Hautes Etudes de Management – Rabat - E

HEM
Matière : Recherche opérationnelle
Année :
2008 / 2009
Professeur :
T. Benkaraache
Fiche1
exercices et études de cas
Fiche 1 : Décision en avenir certain
(Programmation linéaire)
Objectifs : Modéliser un problème sous forme linéaire, déterminer les solutions réalisables et
les solutions optimales à l’aide du solveur . Application à la planification de la production et
autres domaines.
Exercice 1 (programme de fabrication)
Un fabriquant commercialise deux types de caisses C1 et C2. Pour réaliser une caisse de
type C1, il faut 20 Kg de bois, 20 clous, 10 vis et 1h 30 mn de main-d’œuvre; Pour réaliser
une caisse de type C2, il faut 10 Kg de bois, 40 clous, 10 vis et 1h de main-d’œuvre. Le
fabriquant dispose de 3,6 tonnes de bois de 9000 clous, de 3000 vis et de 360 h de maind’œuvre par semaine. Les caisses C1 et C2 sont vendues avec respectivement 125 Dh et
100 Dh de bénéfice.
Travail à faire:
1. Donner sous forme canonique le programme de fabrication qui procure un bénéfice
maximal.
2. Déterminer à l’aide du Solveur le bénéfice maximal réalisé et le nombre d’heures de maind’œuvre nécessaires pour ce programme.
3. Si la quantité de bois disponible par semaine est de 7,5 tonnes, que devient alors la valeur
du bénéfice maximal?
Exercice 2 (Utilisation optimale des ressources en Production)
Une petite entreprise fabrique et commercialise deux types d’objets artisanaux M1 et M2 à
l’aide d’une machine unique. On vous demande de lui déterminer le nombre d’objets à
fabriquer pour chaque type d’objets pour optimiser son profit mensuel. Pour cela, l’entreprise
vous communique les informations suivantes:
Pour pouvoir écouler toute sa production sur le marché, et d’après son expérience
personnelle, l’entreprise ne doit pas produire plus de 4 900 objets de type M1, ni plus de 5
400 objets de type M2.
D’autre part, la machine de l’entreprise nécessite des réglages systématiques ainsi qu’un
entretien rigoureux, ce qui limite sa disponibilité mensuelle à 200 heures de fonctionnement.
Cette même machine produit en moyenne 35 objets M1 par heure et 45 objets M2 par heure.
Chaque objet doit être vérifié avant sa commercialisation, 3 techniciens sont chargés de cette
mission et travaille chacun 170 h / mois. La vérification prend 4 mn pour un objet M1 et 3
mn pour un objet M2.
En ce qui concerne la vente actuelle des objets, un objet M1 rapporte en moyenne 60 DH et
un objet M2 rapporte 40 DH.
Travail à faire :
1) Modéliser ce problème sous forme d’un problème linéaire (P1).
2) Combien d’objets de chaque type doit-on produire pour maximiser le profit mensuel de
l’artisan ? Utiliser le Solveur.
Exercice3 (Programme de production)
Une entreprise fabrique et vend deux produits A et B à partir de deux facteurs de
production P1 et P2. Il faut 3 P1 et 5 P2 pour fabriquer un article A, 8 P1 et 2 P2 pour
fabriquer un article B. La capacité hebdomadaire est de 61 P1 et 45 P2.
Les marges sur coûts variables sont de 29 DH pour A et de 32 DH pour B.
1) Quel est le programme de production hebdomadaire qui maximise la marge sur coût
variable Z ? (utiliser le solveur).
2) Si on disposait de 65 P1 par semaine, quelle serait la valeur optimale de Z ?
Exercice 4
Une société fabrique deux produits X et Y. Les marchés de ces produits peuvent être
considérés comme illimités pour l’instant. La fabrication de ces deux produits nécessite le
passage dans trois ateliers, pour lesquels on dispose des renseignements suivants pour un mois
d’activité:
Ateliers
nb d’unités d’œuvres
nécessaires pour un
produit X
nb d’unités d’œuvres
nécessaires pour un
produit Y
Atelier 1
Atelier 2
Atelier 3
3
3
8
2
7
6
La marge sur coût variable unitaire est la suivante:
Produit X : 200 Dh
Produit Y : 165 Dh
Les capacités de chaque atelier sont limitées à:
400 unités d’œuvres pour l’atelier 1
1 000 unités d’œuvres pour l’atelier 2
1 100 unités d’œuvres pour l’atelier 3
Travail à faire :
1. Donner sous forme canonique le programme de fabrication rendant maximal le chiffre
d’affaires.
2. Déterminer le bénéfice maximal réalisé et la charge des différents ateliers pour ce
programme:
a - en utilisant la méthode graphique.
b - en utilisant la méthode du simplexe.
c- en utilisant le solveur.
Exercice 5 (production)
Dans une entreprise qui travaille à façon un client désire faire fabriquer des pièces A et des
pièces B dans un délai de un mois. Il serait disposé à accepter les prix suivants :
- par série de 100 pièces A : 138 DH
- par série de 100 pièces B : 136 DH
La réalisation des pièces A et B nécessite un passage dans trois ateliers pour lesquels on
dispose des renseignements suivants :
Nombre d’unités
d’œuvres nécessaires
pour une série de 100
pièces A
Nombre d’unités
d’œuvres nécessaires
pour une série de 100
pièces B
Coût variable
d’une unité
d’œuvre
Atelier T
2
1
10 DH
Atelier F
1
4,5
12 DH
Atelier M
4
3
14 DH
Au moment de la commande l’entreprise ne dispose que d’un nombre limité d’heures dans
chaque atelier correspondant respectivement à :
- 200 unités d’œuvres pour l’atelier T,
- 540 unités d’œuvres pour l’atelier F,
- 480 unités d’œuvres pour l’atelier M.
Ces nombres d’unités d’œuvres sont insuffisants pour satisfaire pleinement le client dans le
délai demandé. L’entreprise lui propose une livraison partielle. L’entreprise veut déterminer
les quantités de pièces A et de pièces B à fabriquer au cours du mois pour obtenir une
marge bénéficiaire maximum, compte tenu des moyens de production disponibles.
1) Calculer les marges bénéficiaires pour chaque type de série de pièces.
2) Formaliser le programme de production qui procure à l'entreprise une marge bénéficiaire
maximum au cours d'un mois, compte tenu des moyens de production disponibles.
3) Déterminer graphiquement la solution optimale de ce programme.
4) Retrouver la solution avec le solveur.
5) Si la disponibilité de l’atelier T est revue à la baisse ( 180 unités), la solution optimale
subira t-elle des changements ?
Cas 1 : Grandes compagnies aériennes
Affectation des ressources, plus court chemin, optimisation du chiffre d’affaire,…
Les grandes compagnies aériennes sont régulièrement confrontées à des problèmes de
recherche opérationnelle, que ce soit au niveau de la gestion des planning de leur personnel
navigant, la rotation des avions, la détermination des itinéraires selon les périodes ou encore
pour le choix des type d'avions en fonction des périodes et des parcours ... pour ne citer que
les exemples les plus simples.
On se propose dans la suite d'aborder quelques uns de ces exemples dans des situations très
réduites et simplifiées.
I - Affectation du personnel d'accueil navigant
Pour établir le planning du personnel navigant pour le mois suivant, la direction de la
compagnie prend en compte les propositions des stewards (Si) et hôtesses (Hi), en fonction
des disponibilités et du trafic attendu. Un programme informatique permet alors de dresser un
tableau de préférence de chaque individu pour les 5 vols simultanés prévus. Le tableau de
préférences est le suivant : (on suppose qu'il y a 3 hôtesses et 5 stewards disponibles pour les
5 vols au départ de casa un lundi matin)
Vol 1
Vol 2
Vol 3
Vol 4
Vol 5
H1
1
4
5
3
2
H2
1
4
3
5
2
H3
3
1
5
2
4
S1
1
2
3
5
4
S2
2
3
4
5
1
S3
1
2
3
4
5
S4
1
3
4
5
2
S5
2
4
3
5
1
1) Combien de combinaisons (steward, hôtesse) sont possibles pour un vol donné.
2) Quel est le couple (steward, hôtesse) qui maximise les préférences pour le vol 1.
3) Abstraction faite des stewards, et si on devrait respecter globalement les préférences, quels
sont les trois vols auxquels seront affectées les trois hôtesses ? (on précisera les affectations
des hôtesses aux vols). Penser à modéliser le problème sous forme d’un programme linéaire et
utiliser le solveur.
4) Si on devrait affecter un steward par vol, préciser les meilleures affectations qui optimisent
globalement les préférences. Penser à modéliser le problème sous forme d’une programme
linéaire et utiliser le solveur.
II - Choix du meilleur itinéraire “casa - Jeddah”
Pour faire tourner son personnel et ses avions au moindre coût, la compagnie doit planifier les
itinéraires de façon à minimiser le coût global d'utilisation et d'entretien de ses appareils.
La direction veut définir le meilleur parcours liant Casablanca à Jeddah pour un avion
donné. Ce dernier pouvant éventuellement transiter par plusieurs autres aéroports
internationaux. Le tableau suivant présente les différents coûts pour un avion donné ainsi que
les différentes liaisons possibles (en dizaine de milliers de DH) (voir tableau ci-dessous).
(en lignes : Aéroport s au départ. En colonne s: Aéroport s à l'arrivée)
Les abréviations utilisées en colonnes (aéroports d'arrivée) correspondent aux mêmes
aéroports aux départ (en lignes).
Déterminer le parcours au coût minimum reliant Casablanca à Jeddah.
Alg
Amst Cai
Cas
Dak
Ista
Jedd
Noua Pari
Alger
18
30
10
Amsterd
40
22
4
Caire
Casa
Tun
5
10
10
10
30
Dakar
Istamb
Rom Tri
8
20
20
16
15
24
28
Jeddah
Nouakch
Paris
25
36
32
16
Rome
25
Tripoli
34
30
Tunis
12
III - Répartition des places optimisant le chiffre d'affaire
A l'approche de la période de l'été qui connaît de fortes affluences des RME et des touristes
étrangers sur les lignes reliant l'Europe au Maroc, la compagnie veut déterminer la meilleure
répartition de ces trois catégories de sièges (économique, première classe et classe affaire)
dans ses avions.
Dans le cas de la ligne Amsterdam-Casablanca, les avions disponibles ont une capacité
globale de 200 sièges et une capacité de transporter 500 bagages de forme standard (valise de
moins de 20 Kg).
Une place en classe économique a droit à deux bagages; Une place en première classe a droit
à 3 bagages et celle en classe affaire a droit à un seul bagage. Le coût de gestion d'un bagage
(enregistrement, embarcation, transport, ...) est estimé à 100 DH.
Sachant que les prix envisagés pour la prochaine période sont de 5000 DH en classe
économique, 8000 DH en première classe et 7000 DH en classe affaire, Comment la
compagnie doit-elle répartir les nombres de sièges pour un avion donné pour optimiser son
chiffre d'affaire. (On demande d'écrire le problème sous forme d'un programme linéaire et de
le résoudre avec le solveur)
Cas 2 : Planification d’une campagne publicitaire
( INVESTISSEMENT EN PULBLICITÉ)
Une agence de publicité, MEDIACOM, se voit confier pour l'année à venir un budget de 5 millions de DH dont l'objet est
de financer la campagne de publicité d'un produit de grande consommation sur le marché national. Cette agence décide
d'utiliser simultanément cinq types principaux de supports publicitaires : l'affichage, la presse écrite, la radio, la télévision
et le cinéma. Plus précisément, elle est en relation avec un réseau d'affichage publicitaire, trois quotidiens d'informations
(Q1, Q2, Q3), deux hebdomadaires (H1, H2), deux stations de radio (R1, R2), une régie de publicité télévisée et une
chaîne de distributions de films.
L'agence souhaite mener une étude préliminaire afin de déterminer l'ordre de grandeur des budgets affectés à chacun des
dix supports choisis. L'objectif est évidemment d'obtenir une efficacité maximale de l'investissement publicitaire global.
Pour mesurer cette efficacité à priori, on dispose de "coefficients d'efficacité" obtenus à grands frais à la suite d'une étude
statistique des effets des campagnes publicitaires antérieures visant des produits analogues. Ces coefficients sont en
nombre de cinq, à raison de un par type de support. Pour chaque type de support, lorsqu'on multuplie le coefficient
correspondant par le montant total investi dans le support (exprimé en milliers de DH), on obtient l'équivalent de
l'augmentation théorique du chiffre d'affaires (en %) dans le trimestre qui suit la campagne publicitaire, si les conditions
économiques générales et le niveau de la concurrence avaient le bon goût de rester stables...
Il faut ajouter que la proportionnalité de l'effet au montant de l'investissement par type de support n'est admissible que
dans certaines limites: un seuil minimal, en dessous duquel l'effet est quasi-nul et un seuil maximal, au dessus duquel
l'effet reste pratiquement constant. On imposera que chacun des investissements par type de support restera dans son
"domaine de proportionnalité". Dans ce cas, il est raisonnable d'admettre que les effets conjugués s'additionnent.
Les coefficients par type de media et leurs domaines sont présentés dans le tableau suivant :
Support
Affichage
Presse
Radio
Télévision
Cinéma
Coefficient
d'efficacité
2 / 1000
3 / 1000
4 / 1000
5 / 1000
1 / 1000
Seuil min
(KDH)
200
300
500
600
300
Seuil max
(KDH)
1000
1500
2000
3000
6000
1) Définir précisément les 10 variables de décision du modèle.
2) Exprimer la fonction objectif et préciser sa signification.
3) Ecrire les différentes contraintes qui limitent le choix dans la répartition du budget global entre les différents supports.
Résoudre le programme avec le solveur.
4) D'autres contraintes, correspondantes à des règles empiriques, s'ajoutent au modèle :
i - L'ordre d'importance des sous-budgets consacrés à la presse doit être conforme à l'ordre d'importance des tirages à
savoir : tirage de Q1 ≥ tirage de Q2 ≥ tirage de Q3 pour les quotidiens et tirage de H1≥ tirage de H2 pour les
hebdomadaires.
ii - Le budget de Q3 ne peut être inférieur à 50 % de celui consacré à Q1.
iii - Le budget alloué à la télévision doit au moins être le double de celui alloé à la presse écrite.
iv - Pour la radio, le budget de R1 doit être exactement 50 % plus élevé que celui de R2.
Formaliser alors ces 4 nouvelles contraintes.
Résoudre le nouveau programme linéaire.