INTRODUCTION Ce travail d`étude et de recherche porte sur la

INTRODUCTION
Ce travail d’étude et de recherche porte sur la Mécanique de la rupture. Nous
nous intéressons particulièrement au calcul du taux de restitution d’Energie G par une
méthode non classique : la méthode q (cf article en annexe 3). Cette méthode est
implémentée dans les codes de calcul MODULEF (développé par l’INRIA) et
CASTEM2000 (développé par le CEA).
Ce travail d’étude et de recherche est divisé en 2 parties principales :
La première partie consistera à présenter la méthode q . On se consacrera surtout à la
compréhension de la méthode, et à sa mise en œuvre par la Méthode aux Eléménts
Finis. Nous commencerons par tenter de valider cette méthode sur un cas simple avec le
logiciel Eléments Finis MODULEF. Pour ce faire, nous nous appuierons sur un projet
sur ce même sujet rédigé quelques années auparavant. Les résultats obtenus ne
concordaient pas avec des solutions de référence. Nous étudierons donc le même cas
test à quelques paramètres prés. Les programmes qui mettent en œuvre cette méthode
seront étudiés afin de déceler le bug qui fausse les résultats. On comparera la solution
numérique à une solution analytique obtenue par application des formules classiques
que l’on trouve dans la littérature de la Mécanique de la rupture (les références
bibliographiques sont figurent en annexe 3).
La seconde partie sera plus axée sur l’utilisation de cette méthode avec le logiciel
CASTEM 2000. Le but ne sera pas ici de comprendre comment la méthode est
implémentée mais de comparer avec les résultats obtenus avec MODULEF. On étudiera
cette fois une éprouvette CT sur laquelle on pourra comparer solution numérique et
résultats expérimentaux (cf articles en annexe 3).
1
INTRODUCTION A LA MECANIQUE DE LA RUPTURE
La caractérisation de l’état des pièces fissurées s’appuie sur la détermination du
taux de restitution d’énergie et des facteurs d’intensité de contraintes, à la base de
nombreux critères en Mécanique de la Rupture : amorçage en fond de fissure,
propagation de défauts, méthodes simplifiées…Ces grandeurs peuvent être calculées
numériquement par la méthode q, qui est une méthode Lagrangienne introduite par
P.DESTUYNDER.
1.
Contrainte critique de rupture fragile
Le premier critère de rupture dans le cas d’un matériau élastique fragile a été
établie vers 1930 par un physicien Anglais du nom de Griffith. Il est basé sur
l’utilisation d’un bilan énergétique.
Si le matériau rompt avant d’atteindre la résistance théorique à la rupture, on
peut supposer que cette résistance est atteinte, localement, sur des défauts de
l’éprouvette.
s
Considérons donc une éprouvette contenant une
fissure débouchante de longueur a perpendiculaire à l’axe
de traction. Pour que la fissure puisse se propager, il faut
rompre des liaisons atomiques, la première condition à
vérifier est que la contrainte en tête de fissure soit
supérieure à la résistance à la rupture du matériau. Lors de
a
la propagation d’une fissure, deux phénomènes sont à
prendre en compte : la relaxation des contraintes autour de
la fissure et la création de nouvelles surfaces.
s
1.1
La relaxation des contraintes autour de la fissure
La fissure traverse entièrement l’éprouvette dans le sens de son épaisseur e. La
zone de relaxation de contrainte autour de la fissure a une forme de demi-ellipse, de
demi-grand axe 2a et de demi-petit axe a. L’énergie élastique libérée est par
conséquent :

2
1
 1




U e  2 E    2 a2a   e


(E élastique stockée/un ité de volume)  (surface de la zone de relaxation )  (épaisseur de l' éprouvette )
1.2
La création de nouvelles surfaces
Soit gs l’énergie libre de surface par unité de surface. L’énergie de surface requise est
alors :
U
s
 2  (ae) 

s
(2 surfaces sont crées)
2
On en déduit l’énergie de fissuration :
U
f
 U e U s

2

1
2

a 2
2 E
s
ea
Tant que a<ac, l’énergie requise pour propager la fissure augmente, la propagation est
donc stable. Pour a>ac, l’énergie requise diminue, donc la propagation devient instable,
ce qui conduit à une rupture brutale. La longeur critique de fissure pour un contrainte
donnée s correspond donc à la valeur :
a
c
 E

2

s
2
Et la contrainte critique de rupture pour un matériau fragile contenant des fissures
débouchantes de longueur a ou des fissure internes de longueur 2a est :

2.
c


2
s
E
a
Formulation générale
Soit Gc l’énergie nécessaire pour qu’une fissure se propage d’une longueur
unité : c’est l’énergie de rupture, qui est caractéristique du matériau. On démontre alors
que :
 a  E Gc
Dans le cas des matériaux fragiles Gc = 2gs
Dans le cas des matériaux ductiles Gc = 2gs + gp
Où gp est l’énergie de déformation plastique nécessaire pour déplacer les
dislocations en tête de fissure. En effet, on a une zone de déformation plastique
importante en tête de fissure, avec gp>>gs . La propagation des dislocations produit en
outre un émoussement du fond de fissure, donc une augmentation du rayon de courbure
et une diminution de la contrainte en fond de fissure.
Le terme sSpa dépend de l’état des contraintes et de la géométrie de l’éprouvette.
K   a
est appelé facteur d’intensité de contraintes. En toute rigueur, cette expression n’est
valable que dans le cas d’une éprouvette semi-infinie contenant une fissure interne de
longueur 2a sollicitée en mode I (les 3 modes de sollicitations sont présentés page
suivante). Dans les autres cas, on introduit des facteurs correctifs liés à la géométrie de
la fissure et de la pièce et on a :
3
K
I
  a  F
avec F facteur correctif.
Le terme SEGc est une caractéristique intrinsèque du matériau. On pose alors
Qui est appelé facteur d’intensité de contrainte critique ou tenacité du matériau.
K
c
 E Gc
Le critère de rupture s’écrit alors :
K = Kc
Les 3 modes de sollicitations
Mode II
Mode I
Mode III
Le mode I est généralement le plus étudié, car le plus critique en terme de rupture
brutale.
G est appelé indifféremment Energie de fissuration, force d’extension de la
fissure, ou encore taux de restitution d’Energie. La fissure se propage lorsque G atteint
une valeur critique Gc , caractéristique du matériau. Il existe donc une valeur KIc du
facteur d’intensité de contraintes telle que la fissure ne se propage de façon instable que
lorsque :
K
I

K
Ic
KIc caractérise la résistance du matériau à la propagation plane des fissures en mode I.
Sa valeur est indépendante de la géométrie du détail et des conditions de chargement, à
condition que le matériau soit isotrope.
Une structure sera donc considérée comme « sûre » si l’inégalité suivante est vérifiée :
 a 
K
Ic
D’où l’introduction d’une longueur ac pour laquelle la fissure se propage de manière
instable (rupture).
4
PARTIE I
I.
PRESENTATION DE LA METHODE q
5
Cette méthode implémentée dans certains codes de calcul permet d’évaluer
numériquement le taux de restitution d’Energie G. Cette grandeur intéresse le
mécanicien dans le cadre de la Mécanique de la rupture. Elle s’appuie sur un moyen
mathématique qui permet la considération d’une intégrale de volume plus simplement
appropriée aux calculs par la Méthode aux Eléments Finis que l’intégrale de contour.
Les calculs numériques entraînent l’évaluation d’une intégrale de surface en 2D et
d’une intégrale de volume en 3D.
La fonction q est définie comme un champ de déplacements normalisé, qui peut
être interprété comme le mouvement de la matière à proximité du fond de fissure, suite
à une propagation virtuelle de la fissure. Elle représente un champ de propagation
virtuelle du fond de fissure.
Pour une étude sur un domaine 2D, ce qui correpond au cas le plus simple dans sa
formulation, la fonction q peut être présentée comme suit :
q = 1 dans le domaine A
0 < q <1 dans le domaine B
q = 0 dans le domaine C
q=(0,0)
C
q=(1,0)
X2
A
B
X1
On se donne un domaine d’étude comportant une fissure. On définit les
domaines A et B comme indiqué sur la figure ci-dessus, le domaine C constitue donc le
reste du domaine d’étude. Dans la direction X1, la fonction q est égale à 1 à l’intérieur
du domaine A comportant le fond de fissure, varie entre 1 et 0 à l’intérieur de la
couronne B (en fonction de la distance au fond de fissure), et est égale à 0 dans tout le
reste du domaine d’étude (C).
Pour que cette fonction puisse être compatible avec les calculs par MEF, il
convient de l’interpoler aux nœuds du maillage des domaines A et B. On définit donc en
chaque nœud i d’un maillage une valeur qi. Cette valeur est en fait un champ de
vecteurs. On parlera de valeur puisque la seule composante de ce champs prise en
compte est la composante suivant X1. Le champs q est ainsi défini suivant la géométrie
du problème, en considérant la direction dans laquelle le fond de fissure est le plus
susceptible d’avancer.
Le champ q est donc défini aux nœuds. Ainsi une représentation paramétrique
de la fonction est obtenue sur chaque élément. On a q = Ni qi où Ni sont les fonctions
de pondération, et i les numéros des nœuds d’un élément. Le calcul de G est effectué sur
chaque élément, à partir du champ de contraintes, des déplacements et du champ q
défini plus haut, Il est donc nécessaire d’avoir accès à q sur les éléments.
6
Pour un calcul MEF, le maillage du domaine (A+B) devra être adapté à ce qui
précède, c’est pourquoi il conviendra de faire intervenir un maillage rayonnant autour
du fond de fissure. Nous obtenons ainsi une portion de cercle définissant le domaine A,
et une succession de couronnes définissant le domaine B, comme l’illustre la figure
suivante :
B
B
A
A
(Les logiciels Eléments Finis génèrent évidemment des formes géométriques parfaites,
la figure se contente de donner une idée de la procédure.)
Une fois ce maillage rayonnant obtenu, nous définissons le champ q comme
indiqué précédemment, et q décroît linéairement de 1 à 0 sur les nœuds des rayons du
maillage rayonnant. q peut donc être obtenu sur les éléments et le calcul de G sur
chaque élément j peut être lancé. Le taux de restitution d’énergie total est la somme des
Gj, avec j numéro des éléments.
G est défini comme une intégrale de surface en 2D, car elle est équivalent à
l’intégrale J, intégrale de Rice (ceci n’est vrai qu’en 2D). Son expression fait intervenir
les champs solutions en déplacements et en contraintes, et le champ q définissant
l’avancée virtuelle de la fissure.
G est défini comme la dérivée de l’énergie potentielle (W) par rapport à la longueur de
fissure (a) :
G 
W
a
P.DESTUYNDER a montré que G s’écrit sous la forme :
G
2
2
 ij (
 i , j 1
k 1
 u j 
k
 x k  xi
)d 
2
 u i 2  k
1
(
)(
)d

2  i , j 1 ij  x j k 1  xk
Le calcul est effectué sur chaque élément. Le taux de restitution d’énergie global
G sera évidemment la somme des taux élémentaires.
Remarque : On a vu précédemment que la valeur de q sur un élément est obtenue en
faisant une moyenne pondérée des valeurs aux nœuds de cet élément : qél = Ni qi. Ceci
entraîne que les seuls éléments sur lesquels q, et par conséquent G, sera non nul sont les
7
éléments ayant au moins 1 nœud en commun avec les éléments de la couronne
extérieure du maillage rayonnant, ainsi que les éléments du maillage rayonnant.
II.
ETUDE THEORIQUE D’UN CAS TEST :EPROUVETTE
CN (CENTRE NOTCHED, éprouvette fissurée centrale)
II.1
Facteur d’intensité de contraintes et taux de restitution d’énergie
Le cas simple qui sera étudié dans le but de valider la méthode ( sur le code
MODULEF) est le modèle de Griffith : Une plaque fissurée en son centre dans le sens
de la largeur, soumise à un effort de traction uniaxial. Cette plaque est un plan infini
comportant une fissure, comme l’illustre la figure page suivante. Cette étude théorique
est menée à partir des formules empiriques communément admises dans la littérature
relative à la Mécanique de la Rupture. Le résultat obtenu sera la référence par rapport à
la solution numérique recherchée.
Le calcul théorique de G (taux de restitution d’énergie) fait intervenir le facteur
d’intensité de contraintes KI. D’après le 1er chapitre, on a :
K
I
  a
Avec :
a : longueur de demi-fissure
s : contrainte de traction imposée.
Unité de KI : Mpa Sm .
Cette expression est valable pour le modèle de Griffith, où le milieu considéré
est un plan infini. Un facteur correctif devra être introduit afin de prendre en compte la
longueur de la fissure devant la largeur finie de la plaque. Le milieu considéré est alors
un plan semi-infini.
La figure page suivante illustre la différence entre le modèle de Griffith dans le
cas d’un plan infini et dans le cas d’un plan semi-infini, ce dernier cas étant beaucoup
plus approprié aux études théoriques.
s
s
8
2a
2a
2b
s
s
KI = sSpa
KI = sSpa f(a/b)
Problème de Giffith dans le cas d’une
plaque de largeur finie.
Problème de Griffith : plan infini
avec fissure de longueur 2a.
L’équation qui sera retenue pour notre étude sera évidemment la seconde. On
admettera donc la formule :
2
K
I
a
  a  f  
b
avec
a
a
a
1  0,5  0,370   0,044 
b
a
b
b
f  
a
b
1
b
Le taux de restitution d’énergie est lié à KI suivant les formules suivantes :
G 
K
2
G
I
E
EN CONTRAINTES PLANES
1 
E
2
K
2
I
EN DEFORMATIONS PLANES
Notre étude est faite en contraintes planes, la formule à considérer est donc :
2
a 2   a 
I
    f  
E
E
  b 
G K
Avec G 
2
MPa 2 .m
MKg.m
 MPa.m 
 MKg.s  2  MN .m1  (106 ) N .m1
MPa
m.s  2
9
3
II.2
Application numérique
Le domaine d’étude que nous considérerons est le suivant :
s
Paramètres géométriques, caractéristique du
matériau et du chargement :
L = 500 mm
b = 100 mm
a = 37 mm
E = 200 000 Mpa (module d’Young)
n = 0,3 (coefficient de Poisson)
s = 1 MPa
L
2a
2b
s
En appliquant les formules précédemment établies au domaine d’étude, on
obtient :
 a  1  0,5  0,37  0,37  0,37  0,044  0,37 
f  
 1,087812328
1  0,37
b
2
D' où
3
K
I
 1   37.103  1,087812328
K
I
 0,3708768918
MPa. m
On obtient donc pour le taux de restitution d’énergie
G:
G  0,6877483445 N .m1
2

0,3708768918
G
 6,877483445 . 10  7 MPa.m
200000G  0,6877483445 N .m 1
G  0,6877483445 Pa.m
G  0,6877483445 Kg.s 2
10
Voici le tableau présentant les différentes valeurs du taux de restitution d’énergie
G en fonction de la contrainte. Les courbes théoriques présentant G en fonction du
chargement pour différentes longueurs de fissure figurent page suivante.
Taux de restitution d'énergie G (MPa.m)
Chargement s
0,25
0,5
1
1
1,25
1,5
1,75
2
a=20mm
Mpa
MPa
MPa
MPa
MPa
MPa
MPa
MPa
0,019631
0,078538
0,176701
0,31415
0,49084
0,70684
0,96207
1,2566
a=30mm
a=40mm
0,029445
0,11795
0,26505
0,47121
0,73628
1,06025
1,44313
1,88491
Fact. d'intensité de contraintes K (MPa.m 0,5)
a=20mm
0,03967
0,15707
0,3534
0,62831
0,98173
1,41368
1,92417
2,51326
a=30mm
0,06266
0,12533
0,18799
0,25066
0,31332
0,37599
0,43865
0,50132
a=40mm
0,07674
0,15349
0,23024
0,30699
0,38374
0,46049
0,53724
0,61399
0,08862
0,17724
0,26586
0,35449
0,44311
0,53173
0,62035
0,70898
Il est aisé de voir d’après les formules que les courbes présentant l’évolution du
facteur d’intensité de contraintes K et du taux de restitution d’énergie seront
respectivement des droites et des paraboles.
K = f( s , a)
Evolution du facteur d'intensité de contraintes en fonction du chargement pour
différentes longueurs de fissure
0,8
0,7
0,6
0.5
K (MPa.m )
0,5
a=20 mm
0,4
a=30 mm
a=40 mm
0,3
0,2
0,1
0
0,25
0,5
1
1
1,25
Chargement (contrainte en Mpa)
11
1,5
1,75
2
G = f( s , a)
Evolution du taux de restitution d'Energie en fonction du chargement pour différentes
longueurs de fissure
3
2,5
G (MPa.m)
2
a=20 mm
a=30 mm
1,5
a=40 mm
1
0,5
0
0,25
0,5
1
1
1,25
1,5
1,75
2
Chargement (contraintes en MPa)
On remarquera que ces courbes théoriques ont été tracées en ne considérant
aucun facteur correctif. On représentera plus loin dans le compte-rendu sur une même
courbe les points théoriques et expérimentaux.
III. MISE EN ŒUVRE DE LA METHODE SUR MODULEF
Passons maintenant à l’évoluation numérique de G. Nous allons tout d’abord
fixer le contexte mécanique dans lequel nous travaillons. On se place dans le cadre de
l’Elasticité Linéaire Homogène et Isotrope (ELHI). Un calcul élastique classique sera
effectué afin d’obtenir les champs solutions en déplacements et en contraintes. Nous
détaillerons cette étape plus loin. Une fois ces champs solutions obtenus, nous
définissons le champ THETA à partir du maillage rayonnant. L’exécutable qui crée la
SD contenant le champs q, défini en chaque nœud du maillage, est thetaxx.
L’étape suivante est le calcul effectif de G sur chaque élément. Le programme
effectuant ce calcul est gcalxx.
12
III.1
Organigramme du calcul
L’organigramme du calcul de G est le suivant :
CREATION DU MAILLAGE
III.2
apnoxx, rayoxx
INTERPOLATION
comaxx
DEFINITION DES CONDITIONS AUX LIMITES
CINEMATIQUES
cobdxx
DEFINITION DES CARACTERISTIQUES DU
MATERIAU, DES EFFORTS ET CALCUL DES
QUANTITES ELEMENTAIRES
thecxx
ASSEMBLAGE ET RESOLUTION PAR LA METHODE
DE CHOLESKY
cholxx
DEFINITION DU CHAMP q DEFINISSANT
L’AVANCEE VIRTUELLE DE LA FISSURE EN
CHAQUE NOEUD
thetaxx
CALCUL EFFECTIF DE G SUR CHAQUE ELEMENT
ET DU G GLOBAL
gcalxx
Résolution : du maillage au calcul de G
III.2.1 Définition et discrétisation du domaine d’étude
La plaque étudiée a été décrite précédemment, et les symétries du problèmes
sont évidentes. La géomètrie de la plaque permet donc l’étude sur un quart de la plaque,
plutôt que sur la plaque entière. Les calculs seront moins nombreux donc moins longs.
La solution globale sera obtenue par symétrie.
On définit donc le domaine d’étude suivant :
Le maillage sera relativement fin.
Le voisinage du fond de fissure sera
maillé avec un maillage rayonnant.
250
37
100
13
Puisque différents type de maillage doivent être générer, il faudra construire le maillage
en plusieurs étapes :
Maillage rayonnant
Un exécutable a été développé sur MODULEF permettant de générer quasiment
automatiquement un maillage rayonnant autour d’un point : rayoxx. Les données
nécéssaire à ce programme sont les coordonnées des points définissant la génératrice, le
nombre de secteurs et de couronnes à générer, ainsi que l’angle de rotation (en degrés).
Les références des entités générées sont également recquises. On maille donc le demicercle suivant :
5 couronnes + partie centrale
12 secteurs
mray.sd
(8,0)
génératrice, ainsi que
sommets référencés 3
(37,0)
(66,0)
3
3
3
2
2
2
Reste de la plaque
Le reste du domaine est maillé avec le mailleur 2D APNOPO. On génère donc les
maillages suivants :
(0,250)
2
(0,40)
(100,40)
2
2
2
(100,250)
nopo1.sd
2
(0,0)
1
(8,0)
(37,0)
(66,0)
3
nopo2.sd
(100,0)
3
3
2
(0,40)
Ces maillages sont maillés en triangle alors que le maillage rayonnant est maillé
en quadrangle (sur ses couronnes, et en triangles pour la partie centrale).
14
(100,40)
Les références 1, 2, et 3 seront utilisées par la suite pour la définition des conditions en
déplacements, ainsi que la définition des efforts appliqués.
On procède au recollement de ces 3 maillages, à l’aide du pré-processeur recoxx
pour obtenir le maillage final NOPO.SD . Le maillage est constitué d’éléments droits,
en appelant le pré-processeur adpnxx, on ajoute 1 nœud sur chaque arête afin d’obtenir
des quadrangles et triangles à respectivement 8 et 6 nœuds. Il faut à présent renuméroter
les nœuds du maillage : on appelle le pré-processeur gibbxx qui optimise la
numérotation des nœuds du maillage.
En résumé, voici les différentes étapes :
RAYON.DTA
nopo1.dat
nopo2.dat
mray.sd
nopo1.sd
nopo2.sd
Maillage rayonnant
mray.sd
rayoxx
nopo1.sd
apnoxx
Maillage du reste de la plaque
nopo2.sd
apnoxx
recoxx
NOPO.SD
NOPO.SD
adpnxx
NOPO2.SD
Ajout de noeuds
NOPO2.SD
gibbxx
NOPO.SD
Renumérotation des noeuds
Recollement des 3 maillages
La SD NOPO.SD est le maillage final (sd de type nopo) sur lequel nous
effectuerons le reste des opérations. Tous les maillages mentionnés plus haut, ainsi que
leurs datas figurent en annexe1.
III.2.2 Interpolation
Il faut ici définir les fonctions d’interpolations des éléments. Le module
d’interpolation est COMACO. Des nœuds ont été ajoutés afin d’obtenir des éléments
courbes, nous allons donc choisir des éléments courbes de type 2. Les éléméents choisis
sont QUAD 2Q2C et TRIA 2P2C, respectivement quadrangle courbes à 8 nœuds et
triangle courbe à 6 nœuds.
TRIA 2P1D
TRIA 2P2C
QUAD 2Q1D
QUAD 2Q2C
15
On obtient en sortie de COMACO les SD MAIL.SD et COOR.SD,
respectivement de type mail et coor. Les datas et versions formatées de ces sd sont
fournies en annexe1.
III.2.3 Définition des conditions aux limites cinématiques
On appelle le module COBDC1 pour décrire les conditions aux limites en
déplacements, puisque l’étude est réduite à un quart de la plaque. Les symétries sont
évidentes et on sent intuitivement que certains nœuds du domaine d’étude ne se
déplaceront que dans une seule direction. On rappelle que le domaine que nous avons
maillé est le suivant :
Référence 1 : pas de condition de blocage de ddl.(effort
linéique appliqué plus loin)
Référence 2 : déplacement uniquement suivant y, ddl 1
bloqué.
Référence 3 : déplacement uniquement suivant x, ddl 2
bloqué.
Référence 0 : Aucune condition imposée en
déplacements et aucun effort appliqué.
Il est évident que les points appartenant à la référence 2 n’ont aucunes raisons de
se déplacer suivant x, et idem pour les points appartenant à la référence 3 suivant y. Ces
conditions aux limites imposées semblent légitimes. Nous verrons tout de même plus
loin qu’elles seront remises en question…
Dans le data, ces conditions correspondent aux triplets suivants :
Ref
ddl
mnémonique
valeur de blocage
2
3
1
2
VN
VN
0.
0.
En sortie de ce module, on obtient la sd COBD.SD de type bdcl. (Cette sd sera prise en
compte pour le calcul élastique par la méthode de Cholesky)
III.2.4 Calcul des quantités élémentaires et définition
Dans le module ELASCT, on indique la provenance du problème, à savoir
problème d’élasticité linéaire classique.On définit ici les caractéristiques du matériau :
module d’Young et coefficient de Poisson. On décrit également l’effort appliqué à notre
domaine d’étude. On rentre donc les données suivantes :
E = 200 000 MPa
n = 0.3
16
La référence à laquelle nous appliquons l’effort en traction est la référence 1
(voir page précédente). Pour un effort linéique, on a la relation
s = F / l avec F
effort appliqué et l longueur de la ligne sur laquelle est appliqué l’effort. Dans notre cas,
on a l = 100 mm, et s = 1 MPa. On en déduit donc l’effort à appliquer sur la référence
1:
F = l . s = 100 mm * 1 MPa = 100 N
Dans le data, la seule référence à décrire sera donc la référence 1. Et la seule
composante non nulle des efforts est la comosante suivant y de l’effort linéique (100 N).
On précisera que le fichier POBA est nécéssaire ici. On obtient en sortie la sd TAE.SD
de type tae.
III.2.5 Assemblage et résolution par la méthode de Cholesky
On enchaîne plusieurs modules avec l’exécutable cholxx. On tient compte pour
le calcul de la sd bdcl définie précédemment COBD.SD contenant les conditions aux
limites en déplacements. La sd de sortie de ce module est B.SD, de type b. Elle contient
le champs solution en déplacements en chaque nœud. Ce sera une des sd recquises pour
le calcul de G sur chaque élément.
III.2.6 Définition du champ THETA en chaque nœud du maillage
Passons à présent au calcul du champ THETA nécéssaire au calcul de G.
L’exécutable à appeler est thetaxx. Le source fortran77 est conservé mais il ne figure
pas en annexe. Ce programme demande en entrée le nombre de fissure, la description de
la fissure (par nœud ou par référence), le numéro de ce nœud ou de cette référence, les
composantes du vecteur définissant l’avancée virtuelle de la fissure, et pour finir les
rayons de la première et de la dernière couronne du maillage rayonnant.
Une légère modification a été apportée au programme initial : la variable NBFIS
(nombre de fissure) est forcée à 1 dans le source fortran 77. Cette variable n’est en fait
pas attendue dans le source, alors que des calculs nécéssitent sa présence. On indique
que la fissure est repérée par un nœud (son numéro est 12, c’est le nœud représentant le
fond de fissure).Le module est 1. Les composantes du vecteur définissant l’avancée du
fond de fissure sont (1,0) respectivement suivant x et y. Enfin, les rayons de la première
et de la dernière couronne sont 4,83 mm et 29 mm. En chaque nœud du maillage
rayonnant sont affectées 2 composantes : une suivant x, l’autre suivant y. La 2ème
composante ( sur y) est nulle quelque soit le nœud, à cause du vecteur défini plus haut.
La composante de q suivant x varie linéairement de 1 à 0 sur les nœuds des rayons du
maillage rayonnant (1 en fond de fissure et 0 sur le bord).
Ainsi, comme expliqué dans le chapitre I, on définit les domaines suivants :
q=0
0<q<1
q=1
4,83 mm
29 mm
17
Ces données sont contenues dans le data RAY_THETA.DTA, et la sd obtenue
après exécution de ce programme est THETA.SD. C’est cette structure de donnée qui
contient le champ THETA en chaque nœud du maillage. Cette sd est de type b, on
pourra donc visualiser le champs THETA sous forme d’isovaleurs, à l’aide de l’outil de
post-traitement graphique trmcxx. Cette visualisation figure en annexe1.
On remarquera que q est nul sur tout le reste du domaine d’étude.
III.2.7 Calcul du taux de restitution d’énergie G
Nous entrons à présent dans le vif du sujet : le calcul de G sur chaque élément et
par conséquent du taux de restitution d’énergie global G. Le programme effectuant ce
calcul est GCALXX. Le source fortran77 comme précédemment sera conservé mais
non fourni en annexe. Cet exécutable est constitué de plusieurs subroutine : GCALG,
GCALCU, G2AXEC, GCALCW, MILIEU et GSIGMA. Les subroutines s’appellent
entre elles suivant une multitude de boucles. Celle qui nous intéresse le plus ici est
GCALCU. C’est dans celle-ci que sont calculés les taux élémentaires, elle est donc
située dans une boucle sur les éléments. Plusieurs sd sont nécéssaires en entrée du
programme : la sd mail MAIL.SD, la sd coor COOR.SD, la sd b B.SD, la sd b
THETA.SD, du fichier résultat existant GCALG.RES et du fichier GCALG.ERR pour
stocker les erreurs au cas où il y en aurait.
La méthode « G-THETA » n’est toujours pas validée sur MODULEF, les résultats qui
sortent de cette procédure semblent faux. Des valeurs négatives de G sont obtenues,
alors que le taux de restitution d’énergie est un scalaire positif. Une erreur dans le calcul
ou dans la programmation est sans doute à l’origine de ces résultats négatifs, reste à
déceler le problème dans les sources F77.
Les résultats sont indiqués dans le tableau ci-après, pour un premier calcul. Ce
calcul n’aurait même pas dû être lancé pour des raisons évidentes qui sont expliquées
plus loin. En effet, avant même d’avoir eu la possibilité de lancer le calcul de G (car il a
fallu en quelque sorte « débuguer » le programme et le recompiler), nous avons constaté
que le calcul élastique était faux. Le fond de fissure se déplace vers l’intérieur du
domaine d’étude, alors qu’il semblerait logique qu’il se déplace vers l’extérieur. On
peut sentir, même intuitivement, que la fissure centrale de la plaque soumise à une
traction devrait s’ouvrir. Le calcul élastique étant faux, les déplacements sont faux, par
conséquent les contraintes sont fausses, et le calcul de G est ainsi complètement faussé.
Le maillage initial et la déformée figurent en annexe 1, et un zoom sur le maillage
rayonnant permet de constater que le fond de fissure se déplace vers l’intérieur de la
plaque.
En admettant donc que le calcul de G soit correctement implémenté et mis en œuvre, les
résultats n’en seraient pas corrects pour autant, puisque le calcul élastique linéaire est
faux.
Nous présentons tout de même les résultats obtenus, après avoir lancé le calcul.
18
Le résultat fourni ici correspond à la traction de la plaque fissurée en son centre, de
largeur 100mm et de longueur de fissure initiale 37mm.
Pour le quart de la plaque modélisé : G = 0,6537365 E+02 = 65,37365 N.mm-1
On aura donc pour la plaque entière :
Gplaque = 4 * 0,6537365 E+02 = 261,4946 N.mm-1
Ce résultat est apparemment faux. L’erreur relative est de quasiment 100 %
(99,73). On lancera tout de même les calculs pour plusieurs chargement afin d’avoir
l’allure de la courbe. Soit l’implémentation du calcul de G est buggé, soit les contraintes
sont également faussées par un bug.
Dans le cadre de ce TER, il est difficile et surtout coûteux en temps de reprendre
toutes ces vérifications.
Les résultats sortis de MODULEF pour différents chargements figurent dans le
tableau ci-dessous. On tracera l’évolution de G en fonction de la contrainte de traction
imposée.
En annexe figure une partie du fichier GCALG.RES dans lequel se trouve les résultats
numériques sortis de GCALXX.
III.3
Présentation des résultats expérimentaux
La courbe correspond a une longueur de fissure initiale a=37mm.
On constate que malgré les valeurs de G beaucoup trop supérieure aux valeurs
théoriques, la courbe expérimentale a exactement l’allure des courbes théorique.
contrainte
en MPa
G expérimental (quart de la plaque) G expérimental (plaque entière)
en N/mm
en N/mm
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
1,75
2
4,085853
16,34341
36,77268
65,37365
102,1463
147,0907
200,2068
261,4946
16,343412
65,37364
147,09072
261,4946
408,5852
588,3628
800,8272
1045,9784
On verra plus loin que les résultats sortants de MODULEF ne sont pas si
incohérents, le problème vient peut-être de l’unité du résultat numérique.
19
SOLUTION EXPERIMENTALE - MODULEF
Evolution du taux de restitution d'énergie G en fonction du chargement pour a=37mm
1200
Taux de restitution d'énergie G (N/mm)
1000
800
600
a = 37mm
400
200
0
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
1,75
2
contrainte s (en MPa)
IV
RECONSIDERATION DU PROBLEME
IV.1
Problèmes rencontrés
Comme expliqué précédemment, le problème peut provenir d’une part du calcul
élastique et d’autre part de l’aspect programmation. Il a donc fallu reposer le problème
et réviser nos hypothèses. Les questions qui se posent sont les suivantes :
Est-ce que les éléments finis utilisés sont adaptés au calcul ?
Est-ce que le couplage de ces éléments au niveau du maillage pose un
problème ?
Est-ce que les résultats sont faussés par un bug informatique dans le calcul de
G?
Est-ce que notre approche théorique est correcte ?
Nous sommes donc amenés à changer les données du problème afin de pouvoir
répondre à toutes ces questions.
IV.1.1 Test des éléments finis TRIA 2P2C et QUAD 2Q2C seuls
Pour tester les éléments finis, nous maillons notre domaine d’étude à l’aide des
éléments utilisés précédemment mais séparément cette fois. On relancera 2 calculs : l’un
s’appuyant sur un maillage en triangles uniquement, l’autre sur un maillage en
quadrangles uniquement.
Ces maillages figurent en annexe 1, et on constate que le calcul élastique donne les
mêmes résultats. Nous ne pouvons évidemment pas comparer G, puisque le calcul n’est
pas réalisable à partir de tels maillages.
20
IV.1.2 Test du couplage de ces 2 éléments au niveau du maillage
Pour s’assurer que le couplage de ces deux éléments (QUAD 2Q2C et TRIA
2P2C) ne fausse pas les résultats, on peut considérer le même domaine d’étude, mais
avec un essai mécanique dont on connait la solution analytique. C’est le cas d’une
poutre en traction. On revoit donc les conditions aux limites cinématiques de manière à
introduire l’encastrement de la base de la plaque. On a donc le problème classique
suivant :
s
La solution analytique de ce problème est connue. En élasticité
linéaire, on a la relation s = E e. On a alors suivant y :

yy
 E  yy  E
Uy
l
E
l
y
Cette formule est valable sur n’importe quel point du
domaine d’étude. Le nœud sur lequel nous avons vérifier
cette relation est le nœud haut gauche du maillage.
La relation est validée, le couplage entre ces 2 éléments
n’est donc pas une source d’erreur.
IV.1.3 Révision de l’approche théorique
Dans la littérature de la mécanique de la rupture, on trouve plusieurs formules
définissant le facteur d’intensité de contraintes dans le cas d’une plaque de largeur finie.
Nous avons pris l’une d’entre elles. Nous pouvons penser que ceele avec laquelle nous
avons fait les calculs analytiques est fausse, et par conséquent nous en prenons une
autre.
Une autre formule donnant le facteur correctif à introduire au niveau du calcul du KI
dans le cas d’une plaque de largeur finie est :
a 

F2   cos 
2b 


1
2
Ce qui nous donne dans notre cas, avec a=37mm et b=100mm :
F2=1.000025725
Ce facteur est beaucoup plus faible que le précédent, le résultat théorique en sera un peu
changé, mais pas dans le bon sens :
KI = s Spa.F2 = 0.34094 MPa.Sm et G = KI2 / E = 0,5812245 N/m
Un autre facteur nous a été donné par l’enseignant responsable du TER, sur une
solution analytique de référence : F=1,98.
On a alors :
KI = s Spa.F = 0.67505 MPa.Sm et G = KI2 / E = 2,27851.10 -6 N/m
IV.1.4 Recours à un autre code de calcul : CASTEM 2000
21
La 2ème partie de ce TER portant sur l’utilisation de ce code, nous nous
proposons d’étudier ce même cas test pour avoir des résultats numériques présentables.
Nous ne donnerons pas ici le détail des calculs ni les valeurs numériques obtenues. Ceci
fait l’objet du début de la 2ème partie du rapport. Nous noterons tout de même que les
valeurs obtenues sur les 2 codes sont comparables au niveau des décimales. On pourra
conclure sur l’unité du résultats numérique. Ceci n’explique pas la large différence
même sur CASTEM avec la théorie. Les résultats seront présentés plus loin, dans la 2ème
partie entièrement consacrée à CASTEM 2000.
IV.2
Solutions envisagées
L’autre aspect est la programmation fortran77. Il a en effet fallu « fouiller » dans
les sources f77 (qui ne sont pas fournis ici) afin de déceler toutes les sources d’erreurs.
Dans le programme GCALXX, nous avons changer le remplissage de la matrice
d’élasticité (subroutine MILIEU) car le coefficient de Lamé l était mal défini : l’étude
est faite en contraintes planes alors que la valeur affectée au coefficient dans le
programme était celle d’une étude en déformations planes. De plus au niveau des
itérations pour le calcul des G élémentaires, une somme en trop figure dans le
programme, nous avons donc jugé bon de l’enlever et de faire les calculs avec le nouvel
exécutable obtenu après compilation et édition de liens.
A ce stade du TER, nous pensons que les résultats de MODULEF ne sont pas acceptables.
V.
CONCLUSION
Dans le tableau ci-dessous figurent les résultats numériques obtenus sur les 2
codes de calcul. Les valeurs analytiques sont calculées avec le facteur correctif F=1,98 .
Contrainte
(MPa)
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
1,75
2
Taux de restitution d'énergie G (en N/mm)
ERREUR %
MODULEF
CASTEM 2000
ANALYTIQUE
CASTEM/ANALYTIQUE
16,34341
65,37364
147,09072
261,49460
408,58520
583,62800
800,82720
1045,97840
1,634580E-04
6,538330E-04
1,471120E-03
2,615330E-03
4,086450E-03
5,884490E-03
8,009450E-03
1,046130E-02
1,4240722E-04
5,6962886E-04
1,2816650E-03
2,2785154E-03
3,5601804E-03
5,1266598E-03
6,9779536E-03
9,1140618E-03
14,70%
14,70%
14,80%
14,90%
14,60%
14,80%
14,70%
14,20%
On constate que les résultats fournis par MODULEF sont 105 fois supérieur à
ceux obtenus par CASTEM 2000, même si les décimales sont très similaires. A priori
l’unité du taux de restitution d’énergie sortant du logiciel est en Newton par unité de
longueur, ici N/mm. Le problème provient peut-être de ces unités justement.
La finesse du maillage et le degré des éléments finis utilisés ne sont à priori pas
à remettre en question ici.
VI. ANNEXE 1
22
VI.1
Jeu de data relatif à chaque module
RAYON.DTA (maillage rayonnant mray.sd)
'COORDONNEES DES 2 POINTS DEFINISSANT LA GENERATRICE ANGULAIRE
'
37.
0.
66.
0.
'ANGLE DE GENERATION (EN DEGRE)
'
180
'NOMBRE DE SECTEURS A GENERER
'
12
'NOMBRE DE SOMMETS SUR LA GENERATRICE
'
7
'PROGRESSION GEOMETRIQUE DES SOMMETS SUR LA GENERATRICE
'
1.1
'SENS DE GENERATION (1, 2, 3 OU 4) '
1
'NUMERO DE REFERENCE DU SOMMET DEFINISSANT L'ORIGINE DE LA GENERATRICE'
3
'NUMERO DE REFERENCE DU SOMMET DEFINISSANT LA GENERATRICE '
3
'NUMERO DE REFERENCE DU SOMMET DEFINISSANT LE DERNIER COTE GENERE
'
0
'NUMERO DU SOUS DOMAINE
'
1
'INDICATEUR DE DECOUPAGE DES QUADRANGLES GENERES
'
0
'INDICE D IMPRESSION DE LA SD NOPO RESULTAT
'
10
nopo1.dat (maillage de nopo1.sd)
nopo1.dat (data nopo1.sd)
23
'TER
'POIN
10
7
$ IMPRE NPOINT $
$
NOP
NOREF(NOP)
X(NOP).
Y(NOP). $
1
2
0.000000E+00
0.000000E+00
2
0
0.800000E+01
0.000000E+00
3
3
0.660000E+02
0.000000E+00
4
3
0.100000E+03
0.000000E+00
5
0
0.100000E+03
0.400000E+02
6
2
0.000000E+00
0.400000E+02
7
0
0.370000E+02
0.000000E+00
'LIGN
10
6
$ IMPRE NDLM
$
$
NOLIG NOELIG NEXTR1 NEXTR2 NOREFL NFFRON
RAISON $
1
3
1
2
0
0
0.100000E+01
2
13
3
2
0
-3
0.100000E+01
7
$ NOCE
3
8
3
4
3
0
0.100000E+01
4
10
4
5
0
0
0.100000E+01
5
20
5
6
0
0
0.100000E+01
6
10
6
1
2
0
0.100000E+01
'TRIA
10
1
1
6
1
$ IMPRE NIVEAU NUDSD NBRELI
NPROPA
$ LISTE DES LIGNES DU CONTOUR :
1
2
3
4
5
6
1
0
0
$ NCOMP NBRINT IOPT $
6
$ COMPOSANTE $
'RENC
10
1
2
$ IMPRE NIVEA1 NIVEA2
'SAUV
10
2
0
$ IMPRE NINOPO NTNOPO
nopo1.sd
$ NOM FICHIER
'FIN
'
'
'
'
'
'
'
nopo2.dat (maillage de nopo2.sd)
'TER
'
24
'POIN
10
5
$ IMPRE NPOINT $
$
NOP
NOREF(NOP)
X(NOP).
Y(NOP). $
1
2
0.000000E+00
0.400000E+02
2
0
0.100000E+03
0.400000E+02
3
4
0.100000E+03
0.145000E+03
4
0
0.100000E+03
0.250000E+03
5
2
0.000000E+00
0.250000E+03
'LIGN
10
5
$ IMPRE NDLM
$
$
NOLIG NOELIG NEXTR1 NEXTR2 NOREFL NFFRON
RAISON $
1
20
1
2
0
0
0.100000E+01
2
14
2
3
0
0
0.100000E+01
3
16
3
4
0
0
0.100000E+01
4
20
4
5
1
0
0.100000E+01
5
30
5
1
2
0
0.100000E+01
'TRIA
10
1
1
5
1
$ IMPRE NIVEAU NUDSD NBRELI
NPROPA
$ LISTE DES LIGNES DU CONTOUR :
1
2
3
4
5
1
0
0
$ NCOMP NBRINT IOPT $
5
$ COMPOSANTE $
'RENC
10
1
2
$ IMPRE NIVEA1 NIVEA2
'SAUV
10
2
0
$ IMPRE NINOPO NTNOPO
nopo2.sd
$ NOM FICHIER
'FIN
coma.dat (interpolation donnant MAIL.SD et COOR.SD)
0
INTERPRETEES
2
1
4
0
ELAS
2
QUAD 2Q2C
TRIA 2P2C
2
QUAD 2Q2C
TRIA 2P2C
NOPO.SD
0
MAIL.SD
0
COOR.SD
0
0
0
$ Y A T IL DES FONCTIONS
0
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
NDIM
NDSD
NBSDC
NNR
NBLC
NOM DE LA BIBLIOTHEQUE
NTYED DU SD
1
LE NOM DES ELEMENTS DROITS
LE NOM DES ELEMENTS DROITS
NTYEC DU SD
1
LE NOM DES ELEMENTS COURBES
LE NOM DES ELEMENTS COURBES
NOM DU FICHIER
ET NIVEAU DE LA SD NOPO
NOM DU FICHIER
ET NIVEAU DE LA SD MAIL
NOM DU FICHIER
ET NIVEAU DE LA SD COOR
NTMAIL NTCOOR
cobd.dat (conditions aux limites cinématiques donnant COBD.SD)
MAIL.SD
$ NOM DU FICHIER
25
'
'
'
'
'
'
35
COBD.SD
35
0
1
2
5
2
1 VN
MNEMO
3
2 VN
MNEMO
0.0000000E+00
0.0000000E+00
0
0
SI CL EN RL PAR SP
$
$
$
$
$
$
ET NIVEAU DE LA SD MAIL
NOM DU FICHIER
ET NIVEAU DE LA SD BDCL
NTBDCL
ICONST NBFR NTYP
REF
INC.VARIATIONNELLE
$ REF
$
$
$
$
INC.VARIATIONNELLE
VALEUR
VALEUR
1 SI SD NDL1
2 SI CL EN RL A LA MAIN ; -1
elas.dat (calcul des quantités élémentaires donnant TAE.SD)
MAIL.SD
$ NOM DU FICHIER
35
$
ET NIVEAU DE LA SD MAIL
COOR.SD
$ NOM DU FICHIER
35
$
ET NIVEAU DE LA SD COOR
tae.sd
$ NOM DU FICHIER
35
$
ET NIVEAU DE LA SD TAE
0
$ NTTAE
1
$ 1 SI POBA EST UTILISE , 0
SINON
/usr/local/modulef/hp700/sta/etc/poba.direct
2
$ NPROV
0
$ NTHELA
0
1
1
1
$ IOPT(*)
:RIE
0
$ NOM DU TABLEAU DES CL ET
NOMBRE DE CL
1
$ NOMBRE DE SD A DECRITS ,
LISTE
1
1
$ NBRE DE REFERENCES DECRITES ,
LISTE
1
2
0
1
$ NDIM NAXIS ISOTROPIE
1
$ NOPTIO
0.2000000E+06
0.3000000E+00
0.0000000E+00 $ TENSEUR E(I,J)
0.0000000E+00
0.0000000E+00
0.0000000E+00 $ TENSEUR E(I,J)
1
$ NDSM
0.0000000E+00
0.0000000E+00
$ F DANS OMEGA
0.0000000E+00
0.1000000E+03
$ F SUR GAMMA
chol.dat (résolution par la méthode de Cholesky donnant sd B.SD)
MAIL.SD
$ NOM DU FICHIER
26
1
1
tae.sd
1
1
SINON
COBD.SD
1
0
B.SD
1
10
5
$
ET NIVEAU DE LA SD MAIL
$ NDSM NTYP ND
$ NOM DU FICHIER
$
ET NIVEAU DE LA SD TAE
$ 1 SI BDCL EST UTILISE , 0
2
$
$
$
$
$
$
NOM DU FICHIER
ET NIVEAU DE LA SD BDCL
1 SI CL. EN RL. EXISTE
NOM DU FICHIER
ET NIVEAU DE LA SD B
IMPREB
RAY_THETA.DTA (création THETA.SD)
0
12
1. 1. 0.
4.83 29.
VI.2
structures de données formatées
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
IMPRESSION DE LA S.D. NOPO DE NIVEAU 5
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
TITRE
:
DATE ET NOM UTILISATEUR
: 25/05/99 pohier
TYPE DE LA STRUCTURE DE DONNEES : NOPO
NIVEAU ET NUMERO D'ETAT
:
5
0
NOMBRE DE TABLEAUX ASSOCIES
:
0
TABLEAU N O P 2
---------------CARACTERISTIQUES DU MAILLAGE :
DIMENSION DE L'ESPACE
(NDIM )
MAXIMUM DES NUMEROS DE REFERENCE
(NDSR )
MAXIMUM DES NUMEROS DE SOUS-DOMAINE
(NDSD )
NOEUDS ET POINTS NE COINCIDENT PAS
(NCOPNP)
NOMBRE D'ELEMENTS DU MAILLAGE
(NE
)
NOMBRE DE TRIANGLES
(NTRI )
NOMBRE DE QUADRANGLES
(NQUA )
NOMBRE D'ELEMENTS FRONTALIERS
(NEF )
NOMBRE DE NOEUDS
(NOE )
NOMBRE DE NOEUDS PAR SEGMENT (HORS EXTREMITES)
NOMBRE DE POINTS
(NP )
TYPE DES VALEURS DES COORDONNEES
(NTYCOO)
DIFFERENCE MAX + 1 ENTRE 2 NOEUDS D'UN ELEMENT
NOMBRE D'ELEMENTS GROSSIERS
(NBEGM )
NOMBRE DE MOTS DU TABLEAU NOP5
(LNOP5 )
AXES DE REFERENCE X,Y,Z
(NTACOO)
:
2
:
5
:
1
:
0
:
1287
:
1227
:
60
:
198
:
2750
:
1
:
732
: REEL1MOT
:
117
:
0
: 19518
:
1
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
IMPRESSION DE LA S.D. MAIL DE NIVEAU 0
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
27
TITRE
DATE ET NOM UTILISATEUR
TYPE DE LA STRUCTURE DE DONNEES
NIVEAU ET NUMERO D'ETAT
NOMBRE DE TABLEAUX ASSOCIES
:
: 25/05/99
: MAIL
:
0
:
0
pohier
0
TABLEAU M A I 2
---------------DIMENSION DE L'ESPACE
(NDIM) :
2
NOMBRE D'INCONNUES DE LA FORMULATION VARIATIONNELLE (NINCFV) :
NOMBRE DE TYPES D'ELEMENTS
(NTYELM) :
2
NOMBRE DE NUMEROS DE REFERENCES
(NNR) :
5
NOMBRE DE TYPES DE NOEUDS
(NTYNOE) :
1
NOMBRE DE TYPES DE POINTS
(NTYPOI) :
1
NOMBRE DE MOTS DU TABLEAU MAI3
(LMAI3) :
36
LES POINTS NE SONT DEFINIS QUE PAR LEURS COORDONNEES
NOEUDS ET POINTS COINCIDENT PARTOUT
(NCOPNP) :
1
NOMBRE MAXIMUM DE MOTS POUR UN ELEMENT (NMMAEL) :
25
NOMBRE DE MOTS DU TABLEAU MAIL
(LMAIL) : 16884
OPTION DE STOCKAGE
(NOPFI) :
0
TABLEAU M A I 3
---------------NOMBRE D'ELEMENTS
NOMBRE DE NOEUDS
NOMBRE DE POINTS
NOMBRE DE SOUS-DOMAINES
(NE)
(NOE)
(NP)
(NDSD)
:
:
:
:
2
1287
2750
2750
1
NOMBRE D'INCONNUES VARIATIONNELLES DE CHAQUE TYPE DE NOEUD
---------------------------------------------------------DEPLACEMENT EN X (INCONNUE :
DEPLACEMENT EN Y (INCONNUE :
1) : VN
2) : VN
TABLEAUX M A I B
A
M A I K
------------------------------DESCRIPTION DES TYPES D'ELEMENTS
TYPE D'ELEMENT
1
:
------------------NOM DE L'ELEMENT
: ELASQUAD2Q2C
CODE DE L'ELEMENT
: 200008
L'ELEMENT EST UN
: QUADRANGLE
NOMBRE DE NOEUDS
:
8
NOMBRE DE POINTS
:
8
NOMBRE DE TABLEAUX ASSOCIES :
1
--------------------------------------------------------------------TYPE D'ELEMENT
2
:
------------------NOM DE L'ELEMENT
: ELASTRIA2P2C
CODE DE L'ELEMENT
: 200003
L'ELEMENT EST UN
: TRIANGLE
NOMBRE DE NOEUDS
:
6
NOMBRE DE POINTS
:
6
NOMBRE DE TABLEAUX ASSOCIES :
1
---------------------------------------------------------------------
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
IMPRESSION DE LA S.D. COOR DE NIVEAU 0
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
28
TITRE
DATE ET NOM UTILISATEUR
TYPE DE LA STRUCTURE DE DONNEES
NIVEAU ET NUMERO D'ETAT
NOMBRE DE TABLEAUX ASSOCIES
:
: 25/05/99
: COOR
:
0
:
0
TABLEAU C O O 2
--------------TYPE DU TABLEAU COO4
(NTYT)
NOMBRE DE SES INDICES
(NINDI)
DIMENSION DU DOMAINE
(NDIM)
VALEUR MAXIMALE DU DEUXIEME INDICE
(M2)
CODE DE LA SEGMENTATION
(NCODS)
NOMBRE DE BLOCS
(NBLOC)
TYPE DES AXES DES COORDONNEES
(NTACOO)
pohier
0
:
:
:
:
:
:
:
2
2
2
2750
1
1
1
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
IMPRESSION DE LA S.D. BDCL DE NIVEAU 35
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
TITRE
:
DATE ET NOM UTILISATEUR
: 25/05/99 pohier
TYPE DE LA STRUCTURE DE DONNEES : BDCL
NIVEAU ET NUMERO D'ETAT
:
35
0
NOMBRE DE TABLEAUX ASSOCIES
:
0
TABLEAU B D C 2
---------------TYPE DES VALEURS DE BLOCAGE
(NTYB)
NOMBRE DE CARTES DECRIVANT LES BLOCAGES (NCART)
NOMBRE DE RELATIONS LINEAIRES DE BLOCAGE (NCLRL)
NUMERO D'OPTION DE STOCKAGE
(NOPTFI)
NOMBRE DE MOTS DU TABLEAU BDC3
(NMMAT3)
NOMBRE DE MOTS DU TABLEAU BDC4
(NMMAT4)
NOMBRE DE MOTS DU TABLEAU BDC5
(NMMAT5)
NOMBRE DE MOTS DU TABLEAU BDC6
(NMMAT6)
:
:
:
:
:
:
:
:
5
103
0
0
309
206
0
0
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
IMPRESSION DE LA S.D. TAE DE NIVEAU 35
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
TITRE
:
DATE ET NOM UTILISATEUR
: 16/04/99 pohier
TYPE DE LA STRUCTURE DE DONNEES : TAE
NIVEAU ET NUMERO D'ETAT
:
35
0
NOMBRE DE TABLEAUX ASSOCIES
:
0
TABLEAU T A E 2
---------------NOMBRE D'ELEMENTS
(NE)
NOMBRE DE NOEUDS
(NOE)
NOMBRE DE TABLEAUX ASSOCIES A CHAQUE ELEMENT
(NTACE)
NOMBRE MAXIMUM DE NOEUDS D'UN ELEMENT
(NNOMAX)
NOMBRE CONSTANT DE D.L. PAR NOEUD ( 0 SI NON )
(ND)
NOMBRE MAXIMUM DE D.L. PAR NOEUD
(NDLMAX)
NOMBRE DE TYPE D'ELEMENTS
(NTYELM)
SOMME DU NOMBRE DE NOEUDS DES TYPES D'ELEMENTS (LNOET)
PROBLEME : 1 THERMIQUE, 2 ELASTIQUE, 3 AUTRE
(NPROV)
29
:
:
:
:
:
:
:
:
:
1180
674
3
4
2
2
2
7
2
LES OPTIONS CHOISIES
NUMERO DU TABLEAU ASSOCIE QUI REPRESENTE
LA MASSE
LA RAIDEUR
LA PREMIERE COMBINAISON LINEAIRE
LA DERNIERE
LE(S) SECOND(S) MEMBRE(S)
LES CONTRAINTES OU LE FLUX
(NOPTNT) :
:
:
:
:
:
:
:
111
0
1
0
0
2
3
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
IMPRESSION DE LA S.D. B
DE NIVEAU 1
(B.SD)
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
TITRE
:
DATE ET NOM UTILISATEUR
: 25/05/99 pohier
TYPE DE LA STRUCTURE DE DONNEES : B
NIVEAU ET NUMERO D'ETAT
:
1
2
NOMBRE DE TABLEAUX ASSOCIES
:
0
TABLEAU B 2
-----------TYPE DU TABLEAU
(NTYT) :
5
NOMBRE DE SES INDICES ET LEURS MAXI
(NIND..) :
2
1
5500
TRAITEMENT (1:PAGES DE MEME TAILLE,0:SINON) (NCOD) :
1
NOMBRE DE PAGES DU TABLEAU B4
(NBLOC) :
1
NOMBRE DE NOEUDS
(NOE) :
2750
NOMBRE DE TABLEAUX B4 DANS CETTE S.D.
(NBBLOC) :
1
NOMBRE CONSTANT DE D.L. PAR NOEUD OU 0
(ND) :
2
NOMBRE DE D.L. OU LONGUEUR D'UNE PAGE DE B4 (NTDL) :
5500
CODE DE STOCKAGE DE B
(NCODSB) :
-1
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
IMPRESSION DE LA S.D. B
DE NIVEAU 0
(THETA.SD)
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
TITRE
:
DATE ET NOM UTILISATEUR
: 25/05/99 pohier
TYPE DE LA STRUCTURE DE DONNEES : B
NIVEAU ET NUMERO D'ETAT
:
0
0
NOMBRE DE TABLEAUX ASSOCIES
:
0
TABLEAU B 2
-----------TYPE DU TABLEAU
(NTYT)
NOMBRE DE SES INDICES ET LEURS MAXI
(NIND..)
TRAITEMENT (1:PAGES DE MEME TAILLE,0:SINON) (NCOD)
NOMBRE DE PAGES DU TABLEAU B4
(NBLOC)
NOMBRE DE NOEUDS
(NOE)
NOMBRE DE TABLEAUX B4 DANS CETTE S.D.
(NBBLOC)
NOMBRE CONSTANT DE D.L. PAR NOEUD OU 0
(ND)
NOMBRE DE D.L. OU LONGUEUR D'UNE PAGE DE B4 (NTDL)
CODE DE STOCKAGE DE B
(NCODSB)
VI.3
Visualisation des résultats
30
:
:
:
:
:
:
:
:
:
5
2
1
1
2750
1
2
5500
-1
1
5500
Les pages suivantes présentent les différents maillage intermédiaires et le
maillage final, ainsi que la déformée. Nous présentons également les tests pour vérifier
le calcul élastique. Figurent également le champ de contraintes, les isovaleurs des
déplacements en X puis en Y, ainsi que la sd THETA.
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
VI.4
Fichier résultats GCALG.RES
48
------------------------------------------------------------
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
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ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
.
.
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
1
2
3
4
5
6
7
8
11
12
13
14
15
16
17
18
20
21
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
---------------------------------------------------
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
=
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-.4816866D+00
-.5029084D-04
-.5184970D-02
.1500834D+00
.8445404D-01
-.1727061D-01
-.6652169D-03
.9455963D-01
.2779733D-03
-.2026807D-01
-.7199015D-01
.3170321D-01
-.8186101D-02
.8476094D-01
-.3278036D-01
.2416588D-01
.1617434D-01
.2620570D-02
-.1834230D-02
-.6996152D-02
.1283200D-01
-.1006544D-02
-.5578192D-01
.2049324D-01
.3057563D-01
-.2274181D-01
.2879000D-01
-.2184816D-01
.2932154D-01
-.2538035D-01
.0000000D+00
-.6593936D-02
-.4204129D-02
.0000000D+00
-.3379729D-01
.1964647D-01
.1580015D-01
.1696900D-02
.2009029D-01
-.1601207D-01
.1541984D-01
.0000000D+00
-.1450964D-01
-.4147283D-02
.0000000D+00
.0000000D+00
-.4288888D-03
.0000000D+00
.0000000D+00
-.1111930D-02
67
68
69
70
71
72
73
74
75
----------
G
G
G
G
G
G
G
G
G
=
=
=
=
=
=
=
=
=
.6980630D-03
-.2461949D-01
.1457930D-03
-.9926844D-01
.8007455D-04
-.3012290D-01
.5130536D-03
.0000000D+00
-.1116870D-02
49
-------------------------------------------------------------
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
.
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
-------------------------------------------------------------
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
=
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.2523793D-02
.0000000D+00
.3985649D-01
-.3478769D-01
.3737032D-01
-.1173429D+00
.2938483D+00
.1041221D-01
-.6254855D-01
.4737444D-01
-.3049451D-01
-.5211064D+00
.7868050D+00
-.3768885D+00
.1239148D+00
.6768085D+00
.0000000D+00
-.5576319D+00
.2210016D-01
.2223662D+00
.2937947D-02
.1049624D-03
-.2419468D+00
.6177510D+00
.4060996D+00
-.1076676D-01
.9090403D-03
.0000000D+00
.1616332D-02
.0000000D+00
-.7788085D-02
-.8451153D-02
.4104099D+00
-.1361814D-01
.0000000D+00
.1180678D-01
.0000000D+00
.1435336D-01
.0000000D+00
.0000000D+00
-.4564642D-02
.1342923D-02
.2774731D-01
.0000000D+00
-.2529021D-03
-.2542985D-02
-.6180479D-03
.3404320D-02
.3157054D-01
-.2982811D-01
-.1229944D-01
-.6677247D-02
.2897845D-01
-.1910386D-01
.0000000D+00
-.2806729D-02
.2090339D-01
-.5312485D-02
.0000000D+00
.5087548D-02
50
-------------------------------------------------------------
.
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
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ELEMENT
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ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
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ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
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ELEMENT
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ELEMENT
ELEMENT
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ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
145
146
147
148
149
150
155
156
157
158
159
160
161
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164
165
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167
168
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170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
-------------------------------------------------------------
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
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G
G
G
G
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G
G
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G
G
G
G
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G
G
G
G
G
G
G
G
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-.9945144D-04
.0000000D+00
.0000000D+00
.1923725D-02
.2740722D-01
-.1126842D+00
.0000000D+00
-.1117555D-01
-.2638525D-02
-.1923274D-01
.0000000D+00
.9305267D-02
.3953279D-01
-.1701156D-04
-.4268277D-02
.3405882D-03
.1225469D-01
.0000000D+00
.4169327D-02
.5089221D-02
-.1044614D-01
.0000000D+00
.5072291D-03
.0000000D+00
.0000000D+00
-.4778440D-02
.2484043D-02
-.2556603D-02
.7522651D-02
-.1999724D-01
-.2216026D-01
.0000000D+00
-.4224958D-02
.1715376D-01
.2634735D-01
-.2374308D-01
.1922063D-01
.4813220D-01
-.1374707D-01
-.2119484D-01
.2083620D-01
-.4726268D+00
.3457533D-01
-.7826463D+00
.1167286D+01
.0000000D+00
-.4694965D+00
-.1803050D+01
-.1099625D+01
.5500665D+00
-.2912435D-02
-.2584625D+01
.4460174D+00
-.3990301D+01
.2154349D+01
-.5994558D+01
.7788058D+01
.0000000D+00
.3867197D-01
-.5305872D+01
51
--------------------------------------------------------------
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
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209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
--------------------------------------------------------------
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
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-.7808927D+01
-.6845682D+01
-.4379842D+01
.0000000D+00
.2026517D+00
.1641899D+02
.1446510D+02
.2453291D+02
.1312575D+02
.2459509D+02
.6925821D-01
.2092870D+02
.1994363D+02
-.3093576D+02
.1944025D+02
.1640466D+02
.1916846D+01
.2439982D+02
-.2641442D+02
-.6904565D+01
-.3066787D+02
-.4146975D+01
.6430904D+01
-.1865455D+02
.2481587D+02
-.1596451D+02
-.1332134D+00
.0000000D+00
.5149860D+01
.0000000D+00
-.1108651D+02
.1742068D+02
-.2268415D+02
.1274075D+02
-.6824496D+01
.1770457D+01
.9995483D+01
-.1055983D+02
-.4439292D+01
-.8109508D+00
.6078279D+01
.1494310D+01
.5651703D-01
-.5514454D+00
.5729476D+00
-.2644692D+00
.3637876D+00
-.2611551D-01
-.2123850D+00
-.1252353D+00
.4029382D+00
.1608970D-01
.3856273D+00
.0000000D+00
.0000000D+00
.0000000D+00
-.1397250D-02
.0000000D+00
-.5117646D-03
-.3637615D-01
-.3212775D-03
52
-----------------------
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
-----------------------
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
=
=
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=
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=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
.3294433D-03
.7594641D-01
.2998249D-02
.0000000D+00
-.1717063D-02
-.1771968D-01
.0000000D+00
.1528813D-01
.0000000D+00
.0000000D+00
.3647079D-01
-.5400485D-01
.0000000D+00
.0000000D+00
.0000000D+00
.0000000D+00
.0000000D+00
.0000000D+00
-.3857621D-02
.0000000D+00
.0000000D+00
.2106884D-02
1281
1282
1283
1284
1285
1286
1287
--------
G
G
G
G
G
G
G
=
=
=
=
=
=
=
.0000000D+00
.0000000D+00
.0000000D+00
.0000000D+00
.0000000D+00
.0000000D+00
.0000000D+00
.
.
--------
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
ELEMENT
G GLOBAL =
.6537365D+02
Ce fichier est le fichier résultat dans lequel sont stockées les valeurs des taux
élémentaire, puis par somme la valeur du taux de restitution d’énergie global Gglobal.
53
PARTIE 2
54
Cette seconde partie du TER consiste à évaluer numériquement le taux de
restitution d’énergie via la méthode G-THETA à l’aide du code de calculs par Eléments
Finis CASTEM 2000.
Pour se familiariser avec le logiciel, on se propose de reprendre le cas test
présenté sur MODULEF : plaque fissurée en son centre soumise à une traction.
Nous nous consacrerons ensuite à l’étude d’une éprouvette CT (Compact Tension), de
traction. L’étude sera tout d’abord faîte dans le cas isotrope. Nous tenterons ensuite de
valider une « astuce » qui permet de traiter également le cas en orthotrope.
I.
REPRISE DU CAS TEST DE LA PLAQUE 2D FISSUREE
La méthode G-THETA est implémentée sur CASTEM 2000, on pourra donc
obtenir une évaluation numérique de G. Le domaine d’étude, l’effort appliqué ainsi que
les conditions aux limites cinématiques sont rigoureusement les mêmes.
Les valeurs de G que nous avons obtenu sur MODULEF nous parraissaient
complétement abhérentes, nous allons pourtant montrer que les changements que nous
avons apportés au programme GCALXX permettent d’obtenir des valeurs
présentables(*), à un facteur de 10 près.
Le même cas d’école (modèle de Griffith) a été repris sur le code de calcul
CASTEM 2000, et les résultats qu’il donne sont complétement comparable à ceux
donnés par MODULEF. En appliquant successivement les mêmes chargement à la
même géométrie, les résultats sont quasiment identiques à un facteur 105 près.
Nous présentons dans un tableau page suivante les valeurs du taux de restitution
d’énergie obtenu via CASTEM 2000, et nous porterons notre attention non pas sur la
courbe mais sur les valeurs qui sont, comme expliqué précédemment particulièrement
analogue à celles obtenues via MODULEF.
On présentera également dans un même tableau les valeurs des 2 codes de calcul
MODULEF et CASTEM 2000
SOLUTION NUMERIQUE - CASTEM 2000
Taux de restitution d'énergie G en N/mm
Contrainte en MPa
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
1,75
2
quart de la plaque
plaque entière
4,08645E-05
1,63458E-04
3,67780E-04
6,53833E-04
1,02161E-03
1,47112E-03
2,00236E-03
2,61533E-03
1,63458E-04
6,53833E-04
1,47112E-03
2,61533E-03
4,08645E-03
5,88449E-03
8,00945E-03
1,04613E-02
(*) : On considère que l’on peut faire confiance à CASTEM 2000.
55
SOLUTION EXPERIMENTALE - CASTEM 2000
Evolution du taux de restitution d'énergie en fonction du chargement pour a=37mm
1,20000E-02
Taux de restitution d'énergie G (en N/mm)
1,00000E-02
8,00000E-03
6,00000E-03
a=37mm
4,00000E-03
2,00000E-03
0,00000E+00
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
1,75
2
Contrainte s (en MPa)
COMPARAISON ENTRE MODULEF ET CASTEM 2000
Taux de restitution d'énergie G (en N/mm)
Contrainte (MPa)
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
1,75
2
MODULE
F
CASTEM 2000
16,343412
65,373640
147,090720
261,494600
408,585200
588,362800
800,827200
1045,978400
0,000163458
0,000653833
0,001471120
0,002615330
0,004086450
0,005884490
0,008009450
0,010461300
On constate sur le tableau qu’à part le facteur 105, les valeurs sont similaires. On
sait que dans CASTEM 2000, la méthode G-THETA est bien implémentée et que les
résultats qui en sortent sont corrects. On pourra donc conclure sur l’origine des erreurs
dans MODULEF.
Les valeurs présentées ci-dessus sont obtenues avec les éléments finis TRI3 et
QUA4 de CASTEM, qui sont respectivement des triangles droits à 3 nœuds et des
quadrangles droits à 4 nœuds. On se propose d’étudier l’influence de l’élément fini sur
les résultats. On relancer pour ce faire le calcul avec les éléments QUA8 et TRI6, qui
sont des éléments courbes à respectivement 8 et 6 nœuds. La différence des résultats en
fonction de l’élément est représentée par les courbes pages suivantes. La solution
analytique apparaît également sous forme de courbe afin de situer la solution
expérimentale par rapport à la théorie.
56
SOLUTION EXPERIMENTALE - CASTEM 2000
influence du degré de l'élément fini sur la solution
1,20E-02
taux de restitution d'énergie G (en N.mm-1)
1,00E-02
8,00E-03
6,00E-03
éléments droits
éléments courbes
solution analytique
4,00E-03
2,00E-03
0,00E+00
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
1,75
2
contrainte s (en MPa)
La solution experimentale est encore assez éloignée de la solution analytique, ce
qui semble assez curieux puisque CASTEM devrait donner les bons résultats. Le
problème de l’unité en sortie de CASTEM se pose toujours…
Remarque : Cette étude du même cas test a été réalisée afin d’avoir le logiciel en
main pour aborder la suite sans se poser trop de questions. Nous avons ainsi pu nous
familiariser avec l’environnement CASTEM, avec les datas qui se programment en
GIBIANE (macro langage)…
On présentera en annexe 2 le maillage et les contraintes (critère de Von-Mises).
II.
ETUDE D’UNE EPROUVETTE CT (Compact Tension) EN
2D, DANS LE CADRE DE L’E.L.H.I.
II.1
Etude théorique de l’éprouvette CT ( KI et G)
L’éprouvette étudiée ici est une éprouvette CT normalisée ayant les dimensions
suivantes :
w
0.25 w
diamètre
0.275 w
1,2 w
a
B
57
1,25 w
Notre étude sera faite en déformations planes, avec w=14mm, et a=7,..,13mm
pour être cohérent avec les résultats expérimentaux donnés en annexe 3. On rappelle
que cette étude est réalisée en 2D, pour un matériau isotrope et dans le cadre de l’ELHI.
Dans la littérature classique de la mécanique de la rupture, ainsi que dans
l’article fourni en annexe 3, on trouve l’expression du facteur d’intensité de contraintes :
1
3
5
7
9


2
2
2
2
a
a
a
a
a
29,6    185,5    655,7    1017    638,9   2 
KI 
B w
 w
 w
 w
 w
 w 


P
Où P est le chargement en Newtons (N), B la l’épaisseur de l’éprouvette, w la
largeur de l’éprouvette et a la longueur de fissure initiale.
La relation liant le facteur d’intensité de contraintes au taux de restitution d’énergie G
est dans l’hypothèses des déformations planes :
1  2 2
G
KI
E
Où E et n sont respectivement le module d’Young et le coefficient de poisson du
matériau. Nous prendrons pour notre étude : E = 18,4 Gpa et n = 0,32.
Notre étude est faite dans le cas isotrope, en 2D. Il faudra, lors des calculs
analytiques, tenir compte de l’épaisseur B qui intervient dans le calcul du facteur
d’intensité de contraintes.
On considére l’épaisseur unité pour être cohérent avec le chargement appliqué
dans CASTEM sur la structure 2D.
La page suivante présente les résultats théoriques du facteur d’intensité de contraintes
KI, et du taux de restitution d’énergie G en fonction de l’effort appliqué, et pour
différentes longueurs de fissure initiale. Les courbes sont également tracées, il va sans
dire que leurs allures sont les mêmes que pour le problème précédent.
Les valeurs ont été obtenues à l’aide d’un petit programme FORTRAN77
développé dans le but d’éviter d’effectuer le calcul, assez fastidieux, pour chaque
chargement et chaque longueur de fissure à la calculette. Ce programme prog.f figure en
annexe 2.
Remarque : On notera cette fois que le chargement P dans la formule est un effort en
Newtons et non plus une contrainte en MPa comme c’est le cas pour la plaque (modèle
de Griffith). L’unité du facteur d’intensité de contrainte KI est donc ici N.mm-3/2 et celle
du taux de restitution d’énergie G est N.mm-1.
58
59
K=f(P,a)
Evolution du facteur d'intensité de contraintes en fonction du chargement P pour différentes longueurs de
fissure initiale a
3500
3000
2500
2000
1500
1000
a=13mm
a=12mm
a=11mm
a=10mm
a=9mm
a=8mm
a=7mm
500
-3/2
4000
facteur d'intensité de contraintes K I (en N.mm )
4500
a=7mm
a=8mm
a=9mm
a=10mm
a=11mm
a=12mm
a=13mm
0
25
50
75
100
150
125
175
200
Chargement P (enN)
G=f(P,a)
Evolution du taux de restitution d'énergie en fonction du chargement P pour différentes longueurs de fissure initiale a
1000
800
700
600
500
400
300
200
a=13mm
a=12mm
a=11mm
a=10mm
a=9mm
100
0
a=8mm
a=7mm
25
50
100
75
125
150
Chargement P (en N)
60
175
200
Taux de restitution d'énergie G (en N.mm-1)
900
a=7mm
a=8mm
a=9mm
a=10mm
a=11mm
a=12mm
a=13mm
On prendra comme valeurs représentatives KI et G pour un chargement de 100 N
et une longueur de fissure initiale de 7mm. Ce qui nous donne :
KI = 256,6615 N.mm-3/2
pour le facteur d’intensité de contraintes.
G = 3,21356 N.mm-1
pour le taux de restitution d’énergie.
Ces valeurs théoriques pourront être comparées aux évaluations numériques par la
suite.
II.2
Calcul numérique avec CASTEM 2000
Nous détaillerons moins cette partie que pour MODULEF, puisque chaque étape
(maillage, conditions aux limites cinématiques, assemblage et résolution…) est
effectuée dans un seul data, en Gibiane. Le data de notre éprouvette CT figure en
annexe. Le temps nous manque dans le cadre de ce TER pour détailler chacune des
opérations comme avec MODULEF. Nous privilègions donc la présentation des
résultats obtenus, puis la comparaison avec la théorie.
Le calcul du taux de restitution d’énergie G sur CASTEM se fait par appel de la
procédure « G-THETA ». Le calcul du facteur d’intensité de contraintes sera également
effectué.
Les maillages, déformées et champs de contraintes figurent en annexe 2. Faute
de temps, nous ne présentons qu’une seule série de résultats : ils correspondent à une
longueur de fissure initiale de 7mm, le chargement variant de 25 à 200 Newtons.
Voici les résultats numériques obtenus avec ce logiciel. La valeur de G étant déjà
multipliée par 4, elle correspond au G global de l’éprouvette entière.
CHARGEMENT
KI
G
en N.mm-3/2
en N.mm-1
en Newtons (N)
Facteur d'intensité de contraintes
Taux de restitution d'énergie
25
50
75
100
125
150
175
200
64,395
128,79
193,19
257,58
321,98
386,37
450,77
515,16
0,34308
1,3723
3,0877
5,4892
8,5769
12,351
16,811
21,957
II.3
Conclusion : comparaison des résultats analytiques et numériques
Nous présentons les tableaux donnant les valeurs analytiques et numériques de
KI d’une part, et de G d’autre part. Le pourcentage d’erreur relative apparaîtra, ainsi que
les courbes donnant l’évolution de ces grandeurs en fonction de l’effort appliqué.
61
On rappelle que l’étude est faite pour une longueur de fissure initiale a=7mm.
II.3.1 Facteur d’intensité de contraintes KI
Voici la comparaison entre théorie et évalution numérique sous forme de
tableaux, d’erreur relative et de courbes, pour le facteur d’intensité de contraintes.
KI en N.mm-3/2 (facteur d'intensité de contraintes)
Chargement
Erreur relative
en Newtons (N)
SOLUTION ANALYTIQUE
SOLUTION NUMERIQUE
en %
25
50
75
100
125
150
175
200
64,16537
128,3307
192,4961
256,6615
320,8269
384,9922
449,1576
513,32
64,395
128,79
193,19
257,58
321,98
386,37
450,77
515,16
0,358
0,358
0,36
0,358
0,359
0,358
0,359
0,358
EPROUVETTE CT
Comparaison entre solution analytique et solution numérique (CASTEM 2000) pour une longueur de
fissure initiale a=7mm
600
400
-3/2
(en N.mm )
Facteur d'intensité de contraintes K
I
500
300
Solution analytique
200
solution expérimentale
100
0
25
50
75
100
125
150
175
200
Chargement P (en N)
On constate que les résultats numériques sont très proches des résultats
analytiques. Ceci se remarque au niveau de l’erreur relative, et sur les courbes ci dessus.
Elles sont quasiment superposées.
62
II.3.2 Taux de restitution d’énergie G
Voici la comparaison entre théorie et évaluation numérique sous forme de
tableaux, d’erreur relative et de courbes, pour le taux de restitution d’énergie.
G en N.mm-1 (taux de restitution d'énergie)
Chargement
Erreur relative
en Newtons (N)
SOLUTION ANALYTIQUE
SOLUTION NUMERIQUE
en %
25
50
75
100
125
150
175
200
0,208475
0,8033901
1,807628
3,21356
5,021188
7,230511
9,841529
12,85424
0,34308
1,3723
3,0877
5,4892
8,5769
12,351
16,811
21,957
64,5
70,8
70,8
70,8
70,8
70,8
70,8
70,8
EPROUVETTE CT
Comparaison entre solution analytique et solution numérique (CASTEM 2000) pour une longueur de fissure
initiale a=7mm
20
-1
Taux de restitution d'énergie G (en N.mm )
25
15
10
solution anlytique
5
solution numérique
0
25
50
75
100
125
150
175
200
Chargement (en N)
On constate cette fois que l’évalution numérique est très loin de la théorie. Une
erreur relative de 70% n’est pas acceptable dans un calcul de ce type. Cette différence se
retrouve sur les courbes.
L’évaluation numérique du facteur d’intensité de contraintes est quasi exact,
alors que le taux de restitution d’énergie est très loin d’approcher la théorie.
63
Les calculs numériques avec CASTEM ont été réalisés avec un maillage
constitué des éléments courbes QUA8 et TRI6. Le résultats de G, assez important par
rapport à la théorie, peut provenir du nombre de couronnes du maillage rayonnant
autour du fond de fissure (6 couronnes), les valeurs de G étant non nulles sur les
éléments du maillage rayonnant et sur ceux ayant au moins un nœud en commun avec la
couronne extérieure.
III. ETUDE DE L’EPROUVETTE CT DANS LE CAS
ORTHOTROPE
Le cas que nous avons traité dans le chapitre précédent est en fait un cas
particulier de cette étude. En effet, le matériau était considéré comme isotrope, c’est à
dire que ses caractéristiques étaient les mêmes dans toutes les directions. Nous nous
plaçons maintenant dans le cas orthotrope, c’est à dire que les caractéristiques du
matériau (module d’Young et coefficient de Poisson) sont différentes suivant la
direction considérée.
La procédure « G-THETA » de CASTEM 2000 n’a pas été prévue pour l’étude
en orthotrope. Il existe apparemment une astuce pour contourner cet obstacle, qui
consiste à introduire une modification dans la procédure. Nous reviendrons sur cet
aspect numérique plus loin.
III.1
Etude théorique dans le cas orthotrope
Le calcul du facteur d’intensité de contraintes KI est identique à celui pour le cas
isotrope puisqu’il fait intervenir uniquement le chargement et la géométrie de
l’éprouvette. On rappelle que la formule est :
1
3
5
7
9


2
2
2
2
2
a
a
a
a
a











KI 
29,6    185,5    655,7    1017    638,9   

B w
 w
 w
 w
 w
 w 


P
Le calcul du taux de restitution d’énergie est un peu plus complet dans sa formulation :
1
2 b b 
G  K I  11 22 
 2 


1
2
1

2
2


2

 b22 
b12 b66 



2 b11 
 b11 

Avec, en déformations planes:
a a a
b 
a
11
33
2
b
13
12
11

a a
12
22
33
22
33
2
23
33
a a a
b 
a
66
64
 a13 a 23
a
33
a a a
b 
a
33
33
66
33
2
36
Et :

11
a
a
a
22
33


1
E
a
13
  13   31
E
1
E
2
1
E
36
3
a
12
E
2
0
3


a 23   23   32
1
E
E
1
a
a
66

3
1
G
12
  12   21
E
E
1
2
Où E1, E2, et E3 sont les modules d’Young suivant les 3 directions considérées, G12 le
module de cisaillement, et n13, n23, n12 sont les 3 coefficients de Poisson.
Les caractéristiques du matériau étudié sont les suivantes :
E1 = 18,4 GPa = 18,4 E+03 MPa
n13 = 0,32
E2 = 8,51 GPa = 8,51 E+03 MPa
n23 = 0,62
E3 = 6,91 GPa = 6,91 E+03 MPa
n12 = 0,31
G12 = 4,91 GPa = 4,91 E+03 MPa
Ces valeurs sont donc des constantes pour chaque problème considéré
Un petit programme à été développé ici aussi afin de faciliter les calculs, encore
plus lourds que pour le cas isotrope. Ce programme (orto.f) figure en annexe 2. Faute de
temps, les calculs seront effectués pour une seule longueur de fissure. Notre étude est à
ce niveau réalisée en 2D, l’épaisseur considérée est donc l’unité (aussi bien au niveau de
la formule théorique qu’au niveau du maillage).
Pour un chargement P variant de 25 à 100 N, et une longueur de fissure initiale a = 7 mm,
on obtient :
EPAISSEUR UNITE: b=1mm
Chargement P
KI en N.mm-3/2
G en N.mm-1
en Newtons (N)
facteur d'intensité de contraintes
taux de restitution d'énergie
25
64,1653
0,3110483
50
128,3307
1,244193
75
192,4961
2,799435
100
256,6615
4,976773
125
320,8269
7,776207
150
384,9922
11,19774
175
449,1576
15,24137
200
513,323
19,90709
65
Les courbes suivantes représentent l’évolution du facteur d’intensité de
contraintes et du taux de restitution d’énergie, en fonction du chargement.
KI=f(P,a)
Evolution du facteur d'intensité de contraintes en fonction du chargement, pour une longueur de fissure
initiale a=7mm
CAS ORTHOTROPE 2D
-3/2
Facteur d'intensité de contraintes K I (en N.mm )
600
500
400
300
a=7mm
200
100
0
25
50
75
100
125
150
175
200
Chargement (en N)
G=f(P,a)
Evolution du taux de restitution d'énergie en fonction du chargement, pour une longueur de fissure initiale
a=7mm - CAS ORTHOTROPE 2D
-1
Taux de restitution d'énergie G (en N.mm )
25
20
15
a=7mm
10
5
0
25
50
75
100
125
Chargement (en N)
66
150
175
200
III.2
Mise en œuvre avec CASTEM 2000
Le data correspondant au calcul en orthotrope 2D figure en annexe 2. Le calcul
élastique dans le cas orthotrope est prévu dans le logiciel, on a donc accès aux champs
solutions en déplacements et en contraintes, respectivement U et s sans aucun
problème.
Le calcul du taux de restitution d’énergie est quant à lui un peu moins évident :
la procédure « G-THETA » de CASTEM ne contient en effet que le cas isotrope. Il
existe une astuce de programmation qui permet d’élargir le calcul de G au cas
orthotrope. C’est là que réside tout l’intérêt de la démarche. Cette « astuce de
programmation » figure en annexe 2.
Nous présentons également en annexe 2 le champ de contraintes calculé dans le
cas orthotrope (critère de Von-Mises). On constate une légère différence avec celui du
cas isotrope, au niveau du fond de fissure.
Nous ne sommes pas parvenus à obtenir des résultats numériques avec
CASTEM 2000 pour cette étude en orthotrope. Le calcul de du facteur d’intensité de
contraintes KI ne se fait pas aussi simplement que pour le cas isotrope puisque le
logiciel plante au niveau de ce calcul, indépendant de celui de G. Le calcul du taux de
restitution d’énergie G n’a pas abouti non-plus. Une erreur dans le programme ou dans
la démarche (indiquée au dessus) nous a contraint à passer au calcul 3D.
Nous ne présentons donc ici aucun résultat numérique, du moins en ce qui
concerne le facteur d’intensité de contraintes et le taux de restitution d’énergie.
IV. ETUDE DE L’EPROUVETTE CT EN 3D
Pour cette étude de la structure en 3D, nous prendrons en compte l’épaisseur de
l’éprouvette b=7mm.
Les formules théoriques donnant KI et G dans le chapitre II.1 ne présentent à
priori pas de condition sur la dimension de l’étude. Il suffit de définir une épaisseur
unité pour une étude en 2D, et l’épaisseur réelle de l’éprouvette pour un calcul en 3D.
On remplacera donc la valeur de b=1mm par b=7mm dans la formule du calcul de KI.
Le facteur d’intensité de contraintes sera le même pour une étude en isotrope ou
orthotrope, puisque son calcul ne fait pas intervenir les caractéristiques du matériau. Le
calcul de G sera effectué selon le cas considéré (iso ou ortho).
IV.1
Approche théorique en 3D dans les cas ISOTROPE et ORTHOTROPE
On rappelle que le changement intervient au niveau de l’épaisseur b, et que les
calculs sont faits à chaque fois pour la même longueur de fissure initiale a=7mm.
67
IV.1.1 Etude de l’éprouvette CT 3D dans le cas ISOTROPE
La formule à considérer pour le calcul du taux de restitution d’énergie est donc
celle se trouvant page 58 (§ II.1). On obtient les valeurs théoriques figurant dans le
tableau ci-dessous :
EPAISSEUR PRISE EN
COMPTE: b=7mm
Chargement P
KI en N.mm-3/2
G en N.mm-1
en Newtons (N)
facteur d'intensité de contraintes
taux de restitution d'énergie
25
9,166482
4,098929E-03
50
18,33296
1,639570E-02
75
27,49945
3,689036E-02
100
36,66593
6,558287E-02
125
45,83241
1,024732E-01
150
54,99889
1,475615E-01
175
64,16537
2,008475E-01
200
73,33186
2,623315E-01
IV.1.2 Etude théorique de l’éprouvette CT 3D dans la cas ORTHOTROPE
La formule à considérer pour calculer G analytiquement est maintenant celle se
trouvant à la page 64 (§ III.1). Les résultats sont ceux fournis dans le tableau cidessous :
EPAISSEUR PRISE EN
COMPTE: b=7mm
Chargement P
KI en N.mm-3/2
G en N.mm-1
en Newtons (N)
facteur d'intensité de contraintes
taux de restitution d'énergie
25
9,166482
6,347924E-03
50
18,33296
2,539170E-02
75
27,49945
5,711313E-02
100
36,66593
1,015680E-01
125
45,83241
1,586981E-01
150
54,99889
2,285253E-01
175
64,16537
3,110483E-01
200
73,33186
4,062671E-01
68
IV.1.3 Courbes théoriques : comparaison entre ISOTROPE et ORTHOTROPE
Voici sous formes de courbes les résultats analytiques du facteur d’intensité de
contraintes et du taux de restitution d’énergie, en fonction du chargement. On peut
situer un cas par rapport à l’autre.
G=f(P) pour les cas isotropes et orthotrope
4,500000E-01
-1
Taux de restitution d'énergie G (en N.mm )
4,000000E-01
3,500000E-01
ISOTROPE
ORTHOTROPE
3,000000E-01
2,500000E-01
2,000000E-01
1,500000E-01
1,000000E-01
5,000000E-02
0,000000E+00
25
50
75
100
125
150
175
200
Chargement P (en N)
IV.2
Mise en œuvre avec CASTEM 2000
IV.2.1 Etude dans le cas ISOTROPE 3D
Le fichier de données de ce calcul figure en annexe 2. Nous présentons également
le maillage 3D, la déformée obtenue suite à l’application d’un effort de 100 N, et le
champ de contraintes 3D sous formes d’isovaleurs (critère de Von-Mises). L’épaisseur du
maillage est 7mm, épaisseur prise en compte lors des calculs analytiques.
Le calcul de G en 3D, même dans le cas isotrope n’a pas pu être lancé. Il nous
aurait fallu plus de temps pour pouvoir nous consacrer entièrement à ce problème.
IV.2.2 Etude dans le cas ORTHOTROPE 3D
Pour les mêmes raisons, le calcul complet en orthotrope 3D n’a pu aboutir. Nous
ne sommes pas parvenus à effectuer le calcul standard d’élasticité linéaire, le data ne sera
donc pas fourni.
69
V.
CONCLUSION
Cette seconde partie du TER était surtout axée sur l’utilisation du code
CASTEM 2000. Nous estimons avoir passé trop de temps sur la première partie qui
consistait à valider la méthode sur MODULEF. Nous n’avons par conséquent pas pu
consacrer à cette 2ème partie autant de temps que nous aurions du. L’étude dans le cas
2D isotrope n’a pas posé de problème. Le passage en 3D puis en orthotrope a compliqué
les calculs.
L’étude dans le cas orthotrope était en fait le plus grand intérêt de ce TER, et
nous n’avons pas obtenu de résultats. Nous n’avons donc pas pu comparer de résultats
numériques avec les résultats analytiques présentés.
70
VI.
ANNEXE 2
VI.1
Programmation FORTRAN77
Nous présenterons ici les 2 programmes développés en FORTRAN77 afin
d’effectuer les calculs analytiques du facteur d’intensité de contraintes KI et du taux de
restitution d’énergie G, qui nous servent de références.
Programme prog.f, pour l’étude en isotrope
Program
rupture
double precision a,b,w,K,G,sig,K0,K1,K2,K3,K4,K5,nu,E
write(*,*)'************************************'
write(*,*)'****** MECANIQUE DE LA RUPTURE *****'
write(*,*)'************************************'
write(*,*)' '
write(*,*)' ETUDE THEORIQUE D''UNE EPROUVETTE CT'
write(*,*)' EN DEFORMATIONS PLANES POUR UN MATERIAU ISOTROPE'
write(*,*)'---------------------------------------------'
write(*,*)' Calcul du facteur d''intensité de contraintes K'
write(*,*)' Calcul du taux de restitution d''énergie G'
write(*,*)' '
write(*,*)' Largeur de l''éprouvette en mm ? (w) '
read(*,*)w
write(*,*)' Epaisseur de l''éprouvette en mm ? (b)'
read(*,*)b
write(*,*)' Longueur de fissure initiale en mm ? (a)'
read(*,*)a
write(*,*)' Young et Poisson du matériau ? (E,nu)'
read(*,*)E,nu
write(*,*)' Chargement (en N)'
read(*,*)P
K0=P/(b*(w**0.5))
K1=29.6*((a/w)**(0.5))
K2=-185.5*(a/w)**(1.5)
K3=655.7*(a/w)**(2.5)
K4=-1017*(a/w)**(3.5)
K5=638.9*(a/w)**(4.5)
K=K0*(K1+K2+K3+K4+K5)
G=(K**2)*(1-(nu**2))/E
100
200
format(1X,'K=',1x,D14.7,'
format(1x,'G=',1x,D14.7,'
write(*,100)K
write(*,200)G
N.mm-3/2')
N.mm-1')
end
71
Programme orto.f , pour l’étude en orthotrope
Program
double
double
double
double
rupture2
precision
precision
precision
precision
a,b,w,K,G,G1,G2,G3,G4,P,K0,K1,K2,K3,K4,K5
E1,E2,E3,G12,nu13,nu23,nu12
a11,a22,a33,a13,a23,a12,a36,a66
b11,b22,b12,b66
write(*,*)'************************************'
write(*,*)'****** MECANIQUE DE LA RUPTURE *****'
write(*,*)'************************************'
write(*,*)' '
write(*,*)' ETUDE THEORIQUE D''UNE EPROUVETTE CT'
write(*,*)' EN DEFORMATIONS PLANES POUR UN MATERIAU ORTHOTROPE'
write(*,*)'---------------------------------------------'
write(*,*)' Calcul du facteur d''intensité de contraintes K'
write(*,*)' Calcul du taux de restitution d''énergie G'
write(*,*)' '
c
**********
a=7
b=1
w=14
P=100
DEFINITIION DES PARAMETRES et EFFORT *******
c
********** DEFINITION DES CARACTERISTIQUE DU MATERIAU *****
E1=18.4E3
E2=8.51E3
E3=6.91E3
G12=4.91E3
nu13=0.32
nu23=0.62
nu12=0.31
c
******** CALCUL DE K1,facteur d'intensité de contraintes ****
K0=P/(b*(w**0.5))
K1=29.6*((a/w)**(0.5))
K2=-185.5*(a/w)**(1.5)
K3=655.7*(a/w)**(2.5)
K4=-1017*(a/w)**(3.5)
K5=638.9*(a/w)**(4.5)
K=K0*(K1+K2+K3+K4+K5)
c
******** DEFINITION DES TERMES POUR LE CALCUL DE G ******
a11=1/E1
a22=1/E2
a33=1/E3
a13=-(nu13)/E1
a23=-(nu23)/E2
a12=-(nu12)/E1
a36=0
a66=1/G12
c
************** CACUL DE CES TERMES *********************
b11=((a11*a33)-(a13)**2)/a33
b22=((a22*a33)-(a23)**2)/a33
b12=((a12*a33)-(a13*a23))/a33
b66=((a66*a33)-(a36)**2)/a33
72
c
******** CALCUL DU TAUX DE RESTITUTION D'ENERGIE G ****
G1=((b11*b22)/2)**0.5
G2=(b22/b11)**0.5
G3=((2*b12)+b66)/(2*b11)
G4=(G2+G3)**0.5
G=(K**2)*G1*G4
c
100
200
VI.2
********** AFFICHAGE *********************
format(1X,'K=',1x,D14.7,' N.mm-3/2')
format(1x,'G=',1x,D14.7,' N.mm-1')
write(*,100)K
write(*,200)G
end
Modification à apporter à la procédure G-THETA initiale
Cette astuce de programmation consiste à apporter une modification dans le
source de la procédure G-THETA de façon à prendre en compte le fait que les
caractéristiques du matériau sont variables et non constantes. 2 solutions s’offrent alors
au programmeur : Soit inclure la procédure modifiée en tête de fichier de données, soit
faire figurer la procédure modifiée dans le répertoire du fichier de données, puis l’appeler
avec le mot-clef « UTIL PROC nom_modif », où nom_modif est le nom de la procédure
modifiée dans le répertoire. Cette modification figure page suivante.
73
74
VI.3
Datas et résultats obtenus sur CASTEM 2000
Les pages suivantes présentent pour tous les calculs lancés sur l’éprouvette CT,
les datas, maillages, déformées et champs de contraintes tracées par le critère de VonMises. On présisera pour chaque série de résultats (datas et graphismes) les conditions de
l’étude : ISOTROPE ou ORTHOTROPE, 2D ou 3D.
75
ISOTROPE
76
2D
DATA DU CALCUL
option dime 2 elem qua8 mode plan defo ;
w=14. ;a=7 ;b=w-a ;a0=4.2 ;b0=w-4.2 ;
**************
dens 1;
pf=(b 0.) ;
p1=(b-0.6 0.) ;
p2=(b 0.6) ;
p3=(b+0.6 0.) ;
c1=(c (5) p1 pf p2) c (5) pf p3 ;
sf=cout pf c1 ;
***************
r=b0 -b ;
p4=(b-r 0.) ;
p5=(b r) ;
p6=(b+r 0.) ;
c2=(c (5) p4 pf p5) c (5) pf p6 ;
l1=d (-6) p4 p1 DINI (0.6) DFIN (0.4) ;
l2=d (-6) p2 p5 DINI (0.4) DFIN (0.6) ;
l3=d (-6) p3 p6 DINI (0.4) DFIN (0.6) ;
sf1=(dall l1 (c1 comp p1 p2) l2 ((inve c2) comp p5 p4)) ;
sf2=(dall l3 ((inve c2) comp p6 p5) (inve l2) (c1 comp p2 p3)) ;
sf=sf ET sf1 ET sf2 ;
***********
OPTION ELEM TRI6 ;
dens 1;
p7=(10.3 0.6); l4=d p6 p7 ;
p10=(0. 8.4);
p11=(0. 0.); l8=d (10) p10 p11 ;
l9=d (4) p11 p4 ;
p12=(17.5 0.6); l10=d (13) p7 p12 ;
p17=(17.5 8.4); l15=d (10) p12 p17 ;
l7=d (10) p17 p10;
l6=d (10) p7 p12 ;
p19=(14. 5.6) ;
p20=(15.75 3.85) ;
p21=(14. 2.1) ;
p22=(12.25 3.85) ;
77
c3=cer3 (10) p19 p20 p21 ;
c4=cer3 (10) p21 p22 p19 ;
c5=c3 et c4 ;
lig1=l9 et c2 et l4 et l10 et l15 et l7 et l8 et c5 ;
surf1=surf lig1 'PLANE' ;
travail=(sf et surf1) ;
ctravail=cont travail ;
libas=ctravail comp p11 pf ;
lifis=ctravail comp pf p6 ;
********************
trac travail ;
*trac ctravail ;
****************éprouvette 3D**************
**OPTION dime 3 ELEM cub8;
**vec2=0. 0. 5. ;
**rv=travail PLUS vec2 ;
**vol1=travail volu rv ;
**trac vol1 ;
*option dime 2 ELEM TRI3 ;
*****************************************
*****************calculs************************
objet=modl travail mecanique elastique isotrope ;
mat=matr objet YOUN 18.4e3 NU 0.32 ;
rig=rigi objet mat ;
cdl1=bloq Uy libas ;
cdl2=bloq Ux Uy p10 ;
f=FORCE FY 100 p19;
U=reso (rig et cdl1 et cdl2) f ;
SIG=sigm mat objet U ;
vec1=vect f FX FY 1. blanc ;
defo1=DEFORME travail U 0. ;
defo=DEFORME travail U rouge ;
*trac (defo1 et defo) ;
VMIS1=VMIS objet SIG ;
trac objet VMIS1 ;
sigy=exco SIG smyy ;
sigx=exco SIG smxx ;
trac sigy objet travail ;
78
trac sigx objet travail ;
log2='faux' ;
tab1=TABLE ;
TAB1.FRTFISS=pf ;
TAB1.LIFIS1=lifis ;
TAB1.MODMIXTE=log2 ;
SIF mat U tab1 ;
SUPTAB = TABLE ;
SUPTAB.OBJECTIF = MOT 'J' ;
SUPTAB.LEVRE_SUPERIEURE = lifis ;
SUPTAB.FRONT_FISSURE = pf ;
SUPTAB.MODELE =objet ;
SUPTAB.CARACTERISTIQUES =mat ;
SUPTAB.SOLUTION_RESO = U ;
SUPTAB.CHARGEMENTS_MECANIQUES = f ;
SUPTAB.COUCHE = 6 ;
****APPEL A LA PROCEDURE G_THETA*****
G_THETA suptab ;
K=tab1.K1 ;
mess 'K1='K ;
G=SUPTAB.RESULTATS ;
Gtot=G*2 ;
mess'Gtot='Gtot ;
79
80
81
82
83
84
ORTHOTROPE 2D
85
DATA DU CALCUL
option dime 2 elem qua8 mode PLAN DEFO ;
*UTIL proc GRV ;
w=14. ;a=7 ;b=w-a ;a0=4.2 ;b0=w-4.2 ;
*************************maillage rayonnant**********
*****************************************************
dens 1;
pf=(b 0.) ;
p1=(b-0.6 0.) ;
p2=(b 0.6) ;
p3=(b+0.6 0.) ;
c01=c (5) p1 pf p2 ;
c02=c (5) p2 pf p3 ;
sf01=cout pf c01 ;
sf02=cout pf c02 ;
*****
r=b0 -b ;
p4=(b-r 0.) ;
p5=(b r) ;
p6=(b+r 0) ;
c11=c (5) p4 pf p5 ;
c12=c (5) p5 pf p6 ;
l1=d (-6) p4 p1 DINI (0.6) DFIN (0.4) ;
l2=d (-6) p2 p5 DINI (0.4) DFIN (0.6) ;
l3=d (-6) p3 p6 DINI (0.4) DFIN (0.6) ;
sf11=(dall l1 c01 l2 (inve c11)) ;
sf12=(dall l3 (inve c12) (inve l2) c02) ;
**************************surface 1 **************
**************************************************
OPTION ELEM tri6 ;
dens 1;
p7=(10.3 0.6); l4=d p6 p7 ;
p8=(17.5 0.6);l5=d (10) p7 p8 ;
p9=(17.5 8.4);l6=d (10) p8 p9 ;
p10=(0. 8.4);l7=d (10) p9 p10 ;
p11=(0. 0.); l8=d (10) p10 p11 ;
l9=d (4) p11 p4 ;
p19=(14. 5.6) ;
p20=(15.75 3.85) ;
p21=(14. 2.1) ;
p22=(12.25 3.85) ;
*****
c3=cer3 (10) p19 p20 p21 ;
c4=cer3 (10) p21 p22 p19 ;
c5=c3 et c4 ;
*****
lig1=l9 et c11 et c12 et l4 et l5 et l6 et l7 et l8 et c5 ;
86
surf1=surf lig1 'PLANE' ;
maillage=surf1 ET sf01 ET sf02 ET sf11 ET sf12 ;
ELIM 0.001 maillage ;
cmail=CONT maillage ;
libas=cmail COMP p11 pf ;
lifiss=cmail COMP pf p6 ;
trac maillage ;
****************************caculs*****************
***************************************************
mod = MODL maillage MECANIQUE ELASTIQUE ORTHOTROPE ;
dir1=1. 0. ;
dir2=0. 1. ;
mat=MATE MOD DIRECTION dir1 YG1 1.8e4 YG2 8.51e3 YG3 0.
NU12 0.32 NU23 0.62 NU13 0. G12 4.91e3 ;
*******************************
*mod=modl maillage mecanique elastique isotrope ;
*mat=MATE mod YOUN 1.84e4 NU 0.32 ;
rig=rigi mod mat ;
cdl1=bloq UY libas ;
cdl2=bloq Ux Uy p11 ;
f=FORCE FY 100 p19 ;
U=reso (rig et cdl1 et cdl2) f ;
SIG=sigm mat mod U ;
vec1=VECT f FX FY 0.5 blanc ;
defo1=DEFORME maillage U 0. ;
defo=DEFORME maillage U vec1 rouge ;
trac (defo1 ET defo) ;
VMIS1=VMIS mod SIG ;
trac mod VMIS1 TITRE 'CHAMP DE CONTRAINTES';
sigy=exco SIG smyy ;
sigx=exco SIG smxx ;
trac sigy mod maillage ;
trac sigx mod maillage ;
*********facteur intensite de contraintes
*log2='faux' ;
*tab1=TABLE ;
*tab1.FRTFISS=pf ;
*tab1.LIFIS1=lifiss ;
*tab1.MODMIXTE=log2 ;
*SIF mat U tab1 ;
**********
87
SUPTAB = TABLE ;
SUPTAB.OBJECTIF = MOT 'J' ;
SUPTAB.LEVRE_SUPERIEURE = lifiss ;
SUPTAB.FRONT_FISSURE = pf ;
SUPTAB.MODELE =mod ;
SUPTAB.CARACTERISTIQUES =mat ;
SUPTAB.SOLUTION_RESO = U ;
SUPTAB.CHARGEMENTS_MECANIQUES = f ;
SUPTAB.COUCHE = 3 ;
************
*APPEL A LA PROCEDURE G_THETA
**
G_THETA SUPTAB ;
G=SUPTAB.RESULTATS ;
mess'G='G ;
*k=tab1.k1 ;
*mess'k='k ;
88
89
ISOTROPE 3D
90
DATA DU CALCUL
option dime 3 elem qua4 mode TRID ;
OEIL=0. -50. 100. ;
w=14. ;a=7 ;b=w-a ;a0=4.2 ;b0=w-4.2 ;
h=-7 ;
ncou=5;
vec2=0. 0. h ;
*************************maillage rayonnant**********
*****************************************************
dens 1;
pf=(b 0. 0.) ;
p1=(b-0.6 0. 0.) ;
p2=(b 0.6 0.) ;
p3=(b+0.6 0. 0.) ;
c01=c (5) p1 pf p2 ;
c02=c (5) p2 pf p3 ;
sf01=cout pf c01 ;
sf02=cout pf c02 ;
*****
r=b0 -b ;
p4=(b-r 0. 0.) ;
p5=(b r 0.) ;
p6=(b+r 0.1 0.) ;
c11=c (5) p4 pf p5 ;
c12=c (5) p5 pf p6 ;
l1=d (-6) p4 p1 DINI (0.6) DFIN (0.4) ;
l2=d (-6) p2 p5 DINI (0.4) DFIN (0.6) ;
l3=d (-6) p3 p6 DINI (0.4) DFIN (0.6) ;
sf11=(dall l1 c01 l2 (inve c11)) ;
sf12=(dall l3 (inve c12) (inve l2) c02) ;
**************************surface 1 **************
**************************************************
OPTION ELEM tri3 ;
dens 1;
p7=(10.3 0.6 0.); l4=d p6 p7 ;
p8=(17.5 0.6 0.);l5=d (10) p7 p8 ;
p9=(17.5 8.4 0.);l6=d (10) p8 p9 ;
p10=(0. 8.4 0.);l7=d (10) p9 p10 ;
p11=(0. 0. 0.); l8=d (10) p10 p11 ;
l9=d (4) p11 p4 ;
p19=(14. 5.6 0.) ;
p20=(15.75 3.85 0.) ;
p21=(14. 2.1 0.) ;
p22=(12.25 3.85 0.) ;
*****
c3=cer3 (10) p19 p20 p21 ;
c4=cer3 (10) p21 p22 p19 ;
91
c5=c3 et c4 ;
*****
lig1=l9 et c11 et c12 et l4 et l5 et l6 et l7 et l8 et c5 ;
surf1=surf lig1 'PLANE' ;
***********************creation des volumes*********
****************************************************
OPTION ELEM PRI6 ;
vol01=sf01 VOLU ncou TRAN vec2 ;
vol02=sf02 VOLU ncou TRAN vec2 ;
vol0=vol01 ET vol02 ;
ELIM 0.001 vol0 ;
*****
OPTION ELEM CUB8 ;
vol11=sf11 VOLU ncou TRAN vec2 ;
vol12=sf12 VOLU ncou TRAN vec2 ;
vol1=vol11 ET vol12 ;
*****
ELIM 0.001 vol1 ;
OPTION ELEM PRI6 ;
vol2=surf1 VOLU ncou TRAN vec2 ;
*****
volume=vol0 ET vol1 ET vol2 ;
ELIM 0.001 volume ;
************************************************
lifiss=volume POIN DROIT pf (b 0. h) ;
liforc=volume POIN DROIT p19 (14. 5.6 h) ;
su0=vol01 POIN PLAN p1 pf (b 0. h) ;
su1=vol11 POIN PLAN p4 p1 (b-r 0. h) ;
su2=vol2 POIN PLAN p11 p4 (b-r 0. h) ;
subas=su0 ET su1 ET su2 ;
su3=vol02 POIN PLAN pf p3 (b 0. h) ;
su4=vol12 POIN PLAN p3 p6 (b+r 0.1 h) ;
sufiss=su3 ET su4 ;
trac OEIL cach volume ;
****************************caculs*****************
***************************************************
*MOD = MODL volume MECANIQUE ELASTIQUE ORTHOTROPE ;
*dir1=1. 0. 0. ;
*dir2=0. 1. 0. ;
*dir3=0. 0. 1. ;
*
*MAT=MATE MOD DIRECTION dir1 dir2 dir3
*YG1 1.8e4 YG2 8.51e3 YG3 6.91e3
*NU12 0.32 NU23 0.62 NU13 0.31
*G12 4.91e3 G23 4.91e3 G13=4.91e3 RHO 8.e-6 ;
*RIG = RIGI MOD MAT ;
92
*******************************
mod=modl volume mecanique elastique isotrope ;
mat=MATE mod YOUN 1.84e4 NU 0.32 ;
rig=rigi mod mat ;
cdl1=bloq UY Uz subas ;
*cdl2=bloq Ux Uy p10 ;
f=FORCE FY 100 liforc ;
U=reso (rig et cdl1) f ;
SIG=sigm mat mod U ;
vec1=VECT f FX FY FZ 0.5 blanc ;
defo1=DEFORME volume U 0. ;
defo=DEFORME volume U vec1 rouge ;
trac OEIL cach (defo1 ET defo) ;
VMIS1=VMIS mod SIG ;
trac OEIL mod VMIS1 TITRE 'CHAMP DE CONTRAINTES';
sigy=exco SIG smyy ;
sigx=exco SIG smxx ;
trac OEIL sigy mod volume ;
trac OEIL sigx mod volume ;
SUPTAB = TABLE ;
SUPTAB.OBJECTIF = MOT 'J' ;
SUPTAB.LEVRE_SUPERIEURE = sufiss ;
SUPTAB.FRONT_FISSURE = lifiss ;
SUPTAB.MODELE =mod ;
SUPTAB.CARACTERISTIQUES =mat ;
SUPTAB.SOLUTION_RESO = U ;
SUPTAB.CHARGEMENTS_MECANIQUES = f ;
SUPTAB.COUCHE = 3 ;
************
*APPEL A LA PROCEDURE G_THETA
**
G_THETA suptab ;
G=SUPTAB.RESULTATS ;
mess'G='G ;
fin;
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97
PARTIE 3
98
DISCUSSION ET CONCLUSION GENERALE
Ce T.E.R. était très intéressant. Il nous a permis d’acquérir les bases
du domaine de la Mécanique de la rupture, en plus d’une formation
supplémentaire sur la modélisation par Eléments Finis.
La première partie était particulièrement motivante : la méthode
THETA n’étant pas validée sur le code de calcul MODULEF, nous avons
progressé dans ce but sans pour autant être certains d’obtenir des résultats
corrects. Dans un logiciel d’éléments finis, il n’y a en général pas d’unités
réellement définies, c’est à l’utilisateur de rester cohérent au niveau des
dimensions des données qu’il rentre. Nous avons donc émit l’hypothèse
suivante : le programme GCALXX ayant été développé indépendamment du
reste du code, cette cohérence au niveau des unités est peut-être remise en
question… Nous avons constaté que le résultat obtenu sur MODULEF est le
même que celui de CASTEM 2000, à un facteur 104 près. Ces résultats sont
obtenus après une légère modification apportée au programme.
La seconde partie était également très intéressante. L’étude portait sur
une éprouvette CT, avec le logiciel CASTEM 2000. Nous avons considéré
plusieurs problèmes par ordre croissant de difficulté, en adaptant les données
et calculs à chaque fois. Tout l’intérêt résidait dans l’utilisation d’une astuce
pour pouvoir calculer le taux de restitution d’énergie dans le cas orthotrope.
L’étude a été faite en 2D dans le cas isotrope sans aucun problème, mais
nous ne sommes pas parvenus à obtenir une évaluation numérique de G dans
les cas orthotrope (2D et 3D).
Nous n’aurions peut-être pas du nous attarder autant sur la première
partie car elle nous a coûté du temps sur la seconde. Une meilleure gestion
de notre temps nous aurait sans doute permis de mieux cerner le cas
orthotrope et d’approfondir l’étude en 2D puis 3D…
99
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES
Mécanique des matériaux solides , J. LEMAITRE, J.L. CHABOCHE
Editions Eyrolles.
Notions pratiques de la mécanique de la rupture , B. BARTHELEMY
Editions Dunod.
Cours de Sciences Des Matériaux , F. REDOUANE
Maîtrise de Technologie Mécanique, 1998-99.
Advanced in the fracture mechanics of cortical bone , W. BONFIELD
J.Biomechanics, vol 20 (1987).
Fracture toughness of human bone under tension , T.L. NORMAN,
D. VASHISHTH, et D.B. BURR
J.Biomechanics, vol 28 (1995).
Numerical evaluation of the energy release rate for non-linear fracture
mechanics – Formulation of the « G-q » method and application with
CASTEM 2000 , X.Z. SUO, D. UHLMANN
Les 3 articles mentionnés ci-dessus figurent ci-après.
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