Gestion de projet - calcul probabiliste

Gestion de projet
- calcul
probabiliste
GÉRARD CASANOVA - DENIS ABÉCASSIS
Paternité - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification :
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/
Table des
matières
I - Principes du pert probabiliste
9
II - Incertitudes sur la durée de chaque tâche
13
III - Durée du chemin critique
15
IV - Exemple
17
V - Corrigé de l'exemple
19
VI - Exercice
23
Solution des exercices
25
Université de Lorraine
3
Principes du pert
probabiliste
I-
I
La durée de chaque tâche i est incertaine
La durée, Di, est une variable aléatoire, ce qui signifie que Di peut prendre
plusieurs valeurs, selon une distribution de probabilité. A partir de ces valeurs on
pourra calculer la durée moyenne, la variance et l'écart type.
Remarque
Dire que la durée est incertaine, ne signifie pas qu'elle peut prendre n'importe
quelle valeur, mais certaines valeurs connues avec plus ou moins de précision.
Ainsi, des travaux de peinture prendront 6 jours, en principe, mais selon l'état des
murs, la durée sera plus courte ou plus longue, tout en restant dans une certaine
fourchette, par exemple entre 4 et 9 jours.
Exemple
: Variable aléatoire avec sa distribution de probabilité
Il s'agit de la durée en heures d'une tâche de peinture, la tâche A.
Durée Possible : Di Probabilité corespon-dante Pi Moyenne = E(D) = somme des Pi Di
Variance = somme des Pi ((Di - E(D))^2
21
0,2
4,2
4,23
25
0,4
10
0,144r
28
0,3
8,4
1,73
30
0,1
3
1,94
Total
1
25,6
8,04
Durée moyenne = E(D)= 25,6
Variance = V(D) = 8,4 = σ(D)2
écart-type = σ(D) = 2,84
Tableau 1 Tableau
La durée du projet durée sera toujours la durée du chemin le plus
long
Si la durée d'une tâche se trouve accrue, la durée du projet pourra changer et le
chemin critique se déplacer.
La durée d'un chemin est égale à la somme des durées des tâches du chemin : Sd
= Σ Di pour toutes les tâches du chemin.
La somme des durées, Sd, est une variable aléatoire, qui peut prendre plusieurs
valeurs selon une distribution de probabilité
Exemple
Somme de deux variables aléatoires (A et B) avec sa distribution de probabilité
A correspond à la durée en heures d'une tâche de peinture,
B au travail préalable de préparation du mur.
Université de Lorraine
5
Principes du pert probabiliste
Exemple de somme de 2 variables Durées Possibles de A : Da Probabilité correspondante Pi pour A Durées possibles de B : Db Probabilité correspondante Pi pour B
21
0,2
10
0,1
25
0,4
11
0,4
28
0,3
13
0,3
30
0,1
14
0,2
Total
1
1
Tableau 2 Tableau
Ensemble des durées possibles pour Probabilités correspondantes (produit)
les tâches consécutives A + B
31
0,02
32
0,08
34
0,06
35
0,04
35
0,04
36
0,16
38
0,12
39
0,08
38
0,03
39
0,12
41
0,09
42
0,06
40
0,01
41
0,04
43
0,03
44
0,02
Ensemble des durées possibles
pour les tâches consécutives A + B
Probabilités correspondantes (produit)
31
32
34
35
36
38
39
40
41
42
43
44
Total
0,02
0,08
0,06
0,08
0,16
0,15
0,2
0,01
0,13
0,06
0,03
0,02
1
Tableau 3 Tableau
Schéma
6
Université de Lorraine
Incertitudes sur
la durée de
chaque tâche
II -
II
Toute tâche i peut prendre une ou plusieurs durées, dans le cadre de sa distribution
de probabilités.
- Si on connaît cette distribution de probabilité on peut calculer la durée moyenne
E(Di ) ou encore mDi et la variance Var Di de la tâche i.
- Si la distribution de probabilité n'est pas connue il faudra l'estimer, selon les
informations connues, à l'aide d'une méthode appropriée.
- En gestion de projets, une estimation est généralement (dans les livres et les
logiciels) proposée par défaut, elle suppose de disposer de trois durées : durée
optimiste (Dopt), durée probable (Dpr) et durée pessimiste (Dpess).
Estimations de la durée moyenne d'une tâche (E(Di)) et de son
écart-type (σ (Di))
Dopt + 4Dpr + Dpess
E(Di) = _________________
6
Dpess - Dopt
σ (Di) = __________
6
Var (i) = σ² (Di)
Tableau 4 Formule
Ce qui revient à considérer que la durée probable se réalise quatre fois plus souvent
que la durée optimiste ou que la durée pessimiste. Ce ne sera généralement pas le
cas, mais ces estimateurs sont sans biais et convergents, c'est-à-dire que les écarts
avec la réalité seront tantôt minorés, tantôt majorés, mais sur un grand nombre de
tâches, l'écart sera faible.
Université de Lorraine
7
Durée du chemin
critique
III -
III
Durée d'un chemin = somme des durées des tâches du chemin.
La somme de durées aléatoires, Sd, est une variable aléatoire dont on calculera la
moyenne et la variance.
E(Sd) = Σ E(Di)
Var(Sd) = Σ Var (Di)
Si n est grand (> 30) , la Loi suivie par la somme, tend vers une Loi
Normale de moyenne E(Sd) et de Variance Variance Var(S d) (Théorème
central Limite)
Université de Lorraine
9
IV -
Exemple
IV
A partir du tableau précédent :
1. Calculez la durée moyenne et l'écart type pour chaque tâche.
2. Tracez le graphe du projet
- A l'aide des durées moyennes, trouvez les débuts au plus tôt des tâches, les
débuts au plus tard, les marges totales et les marges libres
- Tracez le chemin critique.
3. Calculez la probabilité que ce projet soit terminé en 32 jours.
4. Calculez la durée du projet avec une probabilité de 90 %.
Tableau
Université de Lorraine
11
Corrigé de
l'exemple
V
V-
1. Calculez la durée moyenne et l'écart type pour chaque tâche.
Calculez la durée moyenne et l'écart type pour chaque tâche
taches
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
antec
I,L
/
B,L
C,K
D,F
A,G,H
I,L
C,A
B
B
J
/
optimiste
1
4
3
1
2
2
7
1
5
1
2
1
+ probable
3
5
6
1
4
4
10
2
8
1
4
2
pessimiste
6
7
8
2
5
5
13
3
10
2
7
3
moyenne écart type variance
3,17
0,83
0,69
5,17
0,5
0,25
5,83
0,83
0,69
1,17
0,17
0,03
3,83
0,5
0,25
3,83
0,5
0,25
10
1
1
2
0,33
0,11
7,83
0,83
0,69
1,17
0,17
0,03
4,17
0,83
0,69
2
0,33
0,11
somme variances
variances chemin critique
0,25
0,25
0,25
1
0,69
2,44
Tableau 5 Tableau
2. Tracez le graphe du projet
Tracez le graphe du projet
Début
Tracez le chemin critique.
A l'aide des durées moyennes, trouvez les débuts au plus tôt des tâches, les débuts au plus tard, les marges totales et les marges libres.
10,00 15,17
0,00
5,17
5,83
11,00
C
21,00
4,83
21,00
4,83
18,17
4,83
17,83
0,00
16,17
2,00
13,00
3,17
16,17
H
23,00
A
21,00
11,00 11,00
0,00
2,00
L
13,00
fin
0,00
23,00
0,00
23,00
3,83
26,83
F
26,83
2,00
14,66 25,66 14,66
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
5,17
5,17
B
5,17
5,17
0,00
5,17
7,83
13,00
I
13,00
13,00
0,00
13,00 10,00 23,00
G
11,00
1,17
D
26,83
12,17
0,00
26,83
0,00
26,83
3,83
30,66
E
30,66
23,00
15,15 20,32
0,00
15,15 21,49
0,49
5,17
1,17
6,34
6,34
4,17
10,51
J
21,49
K
25,66
Tableau 6 Graphe
Université de Lorraine
13
Corrigé de l'exemple
3. Calculez la probabilité que ce projet soit terminé en 32 jours.
variance du projet = 2,44
écart type du projet = 1,56
changement de variable : (32-30,66)/1,56= 0,86
probabilite que la durée du projet soit de 32 jours = 80,51%
Formule
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
0.00
0.5000
0.5398
0.5793
0.6179
0.6554
0.6915
0.7257
0.7580
0.7881
0.8159
0.8413
0.8643
0.8849
0.9032
0.9192
0.9332
0.9452
0.9554
0.9641
0.9713
0.9772
0.9821
0.9861
0.9893
0.9918
0.9938
0.9953
0.9965
0.9974
0.9981
0.9986
0.9990
0.9993
0.9995
0.9997
0.9998
0.9998
0.9999
0.9999
1.0000
0.01
0.5040
0.5438
0.5832
0.6217
0.6591
0.6950
0.7291
0.7611
0.7910
0.8186
0.8438
0.8665
0.8869
0.9049
0.9207
0.9345
0.9463
0.9564
0.9649
0.9719
0.9778
0.9826
0.9864
0.9896
0.9920
0.9940
0.9955
0.9966
0.9975
0.9982
0.9987
0.9991
0.9993
0.9995
0.9997
0.9998
0.9998
0.9999
0.9999
1.0000
0.02
0.5080
0.5478
0.5871
0.6255
0.6628
0.6985
0.7324
0.7642
0.7939
0.8212
0.8461
0.8686
0.8888
0.9066
0.9222
0.9357
0.9474
0.9573
0.9656
0.9726
0.9783
0.9830
0.9868
0.9898
0.9922
0.9941
0.9956
0.9967
0.9976
0.9982
0.9987
0.9991
0.9994
0.9995
0.9997
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
1.0000
0.03
0.5120
0.5517
0.5910
0.6293
0.6664
0.7019
0.7357
0.7673
0.7967
0.8238
0.8485
0.8708
0.8906
0.9082
0.9236
0.9370
0.9484
0.9582
0.9664
0.9732
0.9788
0.9834
0.9871
0.9901
0.9925
0.9943
0.9957
0.9968
0.9977
0.9983
0.9988
0.9991
0.9994
0.9996
0.9997
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
1.0000
0.04
0.5160
0.5557
0.5948
0.6331
0.6700
0.7054
0.7389
0.7703
0.7995
0.8264
0.8508
0.8729
0.8925
0.9099
0.9251
0.9382
0.9495
0.9591
0.9671
0.9738
0.9793
0.9838
0.9875
0.9904
0.9927
0.9945
0.9959
0.9969
0.9977
0.9984
0.9988
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
1.0000
0.05
0.5199
0.5596
0.5987
0.6368
0.6736
0.7088
0.7422
0.7734
0.8023
0.8289
0.8531
0.8749
0.8943
0.9115
0.9265
0.9394
0.9505
0.9599
0.9678
0.9744
0.9798
0.9842
0.9878
0.9906
0.9929
0.9946
0.9960
0.9970
0.9978
0.9984
0.9989
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
1.0000
0.06
0.5239
0.5636
0.6026
0.6406
0.6772
0.7123
0.7454
0.7764
0.8051
0.8315
0.8554
0.8770
0.8962
0.9131
0.9279
0.9406
0.9515
0.9608
0.9686
0.9750
0.9803
0.9846
0.9881
0.9909
0.9931
0.9948
0.9961
0.9971
0.9979
0.9985
0.9989
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
1.0000
0.07
0.5279
0.5675
0.6064
0.6443
0.6808
0.7157
0.7486
0.7793
0.8078
0.8340
0.8577
0.8790
0.8980
0.9147
0.9292
0.9418
0.9525
0.9616
0.9693
0.9756
0.9808
0.9850
0.9884
0.9911
0.9932
0.9949
0.9962
0.9972
0.9979
0.9985
0.9989
0.9992
0.9995
0.9996
0.9997
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
1.0000
0.08
0.5319
0.5714
0.6103
0.6480
0.6844
0.7190
0.7517
0.7823
0.8106
0.8365
0.8599
0.8810
0.8997
0.9162
0.9306
0.9429
0.9535
0.9625
0.9699
0.9761
0.9812
0.9854
0.9887
0.9913
0.9934
0.9951
0.9963
0.9973
0.9980
0.9986
0.9990
0.9993
0.9995
0.9996
0.9997
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
1.0000
0.09
0.5359
0.5753
0.6141
0.6517
0.6879
0.7224
0.7549
0.7852
0.8133
0.8389
0.8621
0.8830
0.9015
0.9177
0.9319
0.9441
0.9545
0.9633
0.9706
0.9767
0.9817
0.9857
0.9890
0.9916
0.9936
0.9952
0.9964
0.9974
0.9981
0.9986
0.9990
0.9993
0.9995
0.9997
0.9998
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
1.0000
Tableau 7 Tableau
14
Université de Lorraine
Corrigé de l'exemple
Schéma
4. Calculez la durée du projet avec une probabilité de 90 %.
variance du projet = 2,44
écart type du projet = 1,56
changement de variable : (32-30,66)/1,56 = 0,86
probabilite que la durée du projet soit de 32 jours = 80,51%
Université de Lorraine
15
VI -
Exercice
VI
Question
[Solution n°1 p 19]
1. Représentez le graphe ci-dessous.
2. Calculez la durée moyenne du projet.
3. Trouvez la probabilité pour que ce projet soit terminé en 32 jours (on
considérera que le nombre de tâches est très grand).
4. Déterminez la durée avec une probabilité de 98%.
5. Les durées de la tâche H sont modifiées. Des informations plus précises
indiquent que la moyenne est 9 et l'écart type 5. Cette modification a-t-elle des
conséquences sur les résultats des questions 3 et 4 ?
Tâches
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
Antéc.
F ,E
A ,G
B
E
J
I ,J
H
I
L
L, K
………
……..
Optimiste
1
1
1
12
3
2
7
6
1
4
3
1
Durées
Plus prob. Pessimiste Moyenne
2
3
3
5
3
4
13
14
5
8
6
8
8
10
9
12
2
3
5
6
6
9
3
5
écart-type
variance
Tableau 8 Tableau
Université de Lorraine
17
Solution des
exercices
> Solution n°1 (exercice p. 17)
Corrigé exercice 1
Tâches
Antéc.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
F ,E
A ,G
B
E
J
I ,J
H
I
L
L, K
………
……..
Optimiste
1
1
1
12
3
2
7
6
1
4
3
1
Durées
Plus prob. Pessimiste Moyenne
2
3
2,00
3
5
3,00
3
4
2,83
13
14
13,00
5
8
5,17
6
8
5,67
8
10
8,17
9
12
9,00
2
3
2,00
5
6
5,00
6
9
6,00
3
5
3,00
écart-type
0,33
0,67
0,50
0,33
0,83
1,00
0,50
1,00
0,33
0,33
1,00
0,67
variance
0,44
1,11
0,75
0,44
1,53
2,00
0,75
2,00
0,44
0,44
2,00
1,11
Tableau 9 Tableau
0,00
16,17
16,17
13,00
29,17
4,67
16,67
21,34
2,00
23,34
D
0,00
11,00
E
0,00
6,00
J
6,00
5,00
11,00
K
0,00
6,00
6,00
0,00
6,00
A
F
1,17
3,00
I
1,17
0,00
L
1,17
3,00
4,17
4,17
2,00
6,17
0,00
16,17
0,00
11,00
4,67
11,00
0,00
0,00
11,00
5,17
16,17
29,17
15,67
5,67
21,34
0,00
16,67
6,17
9,00
15,17
0,00
14,00
3,50
18,67
1,17
22,17
B
23,34
3,00
26,34
0,00
25,17
1,17
25,17
C
26,34
2,83
29,17
1,17
28,00
Fin
29,17
0,00
5,00
0,00
3,00
1,17
5,00
H
1,17
14,00
G
15,17
8,17
23,34
0,00
22,17
Tableau 10 Graphe
Corrigé exercice 2
Durée moyenne du projet = 29,17
Corrigé exercice 3
Calcul de la variance du projet : 4,42
écart type du projet = 2,10
changement de variable moyenne : 32-26,17 = 2,83
changement de variable écart type: 2,83/2,1 = 1,35
probabilité pour que le projet soit fini avant 32 jours : 91,15%
Université de Lorraine
19
Solution des exercices
Formule
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
0.00
0.5000
0.5398
0.5793
0.6179
0.6554
0.6915
0.7257
0.7580
0.7881
0.8159
0.8413
0.8643
0.8849
0.9032
0.9192
0.9332
0.9452
0.9554
0.9641
0.9713
0.9772
0.9821
0.9861
0.9893
0.9918
0.9938
0.9953
0.9965
0.9974
0.9981
0.9986
0.9990
0.9993
0.9995
0.9997
0.9998
0.9998
0.9999
0.9999
1.0000
0.01
0.5040
0.5438
0.5832
0.6217
0.6591
0.6950
0.7291
0.7611
0.7910
0.8186
0.8438
0.8665
0.8869
0.9049
0.9207
0.9345
0.9463
0.9564
0.9649
0.9719
0.9778
0.9826
0.9864
0.9896
0.9920
0.9940
0.9955
0.9966
0.9975
0.9982
0.9987
0.9991
0.9993
0.9995
0.9997
0.9998
0.9998
0.9999
0.9999
1.0000
0.02
0.5080
0.5478
0.5871
0.6255
0.6628
0.6985
0.7324
0.7642
0.7939
0.8212
0.8461
0.8686
0.8888
0.9066
0.9222
0.9357
0.9474
0.9573
0.9656
0.9726
0.9783
0.9830
0.9868
0.9898
0.9922
0.9941
0.9956
0.9967
0.9976
0.9982
0.9987
0.9991
0.9994
0.9995
0.9997
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
1.0000
0.03
0.5120
0.5517
0.5910
0.6293
0.6664
0.7019
0.7357
0.7673
0.7967
0.8238
0.8485
0.8708
0.8906
0.9082
0.9236
0.9370
0.9484
0.9582
0.9664
0.9732
0.9788
0.9834
0.9871
0.9901
0.9925
0.9943
0.9957
0.9968
0.9977
0.9983
0.9988
0.9991
0.9994
0.9996
0.9997
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
1.0000
0.04
0.5160
0.5557
0.5948
0.6331
0.6700
0.7054
0.7389
0.7703
0.7995
0.8264
0.8508
0.8729
0.8925
0.9099
0.9251
0.9382
0.9495
0.9591
0.9671
0.9738
0.9793
0.9838
0.9875
0.9904
0.9927
0.9945
0.9959
0.9969
0.9977
0.9984
0.9988
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
1.0000
0.05
0.5199
0.5596
0.5987
0.6368
0.6736
0.7088
0.7422
0.7734
0.8023
0.8289
0.8531
0.8749
0.8943
0.9115
0.9265
0.9394
0.9505
0.9599
0.9678
0.9744
0.9798
0.9842
0.9878
0.9906
0.9929
0.9946
0.9960
0.9970
0.9978
0.9984
0.9989
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
1.0000
0.06
0.5239
0.5636
0.6026
0.6406
0.6772
0.7123
0.7454
0.7764
0.8051
0.8315
0.8554
0.8770
0.8962
0.9131
0.9279
0.9406
0.9515
0.9608
0.9686
0.9750
0.9803
0.9846
0.9881
0.9909
0.9931
0.9948
0.9961
0.9971
0.9979
0.9985
0.9989
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
1.0000
0.07
0.5279
0.5675
0.6064
0.6443
0.6808
0.7157
0.7486
0.7793
0.8078
0.8340
0.8577
0.8790
0.8980
0.9147
0.9292
0.9418
0.9525
0.9616
0.9693
0.9756
0.9808
0.9850
0.9884
0.9911
0.9932
0.9949
0.9962
0.9972
0.9979
0.9985
0.9989
0.9992
0.9995
0.9996
0.9997
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
1.0000
0.08
0.5319
0.5714
0.6103
0.6480
0.6844
0.7190
0.7517
0.7823
0.8106
0.8365
0.8599
0.8810
0.8997
0.9162
0.9306
0.9429
0.9535
0.9625
0.9699
0.9761
0.9812
0.9854
0.9887
0.9913
0.9934
0.9951
0.9963
0.9973
0.9980
0.9986
0.9990
0.9993
0.9995
0.9996
0.9997
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
1.0000
0.09
0.5359
0.5753
0.6141
0.6517
0.6879
0.7224
0.7549
0.7852
0.8133
0.8389
0.8621
0.8830
0.9015
0.9177
0.9319
0.9441
0.9545
0.9633
0.9706
0.9767
0.9817
0.9857
0.9890
0.9916
0.9936
0.9952
0.9964
0.9974
0.9981
0.9986
0.9990
0.9993
0.9995
0.9997
0.9998
0.9998
0.9999
0.9999
0.9999
1.0000
Tableau 11 Tableau
Corrigé exercice 4
98% correspond à une valeur compris entre 2,05 et 2,06 après interpolation on
obtient 2,054 écart types ce qui correspond à 4,34 autrement dit à une durée de
projet de 33,50
Corrigé exercice 5
Variance de H = 25
calcul de la variance du projet sur le chemin L,I,H,G,B,C
29,17
écart type du projet = 5,40
changement de variable moyenne : 32-28 = 4
changement de variable écart type 4/5,4 - 0,74
probabilité pour que le projet soit fini avant 32 jours = 77,03%
98% correspond à une valeur comprise entre 2,05 et 2,06 après interpolation on
obtient 2,054 écart types ce qui correspond à 11,09 autrement dit à une durée de
projet de 39,09
20
Université de Lorraine
Solution des exercices
Remarque
La probabilité que le projet soit fini avant 32 jours est beaucoup plus faible
(76,73%) et on obtient une durée de projet réalisée avec 98% de chance plus
grande (39,14)
Université de Lorraine
21