1 Retour sur les angles

Épisode 4 - Angles Activités mathématiques 5e
Pour ce quatrième épisode, ta mission est de :
•Connaître le vocabulaire sur les angles :
angles adjacents, angles opposés par le sommet, angles correspondants
et angles supplémentaires.
•Reconnaître des angles alternes-internes et correspondants
•Déterminer deux angles à partir de deux droites parallèles
•Reconnaître des droites parallèles
•Connaître et utiliser la somme des angles d’un triangle
•Connaître et utiliser les angles des triangles particuliers :
équilatéral, isocèle et rectangle.
1 Retour sur les angles
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Activité n° 1 : Les deux font la paire ;-) . . . . . . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . . . . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . .✍
1. Dans les figures 2 et 4, les angles bleu et rose sont dits adjacents. Ce n’est pas le cas pour les autres
figures. À partir de tes observations, essaie d’expliquer à quelles conditions deux angles sont adjacents.
Deux angles adjacents ont-ils forcément la même mesure ?
2. Dans les figures 5 et 8, les angles vert et rose sont dits opposés par le sommet. Ce n’est pas le cas pour
les autres figures. À partir de tes observations, essaie d’expliquer à quelles conditions deux angles sont
opposés par le sommet. Deux angles opposés par le sommet ont-ils forcément la même mesure ? Justifie
ta réponse en utilisant une proriété de la symétrie centrale.
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Activité n° 2 : Un peu de vocabulaire . . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . ✍
Deux angles complémentaires sont deux angles dont la somme des mesures est égale à 90°.
Deux angles supplémentaires sont deux angles dont la somme des mesures est égale à 180°.
1. Trace un triangle ABC rectangle en A. À l’aide du rapporteur, mesure les angles \ ABC et \ BCA. Existe-t-il
une relation entre les mesures de ces deux angles ? Laquelle ?
2. Trace une droite (d). Place un point O sur cette droite. Place un point E ne se trouvant pas sur la droite
(d). Trace la demi-droite [OE) et mesure l’angle aigu et l’angle obtus ainsi définis. Existe-t-il une relation
entre les mesures de ces deux angles ? Laquelle ?
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Épisode 4 - Angles Activités mathématiques 5e
•Angles adjacents :
Deux angles adjacents sont deux angles qui ont le même sommet, ont un côté commun et sont
situés de part et d’autre de ce côté commun.
•Angles opposés par le sommet :
Deux angles opposés par le sommet sont deux angles qui ont le même sommet et dont les côtés
de l’un sont dans le prolongement des côtés de l’autre. Pour des raisons de symétrie, deux
angles opposés par le sommet ont la même mesure.
•Angles complémentaires :
Deux angles complémentaires sont deux angles dont la somme des mesures est égale à 90°.
•Angles supplémentaires :
Deux angles supplémentaires sont deux angles dont la somme des mesures est égale à 180°.
Bilan 1
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Exercice n° 1 : Calculs mentaux .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . . . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .✍
1. Les angles baet b bsont complémentaires. Calcule mentalement la mesure de b bdans les cas suivants :
a) ba= 45 b) ba= 27 c) ba= 3 d) ba= 88,7
2. Les angles bxet bysont supplémentaires. Calcule mentalement la mesure de bydans les cas suivants :
a) bx= 103 b) bx= 95 c) bx= 47 d) bx= 101,5
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Exercice n° 2 : Du vocabulaire . . . . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . . ✍
Indique si les angles proposés sont adjacents, complémentaires ou bien encore supplémentaires.
Justifie tes réponses.
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Exercice n° 3 : Par deux ! . . . . . . . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . ✍
Nomme, en justifiant, deux angles de la figure, codés
ou non :
a) complémentaires et adjacents
b) complémentaires et non adjacents
c) supplémentaires et adjacents
d) supplémentaires et non adjacents
e) opposés par le sommet.
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Exercice n° 4 : Un défi . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . ✍
1. Trouve la mesure de deux angles complémentaires, sachant que l’un des deux est 8 fois plus grand que
l’autre.
2. Trouve la mesure de deux angles supplémentaires, sachant que l’un des deux est 9 fois plus petit que
l’autre.
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Épisode 4 - Angles Activités mathématiques 5e
2 Encore des angles
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Activité n° 3 : Encore une définition . . . . . . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . ..✍
Sur la figure ci-dessous, on a construit deux droites (d1)et (d2)coupées par une droite (d).
(d)
(d1)
(d2)
A
B
1. Sur cette figure, marque d’une même couleur deux angles qui n’ont pas le même sommet et situés :
— entre les droites (d1)et (d2);
— et de part et d’autre de la droite (d).
Les deux angles coloriés sont appelés de angles alternes-internes
2. Parmi les figures suivantes, sur laquelle (ou lesquelles) sont représentées des angles alternes-internes ?
a) b) c) d)
3. Dans la question précédente, à la figure a), les angles sont dits correspondants.
Dans la question précédente, existe-t-il une autre figure avec deux angles correspondants ?
Donne des critères de reconnaissance pour deux angles correspondants.
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Exercice n° 5 : As-tu compris ? . . . . . . . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . . . . . . . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .✍
1. Sur la figure suivante, colorie en vert deux angles alternes-internes.
2. Sur la figure suivante, colorie en bleu deux angles opposés par le sommet.
3. Sur la figure suivante, colorie en rouge deux angles correspondants.
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Exercice n° 6 : As-tu compris bis ? . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . . . . . . . . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . . . . ✍
On considère ci-contre deux droites (d1)et (d2)coupées
par une troisième droite (d).
Huit angles numérotés de 1 à 8 sont ainsi formés.
— Citer deux couples d’angles alternes-internes.
— Citer quatre couples d’angles correspondants.
— Y a-t-il des angles opposés par le sommet ?
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Épisode 4 - Angles Activités mathématiques 5e
Soient deux droites (d1)et (d2)coupées par une sécante (d).
Deux angles sont alternes-internes dans les deux cas suivants :
(d)
(d1)
(d2)
(d)
(d1)
(d2)
•sommets différents ;
•alternes signifie que les angles sont situés de chaque côté de la sécante (d);
•internes signfie que les angles sont situés entre les deux droites (d1)et (d2).
Remarque : Il existe aussi des angles correspondants dans ce type de configuration.
Sur les figures suivantes, les deux angles indiqués sont correspondants.
(d)
(d1)
(d2)
A
B
(d)
(d1)
(d2)
Bilan 2
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Exercice n° 7 : Figure complexe .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . . . . . . . . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . . ✍
On considère la figure ci-contre.
1. Donner le nom de l’angle correspondant à l’angle bleu
pour les droites (d1)et (d2)coupées par la sécante (d4).
2. Donner le nom de l’angle opposé par le sommet à
l’angle orange.
3. Donner le nom de l’angle alterne-interne à l’angle
orange pour les droites (d1)et (d2)coupées par la sé-
cante (d3).
4. Donner le nom de l’angle alterne-interne à l’angle bleu
pour les droites (d3)et (d4)coupées par la sécante (d2).
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Exercice n° 8 : Et dans la réalité . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . .. . .. . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ✍
Les facades des maisons de la ville de Troyes sont faites de poutres
en bois qui se croisent. Ces maisons font tout le charme de cette
ville. Le schéma ci-contre reproduit l’une de ces facades.
1. La famille Praz demande au charpentier que l’angle corres-
pondant à l’angle \ BGC mesure 130 °. Indiquer au charpen-
tier de quel angle la famille Praz parle.
2. De même, la famille Praz souhaite que l’angle alterne-interne
à l’angle \ EHG soit de même mesure que l’angle \ EHG. In-
diquer le nom de l’angle de cet angle.
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Épisode 4 - Angles Activités mathématiques 5e
3 Angles alternes-internes et droites parallèles
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Activité n° 4 : Une configuration clé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . .. . . .✍
On se propose d’étudier un portail en bois. Pour ce faire, nous allons le modéliser avec des droites.
1. Que peux-tu dire des droites (AC) et (DE) ? Pourquoi est-ce important ?
2. Avec les lettres disponibles, cite deux angles alternes internes puis mesure les avec ton rapporteur.
Que remarques-tu ?
3. Nous allons prouver que ta conjecture est vraie dans le cas de deux droites parallèles coupées par une
sécante. Voici la figure d’étude où I est le milieu de segment [BD].
×
A
×D×
E
×
B
I
(a) Comme I est le milieu de segement [BD], que
peux-tu dire des points B et D ?
(b) Par la symétrie de centre I, quelle est la droite
symétrique de (AB) ? Justife !
(c) Comment sont alors les angles alternes-internes
\
ABD et \ BDE ?
4. Complète la propriété suivante :
Si deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .sont coupées par une . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .alors les angles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . qu’elles forment ont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Une petite extension.
Pour toi, comment sont les mesures de deux angles
correspondants dans le cas de droites parallèles ?
À l’aide de la figure suivante, prouve ta conjecture ?
×
A
×D×
E
×
B
6. Déduis du travail précédent une nouvelle propriété.
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Exercice n° 9 : As-tu compris ? . . . . . . . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . . . . . . . . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .✍
Les droites (xy)et (tz)sont parallèles. La droite (uv)coupe (xy)en A et (tz)en B.
Dans chaque cas, donne la mesure de l’angle d tBu en citant la propriété utilisée.
a) b)
u
v
x
t
y
z
B
A
37˚
u
v
x
t
y
z
B
A
119˚
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