Corrigé UPSTI 2015

Concours CCP MP Session 2015
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Question 1 : Exprimer la vitesse maximale 
 en fonction de   et .
La position est donnée par l’aire sous la courbe de vitesse, on en déduit :
xx max
max x x x
a M a M M
M M a a M a M a
T V T V x
x V T T T V T T d'où V
2 2 T T
Question 2 :
a. Par application du théorème de l’énergie cinétique sur l’ensemble des pièces en
mouvement, exprimer le couple moteur  en fonction de , ,  et  durant les
trois phases du mouvement.
b. Préciser à quel(s) instant(s) t la puissance fournie par le moteur est maximale ().
c. Exprimer cette puissance en fonction de 
, ,  et .
d. Donner alors l’expression de  en fonction de 
, , ,  et .
a) On isole l’ensemble des pièces en mouvement, l’inertie cinétique de l’ensemble est :
2
x
em
1
Ec(S/ R) J
2
Les puissances intérieures sont nulles (pas de frottement)
Le puissance extérieure est donnée par :
x
mm
C
Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à l’ensemble isolé donne :
2
xx
em x x x x
int ext S/R e m m m m e m m e m
1
dJ V
2P (S) P J C J C J C
dt 
Pour la 1er phase (t compris entre 0 et Ta) :
x
xM
m e e a
V
V
C J J T
Pour 2eme phase (t compris entre Ta et T-Ta) : Cm=0
Pour la 3eme phase (t compris entre T-Ta et T) :
x
xM
m e e a
V
V
C J J T
b) La puissance est maximale quand Cm et
x
m
sont maxi donc pour t=Ta
c)
2
xx
x
x x x e
MM
max m m e m e m
aa
J
VV
V
P C J J TT
d) Avec le résultat de la 1er question, on obtient :
2
max
M2
2max
xM
e e a e
M
max 2
2
a a a a
xx
J J T T J
V
PT T T (T T )

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Question 3 : A partir de cette expression, montrer que  est minimale pour un réglage du
temps d’accélération  tel que .
On exprime la dérivé de Pmax
2
2 2 2
max max max aa
M e M e M
max e a
2 2 2
2 2 2 2
a a a a
a a a aa
dT (T T )
x J x J x
dP J dT
d d 1
dT dT T dT
(T T ) T (T T ) T (T T )
22 2 2 2
a a a a a a a a a
a
222
a a a a
a
dT (T T ) (T T ) 2T ( 1)(T T ) T 2TT T 2T T 2T
dT
dT (T T ) T 4TT 3T
dT
22
a a a a a a
TT
T 4TT 3T (T )( 3T 3T) 3(T )(T T )
33
Ta
0 T/3
T
(Pmax)’
- 0
+
0 -
Pmax
La puissance est bien minimale pour Ta =T/3 sur l’intervalle [0 ;T]
Question 4 : Déterminer la vitesse de rotation maximum 
 que doit atteindre le moteur.
Le choix de celui-ci est-il validé ?
D’après la question 1,
max
xM
Ma
x
VTT
.
On a aussi :
x max
x x x MM
p poulie p m m max p p a
Vx
1
V R R k R k R k T T
Avec Rp= 20 mm, k=0.1, T=1s, Ta=1/3s,
max
M
x 0,55m
x 1 1
m3
max
1 0.55 412rad.s 3940tr.min
1
20.10 .0,113
Ce qui est bien inférieur à la vitesse maximale de rotation du moteur (4150 tr.min-1).
Le choix du moteur est donc validé pour la vitesse de rotation
Question 5 : En exprimant la condition de roulement sans glissement en , déterminer  et
, les composantes du torseur cinématique en  de la bille par rapport au rail , en fonction
de  et .
La condition de roulement sans glissement en I entre la bille et le rail (0) donne :
b 0 b 1
V(I bille/0) V(G bille/0) (bille/0) GI 0
V(G bille/0) (bille/0) GI y r r x

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On a aussi :
11
1
000
d(R r)z dz
dOG
V(G bille/0) (R r) (R r) x
dt dt dt
On en déduit :
b 1 1 b (R r)
r x (R r) x r
et
v (R r)  
Le torseur cinématique caractérisant le mouvement de la bille par rapport au rail (0) est donc :
b0
0
b1
A
1
A
(R r) y
y
(bille / 0) : rrx
(R r) x
V
Question 6 : En justifiant clairement la démarche et les théorèmes utilisés :
- Montrer que les efforts normal  et tangentiel  du rail sur la bille sont liés à l’angle  par
les équations suivantes :
On isole la bille, on applique le principe fondamental de la dynamique et on écrit le théorème de la
résultante dynamique en projection sur
1
z
(le bilan des actions mécaniques est fait dans l’énoncé)
12
1
1 1 1
0
0
d (R r) x dx
(G bille / 0) (R r) x (R r) (R r) x (R r) z
dt dt
20 1 0 1 1
21
2
1
m(R r) mgz .z F(t)x .z N
m(R r) mgcos F(t)sin N
N F(t)sin mgcos m(R r)
On isole la bille, on applique le principe fondamental de la dynamique et on écrit le théorème du
moment dynamique au point G en projection sur
0
y
(le bilan des actions mécaniques est fait dans
l’énoncé)
2
11
2 R r 2
rT mr T m(r R)
5 r 5
On isole la bille, on applique le principe fondamental de la dynamique et on écrit le théorème de la
résultante dynamique en projection sur
1
x
(le bilan des actions mécaniques est fait dans l’énoncé)
v 1 0 1 0 1
v 1 1
v
v
m(R r) f (R r) T mgz .x F(t)x x
2
m(R r) f (R r) T mgsin F(t)cos avecT m(r R)
5
2
m(R r) f (R r) m(r R) mgsin F(t)cos
52
F(t)cos m(R r) f (R r) m(r R) mgsin
5
F(t)
v
v
2
cos f (R r) mgsin m(R r) m(R r)
5
7
F(t)cos f (R r) mgsin m(R r)
5

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Question 7.  étant petit, linéariser l’équation du mouvement puis en déduire la fonction de
transfert
(p)
H(p) F(p)
. Mettre () sous la forme canonique d’un système du second ordre dont on
donnera les expressions du gain statique s, de la pulsation propre non amortie 0 et du coefficient
d’amortissement  en fonction de , R, r, m et g.
En linéarisant au premier ordre l’équation de mouvement devient :
v7
F(t) f (R r) mg m(R r)
5
En supposant les conditions initiales nulles, on obtient dans le domaine symbolique :
2
v
2
v
s
22
v
v2
00
7
F(P) f (R r)p (p) mg (p) m(R r)p (p)
5
7
F(p) mg f (R r)p m(R r)p (p)
5
1K
(p) 1 mg
H(p) 7 f (R r) 2 1
7(R r)
F(p) mg f (R r)p m(R r)p 1 p p
1p
5mg 5g
Par identification, on obtient :
s0
v v v
0
1 5g
Kmg 7(R r)
f (R r) f (R r) f
2 1 5g 5g(R r)
mg 2 mg 7(R r) 2mg 7
Question 8. On prendra les valeurs numériques suivantes pour cette question :
0 = 21,8 rad
·−
1;
= 25 N-1; = 4 ·v . Tracer, sur le document réponse, le diagramme asymptotique
de Bode en gain, ainsi que l’allure du diagramme réel pour les valeurs suivantes du coefficient de
frottement visqueux :
= 0,005;
= 0,05; = 0,2

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Question 9. La sollicitation des bobines est sinusoïdale : F(t)= F0 sin (ωbob.t) Préciser, en justifiant votre
réponse, la valeur à laquelle il faut régler la pulsation ωbob pour pouvoir observer, au mieux,
l’évolution du coefficient de frottement v .
Il faut régler ωbob sur ω0 .
La valeur de ωo ne dépend pas de la valeur du coefficient de frottement contrairement à ωr.
Question 10.
a) Exprimer, pour un système du second ordre, en fonction de , le rapport des amplitudes
de sortie à → 0 et =
0 pour une même amplitude du signal d’entrée.
Pour un système du second ordre de la forme
s
2
2
00
K
S(p)
H(p) 21
E(p) 1 p p
quand  → 0, on a S0 = Ks E0
quand  = 0 ,
0 s s s
02
000
2
00
S(j ) K K K
H(j ) 21
E(j ) j2 2
1 j j
0
H (0) 2
H(j ) 
b) Les figures 13 a, b, c, d (pages 10 et 11) représentent, avec v constant, l’évolution de la position de
la bille [°] en fonction du temps t [s] pour différentes valeurs de pulsation bob . A partir de ces
courbes et des résultats précédents, déterminer la valeur du coefficient d’amortissement .
D’après les figures a et c, et des résultats de la question précédente, on a :
03
00
F H(0) 0.06 0.03
2 2 4,44.10
F H(j ) 6.75 6.75 
c) En déduire la valeur numérique du coefficient de viscosité du sang correspondant.
D’après l’énoncé le coefficient de frottement visqueux vaut :
vv
f 6. .r. et 4f    
On en déduit :
v
vf
f 6. .r. 6. .r 24 .r
il manque à priori le rayon de la bille r pour faire l’application numérique