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correction de sujet national du bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique 2006
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B AC T ECHNOLOGIQUE 2006 - S CIENCES ET T ECHNOLOGIES
I NDUSTRIELLES - G ÉNIE ÉLECTRONIQUE - G ÉNIE ÉLECTROTECHNIQUE
- G ÉNIE OPTIQUE
P OLYNÉSIE F RANÇAISE
L'usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve.
Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Coefficient : 4 Durée : 4 heures
E XERCICE 1 (5 POINTS )
Le plan est rapporté à un repère orthonormal (unité graphique : 2cm).
Soient les nombres complexes et .
1. a) Déterminer le module et un argument des nombres z1 et z2.
b) Placer les points A et B d'affixes respectives z1 et z2.
2. Soit Z le nombre complexe tel que .
Ecrire Z sous forme exponentielle, en déduire une mesure en radians de l'angle de la rotation de centre O qui transforme A en B.
3. a) Ecrire Z sous forme trigonométrique.
b) En utilisant les formes algébriques de z1 et z2, déterminer la forme algébrique de Z.
c) En déduire les valeurs exactes de et de .
E XERCICE 2 (4 POINTS )
Un commercial vend entre 0 et 4 voitures d'un certain modèle en une semaine. Soit X la variable aléatoire qui, pour une semaine, donne le nombre de
voitures vendues. X suit la loi de probabilité ci-dessous :
Nombre de voitures
vendues 01234
p(X = k) 0,26 0,23 0,15 0,05
1. Calculer la probabilité de vendre exactement deux voitures en une semaine.
2. Justifier que la probabilité de vendre au moins deux voitures en une semaine est égale à 0,51.
3. Donner une représentation graphique de la fonction de répartition F de cette loi dans un repère convenablement choisi.
4. Calculer l'espérance mathématique de cette variable aléatoire. En déduire le nombre moyen de voitures vendues en une année (c'est-à-dire 52
semaines).
5. Le prix de vente d'une voiture est de 13 500 €. Le vendeur perçoit une commission de 0,4 % sur le prix de vente pour chaque voiture vendue.
Déterminer le montant moyen de la commission perçue en un an.
P ROBLÈME (11 POINTS )
Le plan est rapporté à un repère orthonormal (unité grapique : 2 cm).
Soit une fonction définie sur un intervalle I. On a déterminé expérimentalement des valeurs de qui ont permis d'obtenir une partie de la courbe (C),
représentative de la fonction , et sa tangente (T) au point O (voir la figure ci-dessous).

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Partie A
1. A l'aide du graphique, déterminer et .
2. On admet que l'expression de est de la forme où a et b sont des réels.
a) Déterminer en fonction de a.
b) En utilisant les résultats du 1., déterminer les réels a et b.
Partie B
On admet désormais que la fonction est définie sur l'intervalle I = ]-0,1 ; 10] par
1. Calculer . Que peut-on en déduire pour la courbe (C) représentant ?
2. Calculer la fonction dérivée de la fonction . Montrer que a le même signe que 5 - 9,5 sur l'intervalle I.
Etudier le signe de sur l'intervalle I.
3. Dresser le tableau de variations de la fonction
4. Justifier que l'équation a dans l'intervalle [6 ; 10] une solution unique, que l'on notera .
Déterminer un encadrement de d'amplitude 10-2.
5. Soit F la fonction définie sur l'intervalle I = ]-0,1 ; 10] par
a) Démontrer que F est une primitive de la fonction sur l'intervalle I.
b) Calculer l'intégrale J = . On donnera la valeur exacte.
c) On considère dans le repère défini initialement, l'ensemble des points M de coordonnées ( ; y) tels que :
Utiliser la question précédente pour déterminer l'aire en cm² de cette région. On en donnera la valeur décimale arrondie à 10
-2 près.
E XERCICE 1
1. a) Déterminons le module et un argument des nombres z1 et z2 :

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On a , donc
D'où |z1| = 2 car un module est positif.
En écrivant z1 sous forme exponentielle, on a :
Donc un argument de z1 est .
Avec , on a :
D'où |z2| = 2.
En écrivant z2 sous forme exponentielle, on a :
Un argument de z2 est donc .
1. b) Plaçons les points A et B d'affixes respectives z
1 et z2 :
2. Ecrivons Z sous forme exponentielle :
En utilisant les formes exponentielles de z1 et z2, on a :
Déduisons-en une mesure en radians de l'angle de la rotation de centre O qui transforme A en B :
On sait qu'une rotation de centre O s'exprime par : où est l'angle de la rotation.
A partir de la forme exponentielle de Z, on a
D'où l'angle de la rotation de centre O qui transforme A en B est .
3. a) Ecrivons Z sous forme trigonométrique :
A partir de la forme exponentielle de Z, on a :
3. b) Déterminons la forme algébrique de Z :
En utilisant les formes algébriques de z1 et z2, on a :
en multipliant le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée
D'où .
3. c) Déduisons-en les valeurs exactes de et de :
En utilisant le fait que l'écriture complexe est unique, et en utilisant les formes algébriques et trigonométriques de Z, on en déduit que :
et .
E XERCICE 2
1. Calculons la probabilité de vendre exactement deux voitures en une semaine :
La probabilité de vendre toutes les voitures est de 1, donc P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = 1,
d'où P(X = 2) = 1 - (0,26 + 0,23 + 0,15 + 0,05)
D'où P(X = 2) = 0,31.
2. Justifions que la probabilité de vendre au moins deux voitures en une semaine est égale à 0,51 :
Vendre au moins deux voitures c'est vendre soit deux voitures, soit trois voitures, soit quatre voitures donc la probabilité de vendre au moins deux
voitures est de :
P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = 0,31 + 0,15 + 0,05 = 0,51.
3. Donnons une représentation graphique de la fonction de répartition F de cette loi dans un repère convenablement choisi :
La fonction de répartition F est définie sur par :

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4. Calculons l'espérance mathématique de cette variable aléatoire :
L'espérance mathématique E de la loi est la moyenne des valeurs k (c'est-à-dire le nombre de voitures vendues par semaine) pondérés par leurs
probabilités. On a donc :
E(X) = 0 × 0,26 + 1 × 0,23 + 2 × 0,31 + 3 × 0,15 + 4 × 0,05
D'où E(X) = 1,5.
Déduisons-en le nombre moyen de voitures vendues en une année :
Le nombre moyen de voitures vendues pendant une année est de 78 voitures (car il y a 52 semaines dans une année).
5. Déterminons le montant moyen de la commission perçue en un an :
Le vendeur perçoit une commission de 0,4% sur le prix de vente pour chaque voiture venduee et en une année, le nombre moyen de voitures vendues
est de 78 voitures. Le montant moyen de la commission preçue en un an est donc de €, soit 4 212 €.
P ROBLÈME
Partie A
1. Déterminons et :
A l'aide du graphique, on trouve car la courbe passe par l'origine.
Pour trouver , il faut calculer la pente à l'origine.
La pente à l'origine vaut :
D'où .
2. a) Déterminons en fonction de a :
est une fonction continue sur ]-0,1 ; + [. est dérivable sur ]-0,1 ; + [ et pour tout de ]-0,1 ; + [, on a :
.
2. b) Déterminons les réels a et b :
En utilisant le 1, on a :
d'où
D'où .

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Et est donc définie sur ]-0,1 ; + [ par .
Partie B
1. Calculons :
est définie sur ]-0,1 ; 10] par . On a :
, donc .
et
D'où :
On en déduit que la droite d'équation = -0,1 est asymptote verticale à la courbe de .
2. Calculons la fonction dérivée de la fonction :
est continue et dérivable sur ]-0,1 ; 10], donc pour tout de ]-0,1 ; 10], on a :
Montrons que a le même signe que 5 - 9,5 sur l'intervalle I :
Sur I = ]-0,1 ; 10], 10 + 1 > 0 donc, sur I, a le même signe que 5 - 9,5.
Etudions le signe de sur l'intervalle I :
On a :
5 - 9,5 > 0 si > 1,9 et 5 - 9,5 < 0 si < 1,9
Donc sur ]-0,1 ; 1,9], et sur [1,9 ; 10], .
3. Dressons le tableau de variations de la fonction :
En utilisant le signe de sur ]-0,1 ; 10], on a :
avec et .
4. Justifions que l'équation a dans l'intervalle [6 ; 10] une solution unique :
est continue sur [6 ; 10].
On remarque en utilisant la question 2 que est strictement positive, donc f est strictement croissante sur [6 ; 10].
De plus, (6) < 0 et (10) > 0, donc 0 est compris entre (6) et (10) avec (6) < 0 < (10).
On en déduit que l'équation admet une solution unique dans [6 ; 10].
Pour obtenir un encadrement de à 10-2 près, on utilise la calculatrice et on a :
]9,02 ; 9,03[.
5. a) Démontrons que F est une primitive de la fonction sur l'intervalle I :
La fonction F définie sur ]-0,1 ; 10] est continue et dérivable, donc pour tout de ]-0,1 ; 10], on a :
Donc F est une primitive de f sur I.
5. b) Calculons l'intégrale J = :
En utilisant une primitive de , on a :
D'où J =
5. c) Déterminer l'aire en cm² de la région :
Sur [0 ; 1], , donc l'aire de la région délimitée par est donnée (en u. a.) en calculant
Donc u. a.
Or, 1 u.a. = 2 × 2 cm² = 4cm², donc cm², soit environ 5,55 cm².
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© Tom_Pascal & Océane 2006