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E. Étude des variations d’une fonction numérique
Applications des dérivées
Exercice 1
1° Laquelle des trois courbes de droite représente la dérivée de la fonction représentée à gauche ?
2° Sur les graphiques sont représentées une fonction, sa dérivée et sa dérivée seconde.
Associer chaque fonction à sa courbe dans les cas suivants :
a)
b)
3° Voici les courbes de trois fonctions et de leurs dérivées. Associer les fonctions et leurs dérivées.
E1
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E. Étude des variations d’une fonction numérique
Applications des dérivées
Corrigé d’exercices du livre
Exercice 293
5 121
;
)
8
16
2) maximum (−2 ; 16) / minimum (2 ; −16)
1) minimum (
3) pas d’extrema
2 1
2 1
; )
;  ) / maximum (0 ; 0) / minimum (
2
4
2
4
1  17 1  17
1  17 1  17
5) maximum (
) / minimum (
)
;
;
2
2
2
2
4) minimum ( 
autres exemples : www.wolframalpha.com  taper p.ex. pour 5) : « extrema y=(x^2+4)/(2x+1) »
Exercice 294
4
1) m =
3
2) m = 3
Exercice 295
9
2
1) m = 7
2) m =
Exercice 296
1) a = −2 et b = −8
2) a = 0 et b = 2
Exercice 297
1) m = 2 et p = −5
2) m = − 6 et p = 8
3) m = 4 et p = 5
Exercice 304 (sans le 7)
1) (1 ; −2) , c.a. : −3
3
8 3
32
32
3
8 3
;  ), c.a. :
/ (
;  ), c.a. : 
9
9
3
9
3
9
3) pas de point d’inflexion

3
4) (0 ; 0), c.a. : 2 / ( ; 0), c.a. : −2 / (π ; 0), c.a. : 2 / (
; 0) , c.a. : −2
2
2
 
3 3
5) ( ; ), c.a. : 2 / (
;
) , c.a. : 0
2 2
2 2
9
9
3 3
3 3
6) (0 ; 0), c.a. : 0 / ( 3 ;
) , c.a. :
/ (  3 ;
) , c.a. :
8
8
4
4
2) ( 
www.wolframalpha.com  taper p.ex. pour 6) : « inflection point y=(x^3)/(x^2+1) »
Exercice 330
3
1) 
2) 3
2
3)
1
2
4) −
1
3
5) 3
6) −2
7) −
21
8
8) 2
autres exemples : www.wolframalpha.com  taper p.ex. pour 3) : « limit of (sin2x)/(tan4x) as x-->0 »
/
(2π ; 0), c.a. : 2
E2
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E. Étude des variations d’une fonction numérique
Applications des dérivées
E3
Exercices d’optimisation
Exercice Opt1
Dans une imprimerie, une page de papier imprimable doit avoir des marges de 1,5 cm sur les bords horizontaux et de 2 cm
sur les bords verticaux où il ne peut pas imprimer. Chaque feuille a une aire de 300 cm². Déterminer les dimensions de la
feuille pour que sa partie imprimable soit maximale.
Exercice Opt2
Tu as décidé d’aller faire un tour sur la mer avec ton petit bateau gonflable. Tu te trouves
maintenant au pied du phare qui se trouve à 9 km en ligne droite de la plage. De ce point
de la plage, la distance jusqu’à la maison le long de la plage (en ligne droite) est encore de
15 km. En mer tu te déplaces à 4 km/h et sur terre à 5 km/h. À quelle distance de la maison
dois-tu accoster pour être rentré le plus tôt possible ?
Exercice Opt3
v2
litres par heure, où v désigne sa vitesse
300
en km/h. Le prix du gasoil et de 0,9 € le litre et on paie le chauffeur 12 € par heure.
Quelle doit être la vitesse v du camion pour que le prix de revient P(v) de la course soit minimal
Un camion doit faire un trajet de 150 km. Sa consommation en gasoil et de 6 
Exercice Opt4
Un industriel fabrique des parapluies qu’il vend à 4 € par pièce aux commerçants. Pour produire q parapluies par jour, les
coûts en € s’élèvent à C(q) = 0,005q2 + 0,44q + 512.
a) Exprimer le bénéfice B(q) réalisé par le commerçant en fonction de q.
b) Combien de parapluies doit-il fabriquer par jour pour que ce bénéfice soit maximal ?
Exercice Opt5
Si un fermier de riz effectue sa récolte de riz aujourd'hui, il obtiendra 1200 kg valant 0,40 € le kg. Pour chaque semaine
d'attente, la récolte augmente de 100 kg mais le prix baisse de 0,02 € par kg.
Quand devrait-il effectuer sa récolte pour maximiser ses bénéfices ?
Exercice Opt6
Une entreprise fabrique et vend des sacs de sport. Le coût de fabrication de chaque article est de 2 € et les frais fixes
s'élèvent à 864 € pour l'ensemble de la production.
1° a) Combien coûte la production de 100 sacs ?
b) Déterminer la fonction coût C, où C(q) indique le prix de la production de q sacs.
2° Une étude de marché a montré que pour un prix de vente de p € par sac, le nombre de sacs demandés et vendus est de
D(p) = 288 – 12 p (avec p appartenant à [5 ; 24]).
a) Exprimer la recette R(p) en fonction de p si tous les sacs sont vendus.
b) Exprimer le bénéfice B(p) en fonction de p si tous les cas sont vendus.
c) Pour quel prix ce bénéfice est-il maximal ? Combien de sacs a-t-on alors vendus ?
Exercice Opt7
Un éditeur offre un magazine d’information au prix d’abonnement annuel de 60 €. 5000 personnes ont un tel abonnement.
Chaque année, l’éditeur a 20000 € de coûts et aussi 10 € de coûts par abonnement.
1° Quel est le bénéfice réalisé en un an ?
Une étude de marché a montré que si l’on baisse le prix de l’abonnement de 1 €, alors 200 personnes de plus s’abonneraient
au magazine.
2° a) Déterminer la fonction affine D qui exprime le nombre d’abonnements vendus D(p) en fonction du prix p.
b) Exprimer le bénéfice réalisé B(p) en fonction du prix p.
c) Pour quelle valeur de p, le bénéfice est-il maximal ?
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E. Étude des variations d’une fonction numérique
Applications des dérivées
E4
Exercice Opt8
Un jardin rectangulaire d’aire 432 m2 est, le long d’un côté, mitoyen avec le champ voisin. Le propriétaire de ce champ
accepte de payer la moitié de la dépense pour la partie mitoyenne de la clôture.
En supposant 20 € le prix de la clôture par mètre de longueur, calculer les dimensions du jardin, sachant que la dépense de
son propriétaire est minimale.
Exercice Opt9
On veut découper une poutre à base rectangulaire dans un tronc d’arbre de diamètre 50 cm (voir image).
On montre en mécanique que la résistance de la poutre est la plus grande
lorsque x·h2 est le plus grand.
Déterminer pour quelles valeurs de x et de h la poutre est la plus résistante.
Exercice Opt10
Deux localités A et B se trouvent sur une route rectiligne et à une distance de 8 km. La localité A doit être reliée par un câble
souterrain à une centrale électrique C se trouvant à 2 km de la localité B et de la route.
Les prix de cette pose sont de 150 € le mètre courant le long de la route et de 220 € le mètre courant dans le terrain.
À quelle distance de la ville A doit-on dévier le câble pour que les frais de pose soient les plus petites possibles?
Exercice Opt11
La section transversale d’un canal d’écoulement souterrain a la forme d’un rectangle surmonté d’un demi-disque. La section
vaut A = 8 m2. Comment faut-il choisir les dimensions si on veut utiliser le moins de matière possible pour une épaisseur
constante des parois ?
Exercice Opt12
Deux routes se coupent à angle droit en un point P. L’une a la direction nord-sud, l’autre a la direction est-ouest. Une voiture
venant de l’ouest passe le point P à 10 h à la vitesse constante de 20 km/h. Au même instant, une autre voiture, située à 2 km
au nord du croisement, se dirige vers le sud à 50 km/h. À quel heure ces deux voitures sont-elles les plus proches l’une de
l’autre (à vol d’oiseau) et quelle est cette distance minimale ?
Exercice Opt13
On veut construire un réservoir de stockage pour du gaz propane. La forme de ce réservoir est un
cylindre droit, terminé par deux hémisphères. Le coût de construction au mètre carré est de 240 €
pour les parties sphériques et de 120 € pour la partie cylindrique. La capacité du réservoir doit être
de 5 m3.
Opt8 : 18 m et 24 m
Opt9 : x env. 28,8 cm et h env. 40,8 cm
Opt10 : à env. 6,14 km de la ville A
Opt11 : dimensions du rectangle : env. 2,993 m sur env. 1,497 m
Opt12 : après 2 minutes et 4,13 secondes les voitures se trouvent à env. 0,7428 km
Opt13 : rayon env. 0,6682 m et longueur du cylindre env. 2,6730 m