Hautes Etudes de Management – Rabat - E

HEM
Matière : Recherche opérationnelle
Année : 2008 / 2009
Professeur : T. Benkaraache
Fiche1
exercices et études de cas

Fiche 1 : Décision en avenir certain
(Programmation linéaire)
Objectifs : Modéliser un problème sous forme linéaire, déterminer les solutions réalisables et
les solutions optimales à l’aide du solveur . Application à la planification de la production et
autres domaines.
Exercice 1 (programme de fabrication)
Un fabriquant commercialise deux types de caisses C1 et C2. Pour réaliser une caisse de
type C1, il faut 20 Kg de bois, 20 clous, 10 vis et 1h 30 mn de main-d’œuvre; Pour réaliser
une caisse de type C2, il faut 10 Kg de bois, 40 clous, 10 vis et 1h de main-d’œuvre. Le
fabriquant dispose de 3,6 tonnes de bois de 9000 clous, de 3000 vis et de 360 h de main-
d’œuvre par semaine. Les caisses C1 et C2 sont vendues avec respectivement 125 Dh et
100 Dh de bénéfice.
Travail à faire:
1. Donner sous forme canonique le programme de fabrication qui procure un bénéfice
maximal.
2. Déterminer à l’aide du Solveur le bénéfice maximal réalisé et le nombre d’heures de main-
d’œuvre nécessaires pour ce programme.
3. Si la quantité de bois disponible par semaine est de 7,5 tonnes, que devient alors la valeur
du bénéfice maximal?
Exercice 2 (Utilisation optimale des ressources en Production)
Une petite entreprise fabrique et commercialise deux types d’objets artisanaux M1 et M2 à
l’aide d’une machine unique. On vous demande de lui déterminer le nombre d’objets à
fabriquer pour chaque type d’objets pour optimiser son profit mensuel. Pour cela, l’entreprise
vous communique les informations suivantes:
Pour pouvoir écouler toute sa production sur le marché, et d’après son expérience
personnelle, l’entreprise ne doit pas produire plus de 4 900 objets de type M1, ni plus de 5
400 objets de type M2.
D’autre part, la machine de l’entreprise nécessite des réglages systématiques ainsi qu’un
entretien rigoureux, ce qui limite sa disponibilité mensuelle à 200 heures de fonctionnement.
Cette même machine produit en moyenne 35 objets M1 par heure et 45 objets M2 par heure.
Chaque objet doit être vérifié avant sa commercialisation, 3 techniciens sont chargés de cette
mission et travaille chacun 170 h / mois. La vérification prend 4 mn pour un objet M1 et 3
mn pour un objet M2.
En ce qui concerne la vente actuelle des objets, un objet M1 rapporte en moyenne 60 DH et
un objet M2 rapporte 40 DH.

Travail à faire :
1) Modéliser ce problème sous forme d’un problème linéaire (P1).
2) Combien d’objets de chaque type doit-on produire pour maximiser le profit mensuel de
l’artisan ? Utiliser le Solveur.
Exercice3 (Programme de production)
Une entreprise fabrique et vend deux produits A et B à partir de deux facteurs de
production P1 et P2. Il faut 3 P1 et 5 P2 pour fabriquer un article A, 8 P1 et 2 P2 pour
fabriquer un article B. La capacité hebdomadaire est de 61 P1 et 45 P2.
Les marges sur coûts variables sont de 29 DH pour A et de 32 DH pour B.
1) Quel est le programme de production hebdomadaire qui maximise la marge sur coût
variable Z ? (utiliser le solveur).
2) Si on disposait de 65 P1 par semaine, quelle serait la valeur optimale de Z ?
Exercice 4
Une société fabrique deux produits X et Y. Les marchés de ces produits peuvent être
considérés comme illimités pour l’instant. La fabrication de ces deux produits nécessite le
passage dans trois ateliers, pour lesquels on dispose des renseignements suivants pour un mois
d’activité:
Ateliers
nb d’unités d’œuvres
nécessaires pour un
produit X
nb d’unités d’œuvres
nécessaires pour un
produit Y
Atelier 1
3
2
Atelier 2
3
7
Atelier 3
8
6
La marge sur coût variable unitaire est la suivante:
Produit X : 200 Dh
Produit Y : 165 Dh
Les capacités de chaque atelier sont limitées à:
400 unités d’œuvres pour l’atelier 1
1 000 unités d’œuvres pour l’atelier 2
1 100 unités d’œuvres pour l’atelier 3
Travail à faire :
1. Donner sous forme canonique le programme de fabrication rendant maximal le chiffre
d’affaires.
2. Déterminer le bénéfice maximal réalisé et la charge des différents ateliers pour ce
programme:
a - en utilisant la méthode graphique.
b - en utilisant la méthode du simplexe.
c- en utilisant le solveur.

Exercice 5 (production)
Dans une entreprise qui travaille à façon un client désire faire fabriquer des pièces A et des
pièces B dans un délai de un mois. Il serait disposé à accepter les prix suivants :
- par série de 100 pièces A : 138 DH
- par série de 100 pièces B : 136 DH
La réalisation des pièces A et B nécessite un passage dans trois ateliers pour lesquels on
dispose des renseignements suivants :
Nombre d’unités
d’œuvres nécessaires
pour une série de 100
pièces A
Nombre d’unités
d’œuvres nécessaires
pour une série de 100
pièces B
Coût variable
d’une unité
d’œuvre
Atelier T
2
1
10 DH
Atelier F
1
4,5
12 DH
Atelier M
4
3
14 DH
Au moment de la commande l’entreprise ne dispose que d’un nombre limité d’heures dans
chaque atelier correspondant respectivement à :
- 200 unités d’œuvres pour l’atelier T,
- 540 unités d’œuvres pour l’atelier F,
- 480 unités d’œuvres pour l’atelier M.
Ces nombres d’unités d’œuvres sont insuffisants pour satisfaire pleinement le client dans le
délai demandé. L’entreprise lui propose une livraison partielle. L’entreprise veut déterminer
les quantités de pièces A et de pièces B à fabriquer au cours du mois pour obtenir une
marge bénéficiaire maximum, compte tenu des moyens de production disponibles.
1) Calculer les marges bénéficiaires pour chaque type de série de pièces.
2) Formaliser le programme de production qui procure à l'entreprise une marge bénéficiaire
maximum au cours d'un mois, compte tenu des moyens de production disponibles.
3) Déterminer graphiquement la solution optimale de ce programme.
4) Retrouver la solution avec le solveur.
5) Si la disponibilité de l’atelier T est revue à la baisse ( 180 unités), la solution optimale
subira t-elle des changements ?

Cas 1 : Grandes compagnies aériennes
Affectation des ressources, plus court chemin, optimisation du chiffre d’affaire,…
Les grandes compagnies aériennes sont régulièrement confrontées à des problèmes de
recherche opérationnelle, que ce soit au niveau de la gestion des planning de leur personnel
navigant, la rotation des avions, la détermination des itinéraires selon les périodes ou encore
pour le choix des type d'avions en fonction des périodes et des parcours ... pour ne citer que
les exemples les plus simples.
On se propose dans la suite d'aborder quelques uns de ces exemples dans des situations très
réduites et simplifiées.
I - Affectation du personnel d'accueil navigant
Pour établir le planning du personnel navigant pour le mois suivant, la direction de la
compagnie prend en compte les propositions des stewards (Si) et hôtesses (Hi), en fonction
des disponibilités et du trafic attendu. Un programme informatique permet alors de dresser un
tableau de préférence de chaque individu pour les 5 vols simultanés prévus. Le tableau de
préférences est le suivant : (on suppose qu'il y a 3 hôtesses et 5 stewards disponibles pour les
5 vols au départ de casa un lundi matin)
Vol 1
Vol 2
Vol 3
Vol 4
Vol 5
H1
1
4
5
3
2
H2
1
4
3
5
2
H3
3
1
5
2
4
S1
1
2
3
5
4
S2
2
3
4
5
1
S3
1
2
3
4
5
S4
1
3
4
5
2
S5
2
4
3
5
1
1) Combien de combinaisons (steward, hôtesse) sont possibles pour un vol donné.
2) Quel est le couple (steward, hôtesse) qui maximise les préférences pour le vol 1.