Chapitre 3 : aberrations et défauts des objectifs

Chapitre 3 : aberrations et défauts des objectifs
Dans le domaine de l'optique, on appelle aberrations les imperfections des images autres
que celles dues à la diffraction.
Il existe deux grandes familles d’aberrations :
Les aberrations d’origine physique : elles sont liées à la nature physique de la
lumière. Dans ce chapitre, nous nous limiterons à l’aberration chromatique.
Les aberrations géométriques : elles sont liées au fait que les lentilles (et les
miroirs) utilisés en optique ne vérifient pas exactement les conditions de
stigmatisme rigoureux. Dans ce chapitre, nous étudierons :
l’aberration de sphéricité
l’aberration de coma
l’aberration d’astigmatisme
l’aberration de courbure de champ
l’aberration de distorsion
Remarque : la distorsion n’est pas due à un manque de stigmatisme mais
plutôt à un manques de similitude entre objets et images.
1
1 Aberrations chromatiques
1.1 Exemples
En photographie, l’aberration chromatique désigne
une aberration optique qui produit une image floue et
aux contours irisés. Des franges colorées indésirables
apparaissent autour des éléments de l’image. Celles-ci
s’avèrent particulièrement visibles autour des
transitions à fort contraste dans des zones
relativement neutres de l’image.
Les aberrations chromatiques
apparaissent sous forme de
franges colorées quand un objet
sombre est photographié sur un
arrière-plan plus clair.
2
3
4
1.2 Origine de l’aberration chromatique : le phénomène de dispersion
Dès que la lumière est composée de radiations de fréquences différentes apparaissent
les aberrations chromatiques, dues au phénomène de dispersion des lumières
complexes par les matériaux réfringents.
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L’origine du phénomène de dispersion de la lumière est que l’indice de réfraction n d'une
substance varie avec la longueur d'onde λ de la radiation monochromatique utilisée suivant
une fonction, généralement décroissante, qui dépend du matériau considéré.
Cette fonction peut être approchée par la formule de Cauchy :
n (λ ) = A +
B
λ2
+
C
λ4
+ ...
où A, B, C, … sont des constantes pour un matériau donné.
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Cette courbe (ou la formule) montre que les radiations de plus petite longueur d’onde
(du côté bleu du spectre, donc) sont plus réfractées que les radiations de plus grande
longueur d’onde (du côté rouge du spectre).
Ce phénomène de dispersion est à l’origine de l’arc-en-ciel, et la théorie de l’arc-en-ciel
permet de vérifier directement la validité de cette formule :
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1.3 Mesure de la dispersion des verres
Traditionnellement, un verre est caractérisé par son indice de réfraction « moyen » nD mesuré
pour la radiation jaune du sodium (λD = 589,3 nm) et par le facteur sans dimension v appelé
constringence, ou encore nombre d’Abbe, défini par :
v=
nD − 1
nF − nC
où nF et nC sont les indices de réfraction du verre pour
la raie bleue F de l’hydrogène (λ=486,1 nm) et pour la
raie rouge C de l’hydrogène (λ=656,3 nm).
Ce nombre sans unité est noté théoriquement de 1 à 100, mais la gamme couverte par les
verres optiques s’étend de 20 à 100.
Pour v<50, on parle de verres très dispersifs ; pour v>50, on parle de verres peu dispersifs.
Le pouvoir dispersif aussi appelé indice (ou coefficient) de dispersion est l’inverse de la
constringence. Le pouvoir dispersif des verres optiques varie entre 0,01 et 0,05 environ
Pour la radiation D, l'indice absolu nD de l'eau à 20°C est de 1,333 ; celui d'un verre ordinaire
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est compris entre 1,511 à 1,535.
Matériau
Raie F
de l’H
Raie D
du Na
Raie C
de l’H
v
Eau
1,337
1,333
1,331
55,5
Verre
crown léger
1,515
1,510
1,507
63,8
Verre flint
dense
1,774
1,755
1,747
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Remarque : il existe deux grandes familles de verres :
les « crowns » sont des verres « légers » qui
contiennent des oxydes de sodium et de calcium ont
un indice n de l'ordre de 1,52 et un pouvoir dispersif
v voisin de 60. Le verre crown disperse donc peu. Des
types de verre crown encore moins dispersifs sont
disponibles où sont ajoutés des oxydes de baryum ou
de lanthane.
les « flints » sont des verres « lourds », avec une
proportion importante d'oxyde de plomb ainsi que
du silicate de potassium, sont tels que n est de
l'ordre de 1,63 et v est voisin de 40. Le verre flint
présente donc un fort pouvoir dispersif.
10
Constringence du Verre Schott N-BK7.
11
Spectre visible, et désignation des longueurs d’onde de référence.
12
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Le diagramme ci-dessus présente une centaine de verres optiques produits par la société
Schott. Chacun des points représente un verre optique différent ; il est placé à l’intersection de
son indice de réfraction (établi pour la couleur jaune à 587,56 nm) et de sa constringence. On
appelle « flint » le verre de faible constringence (fortement dispersif). Le verre « crown » est de
forte constringence (peu dispersif). En moyenne, l’indice de réfraction est plus faible pour le
flint que pour le crown. Un verre est considéré comme faiblement dispersif lorsque sa
constringence est supérieure à 80 (certains crowns atteignent 97).
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1.4 Aberration chromatique d’une lentille convergente
Par conséquent, quand une lentille mince convergente est éclairée par un faisceau parallèle
de rayons de lumière blanche, la lumière blanche subit une dispersion lors de sa réfraction
par la lentille, et le foyer de la lentille pour les composantes bleues est situé plus près de la
lentille que celui pour les composantes rouges (les rayons bleus convergent plus rapidement
que les rayons rouges).
L'écart entre ces deux foyers dépend de la
variation de l'indice n du matériau pour les
deux longueurs d'onde correspondant à la
lumière bleue et rouge.
En effet, la distance focale d'une lentille mince dépend de l'indice de réfraction et des
mesures algébriques des rayons de courbure des deux dioptres qui composent la lentille :
 1 1 
1
= (n − 1)  − 
f'
 R1 R2 
où R1 = S1C1 et R 2 = S2 C 2
Comme nb>nr , f’b<f’r.
15
16
1.5 Aberrations chromatiques longitudinales
Pour un point objet éclairé en lumière blanche et situé à l’infini, les différents points de
focalisation correspondants aux différentes couleurs du spectre se forment à des distances
plus ou moins grandes de la lentille.
La distance ∆f’=F'bF'r mesurée pour les deux longueurs d'onde 486,1 et 656,3 nm s'appelle
l'aberration chromatique longitudinale principale ou encore dispersion focale.
Il est judicieux pour la suite d’étudier la variation ∆V de la vergence lorsqu’on passe du rouge
au bleu :
∆V = V − V
B
Comme :
R
 1 1 
V = ( n − 1)  − 
 R1 R2 
On déduit :
1 1 
1 1 
1 1 
VB = ( nB − 1)  −  , VR = ( nR − 1)  −  et VJ = Vmoyen = ( nJ − 1)  − 
 R1 R2 
 R1 R2 
 R1 R2 
Nous pouvons en déduire que le rapport :
verre :
∆V
n −n
1
= B R =
Vmoyen
nJ − 1 v
∆V
Vmoyen
est égal à l’inverse de la constringence du
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Ceci entraîne par ailleurs que :
∆f '
f 'moyen
=
1
v
L’aberration chromatique longitudinale est donc proportionnelle à la distance focale moyenne,
c’est-à-dire dans le jaune, et inversement proportionnelle à la constringence du verre :
∆f ' =
f 'J
v
http://uel.unisciel.fr/physique/optigeo/optigeo_ch16/co/apprendre_ch16_02.html#
18
19
20
Dispersion chromatique longitudinale d'une lentille mince.
21
On appelle spectre secondaire ou chromatisme longitudinal le fait que tous les rayons
lumineux ne convergent donc pas au même point selon leur couleur et cela représente les
variations de la position du foyer en fonction de la couleur.
Le spectre secondaire fait donc que la focale de la lentille dépend de la longueur d’onde des
rayons incidents, ou dit autrement que la courbure du front d’onde émergent est variable et
dépend de la longueur d’onde.
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De la même manière, l’image d’un point sujet A situé à distance finie de la lentille va présenter
un reflet irisé.
En effet, si on coupe les faisceaux par un écran passant par l'image monochromatique
rouge A´r , par exemple, les autres images de A (l'image bleue A´b par exemple) présentent un
défaut de mise au point, et l'image dans ce plan est un cercle de diffusion irisé dont le
diamètre varie avec la dimension de la pupille de sortie de l'objectif. Dans l'exemple choisi, la
tache de diffusion est irisée de bleu. Elle le serait de rouge pour une mise au point faite dans le
plan de l'image bleue.
La distance orientée A’bA’r mesurant l’étalement du point image selon l’axe optique porte le
nom d’aberration chromatique longitudinale pour le point A.
23
1.6 Cercle de moindre aberration chromatique et aberration chromatique transversale
L’étalement chromatique longitudinal (ou chromatisme de position) s’accompagne d’un
chromatisme de grandeur ou chromatisme transverse.
Soit une lentille O donnant d'un objet AB des images A´B´ dont la position est fonction de la
longueur d'onde. Le rayon incident BO n'est pas dévié. Les diverses images
monochromatiques paraxiales A´λB´λ sont homothétiques et leur grandeur est fonction de la
longueur d'onde.
Lié directement au chromatisme de position, le chromatisme de grandeur s'annule en même
temps que celui-ci.
24
Une lentille diaphragmée fournit d’un point objet éclairé en lumière blanche une image pour
chaque radiation monochromatique. Cette dispersion est observée en coupant par un écran
normal à l’axe les faisceaux émergents. Sur l’écran apparaît une tache circulaire dont la
coloration dépend de la position, car les faisceaux coniques émergents correspondant aux
diverses radiations n’ont pas le même sommet. Parmi les différentes sections, il en est une de
diamètre minimal, moins irisée que les autres (position 2 de l’écran), c’est le cercle de
moindre diffusion chromatique.
25
http://www.microscopyu.com/tutorials/java/aberrations/chromatic/index.html
26
Le rayon d’ouverture de la lentille est h=OI, le rayon du cercle de moindre diffusion est ρ. Sur
la figure ci-dessous, ρ =PQ représente l’aberration transversale principale. L’homothétie des
triangles (F’CPQ) et (F’COI) d’une part, (F’FOI) et (F’FPQ) d’autre part, permet d’écrire :
L’aberration transversale principale ρ=PQ ne dépend pas de la distance focale, mais est
proportionnel au rayon d’ouverture h de la lentille.
http://uel.unisciel.fr/physique/optigeo/optigeo_ch16/co/apprendre_ch16_02.html
http://ressources.univlemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/optigeo/aberchro.html
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Aberration chromatique transversale.
28
29
30
1.7 Aberration chromatique d’une lentille divergente
Si une lentille divergente est éclairée par un faisceau parallèle de lumière blanche, la
déviation est plus importante pour la lumière bleue que pour la lumière rouge (les rayons
bleus divergent plus que les rayons rouges). Le foyer image des composantes bleues de la
lumière F'b est donc situé plus près de la lentille que F'r foyer image des composantes rouges
de la lumière.
En effet, comme pour une lentille convergente, la distance focale d'une lentille mince
dépend de l'indice de réfraction et des mesures algébriques des rayons de courbure des
deux dioptres qui composent la lentille :
 1
1
1 
= (n − 1)  −  = (n − 1)k
f'
 R1 R2 
Comme nb>nr , et k<0, on a que 0 >f’b>f’r. et donc f’b<f’r.
31
1.8 Réduction des aberrations chromatiques : le doublet achromatique accolé
Les lentilles simples présentent toujours de l'aberration chromatique, et la qualité de l'image
est très diminuée. Mais, en associant des systèmes sous-corrigés et sur-corrigés, on peut
obtenir des instruments où l'aberration chromatique finale est réduite.
Pour réaliser, par exemple, un objectif convergent achromatique, on accole deux lentilles,
l'une convergente en crown et l'autre divergente en flint (plus dispersif). Leurs convergences
sont choisies pour que l'ensemble demeure convergent.
Si l'objet à l'infini sur l'axe est un
point A éclairé par une radiation rouge
et une radiation bleue, l'image formée
par L1 est constituée par les foyers
rouge et bleu F´r et F´b (figure a).
L'image d’un point blanc A´ formée
par la lentille L2 (le sens de la lumière
étant inversé) serait l'ensemble des
deux points A´b et A´r (figure b).
32
En choisissant convenablement les verres constituant les lentilles L1 et L2, on assure la
superposition des segments A´bA´r et F´bF´r.
Accolons les deux lentilles L1 et L2 ;
alors F´r et F´b sont confondus avec les
points A´b et A´r et l'image définitive A´
de A est « achromatique » (figure c)
pour le bleu et le rouge ; elle l'est
encore en première approximation,
pour les radiations de longueurs
d'ondes intermédiaires.
33
Le doublet achromatique ou achromat
Réalisé au début des années 1830 par l'opticien français Charles Chevalier, l'achromat
est constitué de deux lentilles accolées qui possèdent des indices de réfraction et de
constringence (inverse du pouvoir dispersif) différents (verres en « flint » et en
« crown »).
34
1.9 Condition d’achromaticité du doublet accolé
Pour constituer un doublet achromatique accolé, deux lentilles L1 et L2, dont les
constringences sont v1 et v2 et les focales moyennes en lumière D sont f’1(D) et f’2(D) doivent
vérifier la condition d’achromaticité :
Remarques :
f '1 ( D).v1 = − f '2 ( D).v2
le signe négatif qui apparaît dans cette condition d’achromaticité est fondamental ;
comme les coefficients de dispersion sont définis positifs, il indique que l’on doit
nécessairement associer une lentille convergente et une lentille divergente pour réaliser la
condition d’achromaticité.
en pratique, la focale en lumière D correspond à 0,2% près à la moyenne géométrique
des focales en lumières C et F :
f '( D) ≈
f '(C ). f '( F )
En introduisant les vergences moyennes des lentilles V1=1/f’1(D) et V2=1/f’2(D), cette
condition d’achromaticité peut aussi s’écrire sous la forme facile à retenir :
V1 V2
+ =0
v1 v2
35
Établissons la condition d’achromaticité d’un doublet non nécessairement accolé :
Considérons le cas simple de deux lentilles de vergence V1 et V2 et constituées de matériaux
de constringences respectives v1 et v2. Chaque vergence V1 et V2 varie respectivement de
∆V1 et ∆V2, lorsqu’on passe de la longueur d’onde rouge à la longueur d’onde bleue.
Ces variations font intervenir le nombre d’Abbe via les relations : ∆V1 =
V1
V
et ∆V2 = 2
v1
v2
La formule de Gullstrand permet d’écrire pour la vergence V du doublet formé des lentilles L1
et L2 espacées d’une distance e la relation : V = V + V − eV V
1
Nous pouvons ainsi écrire les relations suivantes :
2
1 2
∆V = ∆V1 + ∆V2 − e∆(V1V2 )
= ∆V1 + ∆V2 − eV1∆V2 − eV2 ∆V1
=
V1 V2
VV
VV
+ −e 1 2 −e 1 2
v1 v2
v2
v1
Pour que les foyers bleu et rouge du doublet coïncident, il faut que : ∆V = 0
V1 V2
VV
VV
+ −e 1 2 −e 1 2 = 0
v1 v2
v2
v1
Qui se réduit bien à la condition précédente dans le cas accolé (e=0) :
La condition d’achromaticité est donc :
V1 V2
+ =0
v1 v2
Pour des lentilles non accolées mais taillées dans le même verre, cette condition s’écrit :
ou encore :
f '1 + f '2 = 2e
V1 + V2 − 2eV1V2 = 0
36
exemples de doublets achromats :
La condition précédente est vérifiée pour le doublet (1,1,1) et par le doublet (3,2,1) de
Huygens.
En effet, dans le premier cas, on a :
Il en est de même dans le second cas :
L’oculaire de Huygens est donc corrigé des aberrations chromatiques lorsque les deux
lentilles sont taillées dans le même verre.
37
Remarque : les doublets optiques sont des systèmes centrés constitués de deux lentilles L1 et
L2 caractérisés par trois nombres entiers, positifs ou négatifs, notés m, n, p tels que :
f '1 e f '2
= =
=u
m n p
avec f’1 et f’2 les distances focales images des 2 lentilles ; e distance des centres optiques O1
et O2 ; u est l'unité de longueur du doublet.
Le doublet de Ramsden (3, 2 , 3).
V1 = V2 = 1 /(3 u) et e = 2 u.
focale image : fi = 9/4 u ; fo = -9/4 u ;
plans principaux :O2Hi = -1,5 u ; O1Ho = 1,5 u ;
plans focaux : O1Fo = fo( 1-eV2) = -3/4 u ; O2Fi = 3/4 u ;
Ce doublet est symétrique mais ne vérifie pas la condition d’achromaticité pour des verres de
compositions identiques.
Le doublet de Huygens ( 3, 2, 1).
V1 = 1 / (3 u) ; V2= 1 /u et e = 2 u.
focale image : fi = 1,5 u ; fo = -1,5 u ;
plans principaux :O2Hi = - u ; O1Ho = 3 u ;
plans focaux : O1Fo = fo( 1-eV2) = 1,5 u ; O2Fi = 1/2 u ;
Ce doublet satisfait à la condition d'achromatisme relative aux lentilles non accolées : e = ½(
f’1 + f’2 )
http://subaru2.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/optigeo/oculaires.html
38
L’aberration de chromaticité transverse affecte principalement pour les retrofocus et les
téléobjectifs qui sont des objectifs dissymétriques.
L’aberration de chromaticité longitudinale affecte plutôt les objectifs de grande ouverture.
Un objectif non corrigé des aberrations
chromatiques est qualifié de chromatique.
L’œil humain étant plus sensible au vert, quand un
objectif chromatique est mis au point, c’est plutôt
la lumière verte qui est correctement focalisée, et
les lumières bleue et rouge qui sont hors focus (cf.
figure en haut à gauche).
L’incorporation d’un simple doublet achromatique
suffit pour réduire l’aberration chromatique. Deux
longueurs d’onde focalisent au même endroit
(passage par zéro sur la figure en haut à droite) et
les autres couleurs focalisent autour de ce point :
on parle de spectre secondaire.
L’arrivée de verres exotiques caractérisés par une dispersion faible a permis de réaliser de
grands progrès dans la correction de l’aberration chromatique. Une configuration qui
rassemble en un point trois longueurs d’onde est appelée apochromatique. Un objectif
superachromatique regroupe au moins 4 longueurs d’onde en un point et élimine virtuellement
39
toute frange colorée.
À proprement parler, ce n’est pas le nombre de zéro de la fonction déterminant la position
du foyer en fonction de la longueur d’onde qui importe mais plutôt les écarts de position
entre ces valeurs particulières, et donc l’aire du spectre secondaire.
Le terme APO désigne ainsi plutôt aujourd’hui un objectif au spectre secondaire réduit, le
vrai apochromatisme restant une propriété rare.
40
Objectifs apochromatiques
Il existe des objectifs, dont la combinaison de lentilles plus complexe (3 ou 4 lentilles)
permet la correction du chromatisme pour 3 radiations du spectre visible (B,V et R). On
parle alors d’objectif apochromatique. Ce sont des objectifs de haute qualité et de haut
pouvoir résolvant absolument nécessaire en reproduction et en microphotographie.
Sigma Objectif APO 50-150mm F2,8
41
Cette croix formée de deux bâtons d’allumettes montés sur un bouchon a été photographiée
avec un Canon EF 85/1,2 a une distance de 1m. La croix a été placée au centre de l’image et sur
un fond brillant. Le haut contraste et la grande ouverture (1,2) sont responsables de
l’aberration chromatique longitudinale. Quand l’autofocus est utilisé, des franges pourpres
apparaissent autour de la croix. En défocalisant légèrement manuellement, les franges virent
au vert. L’autofocus (comme les yeux humains) étant particulièrement sensibles à la lumière
verte, c’est elle qui est le mieux mise au point, ce qui engendre une défocalisation du bleu et
42 du
rouge, et donc des franges pourpres (les plus fréquentes, donc).
Exemples d’aberrations chromatiques transverses : A : Cosina 3.5-4.5/19-35 @
20 mm. B: Cosina 3.8/20. C: Carl Zeiss Distagon 2.8/21. Tous ces objectifs ont
été utilisés à f/11 sur un boitier Canon 5D.
La même croix a été photographiée avec trois grands angles retrofocus, et placée près du
coin supérieur gauche de l’image, de sorte que son plus long bras soit dans la direction
radiale. Le petit bras est donc dans la direction tangentielle. Pour les trois objectifs, le petit
bras présente des franges colorées alors que le grand bras n’est pas affecté. La présence
simultanée de franges vertes et pourpres des deux côtés opposés du bras pour l’objectif A
est caractéristique de l’aberration chromatique transverse. Les franges bleuâtres et
jaunâtres produites par l’objectif B sont plus rares. L’objectif C, qui présente de légères
43
traces de pourpre et de vert, est très bien corrigé pour un objectif de ce type.
Les franges vertes et pourpres peuvent s’expliquer avec un objectif achromatique,
puisque pour une mise au point moyenne (sur le vert, vu la sensibilité de l’œil), l’image
bleue et l’image rouge se forment un peu en avant et sont donc plus petites que
l’image verte, derrière et plus grande (cf. spectre secondaire de l’achromat).
44
Les aberrations chromatiques longitudinales et transverses peuvent engendrer toutes les
deux des franges colorées, mais leurs propriétés sont différentes.
L’aberration longitudinale provoque des franges tout autour de l’objet, alors que
l’aberration transverse affecte surtout les détails tangentiels.
L’aberration longitudinale apparaît n’importe où dans l’image, alors que l’aberration
transverse est absente au centre de l’image et augmente progressivement vers les bords.
L’aberration longitudinale diminue si l’on diaphragme l’objectif, alors que l’aberration
transverse est présente à toutes les ouvertures.
L’aberration longitudinale provoque des franges de couleurs différentes de part et d’autre
du meilleur foyer, tandis que l’aberration transverse fait apparaître simultanément deux
colorations. De part et d’autre d’un détail tangentiel.
Bien sûr, les deux aberrations peuvent être présentes en même temps et être donc en partie
réduite par une fermeture du diaphragme.
L’aberration chromatique longitudinale se manifeste souvent en tandem avec l’aberration
de sphéricité et explique l’apparence des « bokeh » qui apparaissent aux grandes
ouvertures de l’objectif (cf. aberration de sphéricité plus loin dans ce chapitre). L’effet
combiné de ces deux aberrations porte le nom de sphérochromatisme.
45
46
47
48
1.10 Le sphérochromatisme
Une troisième manifestation du chromatisme est le sphérochromatisme. Il s’avère en effet
que le front d’onde issue d’une lentille sphérique (corrigée de l’aberration de sphéricité) n’est
parfaitement sphérique que pour une seule longueur d’onde. Les fronts d’onde pour les
autres longueurs d’onde sont affligés d’une aberration de sphéricité. Le sphérochromatisme
désigne donc cette aberration de sphéricité liée à la longueur d’onde.
Le sphérochromatisme est représenté comme l’aberration de sphéricité, mais avec plusieurs
courbes correspondant aux différentes couleurs.
Ici, nous pouvons voir les profils de l’aberration
de sphéricité longitudinale d’une lentille pour
le violet profond, le violet, le bleu, le vert,
le rouge et l’infrarouge proche en fonction de
l’origine des rayons par rapport à l’axe optique.
Nous verrons dans l’étude de l’aberration de
sphéricité plus loin qu’un front d’onde
parfaitement sphérique donnerait une ligne
verticale puisque l’on représente ici
uniquement les écarts par rapport à la sphère.
49
Correction du chromatisme par l’utilisation d’un doublet achromatique
Comme on peut le voir sur le diagramme de chromatisme longitudinal les deux fronts d’onde
du bleu et du rouge sont effectivement alignés et à peu prés plats. Néanmoins le vert, s’il
présente lui aussi un sphérochromatisme très faible, présente un décalage longitudinal de
son point focal.
50
Si le doublet achromatique donne de bons résultats avec un rapport F/D important, il se
dégrade en baissant le rapport F/D et en augmentant donc la puissance des lentilles. Dans ce
cas, le sphérochromatisme du rouge et du bleu est moins bien corrigés et surtout le
chromatisme latéral devient gênant. Un rapport de F/D :10 devient une limite.
51
Correction du chromatisme par l’utilisation d’un doublet apochromatique
Il est possible d’optimiser le doublet achromatique pour apporter la correction d’une
troisième longueur d’onde. En revanche ces doublets nécessitent l’utilisation de verre Crown
à très faible dispersion chromatique, et laissent beaucoup moins de libertés quand à
l’association des matériaux Flint et Crown.
Comme on le voit, le chromatisme longitudinal est très faible (décalage des courbes entre
elles). En revanche, le niveau de sphérochromatisme (courbure de chacune des courbes)
n’est plus totalement négligeable en regard du décalage longitudinal.
52
Correction du chromatisme par l’utilisation d’un triplet apochromatique
Il est possible de simplifier la réalisation des lentilles avec des rayons de courbure moins
prononcés et par la même de pousser plus loin la correction du sphérochromatisme en
ajoutant une seconde lentille Flint, voire une seconde lentille Crown. On obtient un triplet
apochromat.
Comme on peut le voir, malgré la baisse du rapport F/D à 8 cette fois ci, la correction du
chromatisme longitudinal est encore améliorée, et surtout la courbure des fronts d’onde est
diminuée (sphérochromatisme).
53
1.11 Exercices
1. La face sphérique d’une lentille plan-convexe a un rayon de courbure de 50 cm. L’indice de
réfraction du verre dont elle est formée dépend de la longueur d’onde de la lumière (en
nanomètre) selon la relation n =A+B/λ2 où A=1,620 et B=8,9.103 nm2. Calculer l’indice de
réfraction du verre pour la radiation bleu de longueur d’onde 490 nm et la radiation rouge
de longueur d’onde 660 nm. Calculer les distances focales correspondantes de la lentille.
(Rép. : 1,657 ; 1,640 ; 0,761 m ; 0,781 m)
2. Un rayon de lumière blanche (spectre continu entre 0.4 et 0.7 μm) arrive avec un angle
i=45° sur la face AB d’un prisme d’indice n et d’angle A=54°. D’après la formule de Cauchy
l’indice de réfraction dépend de la longueur d’onde selon la loi :
n(λ) = A + B/λ2
avec A=1.532 et B=0.042 μm-2.
A) Calculer les angles de réfraction r, r’ et i’ successifs pour les longueurs d’ondes extrêmes
du spectre et tracer le cheminement des rayons correspondant.
B) On intercepte les rayons émergeant du prisme sur un écran. Qu’observe-t-on ?
54
3. On dispose de deux verres dont les
indices de réfraction sont donnés par
le tableau ci-contre pour trois
longueurs d'ondes particulières.
λ
Crown B. 1864
Flint C. 8132
656,3 nm (C)
1,51552
1,67482
587,6 nm (D)
1,51800
1,68100
486,1 nm (F)
1,52355
1,69607
Dans le crown B. 1864, on taille une lentille mince L1 biconvexe de diamètre D = 8 cm.
Les rayons de courbures des faces sont R1 =S1C1= 30cm= et R'1 =S’1C’1= -1,8m.
Calculer la distance focale f’1 de cette lentille pour chacune des trois
longueurs d'ondes du tableau.
On veut réaliser un doublet achromatique en accolant à L1 une lentille mince L2
réalisée en flint C. 8132, de sorte que la distance focale du doublet ainsi constitué soit la
même pour les deux longueurs d'onde extrêmes du tableau. Comment doit-on choisir L2 ?
Calculer sa distance focale ainsi que celle du doublet.
Les faces en regard des deux lentilles ont le même rayon de courbure, soit 1,8 m.
Calculer le rayon de courbure de l'autre face de L2.
55
Résolution
la distance focale image se calcule par la formule des fabricants de lentilles :
1 R1.R '1
1 1
f '1 =
=
n − 1 R '1 − R1 n − 1 k1
et on obtient donc f’1(C)=f’1r=49,88cm, f’1(D)=49,64cm et f’1(F)=f’1b=49,11cm (et
k1=3,89m-1).
On utilise la relation d’achromaticité établie précédemment :
f '1 ( D ).V1 = − f '2 ( D ).V2
et on connaît f’1(D)= 49,64cm et les coefficients de dispersion V1=64,51 et V2=32,05 ; on
obtient donc :
f '2 ( D) = −1 m
Et la focale du doublet vaut alors f’(D)=0,96m.
56
La focale du doublet achromatique s’obtient par la relation habituelle :
1
1
1
=
+
f ' f '1 f '2
Comme f’1(D)=49,64cm, on trouve par exemple pour la lumière jaune D la valeur de
f’(D)=0,96m.
La lentille L2 est collée à L1, donc :
R 2 =02C2 =OC 2 =OC'1 =R'1 =-1,8 m
D’autre part, on sait que :
1
1
k2 =
−
= −1, 469 m -1
R2 R '2
On déduit donc directement :
R '2 = S '2 C '2 ≈ O2C '2 ≈ OC '2 = 1, 09 m
Les signes des rayons de courbure indiquent que la lentille L2 est biconcave.
57
2 Rappel : stigmatisme rigoureux d’un système
2.1 L’image d’un point est un point
Le système optique est dit rigoureusement stigmatique lorsque tous les rayons utiles issus de
A passent par A´ (l’image d’un point sujet est un point image).
Une surface d'onde est définie comme perpendiculaire, en chaque point, au rayon lumineux
(cf. théorème de Malus-Dupin, chapitre 2).
Une surface d'onde correspondant à un point objet A est une sphère S centrée en A. Une
surface d'onde image issue d'un système stigmatique est une sphère S´ centrée en A´.
58
La surface d'onde émergente n'est plus une sphère dès que le système perd ses qualités de
stigmatisme.
Dès qu’un élément optique modifie un front d’onde plan pour le transformer en front
d’onde sphérique d’un rayon donné, il s’introduit des transformations non souhaitées qui
vont faire que le front d’onde résultant ne sera pas sphérique dans toutes les conditions,
comme par exemple en dehors de l’axe optique. Ou peut être le rayon de la sphère ne sera
pas constant selon la longueur d’onde.
Les déformations de la surface d'onde entraînent une baisse de la qualité de l'image : on
parle d’aberrations géométriques.
59
Si le système optique est aberrant, la surface d'onde en sortie du système n'est pas sphérique
mais elle présente un écart normal d'aberration qui est la différence entre la surface d'onde
réelle et la surface d'onde sphérique idéale.
60
Condition de stigmatisme rigoureux
Le miroir plan M est le seul système rigoureusement stigmatique pour tout point objet A
quelconque : son image est un point A’.
61
Le plus souvent, un système n’est rigoureusement stigmatique que pour quelques points objets.
Un miroir parabolique est stigmatique pour
un point situé à l’infini sur l’axe et pour son
foyer.
Un miroir elliptique est stigmatique pour un
point objet et son image situés en ses foyers F
et F´.
62
2.2 Stigmatisme pour deux points voisins
Réaliser le stigmatisme pour un couple de points AA´ conjugués situés sur l'axe d'un
système optique est généralement insuffisant.
Il est souhaitable d'étendre le stigmatisme à des points voisins de A. Le stigmatisme étant
réalisé pour les points A et A´, on cherche les conditions pour que le stigmatisme soit
conservé pour un couple de points B et B´ situés perpendiculairement à l’axe optique
(condition d’Abbe ou d’aplanétisme) et un couple de points C et C’ situés
longitudinalement selon l’axe optique (condition d’Herschell).
63
2.2.1 Condition des sinus d’Abbe et notion d’aplanétisme
La conservation du stigmatisme approché dans l’espace implique une conservation du
stigmatisme approché dans un plan perpendiculaire à l’axe du système.
Cette considération appliquée au principe de Fermat permettent d’établir d’une part la loi des
sinus d’Abbe :
n. AB.sin u = n '. A ' B 'sin u '
Cette relation exprime la notion d’aplanétisme ; ce terme, dont l’étymologie grecque
(aplanetos, formé de « planetes » et d’un alpha privatif) signifie « qui n’erre pas », « qui ne
dévie pas » traduit donc le fait que l’image d’un plan perpendiculaire à l’axe optique est un
plan perpendiculaire à l’axe optique.
Démonstration :
Pour un point objet B, voisin de A,
situé dans un plan perpendiculaire
passant par A, la condition de
stigmatisme s’écrit :
L(BB’)=cste.
quel que soit le point d’incidence I sur la face d’entrée du système.
64
La différence des chemins optiques L(AA’) et L(BB’) doit donc être constante (chaque chemin
étant constant).
Évaluons cette différence en la considérant comme la variation du chemin [AA’] lorsque les
points A et A’ sont déplacés en B et B’ :
L( AA ') - L( BB ') = [ AII ' A '] -[ BII ' B '] ≈ n.( AI - BI ) + n '( I ' A '- I ' B ')
avec :
AI − BI = AH = AB sin u et I ' A '− I ' B ' = A ' H ' = A ' B 'sin u '
Finalement, on obtient :
L( AA ') - L( BB ') ≈ n. AB.sin u − n '. A ' B 'sin u ' ≈ c ste
Cette relation doit être nécessairement satisfaite pour que le système optique stigmatique
pour le couple (AA’) soit aussi stigmatique pour le couple (BB’). Elle doit être satisfaite pour
toutes les valeurs de u.
La relation précédente s’annule si u=0, car le rayon étant confondu avec l’axe n’est pas dévié ;
AB est très petit et reste perpendiculaire à l’axe. Pour que la constante de la relation soit
indépendante de u, il est nécessaire qu’elle reste nulle pour tout couple (u,u’). La condition
d’aplanétisme pour A, à distance finie, s’écrit donc :
n. AB.sin u = n '. A ' B 'sin u '
∀u
65
2.2.2 Condition d’Herschel
La conservation du stigmatisme approché dans l’espace implique aussi une conservation du
stigmatisme approché le long de l’axe optique.
Si A1 est situé le long de l’axe, toujours grâce au principe de Fermat on établit la condition
dite d’Herschel telle que :
n. AA1 sin 2
u
u'
− n ' A ' A '1 sin 2 = 0
2
2
Démonstration :
Quand le point A se déplace le long de l’axe jusque A1, son image se déplace le long de l’axe
jusque A’1 ; pour que le stigmatisme soit conservé, il faut que :
L( AA ') − L( A1 A1 ') = c ste soit : [ AII ' A '] − [ A1 II ' A '1 ] ≈ c ste
d’où :
n. AA1 cos u − n ' A ' A '1 cos u ' ≈ c ste (1)
Cette relation doit être vérifiée avec la même constante, pour tous les points d’incidence
sur la face d’entrée du système optique. En choisissant comme cas particulier I sur l’axe, les
angles u et u’ sont nuls, la relation (1) conduit à :
n. AA1 − n ' A ' A '1 ≈ c ste (2)
En soustrayant membre à membre (2) et (1), on a : n ' A ' A '1 (1 − cos u ') − n. AA1 (1 − cos u ) = 0
c’est-à-dire encore, la relation annoncée :
n. AA1 sin 2
u
u'
− n ' A ' A '1 sin 2 = 0
2
2
66
Conditions de stigmatisme et d’aplanétisme pour un objectif photographique
67
3 Stigmatisme approché d’un système, conditions de Gauss
Un système optique réel n'étant pas rigoureusement stigmatique, les images de plusieurs
surfaces d’onde sujet concentriques ne sont pas concentriques ; en d’autres mots, les rayons
issus d'un point A ne passent pas tous par son image géométrique A´.
Même si l'effet de la diffraction est négligeable, l'image est une tache lumineuse dont
l'étendue varie avec la position de l'écran d'observation E.
Un instrument (représenté sur la figure par sa face de sortie S2) n'étant pas rigoureusement
stigmatique, les rayons issus d'un point tel que B, situé ou non sur l'axe, ne convergent plus
exactement en B´, mais passent au voisinage de B´. Sur l’émulsion sensible, il y aura donc un
autre point image, B’’.
68
Soit B’’ le point d'impact d'un rayon émergent issu de B avec le plan de mise au point
perpendiculaire à l'axe, passant par B´. La distance B´B’’ caractérise l'écart à la condition de
stigmatisme pour B et B´.
On peut définir le segment B´B’’ comme la mesure de l'aberration transversale du système.
Cette aberration B´B’’ est fonction des variables y = AB (éventuellement nulle, si le point est
sur l’axe) et de α (angle maximal d'un rayon utile avec l'axe), ou encore des grandeurs
images correspondantes y´ et α ´.
69
On étudie le plus souvent les propriétés d'un système centré dans les conditions où cette
aberration peut être négligée, et on parle alors de stigmatisme approché pour le système.
Ces conditions constituent l’approximation de Gauss.
Pour que le système soit approximativement stigmatique, on doit se placer dans le cadre de
l’approximation de Gauss où les rayons lumineux cheminent au voisinage de l'axe optique
(aussi sont-ils dits paraxiaux) et leurs angles d'incidence avec les normales aux surfaces
restent petits.
On doit donc avoir :
des faisceaux peu ouverts,
des angles d’incidence petits.
Dans ce cas, les variables y et α sont de faibles valeurs, et les rayons utiles, issus de B
passent suffisamment près de B´ pour que l'énergie apportée par les divers rayons puisse
être considérée comme concentrée en ce seul point image.
70
sin θ ≈ θ −
θ3 θ5 θ7
3!
+
5!
−
7!
+ ...
Mathématiquement, se placer dans l’approximation de Gauss revient à assimiler sin θ à θ
dans la loi de Snell-Descartes lors de toutes les réfractions. (cf. stigmatisme approché du
dioptre plan dans le chapitre 2).
Dans le cadre de l'approximation de Gauss, des approximations du premier ordre sont faites,
seul le premier terme des développements en série est retenu. Pour des angles inférieurs à
15°, l'erreur introduite est inférieure à 1%. Si les deux premiers termes du développement
sont conservés, l'écart entre la valeur de sin θ et la valeur approximative au troisième ordre
71
est inférieur à 0,3 % pour des angles de l'ordre de 40°.
72
Astigmatisme du dioptre sphérique en dehors de l’approximation de Gauss
73
4 Aberrations géométriques
4.1 Présentation générale
Soit B un point objet, de coordonnées y et z dans un plan sujet ; le système S étant de
révolution autour de l’axe optique, on supposera z nul.
Soient B´0 l'image que S donnerait de B en l'absence d'aberration (image paraxiale ou de
Gauss) et B´ le point où un rayon BP quelconque, issu de B rencontre, après traversée du
système S, le plan image comprenant l’image B´0.
Soient dy´ et dz´ les coordonnées rectangulaires du segment B´0B´. Le point P choisi dans le
plan de la pupille d'entrée se projette en Q sur l'axe optique ; P est caractérisé par sa
distance à l'axe (QP = h) et par l'angle ϕ que fait QP avec une parallèle QR à l'axe des y.
74
Les aberrations transversales dy´ et dz´ sont des fonctions de y, h mais pas de ϕ (en raison
de la symétrie cylindrique du système optique).
Par symétrie, elles se conservent en grandeur, mais changent de signe, lorsqu'on remplace
y et h respectivement par (-y) et (-h).
Autrement dit, soit maintenant un point C situé dans le plan de front P, diamétralement
opposé au point B par rapport au point A. Compte tenu de la symétrie cylindrique l'image
du point C donnée par l'ensemble des rayons situés autour de CJ est en C' située à (-dy')
et (-dz') de l’image de Gauss de C, C'G.
75
Un développement en série de dy´ et dz´ ne comporte par suite que des termes impairs par
rapport à l'ensemble des variables h et y.
dy ' = ( dα y ) y + ( dα h ) h + ( dα yyy ) y 3 + ( dα hhh ) h3 + ( dα yhh ) yh 2 + ( dα hyy ) hy 2 + ...
dz ' = ( d β y ) y + ( d β h ) h + ( d β yyy ) y 3 + ( d β hhh ) h3 + ( d β yhh ) yh 2 + ( d β hyy ) hy 2 + ...
S’arrêter au troisième ordre dans le développement en série des quantités dy’ et dz’ revient à
assimiler lors de chaque réfraction sin θ à θ - θ 3/6 dans la loi de Snell-Descartes.
Le développement peut être poursuivi jusqu'à des termes de degré plus élevé (cinquième ou
septième), mais les termes du troisième ordre fournissent les aberrations les plus
représentatives d'un instrument optique non parfait.
76
4.2 Coefficients de Seidel
Considérons un rayon issu du point Bo dans l’espace objet et passant par Bi dans l’espace
image.
Dans le cadre de l’approximation de Gauss le grandissement transverse est défini par :
xi = γ t xo et yi = γ t yo
ou (xo,yo) et (xi,yi) sont les coordonnées des points Bo et Bi. Ces expressions peuvent être
condensées sous la forme :
X i = γ t X o ou X o = xo + iyo et X i = xi + iyi
sont les coordonnées dans le plan complexe des points Bo et Bi.
77
En dehors de l’approximation de Gauss, Xi dépend aussi des angles (αo,βo) que forme avec l’axe
optique Oz les projections du rayon incident dans les plans yOz et xOz.
Comme pour les coordonnées on définira ces angles au moyen de la variable complexe :
χo = α o + iβo
La variable complexe Xi peut se définir sous la forme d’un développement polynomial :
Xi =
Cµνρσ ( X )
∑
µν ρ σ
µ
o
( X ) (χ ) (χ )
* ν
o
, , ,
* σ
ρ
o
o
Dans ce développement les constantes Cμνtv sont a priori des nombres complexes et (μ,ν,t,v)
des nombres entiers positifs ou nuls.
Le système présentant une symétrie de révolution si on change :
X o en X o eiθ et χ o en χ o eiθ
ce qui exprime une rotation d’un angle θ dans le plan objet, alors on doit également observer
une rotation θ dans le plan image telle que :
iθ
X ie =
Cµνρσ ( X )
∑
µν ρ σ
o
, , ,
Par identification il vient :
( X ) (χ ) (χ ) e
* ν
o
* σ
ρ
o
iθ ( µ −ν + ρ −σ )
o
µ −ν + ρ − σ = 1 soit µ + ρ = 1 +ν + σ
Le degré du développement :
est donc impair.
µ
m = µ +ν + ρ + σ = 2 (ν + σ ) + 1
78
Pour m=1, ν+σ = 0, donc ν = σ = 0 et µ+ρ = 1.
On en déduit alors :
X i = C1000 X o + C0010 χ o
Comme les plans objet et images sont conjugués :
C1000 = γ t et C0010 = 0
On retrouve alors le cadre de l’approximation paraxiale.
Pour m=3, ν+σ = 1, donc ν = σ = 0 et µ+ρ = 2.
D’où :
L’aberration géométrique s’évalue donc avec l’écart à l’approximation paraxiale :
tel que :
79
Soit en posant :
X o = ro eiθo et χ o = ρo eiϕo
Les 6 coefficients C sont appelés coefficients de Seidel et ils sont réels.
80
4.3 Classification des aberrations en défauts d’ouverture et défauts de champ
Les défauts d’ouverture surviennent lorsque l’instrument reçoit des faisceaux de large
ouverture angulaire, mais dont le rayon moyen est confondu avec l’axe ou très peu incliné sur
l’axe. C’est le cas des instruments à petit champ recevant des faisceaux de grande ouverture,
comme les objectifs de microscopes, de lunettes astronomiques, les téléobjectifs
photographiques.
Les défauts de champ se produisent lorsque l’instrument reçoit des faisceaux de faible
ouverture, mais qui peuvent être très inclinés sur l’axe. C’est le cas des instruments à grand
champ angulaire comme la loupe formée d’une lentille mince convergente.
Remarque : une aberration d’ouverture dépend de la distance h du rayon BP choisi à l’axe
optique, une aberration de champ dépend de la position y du point sujet et donc de la taille de
l’image y’.
81
Les défauts d’ouverture sont de deux types :
Aberration de sphéricité :
Le point objet A est sur l’axe et l’ouverture est importante ; les rayons issus de A ne passent
pas tous par un point image A’. L’expression aberration sphérique ou défaut de sphéricité
traduit la non sphéricité des surfaces d’onde émergentes. L’aberration sphérique est
caractérisée par le terme en h3 dans le développement précédent.
Défaut de coma :
Même si l’aberration de sphéricité est corrigée pour A, l’image d’un point A1, voisin de A dans
son plan de front peut ne pas être ponctuelle. Le terme en h2y dans le développement
précédent caractérise la coma. C'est une aberration d'ouverture et de champ, l'aberration
d'ouverture étant plus importante que l'aberration de champ.
82
Si les défauts d’ouverture sont négligeables, l’angle u étant faible, les aberrations de champ
apparaissent pour un objet très éloigné de l’axe. Elles sont de deux types :
Les rayons issus de B ne passent pas tous par un point image B’ (astigmatisme) et de plus la
parfaite image B’ de B peut ne pas appartenir au plan de front de A’ (courbure de champ). Le
terme en hy2 caractérise l'aberration d'astigmatisme et de courbure de champ. Il s’agit aussi
d’aberrations d’ouverture et de champ, l'aberration de champ étant plus importante que
l'aberration d'ouverture.
Lorsque le diaphragme d’ouverture est mal positionné par rapport au système centré, il se
peut que les faisceaux utiles issus de points B1, B2 situés à des distances différentes de l’axe
traversent le système en des régions plus ou moins éloignées de l’axe et soient focalisés
différemment ; il en résulte une distorsion de l’image. Le terme en y 3 caractérise la distorsion.
C’est une aberration exclusivement de champ.
Les défauts d’ouverture et de champ peuvent coexister. Il est pratiquement impossible de les
éliminer, aussi s’attache-t-on à corriger les aberrations les plus gênantes, compte tenu de
l’utilisation du système centré, par exemple :
pour un microscope (très petits objets et larges ouverture) il faut corriger en priorité les
aberrations sphériques et défauts de coma ;
pour un objectif grand angulaire d’un appareil photographique, il faut principalement
corriger l’astigmatisme et la courbure de champ.
83
5 Aberration de sphéricité
5.1 Exemples
Un exemple d’aberration de sphéricité : dans les cas extrêmes on peut voir des reflets, des
halos se formant autour des points lumineux comme autour des lanternes sur l'exemple ci84
contre.
Les miroirs souffrent aussi de cette aberration de sphéricité : voici l’image de la
galaxie M100 obtenue par le télescope spatial Hubble, avant et après correction
de l’aberration sphérique de son miroir principal (parabolique).
Remarque : dans Hubble, le miroir primaire est parabolique
et concave et il renvoie la lumière incidente sur un miroir
secondaire hyperbolique convexe. Ces deux miroirs sont
placés dans une configuration dite de Cassegrain.
85
Effet de la fermeture du diaphragme sur l’aberration de sphéricité : objectif de 105 mm,
86
grand ouvert (f 2.5) à gauche et fermé à f4 à droite.
Avec une ouverture faible, l'aberration de sphéricité disparaît..
87
88
Aberration de sphéricité pour un objectif photographique
89
5.2 Origine et description
Comme l’aberration de sphéricité ne dépend que de h (et non de y), elle est déjà présente
dans l'image d'un point objet situé sur l'axe optique d'un instrument S qui pour nous est
assimilable à une lentille convergente unique.
A´0 est l'image de Gauss (paraxiale) d'un point sujet A.
Augmentons le diamètre du diaphragme P de l’instrument ; les rayons traversant le
diaphragme à une même hauteur h, qui n'est plus infiniment petite, convergent en un même
point image A´h de l'axe.
La position de ce point dépend uniquement de la valeur de h (ce qui montre qu’il s’agit bien
d’une aberration d'ouverture) et évolue entre deux positions extrêmes, les images paraxiale
A´0 (ou A’P) et marginale A´m.
Les rayons marginaux convergent plus que les rayons centraux. Pourquoi ?
90
On peut comprendre simplement, par analogie, le fait qu’une lentille épaisse est plus
convergente aux bords qu’au centre.
On peut en effet considérer qu'une lentille mince est constituée d'une succession de petits
prismes d'angles au sommet de plus en plus faible au fur et à mesure que l'on se déplace
de l'extrémité de la lentille vers son centre optique. Or la déviation D d'un rayon lumineux
par un prisme d'indice n, de faible angle au sommet A est proportionnelle à A :
D = ( n − 1) A
Par conséquent les rayons marginaux sont plus déviés et convergent plus que les rayons
paraxiaux. Pour un point objet situé à l’infini, les rayons marginaux convergent en un point
F'm appelé foyer marginal et les rayons centraux en un point F'p appelé foyer paraxial.
Il est évident que cette aberration sera d’autant plus marquée que le faisceau de rayons
parallèles à l’axe optique qui entrant dans l’objectif sera large, et par conséquent,
91
l’aberration de sphéricité pourra être réduite en diaphragmant.
Construisons l’image par une lentille plan-sphérique de 5 rayons issus d’un point de l’axe
optique:
On trouve plusieurs points images (situés aux intersections des rayons images)
En augmentant le nombre de rayons (31 ici), le nombre de points images augmente aussi :
92
Loi de Snell-Descatres, et une de ses applications
avec la mise en évidence de l'aberration de sphéricité d'une lentille convergente.
93
Les rayons images s'appuient sur une surface de révolution enveloppe (c’est-à-dire tangente
aux rayons lumineux d’un faisceau issu d’un même point) appelée caustique de réfraction La
caustique est composée de deux nappes (portion d’un seul tenant de la surface courbe)
appelées caustique axiale ou sagittale et la caustique tangentielle.
Chaque rayon est tangent à chacune des nappes de la caustique. Chacune de ces nappes peut
être réelle ou virtuelle. Si la nappe est réelle, elle correspond à une accumulation d’énergie
lumineuse (caustique signifie brûler), car c’est à son contact que les rayons lumineux sont les
plus rapprochés.
Pour trouver la forme de ces deux nappes, on envisage deux modes de groupement des rayons
émergents.
94
5.2.1 Aberration sphérique longitudinale :
Les rayons incidents qui sont tous inclinés du même angle u par rapport à l’axe forment un
cône de révolution de sommet A. Après avoir traversé le système, les rayons émergents
correspondant forment une nappe conique de révolution de sommet A’, point appartenant à
l’axe, et d’ouverture 2u’ :
En faisant varier l’angle 2u, l’angle au sommet du faisceau incident, de 0 à 2U, il est possible
de rencontrer tous les rayons du faisceau émergent. Lorsque 2u varie, le point A’ décrit une
portion (A’mA’o) de l’axe. Le segment A’mA’o est l’une des nappes de la caustique, c’est la nappe
axiale (ou nappe sagittale), A’m est le point de convergence des rayons marginaux ; A’o est le
point de convergence des rayons quasi axiaux (u très petit). C’est l’image de A dans
l’approximation de Gauss.
95
Par exemple, pour observer cette nappe axiale, on place après le système [S] uniformément
éclairé un disque percé de petits trous disposés selon un diamètre. Les faisceaux issus de deux
trous symétriques par rapport à l’axe optique convergent en un point A’ de l’axe. On constate
que tous les points de convergence des faisceaux sont alignés sur l’axe.
96
5.2.2 Aberration sphérique transversale
Tous les rayons incidents situés dans un plan passant par l’axe le restent après avoir traversé le
système. En faisant tourner ce plan autour de l’axe du système, on rencontre tous les rayons du
faisceau, quel que soit l’angle u. Ces rayons émergents sont tangents à une surface engendrée
lors de la rotation du plan par une courbe [γ] qui présente un point de rebroussement en A’o
(image de Gauss). Cette surface est la deuxième nappe de la surface caustique, laquelle est
donc de révolution autour de l’axe optique. C’est la nappe tangentielle de la caustique, qui
présente donc une forme de calice ou de trompette.
97
5.2.3 Description de l’image et mesure de l’aberration de sphéricité
98
L'image du point objet A situé sur l'axe n'est pas un point mais une tache de diffusion
circulaire dont l'aspect dépend de la position de l'écran E par rapport à la lentille.
La figure précédente illustre ces différents aspects de l’image.
L’écran étant suffisamment éloigné, la tache observée est quasiment ponctuelle : c’est l’image
de Gauss. Si on rapproche l’écran de la lentille, on observe une tache centrale entourée d’un
cercle lumineux, dont le rayon augmente quand la distance entre l’écran et la lentille diminue.
À plus courte distance, la structure du faisceau lumineux disparaît. Quand l'écran est situé en
position (3) le diamètre de la tache de diffusion est minimum, celle-ci porte le nom de cercle
de moindre diffusion.
D’un point de vue pratique, l’aberration de sphéricité se manifeste par la répartition inégale
de la lumière dans les images observées dans des plans perpendiculaires à l’axe, de part et
d’autre de A’o (image paraxiale) pour un point objet A.
On décrit le phénomène d’aberration de sphéricité par deux longueurs :
La longueur l=A'mA'p de la nappe axiale mesure l'aberration sphérique longitudinale.
Le rayon t du cercle obtenu en coupant le faisceau par le plan de front de l’image paraxiale
A’o mesure l’aberration transversale de sphéricité pour le point objet A ; on a bien sûr :
t = l tan U '
99
Pour un système donné, les aberrations l et t dépendent de la position du point A. Lorsque A
est rejeté à l’infini, A’o vient en F’o (foyer principal image), A’m vient en F’m. Les aberrations
sont dites aberrations sphériques principales.
http://www.youtube.com/watch?v=E85FZ7WLvao&NR=1
http://uel.unisciel.fr/physique/optigeo/optigeo_ch16/co/apprendre_ch16_03.html
100
Front d’onde non sphérique produit par l’aberration sphérique d’une lentille
101
Taches images d’un point objet formés par un
système d’aberration sphérique négative (audessus), nulle (au milieu) et positive (en bas).
Vues longitudinales de la caustique de
réfraction formée par une lentille
présentant une aberration sphérique
négative (au-dessus), nulle (au milieu) et
positive (en-dessous). La lentille est située
à gauche dans tous les cas.
102
http://www.bokehtests.com/styled/
103
104
De telles distributions anormales de lumière peuvent se manifester dans les parties « hors
focus » d’une photographie. Par exemple, la figure ci-dessous montre le centre d’une cible
formée de points blancs sur un fond noir reproduite à l’échelle 1:1 avec un objectif de
85/1,4. Quand le film est 5mm derrière le « meilleur focus », le disque flou montre un bord
brillant. Quand le film est 5mm devant le foyer (c’est-à-dire plus près de l’objectif), le flou
se caractérise par un centre brillant et un halo diffus. Ici, l’aberration de sphéricité est surcorrigée.
105
Comparaison d’un système avec aberration de sphéricité à un système corrigé
Aucune paire de rayon ne se croise après le point de croisement des rayons centraux. Par
contre, la densité de rayons après ce point est moindre dans le cas aberrant que dans le cas
idéal. Le cercle de confusion est donc plus large après ce point (à droite) que dans la
théorie géométrique, et la brillance de la tache floue décroît de l’intérieur de la tache vers
l’extérieur. Inversement, avant ce point (à gauche), le cercle image est plus petit mais est
bordé d’une zone plus lumineuse.
Après le point de croisement des rayons centraux (à droite), le cercle image a une bordure
plutôt verte puisque les rayons de lumière qui focalisent le plus près de la lentille sont les
bleus et les verts (aberration chromatique). Par contre, avant ce point (à gauche), dans la
zone brillante, ce sont plutôt les rayons rouges.
106
Flou d’avant plan (à gauche) et d’arrière plan (à droite) obtenu avec le Sonnar
ZM 1,5/50, un objectif sous-corrigé pour l’aberration de sphéricité.
107
Différentes formes du bokeh
1. Mauvais bokeh : le bord, beaucoup plus lumineux que le centre, est très bien défini
2. Bokeh neutre : l'intensité est uniforme, le bord est bien défini
3. Beau bokeh : le centre est très lumineux, le bord est indéfini
L'étude de ces formes peut se faire grâce à une représentation, avec une courbe, de
l'évolution de l'intensité qui traverse le cercle. Le schéma ci-dessous nous montre le résultat :
108
Evolution de l’image d’une croix pour des distances de mise au point entourant la meilleure
mise au point. Le film est déplacé par pas de 1mm de 4mm avant le meilleur foyer (position
0mm) à 4mm après. L’aberration de sphéricité est responsable de l’aspect plus rugueux du flou
pour des distances négatives et plus doux après. Strictement parlant, les artefacts colorés
apparaissant avant et après le foyer ne devraient pas être qualifiés d’aberrations
chromatiques, comme cette aberration est définie seulement dans le plan du foyer, mais
la
109
cause est la même (phénomène de dispersion).
Diagrammes usuels pour présenter
l’aberration de sphéricité longitudinale :
l’axe vertical indique le point de départ
d’un rayon dans le plan de la pupille par la
mesure de la distance à l’axe optique, et
l’axe horizontal indique la variation de
position sur l’axe du point de focalisation
de ces rayons par rapport à celle des
rayons centraux. Le diagramme de gauche
montre un système fortement souscorrigé.
110
5.3 Corrections de l’aberration de sphéricité :
Puisque cette aberration est d’autant plus marquée que les faisceaux de rayons
entrants sont larges, on peut la réduire en diaphragmant. En effet, mathématiquement,
nous avons vu que les valeurs de Sx et de Sy décroissent quand n augmente.
D’autre part, comme Sx et Sy dépendent de la focale f’ (avec son signe), on peut
chercher à compenser l’aberration de sphéricité d’une lentille divergente par l’aberration
de sphéricité d’une lentille divergente. En fait, une lentille divergente « diverge plus au
bord qu’en son centre » : la caustique de réfraction prend la forme :
Un doublet formé d’une lentille convergente et d’une lentille divergente permet de
faire coïncider 2 foyers (par exemple le foyer paraxial et un rayon intermédiaire). Les
rayons de courbure et les indices des matériaux du doublet sont choisis de telle sorte
que les aberrations des deux lentilles convergente et divergente se compensent
exactement. La réalisation d'un doublet permet, si les indices et les rayons de courbure
sont judicieusement choisis, de corriger simultanément l'aberration chromatique et
sphérique.
111
On peut utiliser une lentille asphérique, c’est-à-dire dont l’une des faces n’est pas
une calotte sphérique. Il faut en fait usiner des lentilles dont la forme des surfaces
compensent le fait que sin θ n'est pas égal à θ sauf pour un angle de 0°, mais la
réalisation de surfaces asphériques est très complexe et par conséquent onéreuse.
112
Effet de l’utilisation de lentilles de contact
asphériques
113
le faisceau réfléchi par un miroir sphérique présente uniquement l’aberration de
sphéricité. On peut, dans le cas du miroir utilisé dans un télescope, diaphragmer le faisceau
non plus par le bord du miroir, mais par une ouverture circulaire dont le centre coïncide
avec le centre de courbure C du miroir. On corrige l’aberration principale en plaçant sur le
diaphragme une lame de Schmidt.
C’est une lame mince de forme circulaire, en verre ou en quartz, d’épaisseur non uniforme.
Une face est plane et l’autre légèrement creusée dans sa partie moyenne : le centre se
comporte comme une lentille convergente, la périphérie comme une lentille divergente. Il
en résulte que tous les rayons réfléchis coupent l’axe au même point : il y a donc
stigmatisme rigoureux.
La forme la plus utilisée est schématisée sur la figure
ci-contre. Dans ce cas, selon Schmidt, la petite
variation d’épaisseur ∆e à une distance h de l’axe est
telle que :
h4 − h2 ( D )2
2
∆e =
4(n − 1) R 3
où D est le diamètre de la lame, n son indice et R est
le rayon du miroir.
114
Pour une seule lentille, formée de deux dioptres de rayons de courbures R1 et R2, la
valeur des aberrations sphériques longitudinale et transverse dépend du facteur de
forme q défini de la façon suivante :
R + R2
q= 1
R2 − R1
Comme il y a une infinité de manières de choisir le couple de rayons de courbures pour
obtenir une focale f’ donnée, on peut sélectionner le couple de cambrures qui minimise l’une
ou l’autre des aberrations sphériques. Par exemple, l’aberration longitudinale est minimale
(pour un objet situé à l’infini et une image dans le plan focal) lorsque q ≅ 0,7 c’est-à-dire
quand R2=-6 R1.
Le facteur de forme q optimal dépend du couple de plans conjugués considérés. Ainsi, pour le
couple de plans conjugués situés à la position 2f-2f' (correspondants à la reproduction
grandeur nature) l'aberration sphérique est minimale lorsque la lentille est symétrique. 115
6 Aberration de coma (ou d’aigrette)
Dans le cas général, à l’aberration de sphéricité se superpose une aberration de coma. Mais
cette aberration n’apparaît vraiment dans un système que si l’aberration de sphéricité a été
corrigée (stigmatisme pour A et A’o).
6.1 Origine et forme de l’aberration
Cette aberration apparaît pour un faisceau large issu d’un point situé légèrement hors de l’axe
(donc y et h diffèrent de zéro ici). On va donc considérer un point B, situé sur la
perpendiculaire à l’axe passant par A, avec AB petit et un faisceau de grande ouverture.
Lorsqu’un système est stigmatique pour un couple de points de l’axe (A,A’) mais n’est pas
aplanétique pour ces points, les rayons provenant de B situé hors de l’axe enveloppent une
caustique admettant le plan méridien de B comme seul plan de symétrie.
La caustique se forme car la lentille sphérique
est plus convergente aux bords qu’au centre
(cf. aberration de sphéricité). Toutefois,
contrairement à l’aberration de sphéricité, la
caustique n’est cette fois plus de révolution
(=plus d’axe de symétrie). Les sections
perpendiculaires à l’axe optique de cette
caustique ne seront plus circulaires ; par
conséquent, la tache image d’un point sujet
présentera un aspect allongé caractéristique,
en forme de comète, d’où le nom donné à ce
116
type d’aberration.
Aberration de coma pour un objectif photographique
117
6.2 Exemples
Taches de diffraction théoriques obtenues pour l’image d’une étoile par un télescope de
Newton, montrant l’augmentation de la coma lorsque l’étoile s’éloigne du bord du champ.
Cliché de la galaxie M33 pris au foyer d’un
télescope de 256mm de diamètre et de
1187mm de distance focale (F/D= 4,6). C'est
une pose de 45mn sur TP2415 hypersensibilisé.
Il ne représente qu'une partie du cliché de
24x36mm et pourtant la coma est déjà sensible
sur les étoiles situées sur le bord de l'image de
la galaxie.
118
http://www.olympusmicro.com/primer/java/aberrations/coma/index.html
119
6.3 description générale de la forme de l’image
Pour comprendre l’origine de la forme de l’image, considérons un système dépourvu
d'aberrations sphériques formant l'image d’un point sujet B situé à faible distance de l'axe.
On peut décomposer la pupille d’entrée du système en imaginant sur la pupille un diaphragme
formé par un petit trou central T et un anneau de rayon h.
Les rayons paraxiaux passant par T forment une image ponctuelle B´0.
Les rayons transmis par l'anneau coupent le plan image du plan de mise (contenant le point
B´0) suivant une circonférence image de centre C´ (d’autant plus proche de B’0 que h est petit)
dont on montre que le rayon est r = B´0C´/2 (il diminue donc quand C’ se rapproche de B’0) ;
de plus, ce cercle est parcouru deux fois lorsque le point d'incidence du rayon décrit l'anneau
tracé sur la pupille.
120
http://www.youtube.com/watch?v=EXmaY2txEBo&NR=1
121
La pupille d’entrée entière est considérée comme une juxtaposition d'anneaux
concentriques à T.
Les circonférences de diffusion correspondantes sont homothétiques par rapport à B´0
et tangentes à deux droites formant un angle de 60°.
Leur ensemble, qui rappelle un peu une comète, est l'image d'un point lumineux en
présence de coma.
122
Lorsque le point objet B s’écarte de
l’axe, l’image présente les aspects
successifs indiqués sur la figure cidessous. Lorsque B est confondu avec
A, la section du faisceau est une
tache circulaire avec un point brillant
au centre (cas de l’aberration de
sphéricité). Quand le point B s’éloigne
de l’axe, le point brillant B’O se
déplace vers le bord de la tache qui
prend progressivement l’aspect d’une
comète.
Exemples de taches obtenues pour différentes places de l’écran
123
http://uel.unisciel.fr/physique/optigeo/optigeo_ch16/co/apprendre_ch16_04.html
124
6.4 Explication plus détaillée de la forme de l’image
Pour comprendre mieux le phénomène et la forme de l’image, on considère un
masque constitué d'un écran opaque percé de deux petits trous diamétralement
opposé, placé contre le système optique. Dans le plan image on observe un point de
convergence bien défini pour différentes positions angulaires du masque mais la
position du point image dépend des différentes positions angulaires du masque.
Le point 1 dans le plan image (figure c) est obtenu avec le masque en position 1 (figure b).
Une rotation du masque pour amener les deux trous en position 2 fait passer le point de
focalisation en 2 et ainsi de suite.
125
Par conséquent, une ouverture de forme annulaire (figure d) donne de la lumière répartie
sur un cercle image dont le diamètre dépend du rayon de l'anneau (figure e). Au niveau du
plan image, le cercle de plus grand diamètre est obtenu avec le masque annulaire de plus
grand diamètre. Lorsque ce masque est enlevé, une image ayant la forme d'une comète
(d'où le nom de « coma » donné à ce type d'aberration) est obtenue par la superposition
des différents cercles images résultant des différents masques a,b,c.
126
6.5 Corrections de l’aberration de coma
Pour corriger ce défaut, il est nécessaire (et suffisant) que les points conjugués A et A’
vérifient la relation d’Abbe :
n AB sin u = n ' A ' B 'sin u '
Dans le cas d’un objectif photographique, pour corriger à la fois l’aberration de sphéricité,
l’aberration de coma (et l’aberration chromatique), on peut disjoindre les deux lentilles qui
forment le doublet achromatique (achromat). Un tel doublet possède quatre degrés de liberté
(2 focales et deux cambrures arbitraires, une fois les focales fixées), et on impose quatre
contraintes (focale résultante du doublet, minimiser l’aberration chromatique longitudinale,
une des aberrations de sphéricité et l’aberration de coma). Une autre possibilité de correction
est d’utiliser un triplet de lentilles accolées (au lieu de deux lentilles disjointes).
Remarque : pour plus de liberté, on peut toujours utiliser aussi des verres de compositions
chimiques différentes.
L’objectif apochromatique est corrigé de l'aberration chromatique pour trois longueurs
d'onde, de l'aberration sphérique et de la coma
Un système optique corrigé de l'aberration sphérique et de la coma est donc dit aplanétique.
Un tel système permet d'obtenir pour des objets transversaux de petites dimensions de
bonnes images même pour des rayons fortement inclinés par rapport à l'axe optique.
Typiquement un objectif de microscope est aplanétique.
127
Le défaut de coma s’observe avec un miroir parabolique, rigoureusement stigmatique pour
le couple de points conjugués formé du point de l’axe à l’infini (A∞) et du foyer (F’) mais non
pour les autres points (même les points à l’infini, comme B ∞). Le miroir n’est aplanétique
pour aucun couple.
128
Aberrations géométriques de sphéricité et de coma
http://subaru2.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/optigeo/rayons.html
129
7 Aberrations de champ
Les instruments à grand champ objet, comme les objectifs photographiques grands
angulaires ou les objectifs de projection sont fortement diaphragmés pour que les
faisceaux utiles issus des points objets écartés de l’axe soient des pinceaux étroits desquels
les rayons paraxiaux sont éliminés.
Le système optique est supposé corrigé des aberrations d’ouverture ; les conditions de
Gauss sont satisfaites pour les points axiaux et quasi axiaux. Le stigmatisme approché est
réalisé pour ces points de la partie centrale de l’objet étendu.
Les images des autres points sont d’autant plus défectueuses qu’ils sont écartés de l’axe.
Dans ces conditions, les défauts de l’image sont l’astigmatisme, la courbure de champ et la
distorsion.
130
7.1 astigmatisme
L’aberration d’astigmatisme se manifeste particulièrement sur l’image d’un objet structuré,
par exemple une mire quadrillée ou mieux, une roue à rayons ; si la mise au point est faite
sur les rayons de la roue, la roue en elle même présente un flou maximum et
réciproquement :
Cette constatation implique que des rayons
lumineux voyageant dans des plans sujets
aux orientations différentes ne sont pas
déviés de la même manière par l’objectif et
focalisent à des distances différentes au long
de l’axe optique de l’objectif :
131
L'astigmatisme a pour conséquence que la netteté dépend de la direction des détails
photographiés.
Cet effet est plus visible sur les bords de l'image (comme l’astigmatisme dépend de la variable
de champ y2).
Un changement de mise au point permet d'obtenir l'une ou l'autre des directions nette, mais
pas les deux à la fois.
L'astigmatisme se traduit par une détérioration de la qualité de l'image et dans les cas
extrêmes, par un aplatissement des images des points lumineux.
Diaphragmer permet de réduire ce problème (puisque l’astigmatisme dépend de la variable
d’ouverture h) mais pas de l'éliminer.
132
Illustration du phénomène d’astigmatisme de l’œil
133
Pour rendre compte de cette différence de mise au point selon la direction des rayons dans
l’espace sujet, considérons la réfraction par un premier dioptre sphérique (centré en C1) de
différents rayons issus d’un point objet P, situé hors axe optique. Appelons rayon principal
le rayon PO.
Si on envisage des rayons se propageant dans le plan (yz) (ce plan, contenant l’axe optique
et le rayon principal oblique est appelé plan sagittal ou méridien), ces rayons rencontrent
le dioptre sphérique selon un arc de grand cercle (c’est-à-dire un méridien) de rayon R=C1B
(ce sont les rayons représentés en noir, s’appuyant sur les extrémités du diaphragme).
Par contre, des rayons issus de P et se propageant dans un plan perpendiculaire au plan
sagittal, et contenant le rayon principal oblique (ce plan est appelé plan tangentiel)
rencontrent la surface du dioptre sphérique selon un arc de petit cercle (un parallèle) de
134
rayon r=CA inférieur à R=C1B sur le schéma.
135
Comme mentionné dans l’introduction, le phénomène d'astigmatisme provient du fait
que les rayons contenus dans le plan tangentiel ne convergent pas à la même distance du
système optique que les rayons contenus dans le plan sagittal.
En fait, les rayons de lumière qui se propagent dans la surface sagittale vont être moins
réfracté que les rayons qui se propagent dans la surface tangentielle (l’image tangentielle
P’T se formera avant l’image sagittale (ou méridienne) P’S=P’M).
Ceci peut s’expliquer par le fait que pour une lentille, formée de deux dioptres accolés, la
distance focale est reliée aux rayons de courbure par la formule du fabricant :
1
1 1 
= (n − 1)  − 
f'
 R R'
136
137
Description de l’image d’un point sujet en présence d’astigmatisme
Coupons le faisceau réfracté par un plan perpendiculaire au rayon image moyen. Les
sections obtenues sont sensiblement des droites S´ et T´ dites focales sagittale et
tangentielle. Entre ces deux droites, la section du faisceau est une tache de diffusion
elliptique, qui se réduit à un petit cercle C´ pour un plan de mise au point situé sensiblement
à mi-distance de S´ et de T´. Ce cercle, la meilleure image que l'on peut obtenir d'un point,
est le cercle de moindre diffusion (ou la pseudo image).
138
Modifications de la tache de diffraction idéale dues à l’astigmatisme
139
140
141
142
Dans l'astigmatisme, les foyers des images sagittales et tangentielles ne
coïncident pas dans la zone de moindre confusion. L'image d'un objet
circulaire prend alors la forme d'une croix.
Mise au point d’un télescope astigmate
143
144
Les images des étoiles ne sont pas ponctuelles mais présentent des aigrettes. Les grandes
aigrettes, qui ne sont pas à symétrie de révolution autour de l’axe optique, sont dues à la
diffraction de la lumière sur l’araignée du télescope, les plus petites aigrettes, présentant145
une
symétrie de révolution, sont dues à l’astigmatisme.
Mise en évidence de l’astigmatisme de l’objectif Carl Zeiss Planar 1.4/50
Mise au point au centre du champ ;
on note la dégradation des croix vers
le bord du champ, surtout dans la
direction tangentielle (/ sur croix 3),
moins dans la direction sagittale (\
sur croix 3).
Pour un déplacement du plan image
de 1,5 mm, on note que la barre
sagittale 3s (\) est tout à fait nette
maintenant, de même que la barre
tangentielle 2T (/).
146
Un déplacement de 4,5 mm du plan
image amène le foyer tangentiel en 3T.
Toutes les directions sagittales sont
floues.
147
Les rayons se propageant dans des plans intermédiaires entre le plan sagittal et le plan
tangentiel vont être réfractés vers un point intermédiaire entre P’T et P’S =P’M: le point objet
P aura donc une infinité d’images, réparties sur le segment P’TP’S. Selon la position de l’écran,
on aura donc une tache image de forme différente :
Si l'écran est positionné à proximité de l'image sagittale P’S, l'image du point apparaîtra
comme une ellipse très fortement aplatie de grand axe contenu dans le plan tangentiel. Si
l'écran est positionné au voisinage de l'image méridienne (ou sagittale) P’M, l'image du point
est une ellipse de grand axe contenu dans le plan tangentiel. La distance entre ces deux
images s'appelle la distance d'astigmatisme. Elle dépend fortement des couples de plans
148
conjugués considérés et de la distance du point objet à l'axe.
149
Mise en évidence de l’astigmatisme d’un objectif Planar 1,4/50 ouvert à 1,4 et mis au
point au centre.
http://www.ub.edu/javaoptics/applets/UllCa.html
http://www.microscopyu.com/tutorials/java/aberrations/astigmatism/
150
7.2 Courbure de champ
C'est une aberration essentiellement de champ qui provient du fait que l'image d'un objet
plan de grande dimension se forme sur une surface paraboloïdale et non sur un plan.
L'écart dx' varie comme la dimension au carré de l'objet (y2) et en fonction du rayon
d’ouverture h.
Pour comprendre l’origine de cette déformation, considérons , par exemple, une lentille
plan-convexe fortement diaphragmée :
Sur le conjugué du rayon issu de B sont situées les
focales sagittale S´, tangentielle T´ et le cercle de
moindre diffusion C´. Lorsque B décrit le plan de
front objet, S´, T´ et C´ s'appuient sur des surfaces
de révolution tangentes entre elles sur l'axe. Le
lieu de C´, constitue la meilleure image d'un objet
plan et, en général, s'écarte du plan normal à l'axe
passant par A´. Cette aberration est la courbure de
champ.
151
.
L’image d’un plan n’est pas un plan, mais une surface sphérique concave (lentille
convergente) ou convexe (lentille divergente).
http://uel.unisciel.fr/physique/optigeo/optigeo_ch16/co/apprendre_ch16_05.html
http://www.microscopyu.com/tutorials/java/aberrations/curvatureoffield/index.html
152
Un effet de la courbure de champ est qu’un film placé exactement sur le plan image capture
une image dont le milieu est net, mais les bords flous dû au fait que les rayons lumineux se
rencontrent en aval du plan.
Si on modifie la mise au point (et ainsi la position du film par rapport au plan image) on peut
obtenir les bords nets, mais c'est le centre qui sera flou.
L’image de droite par exemple, perd de sa netteté sur les bords de l'image alors que celle de
gauche est nette aux bords, mais pas au centre.
153
L'objectif d'un microscope ne sera en général pas corrigé de la courbure de champ lors
d'une observation visuelle car l'expérimentateur peut facilement ajuster la distance de
mise au point pour une observation au bord du champ.
Par contre pour réaliser de la microphotographie l'objectif aplanétique devra être corrigé
aussi de la courbure de champ. Ces objectif sont dits plans.
Pour une lentille convergente le rayon de courbure de la surface paraboloïdale est
négatif ; pour une lentille divergente le rayon de courbure de la surface paraboloïdale
est positif. Ici encore, pour corriger cette aberration, on associe lentilles convergentes et
divergentes.
154
7.3 Correction de l’astigmatisme et de la courbure de champ
La correction de l’astigmatisme et de la courbure de champ est très complexe et n’a pu être
atteinte de façon satisfaisante que grâce au développement considérable des nouveaux verres
optiques et aux méthodes de calcul numérique. On parle alors d’objectifs anastigmats.
Toutefois, de nombreux objectifs actuels dérivent des tout
premiers anastigmats, comme le triplet de Taylor, développé
par Taylor en 1893, qui fournissait une netteté remarquable
pour l'époque. En théorie, pour cet objectif, la courbure de
Petzval permet de corriger au mieux les aberrations,
notamment l'astigmatisme, à l'aide, comme c'est ici le cas, de
seulement trois lentilles. Cependant, la plupart des objectifs
actuels dérivant de ce type possèdent au moins quatre
lentilles. L'utilisation combinée de trois types de verre à
constringence différente permet une réduction notable de
l'aberration chromatique (pas d’achromat ici).
L'anastigmat le plus célèbre est le Tessar , qui a été mis au
point par Rudolph en 1902. Il a été longtemps surnommé par
ses utilisateurs « l'œil d'aigle », en raison du pouvoir
séparateur de cet objectif. Il dérive du triplet de Taylor, où la
dernière lentille a été savamment remplacée par un
achromat. Cette combinaison a l'avantage de réduire
l'aberration chromatique et la courbure de Petzval sans pour
autant augmenter l'aberration sphérique et la coma.
155
Notons encore que les objectifs classiques sont corrigés pour des mises au point sur
l’infini, ce qui donne ne général des résultats valables dans le domaine de la photo
normale.
Pour les objectifs d’emploi particulier, les corrections sont effectuées pour des
distances correspondant aux conditions normales d’emploi.
Deux configurations correspondant à des
anastigmats modernes.
156
157
158
159
160
Complete removal of astigmatism is difficult, but can occur in optical systems when the two
curves, S and T, become flatter and coincide (Figure 3(c)), and the image is then formed in a
region near the Petzval surface (P).
161
8 Distorsion
8.1 Aspect de la distorsion
La distorsion, aberration uniquement fonction de la position du point objet dans le champ
(aberration de champ, terme en y'3), n'affecte pas la qualité de l'image d'un point. L'image
d'un point sujet reste ponctuelle, seule la position du point image est modifiée.
La distorsion provoque une déformation globale de l'image, de sorte qu'un objet carré
apparaît dans l'image sous la forme d'un coussinet ou d'un barillet. Tout se passe comme
si le grandissement dépendait de la distance du point objet à l'axe optique.
Distorsion en barillet
Distorsion en coussinet
(ou en croissant)
162
Distorsion en barillet
Distorsion en coussinet
http://www.microscopyu.com/tutorials/java/aberrations/distortion/index.html
163
8.2 Mesure de la distorsion
Si on appelle l la flèche maximale de la déformation de l’image de la mire de largeur L, la
distorsion se mesure par la quantité dt définie par :
Les distorsions sont en général comprises entre -2% et +4% selon les objectifs.
164
Distorsion d’une grille en barillet ou en coussinet
165
On affirme souvent que des valeurs négatives du taux de distorsion (noté D ici) correspond à
une distorsion en barillet (barrel) et que des valeurs positives correspondent à une distorsion
en coussinet (pincushion). C’est vrai pour des courbes de distorsion simple, mais certains
objectifs ont des courbes de distorsion plus complexes, qui ne suivent pas cette règle simple.
Considérons par exemple le Distagon 2,8/21 qui donne
d’une grille l’image avec distorsion ci-contre, décrite
par la courbe de la figure ci-dessous. Même si la
courbe de distorsion (figure A ci-dessous) est négative
partout (ce qui est généralement associé à une
distorsion en barillet), l’étude de la grille révèle de la
distorsion en croissant vers les coins.
Courbe de distorsion (A) pour le Distagon 2,8/21 et
sa dérivée (B)
En fait, ce n’est pas le signe de D qui
détermine le type de distorsion mais
la pente de la courbe de distorsion.
Une pente négative (partie claire à
gauche de la courbe A) correspond à
une distorsion en barillet et une
pente positive (partie sombre à
droite de la courbe B) correspond à
une distorsion en croissant. Plus la
pente est importante, plus la
distorsion est grande.
166
Les figures précédentes montrent donc que jusqu’à 15mm du centre de l’image, la distorsion
est en barillet (pente négative). De 15mm au bord de l’image, la distorsion est en croissant
(pente positive). Comme cette dernière pente est plus raide que la première, la distorsion
périphérique en croissant est plus marquée que la distorsion centrale en barillet. C’est donc
la pente de la courbe qui indique le type et l’importance de la distorsion.
Mathématiquement, la distorsion varie avec la distance h selon la formule :
h'–h = ah3 + bh5 + ...
La variation relative D est donc du type :
D=(h'–h)/h = ah2 + bh4 +…
Le coefficient a est positif pour une distorsion en croissant et négatif pour une distorsion en
barillet. Habituellement, le terme quadratique domine les autres termes, dégradant
progressivement l’image vers les bords quand h augmente ; mais dans certains grands
angles (comme le Distagon cité avant), le terme quartique devient suffisamment grand pour
dominer le terme quadratique. Cela conduit à la courbe de distorsion décrite
précédemment, que l’on qualifie de distorsion en moustache ou en forme d’onde.
167
8.3 Origine de la distorsion
Ces déformations de l’image sont dues au fait que le rapport de grandissement G n’est pas
le même pour les points éloignés de l’axe optique que pour les points situés au voisinage de
cet axe.
La distorsion provient des aberrations de sphéricité résiduelles.
En effet, soit une lentille L diaphragmée en P. Prenons pour objet un point du quadrillage
régulier centré sur l'axe optique et éclairé par une source ponctuelle située à l'infini. La
grandeur de l'image y´ d'un objet y est déterminée par la relation paraxiale G = y´/y. La
lentille étant entachée d'aberration sphérique résiduelle, le rayon conjugué du rayon
parallèle à l'axe cheminant à une hauteur d'incidence y ne passe pas par le foyer paraxial,
l'image de B n'est pas l'image paraxiale B´0, mais un point B´. La distance B´0B´ est fonction
de y ; dans le cas de la figure ci-dessus, G a augmenté puisque B’ est situé plus loin de
l’axe que B’0 : la distorsion est en coussinet. Dans d'autres cas, si G diminue, la distorsion
168
peut être en barillet.
8.4 Distorsion en fonction de la position du diaphragme
En fait, la modification du rapport de grandissement G est lié à l’emplacement du
diaphragme principal par rapport au centre optique de l’objectif : une distorsion en
barillet correspond à un diaphragme placé en avant du centre optique, tandis qu’une
distorsion en coussinet apparaît lorsque le diaphragme est placé après le centre optique.
Si le diaphragme est placé en avant du centre optique :
En l’absence d’aberration de sphéricité résiduelle, le rayon BM serait réfracté selon la
direction MD’c (passant par l’image paraxiale B’ du point B)
À cause des aberrations de sphéricité résiduelles, le rayon BM qui atteint la lentille sur
une zone marginale va se réfracter plus fort pour rencontrer l’axe optique en D’m, image
marginale de D.
Par conséquent, A’B’’<A’B’ et le grandissement G a diminué : la distorsion est en barillet.
169
Si le diaphragme est placé après le centre optique :
Dans ce cas, l’image obtenue A’B’’ est plus grande que l’image A’B’ non déformée. Le
grandissement G a donc augmenté : la distorsion est en coussinet.
170
http://uel.unisciel.fr/physique/optigeo/optigeo_ch16/co/apprendre_ch16_06.html
171
8.5 Correction de la distorsion
On dit que l’on a réalisé l’orthoscopie lorsqu’un objectif est corrigé pour la distorsion. En
pratique, pour obtenir l’orthoscopie, lorsqu’on a éliminé au maximum les aberrations de
sphéricité pour un objectif, on peut encore tenter de réduire la distorsion par une des
techniques suivantes :
Pour un objectif symétrique : puisque la distorsion dépend de l’emplacement du
diaphragme et qu’un diaphragme placé en avant d’un groupe de lentille cause une
distorsion opposée à celle d’un diaphragme placé en arrière d’un groupe de lentilles, on
peut compenser l’aberration en coussinet du groupe de lentilles placé avant le
diaphragme d’un objectif symétrique par l’aberration en barillet du groupe de lentilles
placé après le diaphragme. En pratique, l’orthoscopie est réalisée pour un rapport de
grandissement, mais la correction s’avère suffisante pour toutes les autres valeurs de G
pour lesquelles on peut utiliser l’objectif.
Pour un objectif hémi symétrique : le principe de correction reste le même (un objectif
hémi symétrique est un objectif tel que les deux moitiés entourant le diaphragme sont de
dimensions différentes, mais géométriquement semblables).
Pour un objectif dissymétrique : de nombreux anastigmats modernes sont
dissymétriques. Ces objectifs sont conçus pour réaliser l’orthoscopie pour des faisceaux
d’une obliquité donnée par rapport à l’axe optique. En général, la correction est suffisante
pour les autres inclinaisons de rayons.
172
173
174
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176
177
178
9 Aberrations et polynômes de Zernike
La surface idéale d’un front d’onde plan
qui est passé au travers d’un instrument
convergent est une sphère centrée sur le
point focal. L'instrument transforme
donc le front d'onde plan en front
d'onde sphérique de rayon égale à la
focale de l'optique.
A cause des aberrations, la surface réelle
n'est pas une sphère parfaite, et il a
donc fallu trouver une méthode pour
mettre en équation cette surface afin de
pouvoir analyser les écarts qu’elle
présente par rapport à la sphère idéale.
179
Fritz Zernike a créé un modèle basé sur le développement d’un polynôme qui lui prend en
compte les principales aberrations optiques et leur affecte des termes spécifiques. Il est donc
possible de modéliser une surface d’onde circulaire et de la décomposer en une série de
polynômes correspondant chacun à une aberration élémentaire.
Notons que la surface qui est modélisée est celle des différences du résultat réel qui provient
de l’instrument par rapport à la sphère idéal. La surface d’un résultat parfait est donc un plan,
pas une sphère.
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187
On sait calculer la déformation induite par chaque polynôme sur l'image d'une étoile. Les
tableaux suivants donnent ces déformations de l'image d'une étoile vue en intrafocale, au
point et en extrafocale. Les images en intra et extrafocale sont données avec un décalage de
mise au point de 5 longueurs d'onde.
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190
191
10 Contrôle des défauts des objectifs : résolution et fonction de
transfert de modulation (FTM) d’un objectif photographique
10.1 résolution (ou pouvoir résolvant) d’un objectif photographique
La qualité d’une image donnée par un objectif photographique se voit au premier coup d’œil
par la finesse des détails que l’on peut observer.
En particulier, les images des traits noirs ou des courbes noires du sujet doivent être nettes au
travers de l’objectif.
Pour contrôler la qualité d’un objectif, on utilise une mire comportant un ensemble de traits
noirs ou de cercles noirs d’épaisseurs et d’espacements différents.
Pour une barre noire unique de largeur d, la variation de luminance du sujet s’exprime par une
fonction créneau de la distance, le créneau ayant une largeur d :
192
L’objectif photographique parfait, qui donnerait une image dont la variation de luminance
serait un créneau, n’existe pas.
L’image fournie par un objectif photographique réel, par suite de l’existence des aberrations,
n’est pas conforme au sujet, et la variation de luminance est représentée par une courbe
continue, sans bord abrupt, qui peut différer fortement du créneau initial :
Les figures a et b correspondent aux variations de luminance de l’image d’une barre noire
donnée par deux objectifs : la courbe a correspond à un objectif de meilleure qualité que celui
caractérisé par la courbe b. En effet, plus les bords du créneau sont arrondis, moins l’objectif
est bon.
En fait, le minimum lm de luminance est supérieur à la valeur correspondante pour le créneau
(qui peut être nulle) ; il y a également un élargissement en x de l’image par rapport à la barre
initiale. Enfin, il y a aussi diminution de l’écart de luminance entre le blanc et le noir du
193
créneau (L0-lm<L0). Le contraste de l’image donnée par l’objectif est donc affaibli.
Pour définir le pouvoir résolvant, on considère maintenant une mire comportant un
ensemble de barres noires et blanches régulièrement alternées. Soit d la largeur d’une
barre.
La luminance de ce sujet en fonction de la distance est représentée par une fonction en
« onde rectangulaire » :
Une telle mire présente une période spatiale p :
p = 2d (en mm)
et une fréquence spatiale ν :
ν=
1
1
=
p 2d
(en cycles/mm)
194
Un objectif photographique donne de cette mire une image dont la variation de luminance par
rapport à la distance est représentée par une courbe continue périodique :
Si, avec le même objectif, on réalise l’image d’une mire dont la période spatiale p est plus
petite (c’est-à-dire de fréquence spatialeν plus grande), l’écart h de luminance entre les
maxima et les minima est encore plus réduit.
Il existe une valeur limite minimale pmin pour la période (et donc une valeur limite maximale
νmax pour la fréquence) pour laquelle cet écart devient négligeable et n’est plus perçu par
l’œil.
195
On observe alors dans l’objectif un fond continu gris : il y a confusion des images des barres
noires et blanches.
Soit pmin la valeur de la dernière période de la mire pour laquelle les images des traits de la
mire ne disparaissent pas encore dans un fond gris continu.
On appelle pouvoir séparateur d’un objectif la quantité s définie par :
1
s=
pmin
(en cycles/mm)
Le pouvoir séparateur est le nombre maximal de cycles que l’on peut distinguer dans un
millimètre d’image. Cette quantité s’appelle aussi la résolution ou la définition de l’objectif.
Pour déterminer pratiquement le pouvoir séparateur d’un objectif, il faut étudier la
variation spatiale de la luminance dans le plan de l’image à l’aide d’un microscope.
196
Mire USAF pour mesurer le pouvoir résolvant d’un objectif
197
10.2 Facteurs de variation du pouvoir résolvant
Le pouvoir résolvant dépend du contraste de la mire.
Si l’ouverture de l’objectif diminue, c’est-à-dire si l’indice de diaphragme augmente,
certaines des aberrations géométriques s’atténuent ou disparaissent (cf. aberration de
sphéricité, de coma) et le pouvoir séparateur augmente.
Exemple : pouvoir séparateur d’objectifs à focale variable
198
La résolution d’un objectif n’est pas la même en tous les points de l’image.
Ainsi, la résolution est meilleure au centre que sur les bords.
En général, les valeurs données sont des moyennes qui peuvent être déterminées par
exemple à partir de sept points caractéristiques de l’image :
Les différences entre le centre et les bords sont souvent importantes, mais s’atténuent
lorsqu’on diaphragme (en raison de la diminution des aberrations géométriques) : par
exemple,
ouverture
variation centre/bords
n=8
20%
n=2,8
40%
pleine ouverture
70 à 95%
199
10.3 Insuffisance du pouvoir résolvant
En raison de ces nombreux facteurs de variation, le pouvoir résolvant s’avère insuffisant
pour décrire complètement l’aptitude d’un objectif à reproduire les détails du sujet.
Par exemple, la qualité visuelle d’une image dépend bien sûr de l’objectif, mais aussi du
contraste de cette image. Or l’objectif modifie le contraste. Si l’on veut tenir compte de
cette modification, la connaissance du pouvoir séparateur est insuffisante. On peut ainsi
obtenir une image où les traits sont séparés mais sans noir et sans blanc, avec des gris
sombres et clairs. Une telle image est visuellement mauvaise.
C’est pourquoi il convient d’introduire, comme pour les émulsions photographiques, un
outil mathématique plus évolué pour décrire les performances des objectifs vis à vis de
la reproduction des détails ; cet outil est la fonction de transfert de modulation.
Remarque de vocabulaire : dans la pratique, on utilise aussi le terme de piqué pour
caractériser un objectif. On dit ainsi d’un objectif qu’il a un « bon piqué » lorsque sur
l’image on observe des traits d’une grande finesse et des points bien séparés. Cette
grandeur visuelle subjective va aussi pouvoir être mesurée objectivement par la FTM.
200
10.4 fonction de transfert de modulation (FTM) d’un objectif photographique
Reprenons les mires en créneaux utilisées pour définir et mesurer le pouvoir résolvant.
Soit h la différence des ordonnées des maxima et des minima de luminance sur l’image
donnée par l’objectif, et soit H la différence totale de luminance entre le fond blanc et le
fond noir de la mire originale.
On appelle taux de modulation ou facteur de transfert de modulation la quantité t définie
par:
t (en %) =
h
.100
H
Comme pour les émulsions, le taux de modulation est un rapport entre une modulation
apparente (la différence de luminance vue dans l’objectif) et une modulation incidente,
réelle (la différence de luminance de la mire) ; ce taux de modulation mesure donc la
réponse de l’objectif vis-à-vis d’une sollicitation.
201
On appelle fonction de transfert de modulation (FTM) de l’objectif la relation fonctionnelle qui
associe un taux de modulation à une fréquence spatiale (variable) de la mire :
FTM : ν (cycles/mm) → t (%)
Graphiquement, elle se représente
par une courbe décroissante du
type :
Observations :
Lorsque la fréquence spatiale est faible, le taux de modulation est grand, voisin de 100%, la
réponse est bonne.
Lorsque la fréquence est grande, le taux de modulation diminue, l’image se dégrade.
Le taux de modulation s’annule pour une fréquence fc appelée fréquence de coupure de
l’objectif. Cette fréquence de coupure est reliée au pouvoir résolvant de l’objectif.
Le tracé de la courbe qui représente sa fonction de transfert de modulation renseigne bien
mieux sur le comportement d'un objectif que la simple mesure du pouvoir séparateur.
Ce dernier correspond à l’abscisse du point de la courbe où les informations disparaissent,
202
mais n'indique rien de ce qui peut se passer auparavant.
Procédure expérimentale pour relever la FTM d’un objectif
Pour relever cette fonction de transfert de modulation, on utilise une mire dont les traits de
plus en plus serrés ne sont plus alternativement noirs et blancs, mais oscillent selon une loi
sinusoïdale entre ce que nous appellerons arbitrairement le « noir pur » et le « blanc pur »,
en passant par toute la gamme des gris.
L'image d'une telle mire produite par un objectif à tester aura l'aspect montré ci-dessous. Le
contraste est presque inchangé pour les faibles fréquences spatiales mais il diminue au fur
et à mesure que les lignes se resserrent jusqu'à donner finalement une plage presque
uniforme où l'on ne peut plus distinguer aucun détail. Les teintes n'oscillent plus entre le
« noir pur » et le « blanc pur » mais entre deux gris de plus en plus proches au fur et à
mesure que la fréquence spatiale augmente.
203
Tout ceci peut se mettre sous la forme d'un graphique semblable au suivant :
La courbe en trait fin montre que la
densité de la mire oscille entre deux
valeurs extrêmes, tandis que la zone
grisée représente la densité de l'image.
Sur le graphique, Ao est l'amplitude
constante des variations de densité de la
mire et A l'amplitude variable des
densités de l'image. Le taux de
modulation correspond au rapport A/Ao :
il diminue progressivement lorsque les
traits se resserrent ; il caractérise la
dégradation progressive du contraste de
l'image et permet d'évaluer l'aptitude
éventuelle de l'objectif testé à fournir
des images riches en détails visibles. Il
ne sert en effet à rien qu'un objectif
donne des images très fouillées si elles
sont trop peu contrastées pour que l'œil
puisse en distinguer les éléments.
204
205
Exemples et comparaison des courbes FTM de trois objectifs.
Plus la courbe est haute, meilleure est la réponse de l’objectif, et meilleure sera
l’impression subjective de netteté. On voit qu’un objectif dont le pouvoir séparateur
est élevé peut ne donner qu’une image relativement médiocre parce que celle-ci
manque de contraste dans ses détails (courbe C : bonne résolution, puisque la courbe
ne descend pas à zéro avant 100 cycles/mm mais mauvais contraste). En revanche, un
autre objectif qui ne sépare pas plus de 30 cy/mm donnera une image visuellement
piquée si son contraste est encore de 70% pour cette fréquence spatiale. La courbe A
correspond à un objectif de bonne résolution et de bon contraste. La courbe B
correspond à un objectif de mauvaise résolution et un excellent contraste (il paraîtra
206
sans doute meilleur que A).
Un exemple : FTM d’un objectif de focale fixe 2,8/135 mm pour différentes ouvertures.
D'une manière générale cet objectif ne permet d'obtenir à pleine ouverture que des images
assez « molles », surtout sur les bords (car les courbes descendent vite). En diaphragmant, la
qualité croît assez vite dans la zone centrale pour devenir optimale à partir de 8. Par contre
l'image reste très longtemps médiocre sur les bords et il faut atteindre 11 pour que sa qualité
devienne relativement homogène sur tout le champ. Les valeurs n'ont pas été données audelà de cette valeur, vraisemblablement parce que les résultats se dégradent très rapidement
à cause de la diffraction.
Remarque : les termes radial (ou sagittal) et tangentiel font référence aux deux plans sujets
particuliers dans lesquels se propagent les rayons, mais ils ne correspondent 207pas
nécessairement à ceux utilisés dans la description usuelle de l’aberration d’astigmatisme.
208
10.5 Taux de modulation en fonction de la position du point image
L’étude statistique des photographies montre que toutes les fréquences spatiales n’ont pas
la même importance. Certaines ne s’observent jamais sur une photographie. On est donc
amené à déterminer un intervalle de fréquences privilégiées qui jouent un rôle plus
important que les autres. Cet intervalle encadre une fréquence repère : la fréquence
sensible fs qui est de l’ordre de 20 traits/mm.
De plus, comme le pouvoir résolvant, la fonction de transfert de modulation dépend du
point de l’image où on la mesure. Pour un objectif, plutôt que d’avoir la FTM en un point, il
est parfois préférable d’avoir la variation du taux de modulation en plusieurs points de
l’image pour une fréquence sensible fixée.
Taux de modulation en fonction de la distance
(pour une fréquence spatiale fixée)
209
Exemple : variation du taux de modulation dans le plan image (données Canon pour les
objectifs équipant ses boîtiers numériques EOS 10D, D, 1Ds)
Les huit courbes expriment les variations
de la FTM du centre (distance égale à
zéro) vers les bords de l’image (20 mm),
selon les critères suivants : à pleine
ouverture et à f8, pour une fréquence
spatiale de 10 cy/mm et de 30 cy/mm,
dans le plan sagittal (S) et dans le plan
méridien (M).
Le contraste et la résolution de l’image
formée par l’objectif sont d’autant plus
élevés que la courbe 10 cy/mm est
proche de 1.
Le pouvoir séparateur et le piqué de
l’objectif sont d’autant meilleurs que la
courbe de 30 cy/mm est proche de 1.
210
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