Géométrie I : droites parallèles

G´eom´etrie
Quelques propri´et´es g´eom´etriques ´el´ementaires I.
Les droites parall`ele.
•Nous dirons que deux lignes droites sont paral l`eles si, pour une droite (appel´ee la
s´ecante) qui coupe les deux lignes droites de fa¸con oblique, forme des angles alterne-
internes qui sont ´egaux. Dans la figure ci-dessous les angles alterne-internes sont αet
β. Si l’angle α= l’angle βles deux lignes droites aet bsont dites parall`eles
•Dans la figure ci-dessous nous supposons que les deux lignes droites ret ssont par-
all`eles et donc ∠3=∠5.
–Nous voyons que ∠3=∠1etdonc∠1=∠5.
–Nous appelons l’angle 1 et l’angle 5 des angles correspondants.
–On peut donc ´egalement reconnaˆıtre des lignes droites parall`eles par le fait que
les angles correspondants form´es par la s´ecante sont ´egaux.
1

–R´esumons : Chacune des deux conditions suivantes nous permet de reconnaˆıtre
des lignes droites parall`eles :
1. Les angles alterne-internes form´es par une s´ecante sont ´egaux
ou
2. Lesanglescorrespondantsform´es par une s´ecante sont ´egaux.
“La somme des trois angles `a l’int´erieur d’un triangle est 180 ◦.”
•Nous prouvons que cet ´enonc´e est vrai en tra¸cant un triange ABC.
•Tra¸cons une droite passant par le vertex Cdu triangle qui est parall`ele au segment
AB.
•Le segment AC joue le rˆole de s´ecante. Les deux angles indiqu´ees en bleu sont des
angles alterne-internes et sont donc des angles ´egaux.
•Le segment de droite BC joue ´egalement le rˆole de s´ecante. Les deux angles verts
sont des angles correspondants et sont donc des angles ´egaux.
•Au point Cla somme des angles vert, bleu et rouge est 180 ◦(puisqu’il s’agit d’un
angle plat).
•Donc la somme des angles vert, bleu et rouge `a l’int´erieur du triangle doivent ´egalement
ˆetre 180 ◦.
c
Club Pythagore, 2007
2