2 LAURENT FARGUES
propre et lisse le point principal dans la construction du faisceau automorphe associ´
e`
a un syst`
eme local
sur Xest le fait que pour d0le morphisme d’Abel-Jacobi
Divd
X−→ Picd
X
D7−→ O(D)
est une fibration localement triviale en vari´
et´
es alg´
ebriques simplement connexes (des espaces projectifs).
Dans cet article on d´
emontre un r´
esultat analogue dans le cadre de notre conjecture et on en d´
eduit la
conjecture pour GL1ind´
ependamment de la th´
eorie du corps de classe local. Cela red´
emontre en particu-
lier celle-ci sous la forme du th´
eor`
eme de Kronecker-Weber local.
Voici une description plus d´
etaill´
ee des principaux r´
esultats. On note Fqle corps r´
esiduel de notre corps
local E. On d´
efinit dans la section 2 l’espace de modules des diviseurs effectifs de degr´
ed > 0sur la
courbe
Divd
dont on d´
emontre que c’est un diamant. Plus pr´
ecis´
ement (prop. 2.16)
Div1=Spa(E)/ϕZ
ce qui traduit le fait que les d´
ebasculements d’un Fq-espace perfecto¨
ıde Ssur Edonnent des diviseurs de
Cartier de degr´
e1sur la courbe XS. On montre de plus (prop. 2.18) que pour d > 0
Divd= (Div1)d/Sd
comme quotient pro-´
etale. Il s’agit d’une nouvelle application de notre r´
esultat de factorisation des ´
el´
ements
primitifs obtenu avec Fontaine qui est la clef de voˆ
ute de [6]. Le diamant Divdadmet une description
alternative comme espace projectif sur un espace de Banach-Colmez absolu Bϕ=πd,
Divd=Bϕ=πd{0}/E×
via lequel le morphisme d’Abel-Jacobi en degr´
edest donn´
e par
AJd:Bϕ=πd{0}/E×−→ [•/E×].
Ces espaces Bϕ=πdne sont pas des espaces de Banach-Colmez usuels, ce ne sont pas des diamants mais des
diamants absolus, un nouveau concept dont nous avons besoin dans ce texte (cf. sec. 7.1). Il est remarquable
qu’une fois ´
epoint´
es ces diamants absolus deviennent des diamants (prop. 2.19). On constate donc que AJd
est une fibration pro-´
etale localement triviale de fibre Bϕ=πd{0}. Le r´
esultat principal de ce texte, qui
est nettement plus fort que ce dont nous avons besoin afin de d´
evelopper le programme de Langlands
g´
eom´
etrique pour GL1, est alors le suivant (th´
eo. 5.4).
Th´
eor`
eme. Pour d > 1, resp. d > 2si E|Qp, le diamant Bϕ=πd
Fq{0}est simplement connexe au sens o`
u
tout revˆ
etement ´
etale fini connexe est trivial.
La preuve de ce r´
esultat est donn´
ee dans les sections 6 et 7. Le cas d’´
egales caract´
eristiques est parti-
culi`
erement plus simple puisqu’alors le diamant Bϕ=πd{0}est un espace perfecto¨
ıde. Cependant l’analyse
de sa preuve est particuli`
erement ´
eclairante puisque celle-ci repose au final sur le th´
eor`
eme de puret´
e de
Zariski-Nagata. La preuve que nous donnons dans le cas d’´
egales caract´
eristiques consiste essentiellement
`
a d´
emontrer un tel r´
esultat de puret´
e pour l’inclusion
Bϕ=πd{0}→Bϕ=πd
et `
a d´
evisser ce r´
esultat en un r´
esultat de puret´
e en g´
eom´
etrie rigide usuelle (th´
eo. 7.12).
Une fois ce r´
esultat ´
etabli le corps de classe g´
eom´
etrique se d´
ecrit de la fac¸on suivante. On constate (sec.
3) que
π1(Div1
Fq) = WE
du moins du point de vue dual des Q`-syst`
emes locaux (les guillemets sont l`
a pour signifier que cela n’a
pas vraiment de sens puisqu’on ne dispose pas `
a priori d’un bonne th´
eorie du π1dans ce contexte) i.e. les
L-param`
etres -adiques correspondent aux syst`
emes locaux sur Div1
Fq. Partant d’un tel param`
etre ab´
elien