Cours (6 points) I – Portefeuilles efficients (8 points)

EXAMEN EN “Microéconomie financière”
Université Paris-Dauphine
Magistère BFA 1
Thierry Granger, Marisa Ratto
Année Universitaire 2012/2013
1re session
Aucun document, calculette autorisée
Durée 2 heures
Conseils : (1) lire toutes les questions avant de commencer ; (2) tenir compte du fait que les
explications comptent pour au moins la moitié de la note ; (3) respecter la numérotation des
questions.
Cours (6 points)
1. Il y a I agents et 1 bien physique dans une économie d’échange. Il existe 2 dates (ex ante, ex
post) et 2 états de la nature (a et b) de probabilité πa et πb respectivement. Ex ante, chaque
agent a des dotations ei (a), ei (b) (i = 1, ..., N ) contingentes à l’état de la nature. Chaque
agent consomme ex post, ci (a) ou ci (b) (i = 1, ..., N ). Ex ante chaque agent peut échanger
ses dotations contingentes à des prix de marché pa et pb . La fonction d’utilité élémentaire
de chaque agent i, ui (c) est croissante et concave.
On suppose qu’il n’existe pas de « risque macroéconomique » dans cette économie, mais
seulement un « risque microéconomique » :
(a) (1 point) que signifient les concepts précédents (entre guillemets) ? Les traduire en
équations ou inéquations.
(b) (1 point) que signifie la concavité de la fonction d’utilité élémentaire ?
(c) (1 point) que peut-on dire des consommation individuelles des I agents à l’équilibre ?
(d) (1 point) que peut-on dire des prix d’équilibre (écrire les équations correspondantes) ?
2. (2 points) Il existe un risque macroéconomique. (1) Les consommations d’équilibre, ci (a), ci (b)
d’un consommateur i, dans les deux états de la nature, peuvent-elle être les mêmes ? (2)
Les probabilités risque-neutres sont-elles en général identiques aux probabilités vraies (sinon
pourquoi) ?
I – Portefeuilles efficients (8 points)
La frontière efficiente (ou frontière de Markowitz) pour l’ensemble des marchés des K > 1
titres financiers risqués est donnée par l’équation suivante :
E = 0, 06 +
q
σ 2 − 0, 02.
3. (1 point) Tracez l’allure de la frontière. Interprétez l’équation de la frontière efficiente.
Comment est-elle obtenue mathématiquement (indiquez la procédure) ? Pourquoi ne passet-elle pas par l’origine ?
4. (1 point) Un portefeuille a pour écart-type 0,3 et pour espérance de rendement (net) 15 % :
ce portefeuille est-il possible et efficient ?
5. (1 point) Quelles sont les caractéristiques (espérance, écart-type) du portefeuille de minimum de risque global ?
6. (2 points) La droite du marché du capital a pour équation
E = 0.01 + 1.0607 × σ.
Quelles sont les caractéristiques de l’actif sans risque et du portefeuille de marché ?
7. (1 point) Quelle est la signification de la pente de la droite du marché du capital ?
8. (1 point) Soit xi0 la proportion d’actif sans risque et xim la proportion du portefeuille
de marché dans le portefeuille pour un gérant de portefeuille i (1 = xi0 + xim ). Soit xk
la proportion du titre k dans le portefeuille de marché : qu’appelle-t-on « théorème de
séparation » ou « théorème des deux fonds » (vous devez utilisez xi0 , xim et xk dans votre
explication) ?
9. (1 point) Quelles sont les caractéristiques d’un portefeuille composé de l’actif sans risque et
du portefeuille de marché, avec un levier de 6. (Écrire la contrainte budgétaire sous forme
d’équation comptable du bilan pour définir le levier).
II – Portefeuille de marché (3 points)
Le portefeuille de marché est constitué de 2 titres : le titre A constitue 40 % de ce portefeuille
avec un rendement espéré de 10 % et un écart-type de 20 %. Le titre B a un rendement espéré
de 15 % et un écart type de 28 %. La corrélation entre les titres est de 0,3 et le taux sans
risque est de 5 %.
10. (2 points) Quels sont les rendements espérés et l’écart-type du portefeuille de marché ?
11. (1 point) Quelle est l’équation de la droite du marché du capital ?
II – Évaluation par arbitrage (4 points)
Une économie comprend 2 titres de vecteurs de paiements




3


Y1 =  9  .
2
2


Y2 =  0  .
1
Les prix de ces titres sont respectivement P1 = 5 et P2 = 1.
12. (2 points) Y a-t-il une occasion d’arbitrage ?
13. (2 points) Y a-t-il un actif sans risque et, si oui, quel est son rendement ?