins 8% des
encours risques pondérés. Les pondérations dépendent de la nature juridique du débiteur,
de la localisation du risque et de la durée des engagements.
Vers la fin des années 1990, cette approche est apparue dépassée parce qu'elle ne
prenait en compte ni les nouveaux instruments financiers (dont, entre autres, le
développement de la titrisation des portefeuilles de prêts) ni la nature des divers types de
risque supportés par les institutions financières. En particulier, elle ne prenait pas en
considération les sûretés dont la banque pouvait disposer, mettait sur le même plan toutes
les entreprises emprunteuses, quelle que soit la qualité de leur risque, et traitait trop
favorablement les crédits aux Etats. Ainsi dans la réglementation Cooke, un crédit est
pondéré à 100% quelle que soit la situation de l'entreprise ou du particulier emprunteur ou
quelles que soient les sûretés attachées à ce crédit. Ne bénéficiaient d'une pondération
Chapitre II : Problématique
moindre que les créances sur les administrations centrales ou le secteur public des pays de
l'OCDE4 (0%), les avances faites à des banques de pays de l'OCDE (20%) et pour, les
opérations hors bilan, les crédits documentes (20% si garantie de marchandises, 50% dans
les autres cas) et les garanties émises par la banque (50% pour les garanties de marché et
100% pour les garanties financières). Les financements en crédit bail (leasing) immobilier
avaient aussi une pondération de 50%.
Selon Bâle II, la nouvelle pondération repose sur une appréciation plus fine des
risques. Ainsi un même crédit à deux emprunteurs différents ne nécessitera pas la même
allocation de capital ; deux crédits à des emprunteurs bénéficiant de la même notation, mais
n'ayant pas la même structure ou pas les mêmes sûretés, ne consommeront pas les mêmes
capitaux propres. En outre, l'amélioration de la gestion des risques dans les grandes
banques internationales les a conduit à développer progressivement des modèles
sophistiqués de mesure de leurs véritables risques et à calculer un capital économique5
différent du capital réglementaire pour effectuer les allocations internes de capitaux entre
leurs départements ou métiers. Ces évolutions ont rendu obsolète un contrôle reposant
uniquement sur des normes de fonds propres aussi rigides que le ratio Cooke. Pour
remédier à ces défauts, le ratio Cooke, qui couvrait le seul risque de crédit, a été dans un
premier temps complété, en 1996, par des dispositions fixant de nouvelles règles de calcul
d'une exigence de fonds propres liée aux risques de marché.
Le Comité de Bâle, présidé initialement par W. Mc Donough, qui réunit à la
Banque des Règlements Internationaux les contrôleurs bancaires des principaux pays, a
proposé en juin 1999 un premier "document consultatif " prenant en compte les autres
aspects de risques (risque de crédit et risque opérationnel). Ce document lie plus
étroitement les normes de fonds propres au risque effectif, mais aussi renforce le contrôle et
uniformise l'information financière avec pour objectif la solidité du système bancaire
international.
Depuis lors, plusieurs documents consultatifs ont été rédigés et de nombreuses
concertations ont eu lieu avec les banques intéressées et les associations nationales.
L'entrée en application du nouvel accord de Bâle est intervenue le 1er janvier 2006. Durant
cette année, le ratio Cooke continue d'être calculé en parallèle, mais un nouveau ratio,
appelé ratio Mc Donough devient la seule norme à partir du 31 décembre 2006. Ce ratio est
donné par la formule suivante :
FP
≥ 8%
risque opérationnel + risque de crédit + risque de marché
(2)
Le comité de Bâle II proposait la répartition de la charge en fonds propres :
4
OCDE : Organisme de Coopération et de Développement Economique.
Le capital économique est le montant de capitaux propres suffisant pour absorber les pertes prévisibles à un certain niveau de
probabilité.
5
Chapitre II : Problématique
Table 1: la répartition de la charge en fonds propres selon Bâle II
Type de risque
Exigence en FP
Répartition
Crédit
6%
75%
Marché
0,4%
5%
Opérationnel
1,6%
20%
Total
8%
100%
Source : Comité Bâle II
Cette nouvelle réforme repose sur trois piliers comme montre la figure suivante:
Figure 3 : Les piliers de la réforme de Bâle II
Pilier 1 : Exigence minimale de fonds propres
Risque de crédit
Risque
opérationnel
Risque de marché
Bâle II
Pilier 2 : Surveillance prudentielle
Pilier 3 : Discipline de marché
Source : Comité Bâle II
Pilier 1 : Il consiste en une exigence minimale en fonds propres rénovée. C'est le
calcul du ratio proprement dit. La logique reste la même, c'est-à-dire un rapport
entre des fonds propres et un encours de risques. L'appréciation de ces derniers est
cependant modifiée par une reconnaissance des techniques de réduction des risques
et par la définition d'une charge en fonds propres pour les risques opérationnels. Au
total, toute banque doit avoir, au titre des exigences minimales en fonds propres, un
ratio :
fonds propres/(risque de crédit + risque opérationnel + risque de marché) égal ou supérieur à
8%.
Pilier 2 : Il règle le processus de contrôle de la gestion des risques et de la
couverture en capital par les autorités prudentielles nationales. Les autorités de
contrôle examinent de façon qualitative les procédures internes mises en place par
les banques pour évaluer l'adéquation des fonds propres aux risques. En fonction de
leurs appréciations, elles peuvent exiger des banques un ratio de solvabilité
supérieur au minimum réglementaire de 8%.
Chapitre II : Problématique
C’est ce pilier qui met en évidence la problématique de concentration de risque de
crédit, dont nous devons élaborer ses limites.
Pilier 3 : Ce pilier renforce la discipline des marchés et établit des règles en matière
d'information publiée.
IV LA MESURE DES RISQUES :
Tous les systèmes de gestion des risques reposent sur des mesures quantifiées du
risque. Les mesures sont de deux types : l’instabilité des résultats et les évolutions
défavorables des résultats, en amplitude et en probabilité.
Tous les aléas qui affectent l’environnement et les paramètres des marchés
financiers- taux d’intérêt, taux de change, indices boursiers- ne sont pas mesurables. En
particulier, les événements brutaux et inattendus qui bouleversent l’environnement général
en sont l’exemple le plus évident. Pourtant ces risques exceptionnels, anormaux et
imprévisibles peuvent être fatals. Les scénarios extrêmes de « pire des cas » ou «
catastrophe » sont destinés à évaluer les catastrophes de tels événements.
Un exemple de risque difficilement mesurable est le risque dit « systémique »,
c’est-à-dire le risque du système financier pris dans son ensemble, avec les possibilités
d’amplification et de propagation de crises locales dans l’ensemble de système.
Les techniques de gestion des risques s’adressent principalement aux seuls aléas
mesurables en « niveau ». Les aléas majeurs, ponctuels, imprévisibles et exceptionnels ne
peuvent s’évaluer qu’en jugeant de leur « plausibilité » et par des scénarios reposant sur
des jugements, non des mesures.
IV.1 Value-at-risque :
La valeur en risque, plus connue sous le nom anglais Value-at-Risk ou VaR, est
une mesure de la perte potentielle qui peut survenir à la suite de mouvements adverses des
prix de marché. Elle permet de répondre à la question suivante :
Combien
Combien l’établissement financier peutpeut-il perdre avec une probabilité α pour un horizon de
temps T fixé ?
Deux éléments sont donc indispensables pour interpréter le chiffre VaR (qui
permet de donner une vision globale du risque d’un portefeuille) :
1. la période de détention T ou holding period qui correspond à la période sur laquelle
la variation de valeur du portefeuille est mesurée ;
2. le seuil de confiance α du chiffre VaR qui correspond à la probabilité de ne pas
dépasser cette mesure du risque.
Si ces deux paramètres ne sont pas spécifiés, nous ne pouvons pas interpréter le
chiffre VaR, car un risque à 10 jours avec une probabilité de 99% est beaucoup plus
important qu’un risque à 1 jour avec une probabilité de 90%.
Notons F la distribution de probabilité de la variable aléatoire représentant la perte
potentielle. Nous avons:
VaR = F−1 ( α )
(3)
Chapitre II : Problématique
Avec la mesure VaR, on passe donc d’une mesure de risque comme volatilité à une
mesure de risque comme quantile. Ce chiffre résume l’exposition de la banque au risque.
Chapitre II : Problématique
Conclusion
Le risque de crédit constitue un risque majeur dans le dispositif du risk
management d’une banque. Il fait actuellement l’objet d’une grande attention avec la
nouvelle réforme du ratio Cooke. Cette dernière établit en effet de nouvelles règles
prudentielles afin que le risque de crédit soit mieux mesuré sous un processus de
surveillance prudentielle renforcé. Le comité de Bâle autorise ainsi, dans une transparence
vis à vis du marché, que les banques développent dans un cadre similaire dans son principe
et ses objectifs au modèle interne « marché », leur propre modèle interne pour l’évaluation
du risque ce crédit. Toutefois, la modélisation du risque de crédit se trouve confrontée à des
difficultés méthodologiques dont la réponse conditionne l’architecture des futurs modèles
internes.
Deuxième Partie : Modèles & Application
Deuxième partie :
Modèles & Application
Projet de fin d’étude
- 25 -
Rapport
Deuxième Partie : Modèles & Application
Introduction :
La modélisation du risque de crédit a un but double. Il s’agit :
•
de comprendre et d’expliquer les mécanismes économiques déterminant le défaut
d’une entreprise ;
•
de retrouver les prix de marché observés dans le cadre d’un modèle qui pourra alors
être utilisé pour extrapoler la valeur de produits financiers plus complexes.
Il s’agit d’estimer la perte liée au portefeuille de crédits, que ce soit la perte « dans
le pire des cas » ou simplement l’écart-type de cette perte afin de déterminer le capital qui
doit être alloué à ce risque de crédit.
Cette deuxième partie sera consacrée entièrement à l’étude des modèles choisis pour
résoudre notre problématique portant sur la détermination des limites de concentration de
risque de crédit.
Le premier chapitre sera réservé à l’étude de la théorie du modèle KMV, modèle
spécialisé uniquement dans la gestion de risque de crédit pour les entreprises cotées en
bourse. Ceci représente un handicap pour son application dans notre cas, donc ne sera pas
utilisé.
Le premier modèle à appliquer, CreditMetrics de JP Morgan’s, sera consacré à la
détermination de la perte potentielle, qui représente la mesure de risque de crédit, ainsi que
sa distribution tout en se basant sur les scores de notation « rating » ainsi que leurs
probabilités de transition dans l’horizon, et ceci en utilisant la méthode Value-at-Risque
VaR.
Le deuxième modèle, CreditRisk+ de Credit Suisse Financial Product (CSFP),
déterminera aussi la distribution de la perte de notre portefeuille étudié, et permettra
l’allocation optimale des fonds propres de la BMCE avant de déterminer les limites de
concentration du risque crédit par secteur d’activités, par contrepartie et par zone
géographique en utilisant aussi la méthode VaR.
Projet de fin d’étude
- 26 -
Rapport
Chapitre I : Modèle de KMV
Chapitre I
I
LE MODELE DE KMV6 :
I.1 Préliminaires:
La firme KMV proposait initialement une mise en oeuvre du modèle de valeur de
la firme de Merton7 pour analyser les différentiels de taux observés sur les obligations
d'entreprise. Du fait de la mise en place de la nouvelle régulation, la firme a étendue cette
approche à d'autres types de crédits et dérivés de crédit. Notamment, après sa fusion avec
Moody's8, elle a introduit dans son modèle de base des effets des notations. Le coeur du
modèle est actuellement une boîte noire, où il est difficile de voir comment l'approche de
valeur de la firme a pu être rendue compatible avec la procédure de calcul de rating de
Moody's. Nous commençons par rappeler la vision KMV du modèle de Merton (voir
annexe). Puis nous considérons le moteur de corrélation d'actifs (asset correlation) introduit
par cette firme pour corréler de façon plus complexe les risques individuels.
I.2
Hypothèses du modèle :
Cette approche repose sur l’hypothèse qu’une firme s’approche du défaut lorsque
la valeur de ses actifs descend au-dessous de la valeur comptable de sa dette. La
détermination de la probabilité de défaut s’appuie sur une modélisation stochastique de la
valeur des actifs, qui permet d’établir une distribution, à chaque instant futur, de l’écart
entre la valeur des actifs et la valeur de la dette. De cette distribution sont directement
extraites les probabilités de défaut qui correspondent à la densité de probabilités attachée
aux valeurs négatives de la distribution situées au-dessous d’un certain seuil.
Les auteurs du modèle estiment en effet, sur la base d’une observation historique,
que le défaut ne survient pas dés que la valeur des actifs franchit à la baisse le seuil de la
valeur comptable de la dette, mais à un niveau un peu plus bas, appelé « le seuil de défaut »
(default point). La distribution pertinente estimée par KMV est en conséquence celle de
l’écart entre la valeur des actifs et le seuil de défaut. La densité de probabilité attachée aux
valeurs négatives de cet écart est la vraie mesure de la probabilité de défaut.
L’utilisation du modèle soulève deux grands types de questions :
-
la première est celle de son paramétrage. Comment estimer respectivement la valeur
des actifs et sa volatilité ? Comment estimer le point de défaut ?
-
La seconde est celle des hypothèses sous-jacentes. La modélisation de la constatation
du défaut rend-elle correctement compte de la réalité ? Le choix de la valeur comptable
de la dette en tant que valeur explicative importante du défaut est en particulier discuté,
la valeur de marché de la dette paraissant, à certain, une variable explicative plus
pertinente.
I.3 Le paramétrage du modèle :
I.3.1 Calcul des probabilités de défaut individuelles :
6
Firme
Merton : Firme
8
Moody’s : Agence de notation
7
Projet de fin d’étude
- 27 -
Rapport
Chapitre I : Modèle de KMV
La méthode suivie par KMV met en regard l'évolution de la valeur de marché des
actifs d'une entreprise et de ses dettes, et considère qu'une firme fait défaut quand la valeur
de marché de ses actifs est insuffisante pour payer ses dettes.
La première étape consiste à évaluer la valeur de marché des actifs et leur volatilité
qui sont inobservables. A cette fin, KMV propose d'utiliser la valeur de marché des
capitaux propres At et leur volatilité σ A,t comme approximation de la valeur de marché des
actifs et de leur volatilité en s'appuyant sur deux relations:
Le niveau des fonds propres supposé égal à la valeur d'une option d'achat sur les
actifs de la firme,
La relation théorique entre la volatilité observable de la valeur des capitaux propres
et la volatilité " inobservable " de la valeur des actifs de la firme.
Ainsi, avec deux équations et deux inconnues, il est possible d'obtenir une solution
pour le couple ( At ;σ A,t ) .
Pour les entreprises cotées sur le marché, la valeur de marché des fonds propres
et leur volatilité peuvent être considérés observables. Pour les entreprises non cotées, en
revanche ce n'est pas le cas. Dans sa version "Private Firm Model " introduite pour ce type
d'entreprises, KMV déduit la valeur des fonds propres d'une firme non cotée de celle de
firmes cotées comparables.
Plus exactement, le ratio (Ebitda9/fonds propres) est estimé sur les entreprises
cotées pour être ensuite appliqué aux entreprises non cotées. KMV reconnaît que cette
technique ne fonctionne pas pour certains secteurs, notamment ceux pour lesquels le lien
Ebitda- fonds propres est inexistant (institutions financières par exemple). Par ailleurs, cette
méthode n'a été testée que sur des données nord-américaines, ce qui incite à une certaine
prudence lors de son application aux cas d'entreprises du reste du monde. Finalement,
l'Ebitda, qui permet une autre présentation des bilans, parfois plus favorable, a été interdite
d'utilisation dans certains pays comme la France.
Une fois la valeur des actifs estimée, KMV calcule une distance au défaut (DD)
présentée comme la distance entre la valeur attendue des actifs à horizon fixé (un an par
exemple) et le point de défaut (K) , exprimée en termes d'écart-type de la valeur future des
actifs σ A .
La distance au défaut est un indice de risque individuel, qui est ensuite retranscrit en
terme de probabilité de défaut, notion plus parlante pour l'utilisateur. Théoriquement, cette
probabilité de défaut se déduit par une relation explicite provenant du modèle de Merton.
La confrontation avec les scores de Moody's a montré que cette probabilité reconstituée
était sensiblement différente de celle observée historiquement. Ceci provient en grande
partie du fait que le modèle de Merton, très simpliste, est mal spécifié. Le système actuel
effectue ex-post une correction pour se rapprocher des fréquences observées. Soulignons
toutefois que la table de passage a été construite à partir de données nord-américaines
9
L’Ebitda (Earnings before Interest, Taxes, Depreciation and Amortization) peut être considéré comme un indicateur de la rentabilité
économique de la firme. L’Ebitda est proche de la notion d’excédent brut d’exploitation.
Projet de fin d’étude
- 28 -
Rapport
Chapitre I : Modèle de KMV
seulement, c'est-à-dire pour principalement des firmes américaines et des prix d'actifs
exprimés en dollar.
I.3.2
Le moteur de corrélation :
Une caractéristique intéressante du modèle KMV est la façon d'introduire la
corrélation des risques. La démarche repose sur un modèle de Merton écrit pour plusieurs
actifs et dans lequel divers facteurs peuvent induire une dépendance entre risques (lorsqu'ils
sont inobservables) : des facteurs généraux, des facteurs régionaux et des facteurs
sectoriels.
Le modèle de valeur de la firme étant un modèle à variables latentes, l'écriture
factorielle peut être directement introduite sur les rendements des actifs des firmes, et
comme ces derniers sont a priori quantitatifs, aussi bien positifs que négatifs, une
représentation factorielle linéaire est suffisante. De plus, elle peut être estimée de façon
directe dès que les valeurs des actifs sont reconstituées. Il s'agit donc d'une analyse
factorielle linéaire standard, dont nous allons rappeler les principes avant de discuter la
démarche suivie par KMV. La littérature statistique distingue habituellement plusieurs
types d'écritures factorielles, selon que les facteurs sont ou non observables, considérés
comme statiques ou dynamiques.
i.
Modèle statique non contraint :
Dans le modèle de Merton initial, les rendements des actifs sont supposés
indépendants, identiquement distribués selon une loi normale. Dans ce contexte les
corrélations marginales et les corrélations conditionnelles des rendements coïncident. Elles
peuvent être estimées par leur contrepartie empirique. On parle d'estimation historique ou
par moyennage des corrélations.
ii.
Modèle statique à facteurs :
Considérons comme auparavant des rendements indépendants, identiquement
distribués yt ; t = 1,...,T : La matrice de variance-covariance des rendements V ( yt ) = Φ
comprend en pratique un grand nombre d'éléments et il est nécessaire de la structurer. Une
approche classique consiste à supposer que :
yt = γ 0 + β ' Z t + ε t
(4)
où K facteurs Z t sont introduits. On suppose habituellement que les vecteurs (ε t' ; Z t' ) ' sont
indépendants de même loi tels que :
E (ε t ) = 0; E ( Z t ) = 0,V (ε t ) = σ 2 Id ;V ( Z t ); Cov(ε t ; Z t ) = 0 .
(5)
Sous ces hypothèses, la matrice de variance-covariance des rendements est la
somme d'une matrice diagonale et d'une matrice de rang réduit :
Ω = β ' β + σ 2 Id = β1' β1 + ... + β K' β K + σ 2 Id
(6)
Les paramètres β; σ2; ainsi que les valeurs des facteurs peuvent être estimées en
utilisant une décomposition à valeurs singulières (Singular Value Decomposition ou SVD).
iii.
Modèle à facteurs observables et décomposition factorielle du terme d'erreur :
Chapitre I : Modèle de KMV
Ce modèle s'écrit :
yt = γ ' X t + u t
(7)
où les variables explicatives X t sont supposés observables et le terme d'erreur iid
indépendant des variables X t , admettant une écriture factorielle statique : ut = β ' Z t + ε t .
Dans ce modèle, il faut distinguer diverses matrices de variance-covariance des
rendements:
la matrice de variance-covariance marginale est :
V ( yt ) = γ 'V ( X t )γ + β ' β + σ 2 Id ;
(8)
la matrice de variance-covariance sachant X t s'écrit :
V ( yt / X t ) = β ' β + σ 2 Id ;
(9)
la matrice de variance-covariance à horizon plus grand est donnée par :
V ( yt / X t −h ) = γ 'V ( X t / X t −h )γ + β ' β + σ 2 Id .
(10)
Le calcul de ces derniers types de variance-covariance demande une analyse de la
dynamique des variables explicatives et est généralement effectué par simulation.
Les paramètres du modèle sont approchés par une méthode en deux étapes :
Étape 1 : Régression de yt sur X t , pour en déduire les estimateurs des moindres carrés
∧
∧
ordinaires γ et les résidus d'estimation u t .
∧
Étape 2 : Application d'une décomposition en valeur singulière sur les résidus (u t ) pour en
∧
∧ 2
∧
déduire les estimateurs β ,σ et les approximations des valeurs Z t des facteurs statiques non
observables.
iv.
Modèles à facteurs dynamiques
Un exemple simple de tel modèle est :
yt = γ 0 + β ' Z t + ε t
(11)
où le processus des facteurs non observables satisfait la dynamique :
Z t = AZ t −1 + u t
(12)
avec des erreurs (ε t' ; u t' ) ' indépendantes, de loi gaussienne centrée. Ce modèle peut être
estimé et les valeurs des facteurs non observables reconstituées en employant un filtre de
Kalman linéaire. Le filtre peut aussi être utilisé pour prévoir les valeurs futures des
rendements pour tout horizon h .
Toutes ces approches sont assez simples d'emploi et peuvent être mises en oeuvre
à partir de logiciels standards.
Chapitre I : Modèle de KMV
La procédure développée par KMV dans "Global Correlation Model" semble
relever d'un modèle à facteurs observables. Le risque de chaque firme est dans un premier
γ ' X t et un risque idiosyncratique, c'est à dire
temps décomposé en un risque systémique
spécifique à la firme, ε t . Dans un deuxième temps, le risque idiosyncratique est lui même
décomposé de façon à faire apparaître des risques pays et des risques industrie. De façon
plus précise, il est supposé des corrélations constantes entre entreprises d'un même pays, et
constantes entre deux firmes de deux pays différents pour le risque pays par exemple. Il
s'agit d'une approche où les vecteurs β k , dont les composantes caractérisent l'appartenance
à un pays donné sont connus à priori.
Finalement, les risques de chacune des entreprises sont exprimés en fonction de
14 facteurs communs indépendants : 2 facteurs " Economie globale ", 5 facteurs régionaux,
7 facteurs sectoriels, et 2 facteurs de risque idiosyncratiques correspondant à un Risque
Pays et un Risque Industrie.
Le rendement de chaque actif peut alors être exprimé comme une combinaison
multifactorielle linéaire pondérée des facteurs fondamentaux, plus une partie
idiosyncratique. En limitant ainsi les facteurs de risques pris en compte, KMV réduit
considérablement le nombre de corrélations à estimer.
Peu d'information est fournie sur les modes de calcul des facteurs X t ; Z t , et sur la
X
dynamique supposée des facteurs t , dynamique dont la spécification est nécessaire pour
les problèmes de prévision. Cependant, les premiers facteurs communs sont des rendements
d'indice de marché standards. L'approche suivie présente diverses limitations. Les
premières sont liées au manque de cohérence entre les procédures utilisées :
l'analyse factorielle est effectuée sur des données de rendements d'actif
reconstituées, sans que les erreurs de reconstitution soient prises en compte ;
elle suppose des effets de variables explicatives, ce qui est incompatible avec le
modèle de Merton, qui sert de base à cette reconstitution et où les rendements sont
supposés iid ;
elle ne tient pas compte de l'hétéroscédasticité conditionnelle observée lors de la
reconstitution des volatilités σ A,t .
Conclusion :
Ce modèle KMV, dédié essentiellement pour la mesure de la perte potentielle dans
le cas d’un portefeuille composé uniquement des entreprises cotées en bourse, ne peut être
appliqué dans notre cas car ce type de firmes n’est pas représenté au niveau de ce
portefeuille.
Chapitre II : Modèle CREDITMETRICS
Chapitre II
I
LE MODÈLE CREDITMETRICS:
Le modèle CreditMetrics a été introduit en 1997 par JP Morgan's10 pour mesurer
le risque de crédit et valoriser les portefeuilles d'actifs non négociables tels que les prêts et
obligations privées. Son objectif est de permettre aux établissements de crédit d'évaluer la
valeur future de leur portefeuille et non plus seulement d'estimer leurs pertes potentielles.
En ce sens, il s'agit d'un modèle de transition et non plus de défaut. Dans la suite, nous
parlerons donc de probabilité de transition et non plus de probabilité de défaut, le défaut
n'étant qu'une des transitions possibles. Essentiellement concentré sur une évaluation des
risques au niveau d'un portefeuille, la procédure ne propose pas de technique d'évaluation
des probabilités de défaut individuelles. En pratique, l'évaluation des probabilités de
transition se fait au niveau des classes de risque (rating) et non au niveau individuel, ce qui
implique que toutes les firmes d'une même classe sont supposées porter le même risque.
CreditMetrics modélise l’évolution du spread11 (la prime de risque) de chaque
émetteur en supposant que celui-ci dépend du niveau de rating de cet émetteur. Deux
émissions de même rating, mais d’émetteurs différents, seront donc supposées avoir le
même spread.
La mise en œuvre de la méthode repose sur les étapes suivantes :
1. On attribue une notation à chaque émetteur (ou émission) en fonction de sa
solvabilité présumée. Cette notation peut être par exemple celle publiée par les
agences spécialisées (Standard&Poors12, Moody’s…) ou une notation interne ;
2. on détermine une matrice de transition de rating. Cette matrice consiste à donner
pour un émetteur auquel on a attribué un rating actuel, les différents ratings
potentiels de cet émetteur à un horizon de temps donné, ainsi que les probabilités
associées de se trouver dans cet état. Nous trouvons dans ce qui suit l’exemple
d’une telle matrice. Cette matrice peut être obtenue à partir des matrices historiques
fournies par les agences de notation, ou peuvent être établies par estimation
statistique ;
3. À chaque type de rating, on attribue une courbe des taux prenant en compte le
risque spécifique de cette catégorie de rating par rapport à un émetteur sans risque
de crédit. Cette courbe des taux peut être déterminée à partir d’un panel d’émissions
ayant ce rating ;
4. À chaque type de rating, on attribue une courbe des taux prenant en compte le
risque spécifique de cette catégorie de rating par rapport à un émetteur sans risque
de crédit. Cette courbe des taux peut être déterminée à partir d’un panel d’émissions
ayant ce rating ;
La méthode permet également de se baser sur l’espérance et la volatilité du taux de
recouvrement correspondant au rating et à la séniorité de la dette.
10
JP Morgan’s : Firme
Spread =- ln (1-probabilité de défaut)
12
Standard&Poor’s : Agence de notation
11
Chapitre II : Modèle CREDITMETRICS
I.1
I.1.1
Evaluation du risque de crédit : méthodologie :
Mesure du risque :
L’objectif recherché est de mesurer la variation de la valeur future d’un
portefeuille liée à la modification de la qualité de crédit des contreparties des instruments
en portefeuille. Les variations de la valeur future sont représentées statistiquement par la
distribution de probabilités des valeurs à l’horizon. Cette distribution a approximativement
la forme représentée ci-dessous, pour un portefeuille diversifié de bonne qualité. On peut
alors comparer cette distribution à celle d’un portefeuille uniquement soumis à un risque de
marché. On s’aperçoit alors de la spécificité du problème posé et de la nécessité d’une
nouvelle approche pour quantifier le risque crédit.
Figure 4 : Comparaison risque de marché-risque de crédit
Source : CreditMetrics Model’s
La distribution n’est pas normale ; elle est asymétrique, et la queue de distribution
est épaisse du côté gauche. Il existe une faible probabilité de perdre beaucoup d’argent, et
une forte probabilité d’avoir des gains relativement faibles. Dans ces conditions, l’écarttype de la distribution est une mesure de risque assez mal adaptée, car symétrique. Une
mesure plus adaptée est celle des quantiles, c'est-à-dire la mesure d’une VaR à 1 %.
I.1.2
Méthode de valorisation :
Dans un univers déterministe, la valeur d’un portefeuille à une date donnée est
égale à la valeur actualisée de ses flux futurs. Dans un univers incertain, elle est égale à
l’espérance de la valeur des flux futurs actualisés au taux sans risque. On suppose dans un
premier temps que la courbe des taux sans risque reste constante. L’aléa est alors
intégralement représenté par la distribution de probabilités des flux futurs.
Plaçons-nous à l’horizon. Nous allons discrétiser la distribution des valeurs du
portefeuille, en supposant qu’il existe un nombre fini d’états possibles, qui sont entièrement
caractérisés par les « ratings » des émetteurs à l’horizon, ainsi que par les types de créances
Chapitre II : Modèle CREDITMETRICS
(senior, subordonnée…). Le rating est une mesure de la qualité de crédit de l’émetteur, et
est supposé discret.
Cas d’un titre isolé : Prenons l’exemple de l’échelle de notation
Standard&Poor’s à 7 gradations. Soit n titre émis par un émetteur dont le rating actuel est
A. choisissons un horizon d’un an. Dans un an, le rating de l’émetteur peut prendre les
valeurs suivantes : AAA, AA, A, BBB, BB, B, CCC selon sa probabilité de défaut, ou
l’émetteur peut avoir fait défaut. Il s’agit alors de calculer la valeur de l’obligation
correspondant à chacun de ces états. Plaçons-nous dans un des états de rating possible,
excepté l’état de défaut. Considérons un flux de 1F versé dans T années. La valeur actuelle
de ce flux est égale à l’espérance de ce flux actualisée au taux sans risque rT :
V = ∑ pi
i
αi
(1 + rT ) T
(13)
i est un indice de l’état futur de la créance : à chaque état correspond un pourcentage de
paiement de la créance, αi, et une probabilité de se trouver dans cet état, pi. Nous avons
supposé que chaque état à l’horizon était entièrement caractérisé par le rating de l’émetteur
et le type de dette. On peut alors écrire V sous la forme :
V=
1
(1 + rT' ) T
(14)
Où rT' est un taux d’actualisation « risqué ». Ce taux ne dépend que du rating de l’émetteur
à l’horizon et de la maturité de la créance. On définit ainsi un ensemble de facteurs
d’actualisation f (T , j ) qui s’appliqueront aux flux de maturité T et de rating j à l’horizon.
Dans le cas où l’émetteur fait défaut, la valeur du flux est égale au taux de recouvrement
correspondant à la notation initiale. Notons CF (t ) le flux contractuel versé à la date t. la
valeur du titre à l’horizon, dans l’état j (excepté l’état de défaut) est égale à :
T
V ( j ) = ∑ CF (t ) × f (t , j )
(15)
i =1
Cas d’un portefeuille de titres : Dans le cas d’un portefeuille, il y a m N états
possibles, m représentant le nombre d’états possibles par émetteur et N le nombre de titres
en portefeuille. On note j1 j 2 j 3 ... j N l’état du portefeuille à l’horizon pour lequel le rating
de chacun des titres i est ji . On calcule pour chaque titre i et pour chacun des états ji la
valeur V (i, ji ) de ce titre à l’horizon. Soit Nom(i ) le montant nominal investi sur le titre i .
La valeur du portefeuille dans l’état j1 j 2 j3 ... j N est égale à :
N
V ( j1 j 2 j3 ... j N ) = ∑ Nom(i )V (i, ji )
(16)
i
I.1.3
Calcul des probabilités :
Nous n’avons jusqu’ici abordé que le calcul des valeurs à l’horizon. Pour obtenir
la distribution de ces valeurs, il nous manque les probabilités associées à chacun des états.
Chapitre II : Modèle CREDITMETRICS
Cas d’un titre isolé : À partir d’historiques de changements d’états, il est possible
de construire une matrice de transition représentant la probabilité du passage de l’état initial
i à l’état à l’horizon j . Ainsi ; Standard&Poor’s fournit le type de matrice de transition
suivant :
Table 2: Matrice de transition à un an de Standard&Poor’s
Source : Standars&Poor’s
La probabilité qu’un émetteur AA devienne A à l’horizon de 1 an est de 7,79%
Cas d’un portefeuille de titres : Etant donné deux émetteurs de rating connu, il
existe, dans le cas d’une échelle de notation à 7 notes (plus l’état de défaut)
8 × 8 = 64 états possibles à l’horizon. Il semble alors légitime d’étudier les corrélations
entre les migrations de ratings. Une première tâche a été de mettre en évidence cette
corrélation, qui n’est pas forcement très intuitive. En effet, on pourrait prétendre que
chaque firme est unique et que ses changements de qualité de crédit ne sont donc dus qu’à
des événements spécifiques. Cela semble encore plus vrai pour les petites entreprises,
nettement moins dépendantes les unes envers les autres que des grands groupes qui sont la
plupart du temps amenés à avoir des relations commerciales. Cela reviendrait donc à
considérer que la corrélation des transitions de deux firmes est quasi nulle et que son
impact sur le risque de défaillance est négligeable.
I.1.4
Estimation des corrélations entre rendements actifs :
Supposons que nous ayons à étudier N émetteurs distincts. La modélisation
proposée précédemment suppose l’estimation et le stockage de N ( N − 1) / 2 corrélations.
Ce nombra peut rapidement devenir important. Pour simplifier le problème, nous allons
adopter une modélisation des rendements des actifs individuels couramment utilisée en
finance. On suppose que la rentabilité de l’actif i est entièrement déterminée par des
composantes β ik et σ i telles que :
K
Ri = ∑ β ik f k + σ i ε i
(17)
k =1
On parle de modèle factoriel. La rentabilité des actifs peut être expliquée par K facteurs
communs ou facteurs systématiques notés f k et un facteur spécifique au titre. Les facteurs
communs peuvent soit être identifiés, taux d’intérêt, taux de change, secteurs industriels,
soit être des facteurs statistiques résultant par exemple d’une analyse factorielle. On
suppose de plus que :
Chapitre II : Modèle CREDITMETRICS
∀k
E( f k ) = 0
facteurs communs centrés
∀k
σ ( fk ) = 0
facteurs communs normés
∀k , l
E ( f k f l ) = ρ k ,l facteurs communs corrélés entre eux
∀i
E (ε i ) = 0
∀i, j
E (ε i ε j ) = δ ij
facteurs spécifiques normés et non corrélés entre eux
∀i, k
E( f k ε i ) = 0
facteurs spécifiques non corrélés aux facteurs communs
facteurs spécifiques centrés
On obtient ainsi la corrélation entre deux actifs grâce à l’expression suivante :
Corr ( Ri , R j ) = ∑∑ β ik β jl ρ k ,l + σ iσ j δ ij
k
(18)
l
Il suffit de connaître les corrélations entre les facteurs communs, ainsi que le risque
spécifique de chacun des émetteurs pour construire la matrice de corrélations des
rendements des actifs. Si nous notons Λ cette matrice, on a :
Λ = BC t B
Où C est la matrice de corrélation des facteurs de la forme suivante :
Si les facteurs sont déterminés par une analyse factorielle, les K premiers axes retenus sont
orthogonaux entre eux ; on en déduit alors que C est la matrice identité et que la matrice
de corrélation Λ est égale à B t B .
I.2
I.2.1
Mise en œuvre de la méthodologie :
Matrice de transition :
La matrice de transition représente la probabilité de transition d’un rating initial
vers un rating à l’horizon. A priori, pour un horizon donné, une seule matrice de transition
est nécessaire. En effet, nous avons supposé que le seul facteur discriminant entre
émetteurs était le rating.
Chapitre II : Modèle CREDITMETRICS
Nous pouvons utiliser une échelle de notation « classique » du type de celle
proposée Standard & Poor’s ou Moody’s. Nous pouvons aussi développer notre propre
échelle de notation, en utilisant par exemple une méthode d’évaluation proche de celle
proposée par KMV. Cette méthode est cependant plus coûteuse, dans le sens où nous avons
besoin d’estimer les ratings sur une longue période afin de calculer les probabilités de
transition.
I.2.2
Rendements de transition :
Les rendements de transition permettent d’établir une bijection entre le
rendement de l’actif de chaque émetteur et sa notation à l’horizon. Le rendement de la
valeur de l’actif de chaque émetteur est supposé suivre une loi normale de moyenne µ et
d’écart-type σ . Dans CreditMetrics, les paramètres du rendement de la valeur de l’actif
sont confondus avec les paramètres du rendement de l’action.
Connaissant les paramètres de la loi normale, les rendements de transition sont
définis de la manière suivante :
Z défaut = N −1 ( p défaut ) × σ + µ
(19)
Z défaut = N −1 ( pCCC − p défaut ) × σ + µ
(20)
Les probabilités de transition ne dépendant que du rating de l’émetteur, les
rendements de transition sont fonction du rating, l’espérance et la volatilité du rendement
de l’actif. Nous pouvons dès à présent faire correspondre à la matrice de transition une
matrice des rendements de transition Z, les Ζ i,j étant défini par les formules analytiques
ci-dessus. Nous n’avons pas besoin à cette étape du détail des espérances et des volatilités
des rendements des actifs.
I.3
Modélisation des corrélations entre rendements d’actifs :
Le rendement de l’actif i peut être décomposé de la manière suivante :
K
Ri = ∑ β ik f k + σ i ε i
(21)
k =1
CreditMetrics propose la méthodologie suivante : on suppose que les principaux
facteurs de corrélations entre émetteurs sont des facteurs sectoriels. L’activité de chaque
émetteur est décomposée par secteurs, et la proportion risque systématique (ou risque
sectoriel) / risque spécifique est définie. Les sensibilités à chaque facteur sont ensuite
calibrées afin de retrouver une volatilité totale en accord avec la volatilité mesurée. Cette
méthode est cependant assez délicate à implémenter : sur quelle base fait-on reposer la
décomposition sectorielle ? La base du chiffre d’affaires est biaisée, car elle ne tient pas
compte du rapport de marge entre divers secteurs d’activité. Les chiffres de répartition des
résultats par secteurs sont plus difficiles à obtenir.
Une alternative à ceci serait par exemple l’analyse factorielle des rendements.
Cette méthode a plusieurs avantages : elle a, en général, un pouvoir explicatif plus
important, et elle permet d’obtenir des facteurs orthogonaux. Afin d’obtenir une meilleure
Chapitre II : Modèle CREDITMETRICS
précision, on pourra adopter une distinction géographique entre les gestions, et réaliser une
analyse factorielle pour chacune de ces régions.
I.4
Simulation des rendements des actifs :
Nous devons construire de scénario représentant l’évolution de la valeur de l’actif
de chacun des émetteurs présents dans le portefeuille. Pour N émetteurs, il est nécessaire de
simuler une loi normale multivariée à N dimensions, dont la matrice de covariance est très
rarement diagonale. La méthode généralement suivie est de simuler tout d’abord une loi
normale multivariée à N dimensions dont la matrice de covariance est égale à l’identité. On
t
multiplie alors cette loi par la matrice de Cholesky A par : A A = Λ , où Λ est la matrice de
corrélation définie plus haut.. L’algorithme pour obtenir A à partir de Λ est très classique
et disponible dans de nombreux ouvrages d’analyse numérique. Si l’on utilise un modèle
factoriel à m facteurs orthogonaux, il suffit de simuler N (facteurs spécifiques) + m
(facteurs systématiques) lois normales indépendantes, ce qui est beaucoup plus simple. On
construit ainsi quelques milliers de scénario. Connaissant les sensibilités de chacun des
émetteurs, on reconstruit alors pour chaque scénario et pour chaque émetteur le rendement
à l’horizon.
I.5
Reconstitution des notations à l’horizon :
Nous disposons maintenant de quelques milliers de scénario obtenus par Monte
Carlo. A chaque scénario correspond un vecteur de N rendements, N étant le nombre
d’émetteurs. Pour chaque émetteur de chaque scénario on va comparer le rendement tiré
Z
aux rendements de transition i définis plus haut. Ainsi, à l’aide de ces rendements de
transition, on reconstitue le rating de chaque émetteur à l’horizon et ce pour chaque
scénario. A ce stade, nous disposons de l’ensemble des informations nécessaires pour
évaluer la distribution de la valeur de notre portefeuille à l’horizon. Reste à faire
correspondre à chaque rating de chaque émetteur la valeur du titre dans cet état de la
nature.
I.6
Calcul des facteurs d’actualisation :
Nous avons besoin, pour chaque rating à l’horizon, d’une courbe des taux à
l’horizon, ainsi qu’une courbe des spreads. CreditMetrics suggère d’utiliser des courbes
standard, fournies par Bridge. Ces courbes ne sont cependant disponibles initialement que
pour les USA. Il semble dangereux d’utiliser une seule courbe de spreads par type de
rating. En effet, le spread évolue en fonction du niveau absolu des taux d’intérêt, qui peut
être différent d’un pays à l’autre. Ceci pose un nouveau problème : même en supposant les
taux à l’horizon inchangés, nous ne disposons pas suffisamment de données dans chacune
des régions du pays pour tracer une courbe par rating, particulièrement pour les ratings les
plus faibles.
I.7
I.7.1
Application aux données de la Bmce Bank:
Statistique descriptive :
Notre portefeuille contient 1721 contreparties réparties entre 15 secteurs
d’activités que nous avons noté, pour des raisons de confidentialité, {S1, S2, S3,..., S15},
et se localisant sur 10 régions du Royaume.
Chapitre II : Modèle CREDITMETRICS
Le tableau ci-dessous nous permet d’avoir une description globale de notre
portefeuille :
Table 3: Statistique descriptive du portefeuille
Caractéristiques
Valeurs
Montant global
22 255 247 250
Moyenne
12 931 578,88
Ecart-type
53 545 853,43
Maximum
971 529 406,58
Minimum
100 000
La répartition en fonction du rating en terme du pourcentage de l’effectif et celui du
montant est la suivante :
Table 4 : Répartition en fonction de la classe de rating
Classe de rating La part de l’effectif La part du montant
I.7.2
1
1%
0%
1,5
2%
2%
2
6%
12%
2,5
11%
9%
3
16%
12%
3,5
18%
19%
4
15%
15%
4,5
11%
13%
5
10%
12%
5,5
6%
3%
6
5%
5%
Application :
Pour appliquer le modèle CreditMetrics, on a supposé que notre portefeuille est
composé d’un seul titre de montant égal au montant global de ce portefeuille et avec une
probabilité de défaut égale à la moyenne des probabilités par rating de l’ensemble des
contreparties formant notre portefeuille. Ce choix de modéliser notre portefeuille par un
seul titre est dû à la complexité d’appliquer ce modèle pour un portefeuille composé de
plusieurs titres, car il est essentiellement conseillé dans le cas d’un portefeuille composé
d’un seul titre, sinon sa multiplicité rend l’application très lourde.
Chapitre II : Modèle CREDITMETRICS
L’application de ce modèle se base essentiellement sur la matrice de transition,
donc adoptera celle de Standar’s&Poor’s avec des probabilités de transition, dans le cas de
défaut, relatives à notre base de données.
Notre portefeuille comporte 11 classe de rating {1 ; 1,5 ; 2 ;… ; 6}, alors que la
matrice utilisée contient seulement 7 classe { AAA ; AA ; A ; BBB ; BB ; B ; CCC }, en plus de
la classe de défaut. Alors, pour faire correspondre ces deux éléments, on a aboutit à
regrouper les classes de rating au niveau du portefeuille comme suit :
Table 5 : les nouvelles classes de rating avec leurs probabilités de défaut
Rating de la Bmce Rating de Standar&Poor’s Probabilité de défaut
1
AAA
0%
{1,5 ; 2}
AA
5,80%
2,5
A
11,23%
3
BBB
9,42%
3,5
BB
11,54%
{4 ; 4,5; 5}
B
13,49%
{5,5 ; 6}
CCC
13,74%
Notre choix de ces sous ensemble se justifie par les combinaisons entre les
probabilités de défaut par contrepartie qui peuvent donner une série croissante de ses
probabilités avec la classe de rating.
Notre matrice de transition est la suivante :
Table 6 : Matrice de transition à un an
A
BBB
BB
B
CCC
90 ,81 % 8,33%
0,68%
0,06%
0,12%
0,00%
0,00%
0%
AA
0,70%
90,65%
7,79%
0,64%
0,06%
0,14%
0,02%
5,80%
A
0,09%
2,27%
91,05%
5,52%
0,74%
0,26%
0,01%
11,23%
BBB
0,02%
0,33%
5,95%
86,93%
5,30%
1,17%
0,12%
9,42%
BB
0,02%
0,14%
0,67%
7,73%
80,53%
8,84%
1,00%
11,54%
B
0,00%
0,11%
0,24%
0,43%
6,48%
83,46%
4,08%
13,49%
CCC
0,22%
0,00%
0,22%
1,30%
2,38%
5,00%
64,85%
13,74%
Défaut
0,00%
0,00%
0,00%
0,00%
0,00%
0,00%
0,00%
Rating
AAA
AAA
AA
Défaut
100%
Le montant de notre portefeuille est 22 255 247 250 Dhs. Ce portefeuille est noté A
selon, sa probabilité de défaut par rating et par contrepartie.
Sous la double hypothèse de stabilité de la matrice et d’indépendance des
changements d’état dans le temps, il est possible de déduire d’une matrice de transition
Chapitre II : Modèle CREDITMETRICS
annuelle, des probabilités conditionnelles de défaut ou probabilités « forward ». Ces
probabilités sont les probabilités de défaut sur un espace de temps futur, sachant que
l’émetteur n’a pas encore fait défaut. Ces probabilités dépendent du spread (prime de
risque) et taux sans risque comme suit :
Tauxforward = tauxsansrisque + spread
(22)
Le calcul du taux de forward se fait sur un horizon de 5 ans, ce qui nécessite une
simulation des probabilités entre 2002 et 2005, car notre base de données nous offre celle
de 2006.
A partir de ce taux, on déduira la valeur actuelle du titre émis (valeur actuelle des
paiements restants).
Table 7: Taux forward pour le portefeuille.
2006
2005
2004
2003
2002
AAA
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
AA
0,11
0,11
0,11
0,11
0,11
A
8,49
8,49
8,49
8,59
8,65
BBB
0,43
0,43
0,43
0,44
0,44
BB
0,07
0,07
0,07
0,07
0,07
B
0,03
0,03
0,03
0,03
0,03
CCC
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
Année
Rating
Pour calculer la valeur actuelle du titre, on utilisera un taux d’actualisation de
1%, déduit d’un taux de rentabilité 5,38%. On détermine ainsi, toute les valeurs possibles
du titre en fonction des ses migrations possibles vers d’autres notations l’année suivante.
Ce sont les valeurs de reventes théoriques dans le marché en cas de revente dans un an. On
obtient le tableau suivant :
Chapitre II : Modèle CREDITMETRICS
Table 8: Valeur actuelle du portefeuille
Rating Probabilité de transition Valeur actuelle
AAA
0,09
22 264 199 421
AA
2,27
22 261 259 541
A
91,05
22 258 213 458
BBB
5,52
22 254 007 528
BB
0,74
22 240 997 317
B
0,26
22 234 969 015
CCC
0,01
22 231 369 412
Au total, on obtient les différentes valeurs possibles de notre portefeuille en
fonction de leurs migrations possibles vers d’autres notations et les probabilités de
migration.
De ce tableau, on obtient la distribution de la valeur actuelle du portefeuille selon
la probabilité de transition :
Figure 5: Distribution de la valeur actuelle du portefeuille
100
90
80
Probabilité
70
60
50
40
30
20
10
369
412
22
23
1
969
015
22
23
4
997
317
22
24
0
007
528
22
25
4
213
458
22
25
8
259
541
22
26
1
22
26
4
199
421
0
Valeur
Il est clair que notre distribution est normale. Donc, nous allons calculer la VaR normale
donnée par :
Chapitre II : Modèle CREDITMETRICS
VaR95% = σ × 1,65
VaR99% = σ × 2,33
VaR99,5% = σ × 2,58
Le tableau suivant illustre la démarche du calcul de la VaR :
Table 9 : Calcul de la VaR pour notre portefeuille
Rating
Probabilité
Valeur actuelle
Valeur
pondérée
Différence à
la moyenne
Calcul de la
variance
de transition
AAA
0,09
16 360 883 754
14 724 795
- 117 287 814
1,23808E+13
AA
2,27
16 488 110 202
374 280 102
9 938 634
2,24223E+12
A
91,05
16 488 184 262
15 012 491 771
10 012 694
9,12813E+13
BBB
5,52
16 488 112 347
910 143 802
9 940 778
5,45481E+12
BB
0,74
16 488 224 823
122 012 864
10 053 254
7,47903E+11
B
0,26
16 488 241 821
42 869 429
10 070 253
2,63666E+11
CCC
0,01
16 488 066 950
1 648 807
9 895 382
9791858213
Somme
100
16 478 171 568,32
Moyenne
2 354 024 509,76
On obtient de ce tableau la variance et l’écart-type de ce portefeuille :
Variance = 1,123814
Ecart − type = 10600966,39
On calcule la VaR pour ce portefeuille, on trouve :
Table 10 : La VaR pour notre portefeuille
VaR95%
17 491 594,54
VaR99%
24 700 251,68
VaR99,5%
27 350 493,28
1,1238E+14
Chapitre II : Modèle CREDITMETRICS
Ce tableau nous donne une idée sur le volume de la perte au niveau de notre
portefeuille à différents ordres de précision. Il peut atteindre le niveau de 24 MDhs à 99%,
ce qui représente presque 1% de notre portefeuille.
Conclusion
L’application du CreditMetrics pour le cas d’un portefeuille représentatif de la
clientèle de la Bmce Bank a permis de dégager une première idée sur le volume de perte
qu’elle peut subir pour le cas de ce portefeuille. Toutefois, ce modèle estime la perte due à
la fois au risque de défaut et également au risque de variation du spread de signature ; c'està-dire l’évolution au cours du temps du rating de chaque émetteur. Cette évolution étant
déterminée à partir des matrices de transition, dont la Bmce, d’ailleurs comme toutes les
banques marocaines, ne dispose pas. Ce qui nous a obligé à adopter celle de l’agence
Standars&Poor’s, basée essentiellement sur les données des entreprises nord-américaines.
En plus, le système de notation rating avec lequel travaille Bmce est ancien (depuis cinq
ans). Donc, il ne prend pas en considération les changements qui peuvent affecter la
situation financière des contreparties. Ces deux obstacles, en plus de la non disponibilité
des données concernant le taux de recouvrement de crédit, rendent les résultats obtenus en
appliquant CreditMetrics discutables.
Chapitre III : Modèle CREDITRISK+
Chapitre III
I
LE MODELE CREDITRISK+ :
I.1
Une approche économique de la gestion du risque de crédit :
Les avancées en terme de modélisation conduisent les institutions financières à
adopter une approche économique de la gestion du risque de crédit, la Value-at-Risk.
Les objectifs principaux de cette approche adoptée dans notre modèle sont d’une
part de quantifier le risque de crédit pour prêt (perte attendue) et d’autre part de déterminer
le capital économique permettant d’absorber des pertes extrêmes (perte inattendue) et
d’assurer la solvabilité de la banque. Le deuxième modèle élaboré dans ce projet permet
ensuite de mesurer la profitabilité de chaque opération, et d’optimiser l’allocation du
capital global de l’établissement, ainsi, que déterminer les limites de concentration de ce
risque et ceci dans la finalité de diversifier le portefeuille.
La modélisation repose sur l’estimation par la banque de la fonction de densité
des pertes de crédit. Cette fonction permet d’estimer la probabilité que les pertes subies au
niveau du portefeuille de risque excèdent un certain seuil (seuil de solvabilité, exprimé sous
forme de fractile). De manière synthétique, on peut dire qu’un portefeuille est d’autant plus
risqué que la queue de distribution est longue et épaisse et dans ce cas, cela requerra de la
banque de mettre en réserve une plus grande quantité de capital.
I.1.1
La mesure du risque de crédit :
La mesure du risque de crédit lié au portefeuille est en règle générale mesurée par
deux estimateurs, l’espérance de perte et un quantile de perte. L’espérance de perte est la
perte moyenne attendue sur le portefeuille. Elle est simplement calculée en sommant le
produit des pertes potentielles et des probabilités associées.
Mais la perte peut évidemment se révéler supérieure, et un estimateur du risque
de dérivé est indispensable. Le plus courant est la perte maximale associée à un intervalle
de confiance. Il s’agit de mesurer la perte (Value-at-Risk) que l’on accepte de supporter
dans un scénario défavorable, de faible probabilité d’occurrence. Le calcul s’obtient
directement à partir de la distribution.
I.1.2
L’objectif : une distribution de perte de crédit :
L’objectif de notre modèle de CreditRisk+ va être de déterminer la distribution de
pertes dues au risque de crédit, afin d’en déduire l’espérance ainsi que les différents
quantiles.
On retiendra l’intervalle de confiance de 99% pour estimer la consommation de
fonds propres dues au risque de crédit. La représentation graphique de la distribution nous
permet de visualiser ainsi les éléments nécessaires (VaR, EL, ES13) à l’allocation du capital
économique.
13
Rendement dû au Spread
Spread : paiement d’une prime au départ de la part de l’emprunteur afin de compenser la perte attendue. Le taux d’intérêt est alors
composé du taux « sans risque », auquel on ajoute un « Spread »
Projet de fin d’étude
- 45 -
Rapport
Chapitre III : Modèle CREDITRISK+
Nous indiquons dans le graphe qui suit ces éléments :
Figure 6: Eléments de l’output de la modélisation
Probabilité
Rendement
Spread en
exposition
Pertes non anticipées qui être
couvertes par les fonds propres
Couvert par les
provisions et la
UL
tarification des
créances
EL
I.1.3
ES
VaR
Montant
de perte
Principes et hypothèses de base :
Les principes de base conduisant à la détermination de la distribution
probabilisée des pertes sont les suivants : chaque crédit est analysé et le risque est quantifié
sur une base individuelle (en général, toute l’information pour un crédit est résumé par une
notation) afin de déterminer directement la probabilité de défaut à un horizon temporel
défini. Une estimation du taux de recouvrement (valeur de l’actif après le défaut) est
également définie pour chaque crédit. Enfin, l’ensemble de ces analyses individuelles est
agrégé afin de mesurer le risque de crédit du portefeuille dans son ensemble.
I.1.3.1 L’horizon du risque de crédit :
La durée cadre utilisée communément pour le risque de crédit est l’année14. Cette
pratique repose sur l’hypothèse que la durée nécessaire pour qu’une banque se sépare des
créances douteuses, ou modifie la composition de son bilan est au minimum d’un an.
Par ailleurs, l’horizon du risque de crédit est celui de la constatation comptable
(exercice comptable) des pertes en fonds propres, réelles ou potentielles, associées à la
dégradation
de
la
qualité
de
crédit
du
portefeuille
exposé.
14
Dans notre cas, il s’agit de l’année 2006.
Projet de fin d’étude
- 46 -
Rapport
Chapitre III : Modèle CREDITRISK+
Le choix d’une durée d’un an n’a pas de fondement strictement établi. Alors que le
choix de l’horizon de la position paraît indiscutable. En effet un crédit à 15 ans engage la
banque sur un horizon de 15 ans, la durée de l’engagement est celle de la position. Dans la
première hypothèse, un montant inutile de fonds propres est engagé dés la première année,
entraînant une utilisation sub-optimale du capital.
Cependant, ce choix est plus arbitraire pour un modèle fondé sur les défaillances.
D’une part une telle approche doit tenir compte de la durée totale d’exposition au risque
pendant laquelle une défaillance peut survenir. D’autre part, les risques de crédit se
cumulent en fonction du temps.
I.1.3.2 Modélisation de la corrélation :
Si l’on se réfère au modèle élaboré dans ce mémoire, la corrélation est
déterminée implicitement à partir de la variance des lois de défaut. Ce modèle considère
que les taux de défauts sont des variables aléatoires continues. De plus, il reconnaît que les
défauts sont corrélés (notamment par des facteurs comme la conjoncture économique). Il ne
modélise pas explicitement les corrélations (entre autre parce qu’elles sont instables dans le
temps et dépendent donc fortement de la période d’étude choisie) entre chaque débiteur.
Toutefois, il incorpore ses effets de concentration (corrélations sectorielles) à travers la
volatilité du taux de défaut et l’analyse sectorielle. L’économie est supposée être divisé en
secteurs économiques. Les secteurs évoluent de manière indépendantes les uns des autres.
Chaque émetteur est décomposé sur les différents secteurs de l’économie. La corrélation
entre deux émetteurs se calcul à partir des lois de défauts de chaque émetteur et de leurs
décompositions sectorielles.
I.2
I.2.1
Données pour l’implémentation :
Probabilité de défaut (PD) :
La probabilité de défaut mesure la probabilité d’occurrence d’un défaut sur une
contrepartie donnée, à l’intérieur d’un horizon fixé à 1 ans.
Elle n’est pas en général mesurée directement, mais par le biais d’une notation de
la contrepartie :
Chaque emprunteur est noté.
Toutes les contreparties à l’intérieur d’une même notation forment une classe de
risque.
A chaque notation est affectée une unique probabilité de défaut : toutes les
contreparties avec une note donnée reçoivent la probabilité de défaut associée à cette
notation. Il s’agit donc de calculer les probabilités associées à chacune des classes de
rating.
C'est le nombre de défauts intervenus sur une année pour une catégorie de crédit,
divisé par le nombre de prêts de cette même catégorie.
Projet de fin d’étude
- 47 -
Rapport
Chapitre III : Modèle CREDITRISK+
Table 11 : Probabilités de défaut par notation
I.2.2
Notation
Pb de défaut
1
0%
1,5
3%
2
7%
2,5
11%
3
9%
3,5
12%
4
11%
4,5
14%
5
16%
5,5
14%
6
13%
La perte en cas de défaillance (loss given default ou LGD) :
La perte en cas défaillance est spécifique à chaque exposition, et prend en compte
l’ensemble des éléments pouvant intervenir sur le taux de recouvrement. Il mesure la part
du montant de l’exposition au moment du défaut que la contrepartie sera à même de
rembourser. Il est défini simplement comme le complémentaire du taux de défaut.
Par ailleurs, la perte considérée est économique, et il faut donc considérer les
frais de recouvrement, les intérêts sur la durée du recouvrement…
Le taux de recouvrement est un des aspects les plus difficiles à appréhender. En
effet, il existe très peu de données historiques permettant d’estimer les facteurs ayant un
impact sur le taux de recouvrement, les cas de défaut des entreprises étant peu fréquents.
De plus cette difficulté est renforcée par le fait que pour un même émetteur le taux de
recouvrement d’une dette va dépendre de sa séniorité ou d’éventuels collaterals attachés.
Enfin, on peut imaginer que le recouvrement va différer selon secteur industriel de
l’émetteur
I.2.3
L’exposition en cas de défaillance (Exposure At Default ou EAD) :
L’EAD correspond au montant dû par la contrepartie au moment où elle fera
défaut sur un engagement donné à un horizon fixé, devant correspondre à celui utilisé pour
la probabilité de défaut.
Dans ce mémoire, l’exposition présente ou future est une mesure de risque dans
le pire des cas, et c’est l’exposition en terme de nominal qui est retenu. Elle ne tient compte
ni des récupérations possibles, ni de la probabilité de survenance du défaut.
Projet de fin d’étude
- 48 -
Rapport
Chapitre III : Modèle CREDITRISK+
I.2.4
Modèle d’évaluation du risque de crédit :
I.2.4.1 Distribution des pertes :
Après avoir défini les composantes des calculs (expositions, probabilités de
défaillance et taux de recouvrement), il convient de déterminer la distribution des pertes, à
savoir, pour le portefeuille considéré, la densité de probabilité de cette distribution, i.e. la
probabilité d’occurrence de chaque valeur possible des pertes sur l’ensemble du
portefeuille. Le calcul de la distribution des pertes est la dernière étape et le résultat de la
modélisation constitue la base quantitative sur laquelle on peut s’appuyer pour l’allocation
de capital.
I.2.4.2 Modélisation :
La mise en place d’un modèle de risque de crédit dans la banque répond à trois
principaux objectifs :
La mesure des pertes potentielles associées à un scénario défavorable de crédit ;
Le calcul des fonds propres alloués à la couverture du risque de crédit : l’enjeu,
dans le cadre de la réforme du ratio Cooke, est la substitution aux actuelles mesures
forfaitaires une mesure reposant sur un modèle interne. Une évaluation directe des
risques réels de crédit permet de mieux estimer les provisions et les fonds propres
requis pour couvrir ces risques ;
La mise en place d’une approche optimale d’allocation de capital entre les
différentes activités de la banque « consommatrices » de risque de crédit : la
connaissance du rendement de chaque activité et des risques associés permet
conceptuellement d’appliquer la théorie moderne du portefeuille et d’allouer le
capital économique à l’ensemble des métiers de la banque.
I.3
Développement du modèle :
Afin de développer un modèle de risque de crédit, on s’inspire des techniques
mathématiques plus souvent rencontrées dans le domaine de l’assurance. Nous allons
proposer un modèle de défaut qui apparaît comme une alternative aux principales
méthodologies rencontrées sur le traitement du risque de crédit. Le choix d’un modèle de
ce genre se justifie avant tout pour des raisons pratiques, cela réduit en effet le nombre de
données nécessaires. Il évite également les complications au niveau de l’implémentation
par la mise en œuvre de simulation de Monte Carlo ainsi que la recherche de solutions
fermées.
I.3.1
Méthodologie du modèle CreditRisk+ du risque de crédit :
Ce modèle proposé est fondé sur une approche probabiliste du processus de
défaut de paiement d’une contrepartie sans faire aucune hypothèse sur la cause du défaut.
Le modèle considère le taux de défaut comme une variable aléatoire continue. La prise en
compte d’une volatilité du taux de défaut associée à une analyse par secteur permettra de
rendre compte à la fois de l’incertitude du niveau de défaut.
Projet de fin d’étude
- 49 -
Rapport
Chapitre III : Modèle CREDITRISK+
Ce modèle cerne les caractéristiques essentielles de l’occurrence et pertes de défauts
de paiement permettant le calcul de la distribution des pertes d’un portefeuille comportant
un risque de crédit.
Figure 7: Structure de la composition de lois de distribution
Modèle de fréquence :
Modèle de sévérité :
Occurrence de défauts
Pertes de défaut
Distribution des
pertes agrégées
Les concepts qui sont à la base de ce modèle sont les suivants :
-
Le modèle se centre sur le risque de défaut ;
-
Les taux de défaut sont stochastiques ;
-
La probabilité de défaut est indépendante de la période et à l’intérieur d’un
portefeuille le nombre de défauts est supposé indépendant des défauts antérieurs ;
-
Le niveau du taux de défaut à une incidence sur l’occurrence du défaut, mais il n’y
a pas de relations causales entre ces occurrences.
Le modèle est alors structuré selon le schéma de la figure ci-dessous.
Dans un premier temps, on focalise notre étude sur un modèle simplifié dans lequel
la volatilité des taux de défaut n’est pas prise en compte. Dans ce cas, les procédures de
calcul de la distribution des pertes utilisent la simulation de Monte Carlo. Cela est dû à la
difficulté de trouver une formule explicite de la fonction de densité des pertes agrégées.
Dans un deuxième temps, on intègre la volatilité des taux de défaut dans notre démarche,
ce qui au vu des résultats correspond à une dimension aléatoire supplémentaire et donc à
une composition de lois de probabilités. Dans ce cas, le calcul est associé à une analyse par
secteur. Finalement, on est en mesure d’exploiter les résultats pour déterminer les
différentes contributions au risque du portefeuille de crédit.
Projet de fin d’étude
- 50 -
Rapport
Chapitre III : Modèle CREDITRISK+
Figure 8: Méthodologie du modèle élaboré
Occurrence de défauts
avec taux fixes
Expositions avec
taux fixes
Distribution des pertes
avec taux fixes
Simulation de Monte Carlo
Incertitude des taux de
défauts
Analyse par secteurs
Occurrence de défauts
avec taux variables
Occurrence de défauts
avec taux variables
Distribution des pertes
avec taux variables
Simulation de Monte Carlo
Contributions au risque
I.4
Modélisation des probabilités de défaut :
L’objectif consiste à modéliser le risque de défaut en s’appuyant sur des
techniques économétriques appropriées. Ces techniques utilisent une variable aléatoire
dépendante dont la valeur est le résultat du dénombrement des réalisations d’un certain
événement, ici le défaut. La démarche théorique est basée sur les hypothèses suivantes :
On considère un portefeuille composé de N contreparties indépendantes.
Chaque contrepartie j a une probabilité p j (t ) de faire défaut à l’horizon t.
Projet de fin d’étude
- 51 -
Rapport
Chapitre III : Modèle CREDITRISK+
D j (t ) désigne une variable binaire prenant la valeur 1 si la contrepartie j fait défaut
à l’horizon t, et 0 sinon.
Les défauts ne sont pas corrélés.
Le nombre total de contreparties faisant défaut à l’horizon t est alors donné par :
N
D(t ) = ∑ D j (t )
(23)
j =1
Chaque variable aléatoire D j (t ); j = 1,..., N suit une loi de Bernoulli de paramètre p j (t ) , et
[
][
de densité f ( x, p j (t )) = p j (t ) 1 − p j (t )
x
]
1− x
, avec x ∈ {0, 1} . Il vient naturellement que la
variable aléatoire D(t ) , désignant le nombre de contreparties du portefeuille pour lequel
D j (t ) = 1 suit une loi binomiale de paramètres N et p j (t ) . Pour obtenir un estimateur de
la probabilité de défaut PD (t ) associé au portefeuille de taille N , il suffit d’écrire la
vraisemblance de l’échantillon à partir des probabilités individuelles :
N
L( x1 ,..., x N ; p j (t )) = ∏ f ( x, p j (t ))
(24)
j =1
Ainsi :
N
N
j =1
j =1
log L = ∑ x j log p j (t ) + ( N − ∑ x j ) log(1 − p j (t ))
(25)
Les conditions de premier ordre permettent alors d’obtenir un estimateur du
maximum de vraisemblance de PD(t ) donné par :
N
∑p
PD(t ) =
j =1
j
(t )
(26)
N
La loi de probabilité de D(t ) peut aussi être obtenue par des approximations
asymptotiques d’après le théorème central limite. Pour N grand, on sait que :
D(t ) ≈ N ( Nµ (t ), Nσ 2 (t ))
où :
(27)
µ (t ) = E [D j (t )], σ 2 (t ) = V [D j (t )]
p (t )
Cependant, la probabilité individuelle de défaut j
est souvent faible, si bien
qu’il est préférable d’approcher la loi binomiale par une loi de Poisson, et non par une loi
normale comme le fait implicitement l’approximation fondée sur le théorème central limite.
Cette troisième approximation suit la démarche du modèle « CreditRisk+ » du groupe
Projet de fin d’étude
- 52 -
Rapport
Chapitre III : Modèle CREDITRISK+
Credit Suisse First Boston. Cette approche présente cependant un inconvénient majeur.
L’espérance mathématique et la variance sont égales dans le cas d’une distribution de
Poisson. Cette contrainte assez forte présuppose l’égalité entre le nombre moyen de défaut
et la variabilité de ce nombre à l’intérieur d’un portefeuille et de chaque classe de rating.
Cette hypothèse doit être testée dans la pratique. Une façon simple de la tester consiste à
calculer, pour chaque classe de rating donnée, la moyenne empirique µ (t ) et la variance
empirique σ 2 (t ) de chaque lot statique (ou bucket). Il suffit ensuite de reporter sur un
graphique ces points µ (t ), σ 2 (t ) afin de voir comment la variance évolue en fonction de la
moyenne. Le graphe ci-dessous illustre l’évolution de la variance de notre portefeuille en
fonction de sa moyenne.
[
]
Figure 9: Portefeuille Moyenne-Variance
2,65
2,6
variance
2,55
2,5
2,45
2,4
2,35
2,35
2,4
2,45
2,5
2,55
2,6
moyenne
Puisque les points sont presque tous linéaire autour de la première bissectrice, on
peut considérer que les deux moments conditionnels sont égaux, et cela valide l’hypothèse
faite en retenant une loi de Poisson. Lorsque ce n’est pas le cas, il y a généralement un effet
2
de surdispersion, i.e. des catégories de rating pour lesquelles σ (t ) > µ (t ) . Ce phénomène
de surdispersion peut être partiellement pris en compte en introduisant une famille de loi
plus vaste que la famille des lois de Poisson, et dépendant d’un paramètre supplémentaire
pouvant être vu comme une mesure de surdispersion. Cette nouvelle paramétrisation
permet en fait de rendre possible l’évolution dans le temps des probabilités de défaut.
I.5
I.5.1
Formalisation mathématique / Applications :
Modélisation à taux de défaut fixes :
I.5.1.1 Occurrence de défauts :
Les défauts de crédits ne peuvent être prévus ni dans leur date, ni dans leur
nombre, si bien que CreditRisk+ tente de modéliser globalement le risque crédit d’un
portefeuille.
Projet de fin d’étude
- 53 -
Rapport
Chapitre III : Modèle CREDITRISK+
On considère un portefeuille composé de N crédits. Nous supposons dans cette
partie que chacun de ces titres est sujet à une probabilité de défaut à un horizon d’un an
connue.
Notons :
PA=Probabilité Annuelle de Défaut pour A
On introduit alors la fonction génératrice associée au nombre D de défauts survenus parmi
les crédits du portefeuille :
∞
F( z ) = ∑ P ( D = n ).zn
n =0
(28)
Or, chaque emprunteur fait ou ne fait pas défaut ; la fonction génératrice d’un portefeuille
composé d’un unique prêt s’obtient donc facilement :
FA ( z ) = 1 − PA + PA .z = 1 + PA ( z − 1)
(29)
De plus, les événements sont supposés indépendants, ce qui induit :
F ( z ) = ∏ FA ( z ) = ∏ ( 1 + PA ( z − 1 ) )
A
(30)
A
Ce qui revient à écrire :
Log ( F ( z ) ) = ∑ Log ( 1 + PA ( z − 1 ) )
(31)
A
Or, nous pouvons considérer que les probabilités sont suffisamment faibles pour
approximer cette dernière expression par un développement limité au premier ordre, ce qui
se traduit par :
∑ PA ( z − 1 ) µ ( z − 1 )
F( z ) = e A
=e
(32)
avec:
µ = ∑ PA
A
µ représente en fait le nombre moyen de défauts attendus en un an parmi les émissions du
portefeuille de crédits considéré. On remarque de plus que la dernière expression peut
s’écrire sous une autre forme, grâce aux séries entières, ce qui donne une formule explicite
de la répartition de la variable aléatoire D :
Projet de fin d’étude
- 54 -
Rapport
Chapitre III : Modèle CREDITRISK+
∞
F( z ) = eµ ( z − 1 ) = ∑
n =0
e −µ µ n n
z
n!
(33)
Finalement, le nombre D de défauts à survenir parmi les émissions du
portefeuille de crédit suit une loi de Poisson de paramètre µ . Ce paramètre est l’unique
inconnu du modèle, il ne dépend ni du nombre de titres présents dans le portefeuille ni des
probabilité individuelles de défaut de chaque obligation, pourvu qu’elles soient
suffisamment petites pour valider les approximations effectuées.
µ : représente le nombre moyen de défauts attendus en un an parmi les émissions du
portefeuille considérées.
Dans notre cas, il est égal à 2,58.
Figure 10: Représentation graphique de la loi de Poisson de paramètre 2,58
0,3
fréquences
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
le nombre moyen de défauts
I.5.1.2 Pertes de défaut :
Il a été important de constater qu’un même niveau de perte peut être obtenu par
un seul « gros » défaut aussi bien que pour de nombreux « petits » défauts. Cette
constatation nous incite à regrouper les émissions contenues dans un portefeuille par
tranche d’exposition. Ceci a pour effet de réduire considérablement le nombre de données
pour l’implémentation de ce modèle. Cette approximation sera d’autant plus légitime que
les tranches d’exposition seront nombreuses et étroites en comparaison avec l’exposition
moyenne du portefeuille. Ainsi, ces approximations seront utiles sans pour autant modifier
les résultats significativement.
On adopte alors les notations suivantes :
Projet de fin d’étude
- 55 -
Rapport
Chapitre III : Modèle CREDITRISK+
Table 12: Notation
Référence
Notation
Emetteur
A
Exposition
LA
Probabilité de défaut
PA
Pertes attendues
λA
On définit d’abord l’exposition ( νA ) et les pertes attendues ( εA ) exprimées en L, qui
représente une unité arbitraire choisie, de la manière suivante :
λA = ε A × L
L A = ν A × L et
Dans notre cas :
L =
22255
En voici dans le tableau ci-après un exemple concret :
Table 13: Exposition et perte attendue en L
Secteur
Exposition
Exposition en L
Pb de
défaut
Perte
attendue
Perte attendue en L
S1
100
0
0,15
15
0,001
S2
25 158
1,13
0,3
7 547
0,34
S3
25 501
1,15
0,15
3 825
0,17
S4
25 510
1,15
0,05
1 276
0,06
S7
26 184
1,18
0,05
1 309
0,06
S3
45 392
2,04
0,1
4 539
0,2
S9
45 508
2,04
0,08
3 413
0,15
S2
189 714
8,52
0,03
5 691
0,26
S11
300 452
13,5
0,08
22 534
1,01
S15
414 510
18,63
0,02
6 632
0,3
S5
600 000
26,96
0,1
60 000
2,7
S1
735 765
33,06
0,3
220 730
9,92
S2
792 978
35,63
0,02
11 895
0,53
S3
971 529
43,65
0,05
48 576
2,18
Projet de fin d’étude
- 56 -
Rapport
Chapitre III : Modèle CREDITRISK+
Le passage important est de regrouper les expositions en tranche de façon à obtenir une
homogénéité intra-groupe. Le portefeuille se retrouve alors divisé en m tranches
d’exposition indexées par j . Ce qui revient à ne retenir que les notations suivantes :
Table 14 Notation
REFERENCE
NOTATION
Exposition dans la tranche j
νj
Pertes attendues dans la tranche j
εj
Nombre de défauts attendus dans la tranche
µj
La relation suivante relie ces trois variables :
εj = µj × νj
(34)
On utilisera par la suite :
µ = ∑ µ j= ∑ ε j
j=1
j= 1 ν j
m
m
I.5.1.3 Distribution des pertes :
On adopte ici le même point de vue que pour le nombre de défauts ; on définit la
distribution des pertes agrégées à travers sa fonction génératrice :
∞
G(z)=∑P( pertes.agrégées = n × L )×zn
n =0
(35)
Nous faisons alors intervenir le fait que les titres ont été regroupés par niveau d’exposition,
et que les tranches sont indépendantes entre elles, ce qui s’écrit de manière plus
formalisée :
G ( z )= ∏ G j( z )
m
j=1
m
∞
= ∏ ∑ P ( D j = n )×z
j= 1 n = 0
m
n νj
e − µ j µ nj n ν j − µ j + µ j z ν j
=∏∑
z =e
n!
j= 1 n = 0
m
m
= e − j∑= 1 µ j + j∑= 1 µ jz ν j
Projet de fin d’étude
∞
(36)
- 57 -
Rapport
Chapitre III : Modèle CREDITRISK+
On remarque que la dernière expression de la fonction génératrice est la
composée de deux sources d’incertitude : la loi de Poisson du nombre de défauts et la
variabilité des montants d’exposition.
On remarque également qu’elle ne dépend que de deux types de données ν et ε .
Ainsi, les seules entrées nécessaires à la mesure du risque crédit d’un portefeuille sont la
connaissance des différentes tailles d’exposition et les pertes attendues pour chaque taille.
I.5.2
Procédures de calcul de la Value-At-Risk :
I.5.2.1 Simulation de Monte Carlo :
Comme nous l’avons remarqué au niveau de la fonction génératrice, la difficulté
provient de la complexité d’en tirer directement une formule analytique de la loi de
distribution des pertes agrégées. Pour contourner ce problème, on procède par une
simulation de Monte Carlo. Ainsi, on simule une variable aléatoire suivant la loi de Poisson
(en vert), et ce pour chaque tranche d’exposition. Par la suite, en utilisant la formule
ε i = ν i × µ i , on peut obtenir la variable des pertes agrégées simulées (en rouge) en
multipliant tout simplement par les expositions communes (en bleu) et faisant la
sommation sur toutes les tranches.
Le tableau ci-après illustre cette procédure de calcul :
Table 15 : Illustration de la simulation de Monte Carlo
Exposition
commune
ν1
-
-
-
νj
-
-
ν24
Le nombre
moyen de
défaut
µ1
-
-
-
µj
-
-
µ24
Pertes
agrégées
simulées
5000
-
-
-
5000
-
-
5000
simulations
simulations
simulations -
P1
ν1
µ1,1
-
-
-
-
-
-
νj
µj,1
-
-
-
-
ν24
µ24,1
P2
ν1
µ1,2
-
-
-
-
-
-
νj
µj,2
-
-
-
-
ν24
µ24,2
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
νj µj,5000
-
-
-
-
P5000
ν1 µ1,5000
Projet de fin d’étude
- 58 -
ν24 µ24,5000
Rapport
Chapitre III : Modèle CREDITRISK+
Une fois la variable simulée des pertes agrégées obtenu, nous pouvons tracer directement
sa distribution cumulée. Nous obtenons alors le graphe ci-après :
Figure 11: Distribution cumulée des pertes agrégées avec taux de défaut fixes
Bien entendu, la modélisation du risque de crédit avec taux fixes se résume dans
cette représentation graphique. Toutefois, ce ne sont que des objectifs intermédiaires pour
aboutir aux objectifs finaux (VaR et perte attendue). Nous avons donc calculé par la suite
les quantiles (VaR) à différents niveaux de confiance ainsi que la perte attendue du risque
de crédit du portefeuille.
Table 16: Calcul de la VaR et perte attendue
Projet de fin d’étude
EL
24 035 667
VaR 90%
37 864 590
VaR 95%
41 840 044
VaR 97,5%
45 352 219
VaR 99%
49 393 327
VaR 99,50%
51 847 987
VaR 99,75%
53 964 838
VaR 99,99%
57 689 127
- 59 -
Rapport
Chapitre III : Modèle CREDITRISK+
Le provisionnement concerne seulement la perte attendue, c’est donc un montant de
24 035 667 de DH. Pour l’ensemble des pertes (perte attendue et inattendue), il faut aller au
delà de ce montant. Par exemple, on retient une VaR de 49 393 327, c’est à dire qu’on subi
une perte maximale de l’ordre de ce chiffre dans 99 pour cent des cas.
II.5.3 Modélisation à des taux de défaut aléatoires :
II.5.3.1 Incertitude des taux de défaut :
Nous avons considéré jusqu’ici le portefeuille de crédit dont le taux de défaut
était connu et fixe. Cependant, les taux de défaut sont sujets à une variabilité non
négligeable.
De plus, les statistiques publiées sur la fréquence des défauts montrent des
variations assez importantes d’une année sur l’autre. La situation se résume alors en trois
points:
•
Les probabilités de défaut sont volatiles dans le temps, même pour des
émetteurs de qualité crédit comparable.
•
La variabilité des probabilités de défaut peut être expliquée par des variabilités
sous-jacentes d’un petit nombre de variables liées à l’environnement
économique.
•
Un changement dans l’économie ou d’un autre facteur ayant de l’influence sur
la variabilité des taux de défaut ne doit pas nécessairement induire un défaut. Le
défaut d’une contrepartie est un événement rare.
a. Analyse par secteur :
Le second point énoncé souligne l’existence de facteurs susceptibles d’agir sur la
qualité crédit de plusieurs émissions à la fois. Pour mesurer cet effet, et donc être en
mesure de quantifier l’impact des volatilités des taux de défaut individuelles au niveau du
portefeuille, CSFP a eu recours à une analyse par secteur. L’économie est alors divisée en
K secteurs, et CreditRisk+ suppose que chaque secteur peut être modélisé par un unique
facteur sous-jacent. C’est ce facteur qui nous permettra d’expliquer la variabilité dans le
temps du nombre total de défaut mesuré pour ce secteur.
Donc, pour chaque secteur k nous introduisons une variable aléatoire xk qui
représente le nombre moyen de défauts dans ce secteur. L’espérance de xk sera notée µk , et
l’écart-type σk .
Projet de fin d’étude
- 60 -
Rapport
Chapitre III : Modèle CREDITRISK+
Variable par secteur
Notation
Unité d'exposition au risque
L
L ( jk ) = ν
1≤ k ≤ K
Tranche d'exposition
(k )
j
× L
1 ≤ j ≤ m (k )
λ (jk ) = ε (j k ) × L
Pertes attendues dans chaque tranche d'exposition
1≤ k ≤ K
1 ≤ j ≤ m (k )
Sous ces nouvelles notations, on a donc :
ε (j k )
ε
µ k = ∑ (k ) = ∑ A
j =1 ν j
A∈k ν A
m(k )
(37)
Où εA
νA est la probabilité de défaut sur la période de A. Pour obtenir une estimation
semblable de l’écart-type du taux de défaut pour chaque secteur, on est contraint
d’assigner un écart-type pour le taux de défaut de chaque émetteur du secteur considéré.
Une manière pratique de faire cela revient à supposer que cet écart-type dépend de la
qualité crédit de l’émetteur. On obtient donc σk à partir des σA , sachant que la probabilité
de défaut de chaque émetteur appartenant au secteur k sera considérée comme
proportionnelle à la variable aléatoire xk , ce qui s’écrit :
xA =
ε A xk
ν A µk
(38)
On peut noter que l’espérance de xk vaut εA = PA . Nous sommes alors en mesure de lier
νA
les σA à σk selon l’équation suivante :
∑σ
A∈k
A
εA σk
=σk
A∈k ν A µ k
=∑
(39)
Les statistiques montrent que le ratio σA
est de l’ordre de 1, si bien que l’écart-type du
PA
nombre de défauts parmi les émetteurs d’un même groupe de qualité crédit est du même
ordre que le nombre moyen annuel de défauts. C’est la même chose à l’échelle du
secteur, comme le montre :
Projet de fin d’étude
- 61 -
Rapport
Chapitre III : Modèle CREDITRISK+
σ A 

A∈k
σ k A∈k

A 
=
=
µ k ∑ PA
∑ PA
∑σ A
A∈k
∑ P  P
A
(40)
A∈k
Ainsi, en absence de données suffisamment détaillées, les estimations caractéristiques de
chaque émetteur σA peuvent être remplacés par un unique ratio ω k pour le secteur, ce
PA
qui induit alors : σ k = ω k × µ k
Chercher à estimer σk est alors équivalent à estimer ω k .
En utilisant les données de notre portefeuille, nous avons trouvé des
ω k de l’ordre de 0,5.
b. Occurrence de défauts :
En suivant la même démarche qu’en cas de la modélisation à taux fixe, et en
incluant la volatilité du taux de défaut dans le modèle, on obtient une fonction génératrice
du nombre de défauts du type :
K
K
∝
F ( z ) = ∏ Fk ( z ) = ∏ ∫ e x ( z −1) f k ( x)dx
k =1
(41)
k =1 x = 0
où fk ( x) est la densité de la variable xk . Pour prolonger les calculs, il est alors nécessaire de
donner une loi de distribution à xk . CREDITRISK+ conseille de choisir une loi Gamma de
moyenne µk et d’écart-type σk .Sous ces hypothèses fk ( x) est alors défini de la manière
suivante :
x
−
1
P(x ≤ xk ≤ x + dx) = fk (x)dx= α
e β xα −1dx
βk Γ(αk )
k
k
(42)
k
où :
µ k2
σ k2
et
αk = 2 βk =
σk
µk
∝
Γ(α ) = ∫ e − x x α −1dx
x =0
Après simplification, on obtient l’expression suivante dans laquelle on note Pk =
αk
 1 − pk 
 = (1 − p k )α
Fk ( z ) = 
 1 − pk z 
Projet de fin d’étude
 n + α k − 1 n n
 pk z
n
n =1 

βk
1+ βk
∝
k
∑ 
- 62 -
(43)
Rapport
Chapitre III : Modèle CREDITRISK+
On en déduit:
 n + α k − 1 n
 pk
P ( Dk = n) = (1 − p k )α 
n


(44)
k
Donc Dk qui est le nombre de défaut dans le secteur k suit une Loi Binomiale Négative.
c. Distribution des pertes de défaut :
Pertes de défaut : Nous reprenons l’approche définie dans le cas où les taux de défaut
étaient fixes, et nous généralisons ce procédé en y incorporant la volatilité de ces taux de
défauts. On obtient alors des expressions semblables à celles rencontrées plus haut :
K
K
K
∝
G ( z ) = ∏ G k ( z ) = ∏ Fk ( Pk ( z )) = ∏ ∫ e x ( P ( z ) −1) f k ( x ) dx
(45)
k
k =1
k =1
k =1 x = 0
où :
 ε (j k )  ν
 (k ) z
∑


j =1 ν j

Pk ( z ) = 
(
m ( k ) ε k ) 
 (j k ) 
∑


j =1 ν j


m(k )
(k )
j
 ε (j k )  ν
=
∑ z
µ k j =1 ν (j k ) 
1
m(k )
(k)
j
Et là encore les intégrales peuvent être calculées, ce qui aboutit à l’expression analytique
suivante :


K 
1 − pk
G(z) = ∏ 
(k )
k =1
p k m ( k ) ε j

 (k )
1 − µ ∑
ν
j
=
1
k
 j

 ν
z


(k )
j







αk
(46)
d- simulation de Monte Carlo :
Vu la complexité de la fonction génératrice, nous procédons au calcul des pertes
agrégées par une simulation de Monte Carlo. Le tableau ci-dessous illustre cette simulation.
Soit :
Le nombre de contreparties : n = 1,..., N
Le nombre de secteurs :
Projet de fin d’étude
k = 1,..., K
- 63 -
Rapport
Chapitre III : Modèle CREDITRISK+
Table 17 : Illustration de la simulation de Monte Carlo
Probabilités
de défaut
p1
p2
p3
-
pn
pn+1
-
pN
Secteurs
S1
S1
S2
-
Sk
Sk
-
SK
Expositions
v1
v2
v3
-
vn
vn+1
-
vN
Γ(α1,β1)
Γ(α1,β1)
Γ(α2,β2)
Pertes
agrégées
simulées
Poisinvers
e
Pb
Pb dft
secteur
-
-
-
P1
µ 1,1
xA1
x1,1
µ 2,1
xA2
P2
µ 1,2
xA1
x1,2
µ 2,2
xA2
µ 1,5000
xA1
x1,5000
µ 2,5000
xA2
dft
-
-
-
Γ(αk,βk)
-
-
-
Γ(αK,βK)
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
x2,1
µ n,1
xAn
xn,1
µ N,1
x2,2
µ n,2
xAn
xn,2
µ N,2
µ n,5000
xAn
P5000
x2,5
000
xn,500
µ N,5000
0
Pour effectuer la simulation de Monte Conte, on doit simuler le même nombre de
défauts moyen au niveau de chaque secteur (en marron) avec une loi Gamma, et on obtient
le nombre de défauts pour chaque contrepartie (en bleu), en utilisant la relation suivante :
ε x
x A = A k . Ensuite, cet élément fera l’objet de probabilité dans l’inversion de loi de
ν A µk
Poisson. Après, on génère une variable aléatoire représentant l’occurrence de défauts (en
vert). Finalement, on obtient la perte agrégée simulée par un simple produit de cette
occurrence de défaut et l’exposition suivi d’une sommation sur toutes les contreparties. On
en déduit alors la distribution de perte au titre du portefeuille de crédit tenant compte da la
variabilité des taux de défaut. Ce qui nous permettons d’en tirer la VaR, ainsi que la perte
attendue.
Nous allons représenter ci-dessous la distribution cumulée des pertes agrégées :
Projet de fin d’étude
- 64 -
Rapport
-
-
Chapitre III : Modèle CREDITRISK+
Figure 12: Distribution cumulée de la perte
D’après ce graphe, nous en tirons la VaR pour des différents niveaux de
confiance ainsi que la perte attendue :
Table 18: la VaR
EL
30 154 385
VaR 90%
38 564 274
VaR 95%
42 407 420
VaR 97,5%
46 490 328
VaR 99%
50 238 498
VaR 99,50%
61 439 503
VaR 99,75%
63 045 306
VaR 99,99%
73 637 844
Contrairement, à ce que nous nous attendions la VaR avec taux de défaut fixes n’est
pas très éloignée de celle calculée avec taux de défaut aléatoires. A l’exception des valeurs
à très haut niveau de confiance. En effet, la méthodologie suivie stipule que pour la
modélisation avec taux de défaut fixes sous estime les valeurs en risque du fait qu’elle ne
prend pas en compte la variabilité du taux de défaut dans le temps. Cela dit, les résultats
obtenus sont justifiés: les montants d’exposition des secteurs sont faiblement corrélés.
II.6 Allocation de capital :
II.6.1 La contribution en risque :
L’idée de calculer la contribution en risque de chaque créance vient d’un besoin
de mesure de l’impact de celle-ci sur la mesure du risque du portefeuille de crédit. La
contribution est alors définit par la différence entre la mesure de risque du portefeuille avec
la créance et celle du portefeuille sans la créance :
Projet de fin d’étude
- 65 -
Rapport
Chapitre III : Modèle CREDITRISK+
RC (i) = Risk ( x1 ,..., xi −1 , xi , xi +1 ,..., x N ) − Risk ( x1 ,..., xi −1 ,0, xi +1 ,..., x N )
(47)
Pour être suffisamment exploitable, la contribution de la contrepartie A au risque du
portefeuille de crédit prend la forme analytique suivante :
RC A = E A
∂σ
∂E A
RC A =
ou bien
E A ∂σ 2
2σ ∂E A
(48)
Ceci s’explique par le fait que la contribution au risque se définit par l’effet marginal de la
présence de l’exposition E A sur l’écart-type de la distribution de pertes de crédit.
Or le calcul de cette contribution nécessite la formule explicite de l’écart-type, chose qui
peut être s’obtenir par une décomposition de sa variance globale.
σ
σ 2 = ∑ ε k2  k
k =1
 µk
K
2

 + ∑ ε Aν A
A

(49)
On différencie la variance par rapport à l’exposition de la contrepartie, on retrouve :
σ
E µ 
RC A = A A  E A + ∑  k
σ 
K  µk
2


 ε kθ Ak 



(50)
Avec :
θAk ={10 , A∈k
A∉k
Nous reportons dans le tableau qui suit, un exemple des contributions de
quelques contreparties :
Projet de fin d’étude
- 66 -
Rapport
Chapitre III : Modèle CREDITRISK+
Table 19: la contribution de quelques contreparties
Secteur
Exposition
Prob de défaut
Ecart type
Contribution
S1
164 588
0,1
0,050
9 236
S3
176 107
0,15
0,075
15 566
S6
189 713
0,2
0,100
17 270
S2
193 354
0,11
0,055
12 746
S1
195 387
0,075
0,038
137 101
S2
209 934
0,14
0,070
15 024
S8
222 041
0,15
0,075
16 797
S3
232 480
0,05
0,025
12 325
S4
263 373
0,11
0,055
23 644
S2
298 265
0,2
0,100
30 322
S5
300 452
0,05
0,025
55 170
S9
311 448
0,11
0,055
33 061
S7
381 535
0,13
0,065
49 611
S8
390 163
0,11
0,055
51 880
S1
414 510
0,05
0,025
55 593
S3
453 969
0,11
0,055
70 232
S4
464 712
0,2
0,100
73 595
S11
507 461
0,1
0,051
70 734
S10
576 591
0,11
0,055
113 290
S3
600 000
0,05
0,025
2 674
S6
735 765
0,11
0,055
184 464
S2
792 978
0,13
0,065
214 264
S4
971 529
0,075
0,038
81 565
II.6.2 Concept et analyse RAROC : Risk Adjusted Return On Capital :
Au delà des mesures traditionnelles de rentabilité- Return on Equity, rentabilité
des fonds propres ou Return on Assets, rentabilité des capitaux engagés- de nouvelles
mesures, basées sur le risque, sont apparues. Le RAROC est une mesure de performances
ajustées du risque qui est développée depuis la fin des années 70 par Bankers Trust. La
méthodologie RAROC consiste à allouer du capital économique par opposition au capital
réglementaire qui répond à des besoins prudentiels et non de gestion. En effet, cette
dernière méthode repose sur une tarification forfaitaire du risque et non sur une évaluation
objective des risques pris.
La gestion du capital économique d’une banque s’impose en générale trois
étapes :
Projet de fin d’étude
- 67 -
Rapport
Chapitre III : Modèle CREDITRISK+
La détermination du montant de capital économique souhaitable pour la banque qui
doit être en rapport avec le capital réellement disponible.
L’allocation du capital aux différentes activités charge à elles ensuite d’en assurer la
rémunération.
La mesure de la performance. Les objectifs sont annoncés par les dirigeants au
moment de l’allocation du capital et peuvent être différenciés par ligne de métier.
En tant qu’outil d’évaluation de performance, le RAROC détermine le rendement
ajusté au risque de chaque activité ainsi que sa Valeur Economique Ajoutée (ou
EVA pour Economic Value Added).
L’analyse RAROC s’inscrit dans le cadre de l’approche Bottom-up.
La formule du RAROC est la suivante:
RAROC=
Revenus − Pertes moyennes anticipées
Pertes inattendue s
Résultat − Provisions économiques
(51)
Capital économique
Le RAROC peut prendre trois formes différentes. On calcule dans le tableau qui suit les
différentes formes de ce ratio pour l’ensemble du portefeuille :
=
Table 20: le RAROC pour le portefeuille
RAROC DU PORTEFEUILLE
Approche 1
Approche 2
TYPE
Approche 3
Rendement global=R
24 480 772
24 480 772
24 480 772
Perte attendue=EL
24 035 667
24 035 667
24 035 667
VaR(99%)
49 393 327
49 393 327
49 393 327
Formule de RAROC
R/VaR
(R-EL)/(VaR-EL)
(R-EL)/(VaR-(R-EL))
Valeur de RAROC
49,56%
1,76%
0,91%
L’usage de différentes approches pour calculer le RAROC donne des résultats
différents selon les paramètres utilisés pour ce calcul.
II.6.3 Capital économique marginal :
Si l’objectif final de notre modèle est l’allocation de capital à un niveau global, ils
prennent une dimension décisionnelle à une échelle plus individuelle. Notamment, la
notion de capital économique marginal permet, par exemple, de comparer la rentabilité
économique de nouvelles opérations. Il s’agit de mesurer l’impact d’une nouvelle opération
sur le portefeuille de la banque. Pour cela, on définit le capital économique marginal d’un
crédit comme la différence entre le montant de capital nécessaire avant et après l’inclusion
du crédit dans le portefeuille rapportée à la taille nominale du crédit considéré.
Projet de fin d’étude
- 68 -
Rapport
Chapitre III : Modèle CREDITRISK+
Un nouveau crédit à une entité sur laquelle la banque a déjà une exposition
importante
devrait
requérir
un
capital
plus
important.
Une fois le RAROC du portefeuille calculé, il convient de prendre ce ratio comme critère
de rentabilité au niveau de chaque contrepartie. Nous reportons ici, à titre d’exemple, les
éléments qui nous permettent de décider de la profitabilité de chaque opération d’octroi de
crédit.
Secteur Exposition
EL
Table 21 : Le ratio rentabilité/risque
Spread Contribution Rendement R/RC R-EL/RC-EL R-EL/RC-(R-EL)
S2
2 225 500
89 020
0,146
86 942
66 765
0,799
0,136
0,069
S8
2 239 260
89 570
0,130
87 951
67 178
0,791
0,345
0,102
S4
2 243 906
89 756
0,038
185 046
67 317
0,788
0,359
0,099
S3
2 247 427
89 897
0,042
78 281
67 423
0,779
0,135
0,069
S1
2 250 621
90 025
0,131
85 411
67 519
0,776
0,135
0,099
S8
2 259 412
90 376
0,042
89 440
67 782
0,768
0,366
0,097
S9
2 263 972
90 559
0,153
187 397
67 919
0,768
0,309
0,101
S13
2 267 843
90 714
0,040
90 066
68 035
0,764
0,134
0,098
S1
2 278 912
91 156
0,095
189 154
68 367
0,762
0,133
0,096
S1
2 280 514
91 221
0,045
80 882
68 415
0,758
0,324
0,097
S7
2 283 471
91 339
0,029
189 692
68 504
0,755
0,308
0,068
S10
2 287 007
91 480
0,109
88 065
68 610
0,732
0,297
0,095
S9
2 292 866
91 715
0,025
85 564
68 786
0,725
0,131
0,096
S14
2 309 554
92 382
0,069
87 956
69 287
0,608
0,170
0,067
S12
2 327 384
93 095
0,152
96 361
69 822
0,593
0,161
0,067
S13
2 341 886
93 675
0,114
92 146
70 257
0,591
0,166
0,095
S4
2 347 154
93 886
0,107
90 739
70 415
0,591
0,095
0,067
S3
2 349 299
93 972
0,136
96 231
70 479
0,589
0,095
0,098
S1
2 365 160
94 606
0,019
199 436
118 258
0,586
0,162
0,094
S1
2 378 841
95 154
0,121
98 517
118 942
0,364
0,093
0,066
S2
2 386 087
95 443
0,123
201 965
119 304
0,362
0,161
0,092
S9
2 386 150
95 446
0,104
201 973
119 307
0,361
0,158
0,096
S3
2 397 276
95 891
0,015
93 292
119 864
0,361
0,093
0,092
S10
2 405 315
96 213
0,088
204 300
120 266
0,589
0,095
0,095
Les valeurs en rouge représentent les rendements associés à chaque contrepartie.
Les valeurs en bleu représentent le rapport rendement/risque concernant les prêts non
rentables du fait qu’elles sont inférieures à la rentabilité économique de tout le portefeuille.
Cependant, la décision d’un prochain octroi de crédit tiendra compte non seulement de ces
critères, mais aussi de la notation de l’emprunteur concerné :
Projet de fin d’étude
- 69 -
Rapport
Chapitre III : Modèle CREDITRISK+
II.7 Elaboration des limites de concentration :
L’objectif final de notre projet consiste à l’élaboration des limites de concentration
par contrepartie, par secteur d’activité et par zone géographique. Pour se faire, nous avons
commencé par établir les limites pour les secteurs d’activité afin de les utiliser pour arriver
à l’élaboration de celles des contreparties. Ensuite, nous avons suivi le même principe que
pour les secteurs, pour trouver les limites par zone géographique.
Pour simplifier les calculs, nous allons prendre en compte les hypothèses
suivantes :
Soit Ea l’exposition au risque de crédit de la contrepartie a et pa sa probabilité
de défaut.
Soit x a une variable aléatoire distribuée suivant une loi de Poisson
de
paramètre pa (approximation d’une loi de Bernoulli de paramètre p a lorsque
p a ≤ 15% . C’est de plus une approximation prudente puisque l’écart type d’une
variable aléatoire suivant une loi de Poisson est
p a qui est supérieur à l’écart
type d’une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli
p a .( 1 − p a )
.
La variable aléatoire de perte pour le portefeuille est alors :
X = ∑ xa E a
(52)
a∈ A
Cette variable aléatoire n’est pas distribuée suivant une forme connue a priori mais peut
être étudiée empiriquement en simulant chacun des termes, et en les additionnant..
Déterminons tout d’abord les caractéristiques de la variable aléatoire :
L’espérance de X est : E(X)=
∑p
a∈A
a
E a qu’on appelle aussi perte attendue.
La variance de X est si les contreparties sont indépendantes σ 2 ( x) = ∑ p a E a2
a∈A
Et l’écart type de X est alors : σ ( x) =
∑p E
a∈A
a
2
a
Si on définit ξ(α) le multiplicateur de la distribution des pertes à un niveau de confianceα,
c’est-à-dire : Pr obabilité ( X < E ( X ) + ζ (α ).σ ( X )) = α
C’est ainsi la probabilité que la perte due au risque de crédit soit inférieure à
E ( X ) + ζ .σ ( X )
Après l’obtention de la VaR par la simulation de Monte Carlo nous trouvons :
ξ (α ) =
Var (α ) − EL
σ (X )
(53)
Les contributions en risque à un niveau de confiance α pour chaque contre partie a sont :
Projet de fin d’étude
- 70 -
Rapport
Chapitre III : Modèle CREDITRISK+
∂σ
E ( xa .E a ) + ξ (α ).
.E a
∂E a
2
ou encore
p E
a
a
+ ξ (α ) ⋅
p E
∑ p E
a
a∈ A
a
a
(55)
2
a
La consommation en fonds propre de la contrepartie a est la contribution en risque au
niveau de confiance de 99%.
La contribution en risque d’un secteur d’activité s’obtient par sommation des contributions
en risque des contreparties appartenant au secteur d’activité.
Si Ek est l’exposition au risque de crédit du secteur k, on alors la contribution en risque du
secteur k (au niveau de confiance α ) comme suit :
CRk = p k .E k + ξ (α ).
Avec p k =
∑ p .E
∑E
a
a∈k
Et nk
a
∑ p E .∑ E
=
∑p E
a
a∈k
(56)
probabilité de défaut moyenne du secteur d’activité k
a
a∈k
a∈k
pk 2
Ek
nk
a
a∈k
2
a a
a
est un indice de concentration du secteur d’activité k
II.7.1 Limites par secteur d’activité :
Pour déterminer les limites sectorielles, nous devons résoudre le problème
d’optimisation sous contraintes : nous cherchons la composition du portefeuille qui
minimise le capital économique consommé par le portefeuille. Pour cette raison, nous
devons minimiser la perte attendue ce qui revient à minimiser la dispersion de la perte
agrégée du portefeuille global.
Le système à résoudre est le suivant :




Min σ
2
=
15
∑
k =1
15
s/c
∑
p k × E k2
nk
(57)
Ek = E
k =1
C’est à dire que nous devons minimiser la perte tout en fixant l’exposition globale du
portefeuille à un certain niveau.
15
p k × E k2
− λ (∑ E k − E )
k =1
nk
k =1
15
Le lagrangien du système est : L(λ , E k ) = ∑
(58)
La résolution de ce programme conduit à la solution suivante :
E kl =
Projet de fin d’étude
nk × λ
2 pk
(59)
- 71 -
Rapport
Chapitre III : Modèle CREDITRISK+
Avec
λ = 2E
15
∑
k =1
nk
pk
Donc la part limite d’exposition par secteur est :
E kl
=
E
nk
15
pk ∑
k =1
(60)
nk
pk
La part limite du secteur correspond à une allocation de fonds propres égale à la
consommation de fonds propre à l’optimum. On obtient pour la part limite:
E kl
CR = p k E + (VaR(99%) − EL) ×
E
l
k
l
k
(61)
Application aux données de BMCE BANK :
La part d’exposition pour chaque secteur est donnée dans le tableau ci-dessous :
Table 22: La part d’exposition pour chaque secteur
Secteurs
nk
pk
Elk/E
Elk
S1
8,58
0,10
0,038
7 363 298
S2
7,69
0,12
0,030
4 326172
S3
9,34
0,11
0,039
22 888 505
S4
10,61
0,11
0,043
39 299 171
S5
41,94
0,12
0,160
2 012 698 169
S6
4,40
0,13
0,016
4 788 682
S7
43,21
0,11
0,171
272 047 513
S8
7,78
0,12
0,029
30 660 225
S9
39,83
0,11
0,167
170 275 402
S10
5,63
0,11
0,024
30 752 559
S11
36,00
0,11
0,146
103 815 595
S12
15,86
0,12
0,059
6 570 033
S13
3,91
0,12
0,014
249 465
S14
14,07
0,13
0,049
11 864 863
S15
2,81
0,08
0,015
22 616 791
Ce tableau illustre la part d’exposition des secteurs étudiés. On constate que cette
part diffère d’un secteur à un autre, ce qui s’explique par la taille de l’engagement de ces
Projet de fin d’étude
- 72 -
Rapport
Chapitre III : Modèle CREDITRISK+
secteurs et aussi par leur représentativité dans notre échantillon. Ces données
permettront à la D.G.G.R de prendre les décisions convenables avant d’octroyer les crédits.
La part des fonds propres pour chaque secteur exprimée par sa contribution en risque, est
donnée dans le tableau ci-dessous :
Table 23: La contribution en risque de chaque secteur d’activité
Secteurs
Contributions en
risque
S1
1 515 215
S2
1 103 570
S3
3 242 266
S4
5 251 256
S5
241 762 182
S6
919 833
S7
34 504 622
S8
4 252 894
S9
21 731 891
S10
3 800 767
S11
14 535 306
S12
1 982 983
S13
315 394
S14
2 529 991
S15
2 219 786
Ce tableau confirme le constat concernant le dernier tableau. La contribution en
risque des secteurs d’activités change d’un secteur à l’autre selon l’effectif représentant
chaque secteur dans l’échantillon, ainsi que la taille des engagements. Mais, on signale la
concentration de ce risque au niveau du secteur S5, ce qui influencera ses futurs
engagements avec la BMCE.
II.7.2 Limites par contrepartie :
l
Pour fixer les limites par contreparties, on part des limites par secteur d’activité E k ,
puis on minimise la contribution du secteur d’activité à la variance globale.
On résout alors le programme d’optimisation sous contrainte suivant :
Projet de fin d’étude
- 73 -
Rapport
Chapitre III : Modèle CREDITRISK+



Min
σ
2
∑
=
p
a
≤ E
l
k
× E
2
a
a∈ k
s / c
∑
E
a
(62)
a∈ k
E kl
La solution du programme d’optimisation est E a =
×
pa
1
∑
a∈k
1
pa
(63)
Application aux données de BMCE BANK :
Le tableau ci-dessous représente les limites de concentration de quelques contreparties :
Table 24: Les limites de concentration de quelques contreparties
Projet de fin d’étude
Contreparties
Limites d'exposition
C1
4 907 879
C2
105 727
C3
114 382
C4
253 101
C5
127 401
C6
107 101
C7
2 854 467
C8
171 239
C9
309 345
C10
127 401
C11
2 587 791
C12
107 101
C13
3 473 268
C14
125 338
C15
2 854 467
C16
309 345
C17
253 835
C18
480 147
C19
263 135
- 74 -
Rapport
Chapitre III : Modèle CREDITRISK+
Comme au niveau des secteurs d’activités, les limites de concentration pour les
contreparties diffèrent d’une contrepartie à l’autre selon son engagement, son chiffre
d’affaires et son appartenance à un certain secteur d’activité. On remarque que ces limites
se concentrent au niveau des contreparties C1, C7, C11, C13 et C15 qui appartiennent au
secteur S5 qui est déjà caractérisé par sa forte exposition au risque.
II.7.3 Limites par zone géographique :
En suivant la même démarche utilisée pour l’élaboration des limites de
concentration au niveau des secteurs d’activités, nous obtenons celles des zones
géographiques en changeant tout simplement les indices des secteurs par ceux des zones.
Application aux données de BMCE BANK :
La part d’exposition pour chaque zone géographique est donnée dans le tableau cidessous :
Table 25: La part d’exposition pour chaque zone géographique
Zones
géographiques
nz
pz
Elz/E
Elz
Z1
12,23 0,12
0,08
1 771 520 974
Z2
61,26 0,11
0,44
9 781 531 125
Z3
1,20
0,16
0,01
133 728 225
Z4
7,38
0,11
0,05
1 155 066 360
Z5
14,85 0,12
0,10
2 177 012 941
Z6
5,08
0,12
0,03
763 298 457
Z7
12,42 0,13
0,08
1 724 805 145
Z8
7,89
0,11
0,06
1 284 441 074
Z9
17,19 0,12
0,11
2 494 418 305
Z10
6,87
0,04
969 424 645
0,13
La part des fonds propres pour chaque zone géographique exprimée par sa contribution en
risque, est donnée dans le tableau ci-dessous :
Chapitre III : Modèle CREDITRISK+
Table 26 : La contribution en risque des zones géographiques
Zones
géographiques
Contributions en
risque
Z1
221 393 382,80
Z2
1 110 841 017,71
Z3
21 616 046,00
Z4
133 976 405,01
Z5
261 882 548,19
Z6
89 124 495,84
Z7
218 316 396,96
Z8
137 442 738,15
Z9
308 830 033,55
Z10
123 494 795,66
Ce tableau met en place la valeur de la contribution en risque des zones
géographiques. Il est clair que ce risque se concentre au niveau de la zone Z2, qui constitue
un pôle économique potentiel et fort représentatif au niveau de notre portefeuille. Ce
résultat affectera les futurs engagements de cette zone.
Conclusion :
CreditRisk+ est un modèle centré exclusivement sur le risque de défaut. Il n’analyse
pas le risque de dégradation de la signature. L’objectif de cette application est de
déterminer le montant de perte en cas de défaut d’une contrepartie, et non en cas de
modification de la notation ou de changement de spread. A la différence des modèles tels
KMV, il ne cherche pas à modéliser les raisons de ce défaut. Le montant est obtenu en
segmentant les émetteurs en différentes expositions sur des secteurs économiques ou
géographiques et en tenant compte éventuellement de la corrélation des taux de défaut entre
ces secteurs. Le modèle permet de déterminer une distribution de perte afin de quantifier le
coût en capital d’un portefeuille de crédits.
L’application du CreditRisk+ a conduit à des résultats très importants pour la mesure
et la distribution des pertes encourues. Ils permettent une diversification du portefeuille
étudié. Ces résultats permettront à la D.G.G.R de prendre les précautions nécessaires avant
l’octroi d’un crédit car elle a adopté ce modèle comme modèle interne de la gestion de
risque crédit pour la BMCE.
Chapitre III : Modèle CREDITRISK+
II. COMPARAISON ENTRE LES MODELES :
Lors de l’étude et l’application de ces trois modèles, nous avons constaté
plusieurs points communs et points de différence entre eux. Ces points sont résumés
dans le tableau suivant :
Table 27 : Etude comparative entre les trois modèles
KMV
CreditMetrics CreditRisk+
Données de marché
Oui
Oui
Non
Données de défaillance
Oui dans le calibrage
Non
oui
Non
Oui
Non
défaillance Oui
Non
Oui
Valeur du portefeuille
Oui
Oui
Actuarielle
Facteurs financiers observables
Oui
Non
Non
Facteurs macro-observables
Vraisemblablement
non
Non
Secteurs
Facteurs statiques inodservables
Oui
Oui
Non
Facteurs dynamiques
inobservables
Non
Non
Non
Probit
Oui
Oui
Non
Logit
Non
Non
oui
sur données Moody’s
Matrice de transition
Provision
individuelle
de
Conclusion générale
Conclusion Générale:
La mesure du risque de crédit occupe aujourd’hui une importance capitale aussi
bien dans les travaux de recherche académiques que dans les cellules de recherche des
établissements financiers. Il s’agit aujourd’hui de mettre en place des modèles internes pour
la mesure et la gestion de risque de crédit.
Nous avons tenté, tout au long de ce mémoire, d’éclaircir les étapes par lesquelles
est passé la construction des deux modèles du risque de crédit. Cette démarche s’est tout
d’abord effectuée sur un plan théorique, puis méthodologique arrivant aux applications
numériques de la VaR, de l’allocation de capital et de la détermination des limites de
concentration. Nous avons adopté ces deux modèles aux références actuelles. Ils présentent
l’avantage d’être fondés sur des notions intuitives et donnent des résultats satisfaisants.
Nous avons également pu révéler une cohérence entre les méthodes de calculs utilisés dans
ces modèles. Ces applications révèlent donc clairement l’avantage de cette approche
économique du risque de crédit et qui demeure un champ de développement majeur pour la
banque
Donc, nous avons abouti à deux modèles d’évaluation de risque de contrepartie. Le
premier s’est basé sur les classes de rating, quant au deuxième sur des probabilités de
défaillance. Vu les complexités imposées par le système de rating de la BMCE Bank, ainsi
que l’hypothèse de base qui considère le portefeuille tout entier comme un seul titre, les
résultats obtenus lors de l’application de CreditMetrics restent discutables. Pour remédier à
cette situation, nous avons choisi d’appliquer CreditRisk+, qui a permis de déterminer la
distribution de la perte, l’allocation des fonds propres économiques et les limites de
concentration de ce risque.
Les gestionnaires de risque de la BMCE Bank ont trouvés, au niveau de ce travail,
des outils pour développer leur propre modèle interne pour la détermination des limites de
concentration de risque de crédit. Ce modèle est essentiellement basé sur les données de
CreditRisk+, car la procédure de son application s’appuie sur des techniques actuarielles
pour modéliser la distribution des pertes et donc n’effectue pas de correction pour risque.
Contrairement aux modèles développés par KMV et JP Morgan’s, CreditRisk+ est peu
coûteux en termes de données.
Une suite naturelle de ce travail serait de s’intéresser à la création d’un programme
de Stress-testing. Bien entendu, c’est la méthodologie VaR qui est le fondement de nos
modèles, mais elle doit impérativement être complétée par l’utilisation d’un programme de
simulation de crise ; d’une part, à court terme, pour que le modèle interne puisse être
validé ; d’autre part, à plus longue échéance, pour que le risque soit bien géré au sein de la
banque, et tienne compte, notamment, des pertes importantes liées à des événements de
probabilité d’occurrence faible. Ainsi un programme de simulation de crise doit être en
mesure de répondre à ces trois questions : quelles seront les pertes si le scénario X se
Projet de fin d’étude
- 78 -
Rapport
Conclusion générale
produit ? Quels sont les pires scénarios pour la banque ? Que pouvons nous faire pour
limiter les pertes dans ce cas ?
Sachant par ailleurs que l’intérêt de ces simulations est de pouvoir influencer
directement les choix de la direction en matière de gestion du risque, il faut avoir en tête
une autre exigence : la crédibilité du scénario aux yeux de la direction de la banque.
Un outil potentiel pour la construction d’un tel programme est la théorie des valeurs
extrêmes. L’intérêt de cette théorie en économie et, en particulier, en matière de gestion des
risques, est déjà avéré.
Par ailleurs, ce projet de fin d’étude était pour nous une occasion pour mettre en
pratique nos acquisitions théoriques, découvrir un secteur clé de l’économie qu’est le
secteur financier et développer un esprit d’analyse en s’affrontant à des problèmes réels et
concrets caractérisant un des grands chantiers de la gestion de risque
Projet de fin d’étude
- 79 -
Rapport
Bibliographie
Bibliographie :
1) Antoine SARDI, Bâle 2, Edition Afges, 2004.
2) Comité de Bâle 2 sur le contrôle bancaire, convergence internationale de la
mesure et des normes de fonds propres, document consultatif à circulation limitée,
Juin 2004.
3) Nicolas BAUD, Méthode de Monte Carlo appliquée au pricing d’options et à la
gestion des risques multiples, cours ENSAI de 3ème année.
4) Thierry RONCALLI, Introduction à la gestion des risques, cours ENSAI de 3ème
année.
5) CreditMetrics, technical document (avril 1997)
6) CreditRisk+ (A Credit Risk Management Framework), document technique (1997)
7) Gestion de risque,
8) Hans BÜHLMANN: Mathematical Methods in Risk Theory, Springer-Verlag Berlin
Heidelberg New York, Part I, 1996.
9) Jean-Paul Laurent et Jon Gregory, I will survive. Risk, Juin 2003, www.risk.net
Note de cours donnés à l’INSEA:
M. LAHLOUH : Probabilités, INSEA.
A.ABDELLAOUI : Simulation, INSEA.
B. ATOUF : Inférence statistique, INSEA.
K. BENCHEKROUN : Théorie du risque, INSEA.
Mémoires :
Sami MISSAOUI, Value-at-Risk et allocation du capital économique: application à la
gestion du risque opérationnel et de crédit, Projet de fin d’étude, INSEA, 2004.
Sites WEB :
www.Default-Risk.com
www.GloriaMundi.com
www.EconPapers.co
www.risk.net
Projet de fin d’étude
- 80 -
Rapport
Annexe
ANNEXE
Projet de fin d’étude
- 81 -
Rapport
Annexe
Modèle de Merton
Le premier article sur le risque de crédit apparu dans la littérature est celui de
Merton, paru en 1974 dans The Journal of Finance sous le titre « On the Pricing of Corporate
Debt : The Risk Structure of Interest Rates ». Pour la première fois, un modèle de
valorisation était proposé pour des obligations émises par des firmes dont le risque de
défaillance n’était pas négligeable. Ainsi, Merton s’inscrit comme le précurseur des travaux
menés sur le risque de crédit. Cette approche fut ensuite prolongée et certaines hypothèses
faites par Merton ont pu être relaxées.
Merton a développé un modèle de valorisation du type Black-Schole sous les
hypothèses suivantes :
1)
des actifs.
Il n’y a ni coûts de transaction, ni taxes, ni problèmes d’indivisibilité
2)
d’intérêt.
Il existe un marché où l’on peut prêter et emprunter au même taux
3)
La vente à découvert des actifs est permise.
4)
Le théorème de Modigliani-Miller, selon lequel la valeur de la firme
est indépendante de sa structure financière s’applique. Si V désigne la valeur de la
firme, E la valeur de marché des actions et B la valeur de marché des obligations :
V =E+B
5)
La courbe des taux est plate et connue avec certitude.
6)
La dynamique de la valeur de la firme, V , est décrite par une
diffusion satisfaisant l’équation différentielle stochastique suivante :
dV = (αVt − C ) dt + σVt dWt
où α est le taux de rendement instantané de la firme par unité de temps, C le
versement de la firme par unité de temps à ses porteurs d’obligations ou à ses
actionnaires(e.g. des paiements d’intérêts ou des dividendes), σ 2 la variance instantanée
des rendements de la firme par unité de temps et z un mouvement brownien standard.
Supposons qu’il existe un actif dont la valeur de marché, Y , peut s’écrire comme
une fonction de la valeur de la firme et du temps, i.e. Y = H (V , t ) . Alors, le prix de cet actif
satisfaisait l’équation différentielle suivante :
σ2
2
V 2 H VV + (rV − C ) H V − rH + H t + C y = 0
∂H
.
∂x
Comme application de la formule précédente, Merton a étudié la valorisation de la dette
d’une entreprise sous certaines hypothèses. Le passif de la firme se compose uniquement
de deux sortes d’engagements : la dette et les actions. Il impose en outre certaines
où C y est le coupon ou le dividende du titre Y par unité de temps, et H x =
Projet de fin d’étude
- 82 -
Rapport
Annexe
restrictions sur la dette : la firme promet de payer la somme B à ses créanciers à un instant
spécifiéT , et dans le cas d’un non-paiement à T , les créanciers reprennent immédaitement
l’entreprise (et les détenteurs d’actions ne reçoivent rien). Enfin, on suppose que la firme
ne peut pas émettre de nouvelles obligations ni payer des dividendes durant la période. Si
on note par F la valeur de cette obligation, on a :
σ2
2
V 2 FVV + rVFV − rF − Fτ = 0
où τ = T − t le temps restant avant la maturité de l’obligation et donc Ft = − Fτ . La
condition initiale à τ = 0 est F (V ,0) = min[V , B ]
En effet, si à T , la valeur V de la firme est inférieure au montant B de sa dette, la
firme est en situation de défaut, les créanciers se partagent V et les actionnaires ne
reçoivent rien. Dans le cas contraire, ils reçoivent B .
On pourrait résoudre cette équation différentielle, mais Merton a remarqué que l’on
pouvait éviter de nombreuses difficultés en se ramenant à un problème déjà étudié. En
effet, si l’on cherche à résoudre le problème complémentaire, à savoir déterminer la valeur
de l’action f (V , τ ) . On a f (V , τ ) = V − F (V , τ ) et on obtient comme équation différentielle
vérifiée par f :
σ2
2
V 2 f VV + rVf V − rf − f τ = 0
avec comme condition initiale :
f (V ,0) = max[0, V − B ]
Cette remarque permet alors de résoudre de manière aisée les équations
différentielles donnant f (V , τ ) et F (V , τ ) . Ainsi, la détention des actions est-elle
équivalente à celle d’un Call sur la valeur de la firme, de prix d’exercice B et de même
maturité que la dette ; la détention des obligations est elle équivalente à la celle de la firme
elle-même et d’une position courte sur le Call.
L’article de Merton a constitué la base de toute la littérature sur le risque de crédit.
Néanmoins, l’approche semble quelque peu irréaliste. Elle suppose en effet que la
banqueroute n’est constatée qu’à l’échéance de la dette, et que la firme est éventuellement
liquidée pour la valeur de la firme au dessous duquel elle se déclare en faillite. Cette
hypothèse, que l’on trouve pour la première fois dans l’article de Black et Cox (1976),
nécessite cependant une spécification du seuil de faillite. On peut par ailleurs douter que ce
seuil soit constant au cours du temps, comme on le verra plus tard dans Longstaff et
Schwartz, et ne dépende pas de l’évolution de la structure des taux.
Projet de fin d’étude
- 83 -
Rapport
Annexe
Les techniques de Monte Carlo
Dans cette annexe, nous présentons les résultats généraux sur les méthodes de
Monte Carlo. Ces techniques de simulation se basent principalement sur deux grands
résultats de probabilité : la loi forte des grands nombres fournit le résultat de convergence ;
le théorème centrale limite, plus précis, permet d’évaluer la vitesse de convergence.
La simulation :
Le cadre d’analyse est posé de la façon suivante. On considère un espace
probabilisé et X une variable aléatoire construite dans cet espace en considérant sa fonction
de répartition. On souhaite estimer numériquement, à partir de la méthode de Monte Carlo,
l’espérance d’une fonction g(X).
A l’aide d’un ordinateur, nous allons réaliser une suite de tirages de la variable X
selon sa loi en utilisant le générateur de nombres aléatoires. Si X représente le résultat du
ième tirage et que l’on effectue n tirages, alors g(X 1) , g(X 2 ) ,... , g (X n ) représente un
échantillon aléatoire simple.
Supposons que : Var [ g ( X )] < ∞
Dans ce cas, la loi forte des grands nombres nous permet de conclure que :
1
n
n
∑ g( X ) →
E[ g ( X ) ]
i =1
presque sûrement lorsque n → ∞
Contrôle de la convergence :
Pour étudier les problèmes de convergence liés autour de méthode de Monte Carlo,
on a besoin du Théorème centrale limite qui stipule que la loi de
n
1 g ( X ) − E[ g( X ) ]
1 n∑
n 2 i =1
Var [ g ( X ) ]
converge vers une distribution normale centrée et réduite lorsque n → ∞
Nous sommes donc en mesure de calculer un intervalle de confiance pour E[g(X)] :
1
1
n
n
Var[ g (X ) ]  2
1 g ( X ) − z α  Var [ g ( X ) ]  2 ; 1
g ( X ) + z α 



∑
∑
n i =1
n
n
2 
2 
 n i =1

pourvu que le nombre de trajectoires simulées soit suffisamment grand.
Lorsque la variance n’est pas connue, ce qui est généralement le cas, nous l’estimons par la
variance échantillonnale.
Projet de fin d’étude
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Rapport
Annexe
Feuilles de calcul :
Simulation de Monte Carlo des pertes avec taux de défaut fixe :
Projet de fin d’étude
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Rapport
Annexe
Simulation de Monte Carlo des pertes avec taux de défaut variable :
Projet de fin d’étude
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Rapport
Annexe
Simulation de la distribution de la loi de Poisson
Projet de fin d’étude
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Rapport
Annexe
Simulation des probabilités de défaut pour la vérification de l’égalité moyennevariance
Projet de fin d’étude
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Rapport
Annexe
Simulation de la distribution des pertes en cas de CreditMetrics
Projet de fin d’étude
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Rapport