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Introduction ` a la Th´ eorie Alg´ ebrique
des Nombres
Gilles Auriol
[email protected] — http ://auriolg.free.fr
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Table des mati`eres
1 Entiers alg´ebriques 4
1.1 Exemples de d´efaut de factorialit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Quelquesquantit´es ................................... 6
1.2.1 Trace, norme et polynˆome caract´eristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Discriminant .................................. 8
1.3 Int´egralit´e........................................ 10
1.3.1 G´en´eralit´es ................................... 10
1.3.2 Cas noeth´erien de caract´eristique nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Entiersalg´ebriques ................................... 13
1.4.1 G´en´eralit´es et structure des id´eaux de OK.................. 13
1.4.2 Normed’unid´eal ................................ 15
1.5 Entiersquadratiques .................................. 16
1.6 Entierscyclotomiques.................................. 18
2 Anneaux de Dedekind et factorisation d’id´eaux 21
2.1 Id´eauxinversibles.................................... 21
2.2 Factorisation des id´eaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Id´eauxfractionnaires .................................. 25
3 Factorisation effective en id´eaux premiers 27
3.1 Localisation des anneaux d’entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Factorisation dans les extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.1 Ramification................................... 30
3.2.2 Cas des extensions galoisiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.3 Norme relative d’un id´eal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Calculsdefactorisation................................. 33
3.3.1 Th´eor`eme fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.2 Factorisation dans les anneaux d’entiers quadratiques . . . . . . . . . . . . 35
3.3.3 Factorisation dans les anneaux d’entiers cyclotomiques . . . . . . . . . . . 37
4 Groupes des classes d’id´eaux 41
4.1 D´efinition ........................................ 41
4.2 R´eseaux de Rn..................................... 42
4.2.1 Premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2.2 Th´eor`eme de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2.3 Plongement canonique d’un corps de nombres dans Rn........... 44
4.3 Finitude du groupe des classes d’id´eaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3.1 Une preuve ´el´ementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3.2 Par le th´eor`eme de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2

4.4 Calcul des groupes de classes d’id´eaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.5 Exemples des corps cyclotomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5 Corps quadratiques imaginaires 52
5.1 R´eseaux complexes, ´etude de SL2(Z) ......................... 52
5.2 Calculs de groupes de classes d’id´eaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.3 Formes quadratiques et nombre de classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.3.1 Formes quadratiques binaires `a coefficients entiers . . . . . . . . . . . . . . 60
5.3.2 Nombredeclasses................................ 63
5.4 Corps quadratiques imaginaires principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.5 Application aux ´equations diophantiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.5.1 Equation de Mordell y2=x3+d....................... 68
5.5.2 L’´equation de Fermat x3+y3=z3...................... 69
6 Anneaux d’entiers euclidiens 72
6.1 G´en´eralit´es ....................................... 72
6.2 Corps quadratiques euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.2.1 Casimaginaire ................................. 73
6.2.2 Casr´eel ..................................... 75
6.3 Corps cyclotomiques euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7 Quelques r´esultats compl´ementaires 78
3

Chapitre 1
Entiers alg´ebriques
Dans ce chapitre, nous allons introduire l’anneau des entiers d’une extension finie de Q, ainsi
que ses propri´et´es fondamentales, notamment que tout id´eal se factorise de fa¸con unique en produit
d’id´eaux. On retrouvera ainsi une notion de factorialit´e, introduite par Dedekind, qui fait d´efaut
dans la plupart des anneaux d’entiers. On d´eterminera de fa¸con ´el´ementaire quelques exemples
d’anneaux d’entiers qui sont euclidiens ou seulement principaux.
1.1 Exemples de d´efaut de factorialit´e
Dans cette section, nous allons mettre en ´evidence quelques points que vise `a ´eclaircir et `a
g´en´eraliser la notion d’entiers alg´ebriques.
On appellera norme sur un sous-anneau Ade Cune application de A−→ Zmultiplicative,
c’est-`a-dire v´erifiant
∀α, β ∈A, N(αβ) = N(α)N(β).
Par exemple pour les anneaux Z[√d] = {a+b√d, a, b ∈Z}o`u d∈Z, on peut prendre
l’application N d´efinie par N(z) = a2−db2, o`u z=a+b√d.
La proposition suivante r´esume les propri´et´es de la norme.
1.1 Proposition (Norme). — Soit Aun sous-anneau de C,α, β ∈A, et Nune norme sur A.
Si αdivise βdans A, alors N(α)divise N(β)dans Z. En particulier si N(α)est premier dans Z,
alors αest irr´eductible dans A. De plus αest une unit´e de Asi, et seulement si, N(α) = ±1.
1.2 Exemple (Anneau des entiers de Gauss). — D´esignons √−1 par i. On introduit l’an-
neau des entiers de Gauss Z[i] qui a jou´e un rˆole cl´e dans la recherche des nombres premiers somme
de deux carr´es d’entiers. Il jouit d’une propri´et´e remarquable, il est euclidien (voir proposition
6.7). Par cons´equent il est factoriel, c’est-`a-dire que tout de Z[i] s’´ecrit comme produit de facteurs
irr´eductibles de Z[i] et ce de fa¸con unique `a l’ordre des facteurs pr`es.
1.3 Exemple (Un anneau non factoriel). — Consid´erons Z[√−5], et N(a+b√−5) = a2+
5b2sa norme. On a deux factorisations pour 6,
6=2×3 = (1 + √−5)(1 −√−5).
Chacun des nombres 2,3,1 + √−5 et 1 −√−5 est irr´eductible, comme on le v´erifie ais´ement avec
la norme. Montrons-le par exemple pour 2. Si αdivise 2 dans Z[√−5], d’apr`es la proposition
pr´ec´edente N(α) divise N(2) = 4 dans Z. Donc N(α)∈ {1,2,4}. Si N(α) = 4 ou 1, c’est que 2 et
αsont associ´es, ou que αest une unit´e. De plus l’´equation N(α) = 2 n’a pas de solution dans Z,
4

donc 2 n’admet pas de diviseurs propres.
D’autre part l’´equation N(α) = 1 admet pour seules solutions ±1, donc les unit´es de Z[√−5] sont
±1, ainsi aucun des facteurs 2,3,1 + √−5 et 1 −√−5 ne sont associ´es, ce qui montre que Z[√−5]
n’est pas factoriel.
Tout n’est pas perdu cependant ! Kummer r´ealisa qu’il manque `a cet anneau certains ´el´ements.
Il r´epara la factorialit´e en rempla¸cant les nombres par les ”nombres id´eaux”. En termes modernes,
il factorisa les id´eaux en produit d’id´eaux premiers. On retrouve alors l’unicit´e `a l’ordre pr`es.
Voyons ce que cela donne avec Z[√−5] et 6. Posons
a1= (2,1 + √−5),a2= (3,1 + √−5) et a3= (3,1−√−5).
Notons qu’on peut ´ecrire aussi a1= (2,1−√5) puisque 2 ∈a1. Il vient
a2
1= (2 ×2,2×(1 −√−5),(1 + √−5) ×2,(1 + √−5) ×(1 −√−5))
= (4,2−2√−5,2+2√−5,6)
= (2)
puisque 2 = 6 −4∈a2
1et que chaque g´en´erateur est divisible par 2. De mˆeme, on trouve
a1a2= (1 + √5) a1a3= (1 −√−5) et a2a3= (3).
En particulier,
(6) = (2)(3) = (a1a1)(a2a3)
et
(6) = (1 + √−5)(1 −√5) = (a1a2)(a1a3)
sont en fait les mˆemes factorisations en termes d’id´eaux. D´emontrons par exemple que a1est
premier. Tout d’abord on remarque que
a1={a+b√−5|a≡bmod (2)}.
En effet, en prenant (a, b) = (2,0) et (a, b) = (1,1) on voit que a1⊂ {a+b√−5|a≡bmod (2)},
et r´eciproquement si a≡bmod (2), il existe λ∈Ztel que a=b+ 2λ, d’o`u a+b√−5 =
b+ 2λ+b√−5=2λ+b(1 + √−5) ∈a1, d’o`u l’´egalit´e.
Soit x=a+b√−5, y =c+d√−5∈ OK, et supposons que x /∈a1et y /∈a1. Alors aet b(resp. c
et d) sont de parit´e diff´erente. Or
xy = (ac −5bd)+(ad +bc)√−5.
On v´erifie que dans tous les cas, ac −5bd et ad +bc sont de parit´e diff´erente, donc xy /∈a1, ce qui
prouve que a1est premier. On proc`ede de mˆeme pour a2et a3, en remarquant par exemple que
a2={a+b√−5|a≡bmod (3)}et a3={a+b√−5|a≡2bmod (3)}.
Comme on l’a montr´e, Z[√−5] n’est pas principal, sinon il serait factoriel. Mais cela n’empˆeche
pas Z[√−5] de poss´eder des id´eaux principaux ! Nous allons montrer que a1n’est pas principal,
cela nous resservira plus loin. Supposons a1principal, et notons βun g´en´erateur. Alors β|2 et
β|(1 + √−5), donc en prenant les normes N(β)|4 et N(β)|6, d’o`u N(β)∈ {1,2}. Si N(β) = 1,
c’est que βest inversible, et que a1=Z[√−5], ce qui n’est pas le cas puisque a2
1= (2). Il est
d’autre part clair qu’il n’existe pas d’´el´ement de norme 2.
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