INTRODUCTION Ce travail d`étude et de recherche porte sur la

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INTRODUCTION
Ce travail d’étude et de recherche porte sur la Mécanique de la rupture. Nous
nous intéressons particulièrement au calcul du taux de restitution d’Energie G par une
méthode non classique : la méthode q (cf article en annexe 3). Cette méthode est
implémentée dans les codes de calcul MODULEF (développé par l’INRIA) et
CASTEM2000 (développé par le CEA).
Ce travail d’étude et de recherche est divisé en 2 parties principales :
La première partie consistera à présenter la méthode q . On se consacrera surtout à la
compréhension de la méthode, et à sa mise en œuvre par la Méthode aux Eléménts
Finis. Nous commencerons par tenter de valider cette méthode sur un cas simple avec le
logiciel Eléments Finis MODULEF. Pour ce faire, nous nous appuierons sur un projet
sur ce même sujet rédigé quelques années auparavant. Les résultats obtenus ne
concordaient pas avec des solutions de référence. Nous étudierons donc le même cas
test à quelques paramètres prés. Les programmes qui mettent en œuvre cette méthode
seront étudiés afin de déceler le bug qui fausse les résultats. On comparera la solution
numérique à une solution analytique obtenue par application des formules classiques
que l’on trouve dans la littérature de la Mécanique de la rupture (les références
bibliographiques sont figurent en annexe 3).
La seconde partie sera plus axée sur l’utilisation de cette méthode avec le logiciel
CASTEM 2000. Le but ne sera pas ici de comprendre comment la méthode est
implémentée mais de comparer avec les résultats obtenus avec MODULEF. On étudiera
cette fois une éprouvette CT sur laquelle on pourra comparer solution numérique et
résultats expérimentaux (cf articles en annexe 3).

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INTRODUCTION A LA MECANIQUE DE LA RUPTURE
La caractérisation de l’état des pièces fissurées s’appuie sur la détermination du
taux de restitution d’énergie et des facteurs d’intensité de contraintes, à la base de
nombreux critères en Mécanique de la Rupture : amorçage en fond de fissure,
propagation de défauts, méthodes simplifiées…Ces grandeurs peuvent être calculées
numériquement par la méthode q, qui est une méthode Lagrangienne introduite par
P.DESTUYNDER.
1. Contrainte critique de rupture fragile
Le premier critère de rupture dans le cas d’un matériau élastique fragile a été
établie vers 1930 par un physicien Anglais du nom de Griffith. Il est basé sur
l’utilisation d’un bilan énergétique.
Si le matériau rompt avant d’atteindre la résistance théorique à la rupture, on
peut supposer que cette résistance est atteinte, localement, sur des défauts de
l’éprouvette.
1.1 La relaxation des contraintes autour de la fissure
La fissure traverse entièrement l’éprouvette dans le sens de son épaisseur e. La
zone de relaxation de contrainte autour de la fissure a une forme de demi-ellipse, de
demi-grand axe 2a et de demi-petit axe a. L’énergie élastique libérée est par
conséquent :
1.2 La création de nouvelles surfaces
Soit gs l’énergie libre de surface par unité de surface. L’énergie de surface requise est
alors :
)éprouvettel' de (épaisseur)relaxation de zone la de (surface volume)de itéstockée/un élastique (E
2
2
1
2
12
 eaa
E
Ue
crées)sont surfaces (2 )(2
s
sae
U
s
s
a
Considérons donc une éprouvette contenant une
fissure débouchante de longueur a perpendiculaire à l’axe
de traction. Pour que la fissure puisse se propager, il faut
rompre des liaisons atomiques, la première condition à
vérifier est que la contrainte en tête de fissure soit
supérieure à la résistance à la rupture du matériau. Lors de
la propagation d’une fissure, deux phénomènes sont à
prendre en compte : la relaxation des contraintes autour de
la fissure et la création de nouvelles surfaces.

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On en déduit l’énergie de fissuration :
Tant que a<ac, l’énergie requise pour propager la fissure augmente, la propagation est
donc stable. Pour a>ac, l’énergie requise diminue, donc la propagation devient instable,
ce qui conduit à une rupture brutale. La longeur critique de fissure pour un contrainte
donnée s correspond donc à la valeur :
Et la contrainte critique de rupture pour un matériau fragile contenant des fissures
débouchantes de longueur a ou des fissure internes de longueur 2a est :
2. Formulation générale
Soit Gc l’énergie nécessaire pour qu’une fissure se propage d’une longueur
unité : c’est l’énergie de rupture, qui est caractéristique du matériau. On démontre alors
que :
Dans le cas des matériaux fragiles Gc = 2gs
Dans le cas des matériaux ductiles Gc = 2gs + gp
Où gp est l’énergie de déformation plastique nécessaire pour déplacer les
dislocations en tête de fissure. En effet, on a une zone de déformation plastique
importante en tête de fissure, avec gp>>gs . La propagation des dislocations produit en
outre un émoussement du fond de fissure, donc une augmentation du rayon de courbure
et une diminution de la contrainte en fond de fissure.
Le terme sSpa dépend de l’état des contraintes et de la géométrie de l’éprouvette.
est appelé facteur d’intensité de contraintes. En toute rigueur, cette expression n’est
valable que dans le cas d’une éprouvette semi-infinie contenant une fissure interne de
longueur 2a sollicitée en mode I (les 3 modes de sollicitations sont présentés page
suivante). Dans les autres cas, on introduit des facteurs correctifs liés à la géométrie de
la fissure et de la pièce et on a :
ea
Es
sef aUUU
2
2
12
2
2
2E
s
c
a
a
E
s
c
2
Gc
Ea 
aK

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Le terme SEGc est une caractéristique intrinsèque du matériau. On pose alors
Qui est appelé facteur d’intensité de contrainte critique ou tenacité du matériau.
Le critère de rupture s’écrit alors : K = Kc
Les 3 modes de sollicitations
Le mode I est généralement le plus étudié, car le plus critique en terme de rupture
brutale.
G est appelé indifféremment Energie de fissuration, force d’extension de la
fissure, ou encore taux de restitution d’Energie. La fissure se propage lorsque G atteint
une valeur critique Gc , caractéristique du matériau. Il existe donc une valeur KIc du
facteur d’intensité de contraintes telle que la fissure ne se propage de façon instable que
lorsque :
KIc caractérise la résistance du matériau à la propagation plane des fissures en mode I.
Sa valeur est indépendante de la géométrie du détail et des conditions de chargement, à
condition que le matériau soit isotrope.
Une structure sera donc considérée comme « sûre » si l’inégalité suivante est vérifiée :
D’où l’introduction d’une longueur ac pour laquelle la fissure se propage de manière
instable (rupture).
correctif.facteur F avec Fa
KI
G
Kc
cE
Mode I
Mode II
Mode III
KK IcI
KIc
a

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PARTIE I
I. PRESENTATION DE LA METHODE q