1 Retour sur les angles

Épisode 4 - Angles
Activités mathématiques
5e
Pour ce quatrième épisode, ta mission est de :
• Connaître le vocabulaire sur les angles :
angles adjacents, angles opposés par le sommet, angles correspondants
et angles supplémentaires.
• Reconnaître des angles alternes-internes et correspondants
• Déterminer deux angles à partir de deux droites parallèles
• Reconnaître des droites parallèles
• Connaître et utiliser la somme des angles d’un triangle
• Connaître et utiliser les angles des triangles particuliers :
équilatéral, isocèle et rectangle.
1
Retour sur les angles
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✂Activité n° 1 ✁ : Les deux font la paire ;-) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .✍
1. Dans les figures 2 et 4, les angles bleu et rose sont dits adjacents. Ce n’est pas le cas pour les autres
figures. À partir de tes observations, essaie d’expliquer à quelles conditions deux angles sont adjacents.
Deux angles adjacents ont-ils forcément la même mesure ?
2. Dans les figures 5 et 8, les angles vert et rose sont dits opposés par le sommet. Ce n’est pas le cas pour
les autres figures. À partir de tes observations, essaie d’expliquer à quelles conditions deux angles sont
opposés par le sommet. Deux angles opposés par le sommet ont-ils forcément la même mesure ? Justifie
ta réponse en utilisant une proriété de la symétrie centrale.
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✂Activité n° 2 ✁ : Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ✍
Deux angles complémentaires sont deux angles dont la somme des mesures est égale à 90°.
Deux angles supplémentaires sont deux angles dont la somme des mesures est égale à 180°.
1. Trace un triangle ABC rectangle en A. À l’aide du rapporteur, mesure les angles \
ABC et \
BCA. Existe-t-il
une relation entre les mesures de ces deux angles ? Laquelle ?
2. Trace une droite (d). Place un point O sur cette droite. Place un point E ne se trouvant pas sur la droite
(d). Trace la demi-droite [OE) et mesure l’angle aigu et l’angle obtus ainsi définis. Existe-t-il une relation
entre les mesures de ces deux angles ? Laquelle ?
N. SANS
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Épisode 4 - Angles
Activités mathématiques
5e
Bilan 1
• Angles adjacents :
Deux angles adjacents sont deux angles qui ont le même sommet, ont un côté commun et sont
situés de part et d’autre de ce côté commun.
• Angles opposés par le sommet :
Deux angles opposés par le sommet sont deux angles qui ont le même sommet et dont les côtés
de l’un sont dans le prolongement des côtés de l’autre. Pour des raisons de symétrie, deux
angles opposés par le sommet ont la même mesure.
• Angles complémentaires :
Deux angles complémentaires sont deux angles dont la somme des mesures est égale à 90°.
• Angles supplémentaires :
Deux angles supplémentaires sont deux angles dont la somme des mesures est égale à 180°.
✄
✂Exercice n° 1 ✁ : Calculs mentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ✍
1. Les angles b
a et bb sont complémentaires. Calcule mentalement la mesure de bb dans les cas suivants :
a) b
a = 45
b) b
a = 27
c) b
a=3
d) b
a = 88, 7
2. Les angles x
b et yb sont supplémentaires. Calcule mentalement la mesure de yb dans les cas suivants :
a) x
b = 103
b) x
b = 95
c) x
b = 47
d) x
b = 101, 5
✄
✂Exercice n° 2 ✁ : Du vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ✍
Indique si les angles proposés sont adjacents, complémentaires ou bien encore supplémentaires.
Justifie tes réponses.
✄
✂Exercice n° 3 ✁ : Par deux ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ✍
Nomme, en justifiant, deux angles de la figure, codés
ou non :
a) complémentaires et adjacents
b) complémentaires et non adjacents
c) supplémentaires et adjacents
d) supplémentaires et non adjacents
e) opposés par le sommet.
✄
✂Exercice n° 4 ✁ : Un défi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ✍
1. Trouve la mesure de deux angles complémentaires, sachant que l’un des deux est 8 fois plus grand que
l’autre.
2. Trouve la mesure de deux angles supplémentaires, sachant que l’un des deux est 9 fois plus petit que
l’autre.
N. SANS
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Activités mathématiques
5e
Encore des angles
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✂Activité n° 3 ✁ : Encore une définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .✍
Sur la figure ci-dessous, on a construit deux droites (d1 ) et (d2 ) coupées par une droite (d).
(d)
A
(d1 )
b
(d2 )
b
B
1. Sur cette figure, marque d’une même couleur deux angles qui n’ont pas le même sommet et situés :
— entre les droites (d1 ) et (d2 ) ;
— et de part et d’autre de la droite (d).
Les deux angles coloriés sont appelés de angles alternes-internes
2. Parmi les figures suivantes, sur laquelle (ou lesquelles) sont représentées des angles alternes-internes ?
a)
b)
c)
d)
3. Dans la question précédente, à la figure a), les angles sont dits correspondants.
Dans la question précédente, existe-t-il une autre figure avec deux angles correspondants ?
Donne des critères de reconnaissance pour deux angles correspondants.
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✂Exercice n° 5 ✁ : As-tu compris ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ✍
1. Sur la figure suivante, colorie en vert deux angles alternes-internes.
2. Sur la figure suivante, colorie en bleu deux angles opposés par le sommet.
3. Sur la figure suivante, colorie en rouge deux angles correspondants.
✄
✂Exercice n° 6 ✁ : As-tu compris bis ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ✍
On considère ci-contre deux droites (d1 ) et (d2 ) coupées
par une troisième droite (d).
Huit angles numérotés de 1 à 8 sont ainsi formés.
— Citer deux couples d’angles alternes-internes.
— Citer quatre couples d’angles correspondants.
— Y a-t-il des angles opposés par le sommet ?
N. SANS
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Activités mathématiques
5e
Bilan 2
Soient deux droites (d1 ) et (d2 ) coupées par une sécante (d) .
Deux angles sont alternes-internes dans les deux cas suivants :
(d)
(d1 )
(d)
b
b
(d1 )
b
(d2 )
b
(d2 )
• sommets différents ;
• alternes signifie que les angles sont situés de chaque côté de la sécante (d) ;
• internes signfie que les angles sont situés entre les deux droites (d1 ) et (d2 ).
Remarque : Il existe aussi des angles correspondants dans ce type de configuration.
Sur les figures suivantes, les deux angles indiqués sont correspondants.
(d)
(d)
A
b
(d1 )
b
(d1 )
b
B
b
(d2 )
(d2 )
✄
✂Exercice n° 7 ✁ : Figure complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ✍
On considère la figure ci-contre.
1. Donner le nom de l’angle correspondant à l’angle bleu
pour les droites (d1 ) et (d2 ) coupées par la sécante (d4 ).
2. Donner le nom de l’angle opposé par le sommet à
l’angle orange.
3. Donner le nom de l’angle alterne-interne à l’angle
orange pour les droites (d1 ) et (d2 ) coupées par la sécante (d3 ).
4. Donner le nom de l’angle alterne-interne à l’angle bleu
pour les droites (d3 ) et (d4 ) coupées par la sécante (d2 ).
✄
✂Exercice n° 8 ✁ : Et dans la réalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ✍
Les facades des maisons de la ville de Troyes sont faites de poutres
en bois qui se croisent. Ces maisons font tout le charme de cette
ville. Le schéma ci-contre reproduit l’une de ces facades.
1. La famille Praz demande au charpentier que l’angle corres\ mesure 130 °. Indiquer au charpenpondant à l’angle BGC
tier de quel angle la famille Praz parle.
2. De même, la famille Praz souhaite que l’angle alterne-interne
\ soit de même mesure que l’angle EHG.
\ Inà l’angle EHG
diquer le nom de l’angle de cet angle.
N. SANS
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Épisode 4 - Angles
3
Activités mathématiques
5e
Angles alternes-internes et droites parallèles
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✂Activité n° 4 ✁ : Une configuration clé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ✍
On se propose d’étudier un portail en bois. Pour ce faire, nous allons le modéliser avec des droites.
1. Que peux-tu dire des droites (AC) et (DE) ? Pourquoi est-ce important ?
2. Avec les lettres disponibles, cite deux angles alternes internes puis mesure les avec ton rapporteur.
Que remarques-tu ?
3. Nous allons prouver que ta conjecture est vraie dans le cas de deux droites parallèles coupées par une
sécante. Voici la figure d’étude où I est le milieu de segment [BD].
peux-tu dire des points B et D ?
B
A
×
×
I
×
(b) Par la symétrie de centre I, quelle est la droite
symétrique de (AB) ? Justife !
b
×
E
D
(c) Comment sont alors les angles alternes-internes
\ et BDE
\?
ABD
(a) Comme I est leb milieu de segement [BD],
que
b
4. Complète la propriété suivante :
Si deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .sont coupées par une . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .alors les angles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . qu’elles forment ont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Une petite extension.
Pour toi, comment sont les mesures de deux angles
correspondants dans le cas de droites parallèles ?
B
A
×
×
×
×
E
D
À l’aide de la figure suivante, prouve ta conjecture ?
b
6. Déduis du travail précédent une nouvelle propriété.
b
✄
✂Exercice n° 9 ✁ : As-tu compris ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ✍
Les droites (xy) et (tz) sont parallèles. La droite (uv) coupe (xy) en A et (tz) en B.
d en citant la propriété utilisée.
Dans chaque cas, donne la mesure de l’angle tBu
a)
b)
x
u
x
u
y
bA
t
b
119˚
A
37˚
t
bB
y
z
B
b
v
v
N. SANS
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z
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Activités mathématiques
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Bilan 3
Pour déterminer un angle à partir de deux droites parallèles, la propriété suivante nous dit :
Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes internes qu’elles forment
ont même mesure.
Nous avons le schéma déductif suivant :
Données
Conclusion
Droites rouges parallèles
coupées par une sécante
D’après cette propriété
b
a
Donc, b
a = bb
bb
Remarque : la propriété précédente est valable avec deux angles correspondants. Il suffit juste de remplacer
dans les propriétés le mot « alternes internes »par « correspondants ».
✄
✂Exercice n° 10 ✁ : Un peu de mélange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ✍
x
La droite (lm) coupe les droites parallèles (xy), (zt) et
(uv) respectivement en A, B et C.
En citant les propriétés utilisées, donne les mesures des
d
[ et lCv.
angles zBm
Un défi : Es-tu capable en expliquant de déterminer la
d?
mesure de l’angle uCl
m
t
u
b
B
51˚
y
b
l
b
C
A
z
v
✄
✂Exercice n° 11 ✁ : Le tour des angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ✍
Sur la figure suivante, sans aucune justification, écris la mesure de tous les angles indiqués.
68˚
b
b
✄
✂Exercice n° 12 ✁ : Encore un portail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .✍
Un ferronier souhaite connaître les mesures de certains
angles pour construire la structure du portail ci-contre.
Les droites de la même couleur sont parallèles.
Détermine la mesure des angles noirs en justifiant tes
réponses.
L’angle bleu clair mesure 74°.
N. SANS
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Activités mathématiques
5e
✄
✂Activité n° 5 ✁ : Reconnaître des droites parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .✍
Cette activité est à effectuer directement sur classroom.
Il suffit juste de manipuler les curseurs et de répondre aux questions posées directement sur un ordinateur.
α1 = 39˚
b
β1 = 61˚
b
B
b
β = 61˚
α = 39˚
A
b
✄
✂Exercice n° 13 ✁ : Ai-je compris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ✍
Pour les deux situations suivantes, démontrer que les droites (AC) et (DE) sont parallèles.
b)
a)
b
D
b
59˚
E
G
124˚
b
E
b
b
D
b
A
59˚
b
b
C
A
124˚
b
C
Bilan 4
Pour déterminer deux droites parallèles à partir d’angles alternes internes, la propriété suivante nous dit :
Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes internes de même mesure, alors ces
droites sont parallèles
Nous avons le schéma déductif suivant :
Données
Conclusion
b
a = bb
bb
b
a
D’après cette propriété
Donc les droites rouges
sont parallèles
Remarques :
1. la propriété précédente est valable avec deux angles correspondants. Il suffit juste de remplacer dans
les propriétés le mot « alternes internes »par « correspondants ».
2. Une démonstration peut être rédigée sous le format suivant :
1 - Je sais que . . . (on cite les données utiles).
2 - Or, une propriété me dit que : . . . (on récite la propriété utilisée).
3 - Donc, je conclus que . . . (on écrit la conclusion, souvent la réponse à la question posée).
N. SANS
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Activités mathématiques
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✂Exercice n° 14 ✁ : Application directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ✍
Dans chacun des cas suivants, en justifiant rapidement (sans rédaction type), dis si les droites (d1 ) et (d2 ) sont
parallèles ou non.
✄
✂Exercice n° 15 ✁ : Avec un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ✍
Voici le plan du projet d’aménagement d’une rue.
D’après le plan du géomètre, peut-on savoir si la rue Jean-Norbert
et la rue Odille-Dussa se croisent ? Justifie ta réponse.
4
Les angles dans un triangle
✄
✂Activité n° 6 ✁ : La somme des mesures des angles d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ✍
Partie A : Avec une feuille blanche et des ciseaux :
1. Construis un triangle dimension 10 cm, 8 cm et 7 cm.
2. Découpe ce triangle en trois morceaux comme sur la figure
ci-contre.
3. Assemble ces trois angles afin de n’en obtenir que’un : la
mesure de cet angle devra correspondre à la somme des trois
angles colorés.
4. Que peux-tu dire du nouvel angle formé ? Quelle semble être
sa mesure ?
5. Déduis-en une nouvelle propriété quant à la somme des mesures des angles d’un triangle.
Partie B : Et si on démontrait la conjecture précédente.
b
Soit ABC un triangle. On a tracé la droite parallèle à
(AB) passant par le sommet C.
Les points D et E sont des points de cette droite parallèle.
En utilisant tes connaissances, es-tu capable d’expliquer
le fait que la somme des mesures des angles d’un triangle
est de 180 °.
D
b
C
b
E
A
b
b
Partie C : Et pour certains triangles particuliers.
1. Que peux-tu dire de la mesure des angles aigus d’un triangle rectangle ?
2. Que peux-tu dire de la mesure des angles aigus d’un triangle rectangle et isocèle ?
3. Que peux-tu dire de la mesure des angles aigus d’un triangle équilatéral ?
N. SANS
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B
Épisode 4 - Angles
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Bilan 5
1. Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à 180°.
2. Si un triangle est rectangle, alors ses deux angles aigus sont complémentaires.
3. Si un triangle est rectangle et isocèle (demi-carré), alors ses deux angles aigus mesurent 45°.
4. Si un triangle est équilatéral, alors ses trois angles mesurent 60°.
✄
✂Exercice n° 16 ✁ : Application directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ✍
Pour chaque triangle, détermine la mesure des angles manquants.
Remarque : la figure e) est optionnelle.
✄
✂Exercice n° 17 ✁ : Un classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .✍
\ = 58° et \
1. Construis un triangle ABC tel que BC = 6 cm, ABC
ACB = 64°.
\
2. Mesure la mesure de l’angle BAC.
\
3. Calcule la vraie mesure de cet angle BAC.
4. Peux-tu expliquer la différence obtenue entre la mesure obtenue avec le rapporteur et celle obtenue avec
le calcul ?
✄
✂Exercice n° 18 ✁ : Avec du vent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ✍
Aujourd’hui, il y a du vent à Quiberon. Julie voudrait construire
un cerf-volant. Elle a trouvé un mode d’emploi, mais il manque des
données pour réussir à la construire entièrement.
Aide Julie à réaliser son cerf-volant en trouvant la mesure de l’angle
\
ABD.
N. SANS
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Activités mathématiques
5e
✄
✂Exercice n° 19 ✁ : Un toit pour toi ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ✍
On doit poser le toit d’une maison. Ce toit
est représenté par la figure ci-contre. On se
demande si la surface formée par les points
A, B et C est bien « plate ».
À l’aide la figure, dis, en justifiant, si les
points A, B et C sont alignés.
5
Les problèmes
✄
✂Problème n° 1 ✁ : Le jardinier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ✍
Julien souhaite savoir si le jardinier a planté ses arbres correctement. Pour ce faire, les arbres A, B et C doivent
être alignés, tout comme les arbres D, B et E.
Les consignes de Tom ont-elles été respectées par le jardinier ? Explique ta réponse.
✄
✂Problème n° 2 ✁ : ASSR (attestation scolaire de sécurité routière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ✍
Lors du passage de l’ASSR, Julie observe le
schéma ci-contre.
Détermine l’angle mort, c’est-à-dire la zone
dont l’observation, dans le rétroviseur, est inaccessible au conducteur d’un véhicule. On
sait que les droites (AB) et (CD) sont parallèles, et que la droite (CD) est perpendiculaire à (FG).
✄
✂Problème n° 3 ✁ : Une tâche complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ✍
N. SANS
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