Gestion de projet - calcul probabiliste
Gestion de projet
- calcul
probabiliste
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GÉRARD CASANOVA - DENIS ABÉCASSIS
I - Principes du pert
probabiliste I
La durée de chaque tâche i est incertaine
La durée, Di, est une variable aléatoire, ce qui signifie que Di peut prendre
plusieurs valeurs, selon une distribution de probabilité. A partir de ces valeurs on
pourra calculer la durée moyenne, la variance et l'écart type.
Remarque
Dire que la durée est incertaine, ne signifie pas qu'elle peut prendre n'importe
quelle valeur, mais certaines valeurs connues avec plus ou moins de précision.
Ainsi, des travaux de peinture prendront 6 jours, en principe, mais selon l'état des
murs, la durée sera plus courte ou plus longue, tout en restant dans une certaine
fourchette, par exemple entre 4 et 9 jours.
Exemple : Variable aléatoire avec sa distribution de probabilité
Il s'agit de la durée en heures d'une tâche de peinture, la tâche A.
Tableau 1 Tableau
La durée du projet durée sera toujours la durée du chemin le plus
long
Si la durée d'une tâche se trouve accrue, la durée du projet pourra changer et le
chemin critique se déplacer.
La durée d'un chemin est égale à la somme des durées des tâches du chemin : Sd
= Σ Di pour toutes les tâches du chemin.
La somme des durées, Sd, est une variable aléatoire, qui peut prendre plusieurs
valeurs selon une distribution de probabilité
Exemple
Somme de deux variables aléatoires (A et B) avec sa distribution de probabilité
A correspond à la durée en heures d'une tâche de peinture,
B au travail préalable de préparation du mur.
Université de Lorraine 5
Probabilité corespon-dante Pi Moyenne = E(D) = somme des Pi Di Variance = somme des Pi ((Di - E(D))^2
21 0,2 4,2 4,23
25 0,4 10 0,144r
28 0,3 8,4 1,73
30 0,1 3 1,94
Total 1 25,6 8,04
Durée moyenne = E(D)= 25,6
écart-type = σ(D) = 2,84
Durée Possible* :* Di
Variance = V(D) = 8,4 = σ(D)2
Tableau 2 Tableau
Tableau 3 Tableau
Schéma
Principes du pert probabiliste
Université de Lorraine
6
Probabilité correspondante Pi pour A Durées possibles de B : Db Probabilité correspondante Pi pour B
21 0,2 10 0,1
25 0,4 11 0,4
28 0,3 13 0,3
30 0,1 14 0,2
Total 1 1
Exemple de somme de 2 variables*
Durées Possibles de A :* Da
Probabilités correspondantes (produit) Probabilités correspondantes (produit)
31 0,02 31 0,02
32 0,08 32 0,08
34 0,06 34 0,06
35 0,04 35 0,08
35 0,04 36 0,16
36 0,16 38 0,15
38 0,12 39 0,2
39 0,08 40 0,01
38 0,03 41 0,13
39 0,12 42 0,06
41 0,09 43 0,03
42 0,06 44 0,02
40 0,01 Total 1
41 0,04
43 0,03
44 0,02
Ensemble des durées possibles pour
les tâches consécutives A + B
Ensemble des durées possibles
pour les tâches consécutives A + B
II - Incertitudes sur
la durée de
chaque tâche
II
Toute tâche i peut prendre une ou plusieurs durées, dans le cadre de sa distribution
de probabilités.
- Si on connaît cette distribution de probabilité on peut calculer la durée moyenne
E(Di ) ou encore mDi et la variance Var Di de la tâche i.
- Si la distribution de probabilité n'est pas connue il faudra l'estimer, selon les
informations connues, à l'aide d'une méthode appropriée.
- En gestion de projets, une estimation est généralement (dans les livres et les
logiciels) proposée par défaut, elle suppose de disposer de trois durées : durée
optimiste (Dopt), durée probable (Dpr) et durée pessimiste (Dpess).
Estimations de la durée moyenne d'une tâche (E(Di)) et de son
écart-type (σ (Di))
Tableau 4 Formule
Ce qui revient à considérer que la durée probable se réalise quatre fois plus souvent
que la durée optimiste ou que la durée pessimiste. Ce ne sera généralement pas le
cas, mais ces estimateurs sont sans biais et convergents, c'est-à-dire que les écarts
avec la réalité seront tantôt minorés, tantôt majorés, mais sur un grand nombre de
tâches, l'écart sera faible.
Université de Lorraine 7
* Dopt + 4Dpr + Dpess
E(Di) = _________________
6
Dpess - Dopt
* σ (Di) = __________
* 6
Var (i) = σ² (Di)
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
/
14
100%
