TD n°2

CAPES 2006–2007
Electrocinétique
TD n˚2
Exercice 1 : Varistance.
Pour un certain nombre de substances, la loi de variation de la tension appliquée U en fonction du
courant i qui traverse un échantillon est bien représentée par U = Ciβ ; C et β sont des caractéristiques
de l’échantillon à une température donnée. On appelle varistance un tel dispositif.
On considère une varistance dont la température est maintenue constante, pour laquelle : C = 120 S.I.
et β =0.2 S.I.
1. Tracer la caractéristique U en fonction de i. On limitera cette courbe à sa partie utile, sachant
que la puissance maximale qui peut être dissipée dans la varistance est PM = 4 W.
2. On appelle résistance statique le rapport Rs = U/i et résistance dynamique la fonction Rd =
du/di. Calculer Rs et Rd en fonction de i pour la varistance précédente ; quelle est la relation
entre les deux ?
3. La varistance est maintenant placée en série avec une résitance ohmique R = 700Ω et une
source de tension de f.é.m e = 100 V de résistance interne négligeable. Ecrire la relation qui
détermine le courant dans l’ensemble. Déterminer i et la tension U aux bornes de la varistance.
Pour ce régime de fonctionnement, calculer Rs et Rd . Evaluer le rapport (dU/U )/(de/e) pour
une petite variation autour de ce régime.
Exercice 2 : Facteur de régulation d’une diode.
La caractéristique directe courant I – tension U d’une diode est représentée par les équations :
I =0
pour U < Us
I = (U − Us )/Rd pour U > Us
où Us =0.8 V est la tension seuil de la diode et Rd = 40 Ω sa résistance pour U > Us . Cette diode
est placée en série avec une résistance R = 200 Ω et une alimentation idéale de F.é.m. E = 6 V.
1. Déterminer les coordonnées (U, I) du point de fonctionnement de la diode.
2. Calculer le facteur de régulation f = ∆E/∆U et le taux d’ondulation τ = ∆U/U de la tension
U aux bornes de la diode.
On branche aux bornes A et B de la diode une résistance Rc = 100 Ω.
3. Déterminer les coordonnées du nouveau point de fonctionnement.
4. Déterminer le domaine [Rc1 , Rc2 ] de variation de la résistance de charge Rc pour que la diode
soit passante avec un courant maximum de 20 mA.
Exercice 3 : Cable coaxial imparfait en régime continu
Un cable coaxial de longueur l est constitué de deux conducteurs métalliques cylindriques de même
axe Ox et de même conductivité σ : le conducteur intérieur (âme) est un cylindre plein de rayon a, le
conducteur externe (gaine) est un cylindre de rayons intérieurs et extérieurs b et b′ (donc d’épaisseur
e = b′ − b). L’âme et la gaine sont séparés par un conducteur imparfait de conductivité σ ′ dans lequel
les lignes de courant sont radiales (il joue le rôle d’isolant).
Cette ligne coaxiale est alimentée à l’entrée (x = 0) par une tension continue U0 (entre l’âme et la
gaine) et est fermée à sa sortie (x = l) sur une résistance R0 (toujours entre l’âme et la gaine).
1. Faire un schéma représentant les branchements décrits dans le texte.
On modélise une portion de cable comprise entre les abscisses x et x + dx comme suit :
2. Exprimer en fonction de a, b, b′ , σ et σ ′ les résistances linéiques ra et rg de l’âme et la gaine,
ainsi que la conductance linéique gi de l’isolant.
3. Etablir les deux équations différentielles satisfaites respectivement par u(x), tension entre l’âme
et la gaine à l’abscisse x et par i(x) intensité dans l’âme et la gaine à l’abscisse x.
1
i(x+dx)
i(x)
Ame
ra.dx
u(x+dx)
1/(gi.dx)
u(x)
rg.dx
Gaine
4. Déterminer les lois d’évolution u(x) et i(x).
5. Exprimer la résistance d’entrée Re de cette ligne coaxiale en fonction de R0 , ra , rg et gi .
Exercice 4 : Circuit à diode
On considère le circuit ci-dessous dans lequel le générateur de tension e(t) délivre une tension carrée
de période T . La diode est supposée parfaite et on prendra : E = 10 V,T = 10−2 s, r = 15 Ω,
R = 250 Ω, C = 64 µF. A l’instant t=0 où l’on ferme le circuit, le condensateur n’est pas chargé.
1. Etablir la loi u(t) pour 0 < t < T . Donner les valeurs de u(T /2) et u(T ).
2. Entre quelles valeurs varie u(t) lorsque le régime permanent est atteint ? Donner l’allure du
graphe u(t).
e(t)
D
E
r
u(t)
C
e
T/2
T
t
R
-E
Exercice 5 : Réponse d’un réseau RLC à deux mailles à un échelon de tension
On considère les deux réseaux à deux mailles (fig 1.1 et 1.2) dans lesquels le condensateur est supposé
déchargé à t = 0 lorsqu’on ferme l’interrupteur.
Montage 1 (fig. 1.1) : On suppose R > r.
1. Déterminer i1 (t) et i2 (t).
2. Tracer le graphe i(t) et déterminer l’instant t0 où i(t) atteint son maximum. A.N. : Calculer t0
avec L = 0.5 H, C = 1 µF, r = 1 Ω, R = 106 Ω et E = 2 V.
Montage 2 (fig. 1.2) :
1. Déterminer la loi d’évolution i2 (t)
2. Déterminer le courant minimunm (i2 )min et la tension maximale Umax aux bornes du condensateur.
i
K
i1
i K
i2
R
r
i1
C
R
r
E
E
C
L
L
1.1
1.2
2
i2