13 L`univers des nombres : Nombres parfaits et Nombres

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L'univers des nombres : Nombres parfaits et Nombres amiables
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David Boka Mabele
E-mail: [e-mail]
Laboratoire d'Analyse - Recherche en Economie Quantitative
Web: http://www.lareq.com
"Il arrive que, de même que le beau et le parfait sont rares et se comptent aisément, tandis que le laid
et le mauvais sont prolifiques, les nombres excédents et déficients sont en très grand nombre et en
grand désordre ; leur découverte manque de toute logique. Au contraire, les nombres parfaits se
comptent facilement et se succèdent dans un ordre convenable ; on n'en trouve qu'un seul parmi les
unités, 6, un seul dans les dizaines, 28, un troisième assez loin dans les centaines, 496 ; quant au
quatrième, dans le domaine des mille, il est voisin de dix mille, c'est 8 128. Ils ont un caractère commun,
c'est de se terminer par un 6 ou par un 8, et ils sont tous invariablement pairs"
Gérase (200 après J.C)
" Un ami est l’autre moi-même comme sont 220 et 284 "
Pythagore
Résumé
Ce papier présente l’univers de nombres qui occupent une place de choix dans l’analyse mathématique et
dont la plupart ont été considérés comme mystérieux. Au cours de l'histoire, certains mathématiciens se
sont investis à essayer de pénétrer le mystère des nombres sans y parvenir. Dans des nombreux cas, cet
exercice a donné lieu à des conjectures non démontrées jusqu’à ce jour. S'inscrivant dans ce cadre, ce
papier s’intéresse particulièrement à deux types de nombres : les nombres parfaits et les nombres
amiables.
Mots - clés : Parties aliquotes, nombres parfaits, nombres amiables, paires sociables.
Abstract
We present in this paper the numbers universe who take an important place in mathematics analysis and
were consider like mysterious. Some mathematicians are supply their lives for studying numbers theory
without arrive to demonstrate some theorem. This paper present two sorts of mysterious numbers:
Perfect numbers and friends’ numbers.
Introduction
Les nombres parfaits et les paires amiables intriguent les mathématiciens et passionnent les amateurs
depuis plus de deux millénaires. Le raisonnement et le calcul, même appliqué avec obstination, ne font
qu'écorner légèrement cette forteresse de l'infini arithmétique. Ce papier se propose de présenter les
particularités des nombres parfaits et des paires amiables. Il est subdivisé en quatre points, le premier
présente la notion des parties aliquotes, le deuxième présente les nombres parfaits, le troisième est axé
sur les paires amiables et le quatrième présente les chaînes sociables.
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ONE PAGER LAREQ 2015. Web: http://www.lareq.com/one-pager-lareq.ws

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1. Les parties aliquotes dans la théorie des nombres
Une partie aliquote a d'un nombre entier naturel n > 1 est un diviseur propre de cet entier, c'est à dire
un diviseur autre que l'entier n. Notons s(n) la somme des diviseurs propres de n, on aura par exemple :
s(1)=0, s(2)=1, s(3)=1, s(4)=3, s(5)=1, s(6)=6, s(7)=1, s(8)=7.
En passant on remarque que s(6)=6, la question qui découle de cette observation est celle de savoir s'il
existe d'autres nombres égaux à la somme de leurs parties aliquotes, cette propriété est si merveilleuse
qu'elle retient l'attention de plus d'un. Les pythagoriens et St Augustin s'intéressent en premier à la
recherche d'autres nombres qui remplissent cette propriété.
De manière assez fluide et chiffrée, on peut calculer s(n), avec n=6 de la manière suivante: on trouve les
diviseurs de 6 hormis 6 lui-même, soient les ni (1, 2,3).
Ensuite faire la somme s(n) des , soit s(6)=1+2+3=6.
La compréhension de la notion des parties aliquotes permet de faire la distinction entre différents types
de nombres notamment les nombres parfaits, amiables, etc.
Dans les points qui suivent nous présentons les particularités des nombres parfaits et nombres amis.
2. Les nombres parfaits
2.1 Généralités
Considérés jadis comme supérieur à tous les autres nombres, les nombres parfaits incarnent un rôle
mystique. Citons par exemple ce passage de Saint Augustin dans “la cité de Dieu (420 après J.C): Six
est un nombre parfait en lui même, non parce que Dieu a crée toutes choses en six jours, mais Dieu a
crée toutes choses en six jours parce que ce nombre est parfait.
De manière schématique, un nombre n est dit parfait si s(n)=n en d'autres termes un nombre est dit
parfait si la somme de ses parties aliquotes est égale à ce nombre. Les nombres parfaits sont rares, il
n’en existe que huit (8) nombres parfaits inférieurs à milles trillions (). Soient:
6
28
496
8 128
33 550 336
8 589 869 056
137 438 691 328
2 305 843 008 139 952 128 (découvert par Leonhard Euler)

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2.2 Propriétés fondamentales
P.1. Formule d'Euclide:
Si N= (2n-1) avec p=(-1) premier alors N est parfait. (2.1)
Appliquons cette formule pour n=2, on aura p=(-1) =(2.2)-1=3
3 est un nombre premier, p est premier donc N=(-1) (2*2-1)=6, au regard de la définition
mentionnée ci-haut, 6 est un nombre parfait.
NB: Si -1 est premier, alors n est premier
P.2. Relation cubique:
Tout nombre parfait, à l'exception de 6, est la somme des cubes des nombres impairs consécutifs.
Soient:
13+33=28 (2.2)
13+33+53+73=496
13+33+53+73+93+113+133+153=8128.
P.3. tous les nombres parfaits pairs se terminent par 6 ou 28
P.4. La somme des inverses des diviseurs d'un nombre parfait est égale à deux (2).
Soit le nombre parfait 28 ayant comme diviseurs 1, 2,4, 7, 14,28. Appliquons la propriété:
+ =2 (2.3)
NB: On ne connait pas à ce jour de nombres parfaits impairs.
3 Les nombres amiables ou amis
3.1 Généralités
Les nombres amicaux ont une histoire liée depuis longtemps à la magie et à l'astrologie. Par exemple,
l'historien Ibn Khaldoun affirme que les nombres amicaux 220 et 284 sont utilisés dans l'art des
talismans pour favoriser les amitiés et les unions. Par ailleurs, certains commentateurs juifs de la Genèse
pensaient que Jacob avait donné deux cents chèvres et vingt boucs, et autant de brebis et de béliers à
son frère ainé Esaü quand u-il commença à craindre que ce dernier le tue parce que 220 est un nombre
amical.
Si les nombres parfaits sont rares, les nombres amiables ne le sont guère moins. Deux nombres sont
amiables si la somme des parties aliquotes de chacun d'eux est égale à l'autre.
Soient a et b deux nombres  IN, a et b sont amis ssi s(a) = s(b).
Leur nom vient d'une croyance grecque selon laquelle deux personnes dont les noms correspondaient à
des nombres amiables avaient des relations amicales.

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Les grecs ne connaissaient que deux nombres amiables, les plus petits 220 et 284. Par Ordinateur on a
pu exhiber 42 couples de nombres amiables inférieurs à 10 000 000 parmi lesquels 17 296 et 18 416
(trouvés par Fermat) et 9 437 056 et 9 363 584 (trouvés par Descartes).
NB: On ne reconnait pas jusqu'à ce jour de couple formé par un nombre pair et impair.
Démontrons de manière arithmétique la relation amicale qui peut exister entre deux nombres, soient les
nombres 220 et 284. Décomposons ces nombres en parties aliquotes pour vérifier la propriété d'amitié
de ces nombres.
Les parties aliquotes de 220 sont 1,2,4,10,11,20,22,44,55 et 110 en faisant la somme
(1+2+4+10+11+20+22+44+55+110) on retrouve 284 et en décomposant 284 en ses parties aliquotes
on a 1,2,4,71,142, en faisant la somme (1+2+4+71+142) on retrouve 220, d'où les deux nombres sont
amis.
3.2Propriétés
P1. Si l'on note sigma la fonction qui à un entier associe la somme de ses diviseurs, cette propriété se
traduit par: σ(n) = m et σ(m)= n, en additionnant les deux expressions on a :
σ(n)+σ(m)=n+m. avec n≠m. Si n=m alors on est en présence d'un nombre parfait (Lorsqu'un nombre
entier est son propre amiable, il est un nombre parfait). (3.1)
P2. Relation de Abu-I-Hasan Thabit ibn Querra
Si p=3.
q=3.
r=9. sont tous des nombres premiers, alors M=.p.q et N=.r sont des nombres amiables. (3.2)
Si n=2, on retrouve la fameuse paire attribuée à Pythagore
Si n=4 on retrouve la paire de Descartes,
Si n=7, on retrouve la paire de Fermat.
4. Chaînes sociables
4.1 Généralités
La généralisation du concept de paires de nombres amiables est le concept de chaînes sociables. On
dénomme chaînes sociables d’ordre n, une suite de n nombres a1 , a2 , … an tels que :
s(a1) = s(a2) , s(a2) = s(a3) , …, s(an-1) = s(an) , s(an) = s(a1) (4.1)
4.2 Propriétés
P.1 Les chaînes sociables d’ordre 1 sont des nombres parfaits.
Soit la chaîne sociable d’ordre 1 vérifiant la propriété s()=, on remarque que est un nombre
parfait. (4.2)

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P.2Les chaînes sociables d’ordre 2 sont des pères amiables
Soit les chaîne sociables d’ordre 2 vérifiant la propriété s() =  et s() = , on remarque que a1 et a2
sont des nombres amis. (4.3)
La recherche des chaînes sociables d’ordre n pour n ›2 est une discipline récente qui n’a vraiment débuté
qu’au XXe siècle, quoiqu’elle ait passionné certains mathématiciens tels que Pythagore, Euler, Descartes
et bien d’autres. Mais par manque des moyens théoriques et informatiques, ils n’ont pas pu se lancer
dans cette aventure.
Il faut attendre que Poulet découvre pour la première fois, à la main, l’existence des chaînes amiables
d’ordre supérieur à 2. En 1918, il exhibe une chaîne sociable d’ordre 5 (12496, 14288, 15472,
14536,14264).
Il fallut attendre 1970 et l’utilisation d’ordinateurs pour découvrir de nouvelles chaînes sociables, cette
fois d’ordre 4. Notons que malgré de recherches intensives, aucune chaîne sociable d’ordre supérieur à
28 n’a été trouvée depuis 1918.
Conclusion
In fine, ce papier s'est proposé de traiter les questions liées à l'univers de nombres en se focalisant sur
les nombres parfaits et amiables qui intriguent les mathématiciens et passionnent les amateurs depuis
plus de deux millénaires. ce papier n'a pas présenté ou traité de manière exhaustive toute la théorie des
nombres, dès lors il est possible d'envisager un prolongement de cette étude en direction de
l'appréhension d'autres types de nombres qui occupent de plus en plus une place de choix dans l’analyse
mathématique et qui pour certains ont été considérés comme mystère, tels que les nombres premier
(hypothèse de Riemann), les nombres abondants, les nombres pseudo-premiers, etc.
Bibliographie
 BOUVIER Alain, GEORGE Michel et Le LIONNAIS François, 2009, Dictionnaire des
mathématiques, 3ème édition, France Quercy. 1029p.
 COHEN Henri, 2009, "Problèmes ouverts en théorie des nombres", Institut de Mathématiques de
Bordeaux. pp 2-6
 DELAHAYE Jean-Paul, 2013, Merveilleux nombres premiers (voyage au cœur de l'arithmétique),
2ème édition, Belin pour la science. 336p.
 SONG Y. Yan, 1996, "Perfect, amicable and sociable numbers. A computational approach", World
scientific, Singapore. pp 3-7
Annexes
A1. Quelques questions non résolues de la théorie de nombres
* Conjecture de Goldbach (1742):
“ Tout nombre entier pair supérieur à 3 peut s'écrire comme la somme de deux nombres premiers”
La figure ci-dessous montre, pour les premiers nombres pairs (2N allant de 4 à 50), les solutions de
l'équation 2N=p+q représentées par: