Logique propositionnelle - Université de Strasbourg

Universit´ e de Strasbourg
Logique et programmation logique Feuille de TD
Logique propositionnelle
1. Lesquels des raisonnements suivants sont formalisables en logique propositionnelle ? Si c’est le
cas, donnez une formalisation et v´ erifiez s’il est effectivement valide.
(a) Si j’´ etudie la logique, alors je serai heureux et sage ;
je serai heureux et sage ;
donc j’´ etudie la logique
(b) Napol´ eon ´ etait allemand ;
les allemands sont europ´ eens ;
donc Napol´ eon ´ etait europ´ een.
(c) Napol´ eon ´ etait allemand ;
les allemands sont asiatiques ;
donc Napol´ eon ´ etait asiatique
(d) Napol´ eon ´ etait franc¸ais ;
tous les francais sont europ´ eens ;
donc Hitler ´ etait Autrichien
(e) Si Napol´ eon avait ´ et´ e chinois, alors il aurait ´ et´ e asiatique ;
Napol´ eon n’´ etait pas asiatique ;
donc il n’´ etait pas chinois.
(f) S’il pleut, on annulera le pique nique ;
s’il ne pleut pas, Marie insistera pour aller ` a la plage et le pique nique sera annul´ e ;
ou bien il pleuvra ou bien il ne pleuvra pas ;
donc le pique nique sera annul´ e.
2. Donner une formule correspondant ` a la table de v´ erit´ e suivante :
P Q R
F F F V
F F V V
F V F F
F V V V
V F F F
V F V F
V V F F
V V V V
3. (a) Donner un exemple de formule valide.
(b) Donner un exemple de formule satisfiable mais non valide.
(c) Donner un exemple de formule insatisfiable.
(d) Que peut-on dire des formules insatisfiables ?
4. Que pensez vous des affirmations suivantes :
1

•Si G∨Hest insatisfaisable alors Get Hsont deux formules insatisfiables.
•Si G∨Hest valide alors Get Hsont deux formules valides.
5. (a) Montrer que pour toute formule Hil existe H0equivalente ` aHn’ayant comme connecteur
logique que la n´ egation et l’implication.
(b) Appliquer ce r´ esultat ` a la formule : (P∨Q)↔(R∨S)
6. Montrer que |est un connecteur complet.
|V F
V F V
F V V
7. (a) Pour quelles valeurs de mla formule (m= 1) →(m= 2) est-elle vraie ?
(b) Pour quelles valeurs de mla formule (m= 1) ↔(m= 2) est-elle vraie ?
8. Parmi les formules suivantes, lesquelles sont valides ? contradictoires ? Si une formule n’est ni
valide, ni contradictoire, on donnera une interpr´ etation qui la falsifie et une interpr´ etation qui la
satisfait. On essaiera de raisonner sans ´ ecrire la table de v´ erit´ e.
(a) p∧ ¬q
(b) (p∧(p→q)) →q
(c) (p∧ ¬q)→q
(d) (p∧q)→p
(e) (p∨q→q)
(f) p→(p∨q)
(g) p→(p∧q)
(h) p∨(p→q)
(i) q∨(p→q)
(j) p∧(p→q)
(k) p∧(p→q)
(l) p∨q
(m) p∧ ¬p
(n) ((p→q)∧(¬p→q)) →
q
(o) ((p→q)∧(p→ ¬q)) →
¬p
(p) (¬p→p)→p
(q) (¬p→p→ ¬p)
(r) ((p→q)→p)→q)
9. •Montrez (par analyse s´ emantique / tables de v´ erit´ e) que les formules suivantes sont valides :
p→((p∧q)∨(p∧ ¬q))
•Montrez (par analyse s´ emantique / tables de v´ erit´ e) que la formule suivante est satisfiable :
¬(p→(q∧(q→p)))
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