Exercices d`automatique

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TD AUTOMATIQUE

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TRANSFORMATION DE LAPLACE
Exercice 1
Calculer, à partir de sa définition, la transformée de Laplace des signaux causaux (nuls
pour t<0) suivants :
Echelon unitaire u(t)
Rampe de pente R
e
-at
u(t)
Exercice 2
Soit un signal f(t) ayant pour transformée de Laplace F(p).
1°/ Montrer qu’un signal g(t) = - t f(t) a pour transformée de Laplace G(p) = dF(p) /dp
2°/ Montrer qu’un signal h(t) = k f(kt) a pour transformée de Laplace H(p) = F(p/k)
Exercice 3
Exprimer la transformée de Laplace des signaux suivants :
x(t) = sin ωt u(t)
y(t) = sin (ωt + φ) u(t)
z(t) = e
-at
cos ωt u(t)
Exercice 4
Exprimer la transformée de Laplace d’une sinusoïde redressée.
Exercice 5
Un signal transitoire f(t) d’énergie finie a pour transformée de Laplace F(p).
Le signal g(t) est obtenu par la périodisation de f(t) de sorte qu’il soit constitué de N
motifs f(t).
Exprimer la transformée de Laplace G(p) de g(t).
Exprimer G(p) si N tend vers l’infinie.
Exercice 6
Soit un système de fonction de transfert F(p) = A / (p+a) où A et a sont des réels.
Exprimer la réponse impulsionnelle du système (Cf table de transformées de Laplace) et
discuter la stabilité du système en fonction de a.
Rappel : Un système est stable si écarté de sa position d’équilibre (par l’action d’une impulsion) il y retourne
spontanément.

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Exercice 7
F(p) = 2 / (p+3) + 5 / (p+5) Exprimer la réponse impulsionnelle. Représenter son allure.
Le système est-il stable ?
Exercice 8
F(p) = 5 / (p+3)(p+4) Décomposer F(p) en éléments simples.
Exprimer la réponse impulsionnelle. Représenter son allure. Le système est-il stable ?
Exercice 9
F(p) = 10/(1 + 0.1p)
Exprimer la réponse impulsionnelle en boucle ouverte. Le système est-il stable ?
Exprimer la réponse indicielle en boucle ouverte.
Exprimer la FTBF.
Exprimer la réponse impulsionnelle en boucle fermée. Le système est-il stable en boucle
fermée ?
Exprimer la réponse indicielle en boucle fermée.
Exercice 10
Soit un système ayant pour fonction de transfert F(p) = (5p+2) / (p
2
+ p + 1).
Exprimer la réponse impulsionnelle. Discuter de la stabilité du système.
Exercice 11
Soit un signal ayant pour transformée de Laplace
S(p) = (3p+2) / [ (p
2
+ 8p + 16)(p+3) ].
Exprimer s(t).

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F(p) = k / p (1 + τ p)
Exercice 12
1°/ Exprimer la réponse indicielle en boucle ouverte.
2°/ Exprimer la FTBF. Déterminer la pulsation propre et le coefficient d’amortissement
en boucle fermée.
3°/ Exprimer la réponse indicielle en boucle fermée sachant que k = 10 et τ = 0.1 s
Exercice 13
Soit un système décrit par sa fonction de transfert F(p) = 1 / [ 1 + 2mτp + τ
2
p
2
]
En utilisant la décomposition en élément simple, exprimer la réponse impulsionnelle du
système dans différents cas fonctions du coefficient d’amortissement.
Exercice 14
Soit un système décrit par sa fonction de transfert F(p) = 1/ [ (p+1)
3
(p-1) p ].
Exprimer la réponse impulsionnelle.

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REPRESENTATION DES FONCTIONS DE TRANSFERT
Exercice 15
Soit T(p) = 1 / [1 + 10p] [1 + 0.1p] la FTBO d’un système.
Représenter les diagrammes de Bode de cette FT. En déduire l’allure du diagramme de
Black.
Le système est-il stable en boucle fermée ?
Exercice 16
Soit T(p) = k / [1 + 10p] [1 + 0.1p] [1 + 0.001p] la FTBO d’un système.
Représenter les diagrammes de Bode de cette FT. En déduire l’allure du diagramme de
Black.
Déterminer la pulsation pour laquelle arg(T) = -180 °
Discuter la stabilité du système en boucle fermée en fonction de k ?
Déterminer la pulsation pour laquelle arg(T) = -135°
Exercice 17
Soit T(p) = k / p [1 + 0.1p] [1 + 0.001p] la FTBO d’un système.
Représenter les diagrammes de Bode de cette FT. En déduire l’allure du diagramme de
Black.
Déterminer la pulsation pour laquelle arg(T) = -180 °, discuter la stabilité du système en
boucle fermée en fonction de k, déterminer la pulsation pour laquelle arg(T) = -135°
Exercice 18
Soit C(p) = k (1 + aτp) / (1 + τp) la FT d’un correcteur. (avec a >1)
Tracer les diagrammes de Bode de ce correcteur pour a = 10 et k = 1
Même chose pour C(p) = k (1 + τp) / (1 + aτp)
Exercice 19
Soit T(p) = k / p [1 + 0.1p] [1 + 0.001p] la FTBO d’un système.
Etudier la stabilité du système en boucle fermée à l’aide du critère de Routh.