13 L`univers des nombres : Nombres parfaits et Nombres

L'univers des nombres : Nombres parfaits et Nombres amiables*
David Boka Mabele
E-mail: [email protected]
Laboratoire d'Analyse - Recherche en Economie Quantitative
Web: http://www.lareq.com
"Il arrive que, de même que le beau et le parfait sont rares et se comptent aisément, tandis que le laid
et le mauvais sont prolifiques, les nombres excédents et déficients sont en très grand nombre et en
grand désordre ; leur découverte manque de toute logique. Au contraire, les nombres parfaits se
comptent facilement et se succèdent dans un ordre convenable ; on n'en trouve qu'un seul parmi les
unités, 6, un seul dans les dizaines, 28, un troisième assez loin dans les centaines, 496 ; quant au
quatrième, dans le domaine des mille, il est voisin de dix mille, c'est 8 128. Ils ont un caractère commun,
c'est de se terminer par un 6 ou par un 8, et ils sont tous invariablement pairs"
Gérase (200 après J.C)
" Un ami est l’autre moi-même comme sont 220 et 284 "
Pythagore
Résumé
Ce papier présente l’univers de nombres qui occupent une place de choix dans l’analyse mathématique et
dont la plupart ont été considérés comme mystérieux. Au cours de l'histoire, certains mathématiciens se
sont investis à essayer de pénétrer le mystère des nombres sans y parvenir. Dans des nombreux cas, cet
exercice a donné lieu à des conjectures non démontrées jusqu’à ce jour. S'inscrivant dans ce cadre, ce
papier s’intéresse particulièrement à deux types de nombres : les nombres parfaits et les nombres
amiables.
Mots - clés : Parties aliquotes, nombres parfaits, nombres amiables, paires sociables.
Abstract
We present in this paper the numbers universe who take an important place in mathematics analysis and
were consider like mysterious. Some mathematicians are supply their lives for studying numbers theory
without arrive to demonstrate some theorem. This paper present two sorts of mysterious numbers:
Perfect numbers and friends’ numbers.
Introduction
Les nombres parfaits et les paires amiables intriguent les mathématiciens et passionnent les amateurs
depuis plus de deux millénaires. Le raisonnement et le calcul, même appliqué avec obstination, ne font
qu'écorner légèrement cette forteresse de l'infini arithmétique. Ce papier se propose de présenter les
particularités des nombres parfaits et des paires amiables. Il est subdivisé en quatre points, le premier
présente la notion des parties aliquotes, le deuxième présente les nombres parfaits, le troisième est axé
sur les paires amiables et le quatrième présente les chaînes sociables.
*
ONE PAGER LAREQ 2015. Web: http://www.lareq.com/one-pager-lareq.ws
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1. Les parties aliquotes dans la théorie des nombres
Une partie aliquote a d'un nombre entier naturel n > 1 est un diviseur propre de cet entier, c'est à dire
un diviseur autre que l'entier n. Notons s(n) la somme des diviseurs propres de n, on aura par exemple :
s(1)=0, s(2)=1, s(3)=1, s(4)=3, s(5)=1, s(6)=6, s(7)=1, s(8)=7.
En passant on remarque que s(6)=6, la question qui découle de cette observation est celle de savoir s'il
existe d'autres nombres égaux à la somme de leurs parties aliquotes, cette propriété est si merveilleuse
qu'elle retient l'attention de plus d'un. Les pythagoriens et St Augustin s'intéressent en premier à la
recherche d'autres nombres qui remplissent cette propriété.
De manière assez fluide et chiffrée, on peut calculer s(n), avec n=6 de la manière suivante: on trouve les
diviseurs de 6 hormis 6 lui-même, soient les ni (1, 2,3).
Ensuite faire la somme s(n) des 𝑛𝑖 , soit s(6)=1+2+3=6.
La compréhension de la notion des parties aliquotes permet de faire la distinction entre différents types
de nombres notamment les nombres parfaits, amiables, etc.
Dans les points qui suivent nous présentons les particularités des nombres parfaits et nombres amis.
2. Les nombres parfaits
2.1 Généralités
Considérés jadis comme supérieur à tous les autres nombres, les nombres parfaits incarnent un rôle
mystique. Citons par exemple ce passage de Saint Augustin dans “la cité de Dieu” (420 après J.C): Six
est un nombre parfait en lui même, non parce que Dieu a crée toutes choses en six jours, mais Dieu a
crée toutes choses en six jours parce que ce nombre est parfait.
De manière schématique, un nombre n est dit parfait si s(n)=n en d'autres termes un nombre est dit
parfait si la somme de ses parties aliquotes est égale à ce nombre. Les nombres parfaits sont rares, il
n’en existe que huit (8) nombres parfaits inférieurs à milles trillions (1021 ). Soient:
6
28
496
8 128
33 550 336
8 589 869 056
137 438 691 328
2 305 843 008 139 952 128 (découvert par Leonhard Euler)
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2.2 Propriétés fondamentales
P.1. Formule d'Euclide:
Si N=2𝑛−1 (2n-1) avec p=(2𝑛 -1) premier alors N est parfait.
(2.1)
Appliquons cette formule pour n=2, on aura p=(2𝑛 -1) =(2.2)-1=3
3 est un nombre premier, p est premier donc N=(22−1 -1)
(2*2-1)=6, au regard de la définition
mentionnée ci-haut, 6 est un nombre parfait.
NB: Si 2𝑛 -1 est premier, alors n est premier
P.2. Relation cubique:
Tout nombre parfait, à l'exception de 6, est la somme des cubes des nombres impairs consécutifs.
Soient:
13+33=28
(2.2)
13+33+53+73=496
13+33+53+73+93+113+133+153=8128.
P.3. tous les nombres parfaits pairs se terminent par 6 ou 28
P.4. La somme des inverses des diviseurs d'un nombre parfait est égale à deux (2).
Soit le nombre parfait 28 ayant comme diviseurs 1, 2,4, 7, 14,28. Appliquons la propriété:
1 1 1 1
1
1
+ + + +
+ =2
1 2 4 7 14 28
(2.3)
NB: On ne connait pas à ce jour de nombres parfaits impairs.
3 Les nombres amiables ou amis
3.1 Généralités
Les nombres amicaux ont une histoire liée depuis longtemps à la magie et à l'astrologie. Par exemple,
l'historien Ibn Khaldoun affirme que les nombres amicaux 220 et 284 sont utilisés dans l'art des
talismans pour favoriser les amitiés et les unions. Par ailleurs, certains commentateurs juifs de la Genèse
pensaient que Jacob avait donné deux cents chèvres et vingt boucs, et autant de brebis et de béliers à
son frère ainé Esaü quand u-il commença à craindre que ce dernier le tue parce que 220 est un nombre
amical.
Si les nombres parfaits sont rares, les nombres amiables ne le sont guère moins. Deux nombres sont
amiables si la somme des parties aliquotes de chacun d'eux est égale à l'autre.
Soient a et b deux nombres ∈ IN, a et b sont amis ssi s(a) = s(b).
Leur nom vient d'une croyance grecque selon laquelle deux personnes dont les noms correspondaient à
des nombres amiables avaient des relations amicales.
15
Les grecs ne connaissaient que deux nombres amiables, les plus petits 220 et 284. Par Ordinateur on a
pu exhiber 42 couples de nombres amiables inférieurs à 10 000 000 parmi lesquels 17 296 et 18 416
(trouvés par Fermat) et 9 437 056 et 9 363 584 (trouvés par Descartes).
NB: On ne reconnait pas jusqu'à ce jour de couple formé par un nombre pair et impair.
Démontrons de manière arithmétique la relation amicale qui peut exister entre deux nombres, soient les
nombres 220 et 284. Décomposons ces nombres en parties aliquotes pour vérifier la propriété d'amitié
de ces nombres.
Les
parties
aliquotes
de
220
sont
1,2,4,10,11,20,22,44,55
et
110
en
faisant
la
somme
(1+2+4+10+11+20+22+44+55+110) on retrouve 284 et en décomposant 284 en ses parties aliquotes
on a 1,2,4,71,142, en faisant la somme (1+2+4+71+142) on retrouve 220, d'où les deux nombres sont
amis.
3.2Propriétés
P1. Si l'on note sigma la fonction qui à un entier associe la somme de ses diviseurs, cette propriété se
traduit par: σ(n) = m et σ(m)= n, en additionnant les deux expressions on a :
σ(n)+σ(m)=n+m. avec n≠m. Si n=m alors on est en présence d'un nombre parfait (Lorsqu'un nombre
entier est son propre amiable, il est un nombre parfait).
(3.1)
P2. Relation de Abu-I-Hasan Thabit ibn Querra
Si p=3.2𝑛−1
q=3. 2𝑛−1
r=9.22𝑛−1 sont tous des nombres premiers, alors M=2𝑛 .p.q et N=2𝑛 .r sont des nombres amiables.
(3.2)
Si n=2, on retrouve la fameuse paire attribuée à Pythagore
Si n=4 on retrouve la paire de Descartes,
Si n=7, on retrouve la paire de Fermat.
4. Chaînes sociables
4.1 Généralités
La généralisation du concept de paires de nombres amiables est le concept de chaînes sociables. On
dénomme chaînes sociables d’ordre n, une suite de n nombres a1 , a2 , … an tels que :
s(a1) = s(a2) , s(a2) = s(a3) , …, s(an-1) = s(an) , s(an) = s(a1)
(4.1)
4.2 Propriétés
P.1 Les chaînes sociables d’ordre 1 sont des nombres parfaits.
Soit la chaîne sociable d’ordre 1 vérifiant la propriété s(𝑎1 )= 𝑎1, on remarque que 𝑎1 est un nombre
parfait.
(4.2)
16
P.2Les chaînes sociables d’ordre 2 sont des pères amiables
Soit les chaîne sociables d’ordre 2 vérifiant la propriété s(𝑎1 ) = 𝑎2 et s(𝑎2) = 𝑎1 , on remarque que a1 et a2
sont des nombres amis.
(4.3)
La recherche des chaînes sociables d’ordre n pour n ›2 est une discipline récente qui n’a vraiment débuté
qu’au XXe siècle, quoiqu’elle ait passionné certains mathématiciens tels que Pythagore, Euler, Descartes
et bien d’autres. Mais par manque des moyens théoriques et informatiques, ils n’ont pas pu se lancer
dans cette aventure.
Il faut attendre que Poulet découvre pour la première fois, à la main, l’existence des chaînes amiables
d’ordre supérieur à 2. En 1918, il exhibe une chaîne sociable d’ordre 5 (12496, 14288, 15472,
14536,14264).
Il fallut attendre 1970 et l’utilisation d’ordinateurs pour découvrir de nouvelles chaînes sociables, cette
fois d’ordre 4. Notons que malgré de recherches intensives, aucune chaîne sociable d’ordre supérieur à
28 n’a été trouvée depuis 1918.
Conclusion
In fine, ce papier s'est proposé de traiter les questions liées à l'univers de nombres en se focalisant sur
les nombres parfaits et amiables qui intriguent les mathématiciens et passionnent les amateurs depuis
plus de deux millénaires. ce papier n'a pas présenté ou traité de manière exhaustive toute la théorie des
nombres, dès lors il est possible d'envisager un prolongement de cette étude en direction de
l'appréhension d'autres types de nombres qui occupent de plus en plus une place de choix dans l’analyse
mathématique et qui pour certains ont été considérés comme mystère, tels que les nombres premier
(hypothèse de Riemann), les nombres abondants, les nombres pseudo-premiers, etc.
Bibliographie

BOUVIER
Alain,
GEORGE
Michel
et
Le
LIONNAIS
François,
2009,
Dictionnaire
des
mathématiques, 3ème édition, France Quercy. 1029p.

COHEN Henri, 2009, "Problèmes ouverts en théorie des nombres", Institut de Mathématiques de
Bordeaux. pp 2-6

DELAHAYE Jean-Paul, 2013, Merveilleux nombres premiers (voyage au cœur de l'arithmétique),
2ème édition, Belin pour la science. 336p.

SONG Y. Yan, 1996, "Perfect, amicable and sociable numbers. A computational approach", World
scientific, Singapore. pp 3-7
Annexes
A1. Quelques questions non résolues de la théorie de nombres
* Conjecture de Goldbach (1742):
“ Tout nombre entier pair supérieur à 3 peut s'écrire comme la somme de deux nombres premiers”
La figure ci-dessous montre, pour les premiers nombres pairs (2N allant de 4 à 50), les solutions de
l'équation 2N=p+q représentées par:
17
4=2+2
6=3+3
8=3+5
10=3+7=5+5
12=5+7
14=3+11=7+7
.
.
.
50=19+31=13+37=7+43=3+47
* Conjecture de Riemann (1859):
“ Les Zéros de la fonction zêta ont tous pour partie réelle 1/2,par conséquent, il est possible de
décomposer les nombres premiers en musique”
La fonction zêta de Riemann est définie pour tous les nombres complexe s de partie réelle strictement
supérieure à 1 par:
ς(s)=∑∞
𝑛=1
1
𝑛𝑠
Leonhard Euler l' introduisit (en liaison avec sa solution de Bâle) et montra qu'elle est donnée par le
produit eulérien:
ς(s)=
∏𝑝 𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑒𝑟
1
1−𝑝−𝑠
où le produit infini porte sur tous les nombres premiers p (et converge, là encore, pour tous les s de
partie réelle ›1), c'est ce résultat qui explique l'intérêt de la fonction zêta dans l'étude de la répartition
des nombre premiers.
par prolongement analytique, on peut vérifier que (1- ) ς(s)=η(s)= ∑∞
𝑛=1
1
2
−1𝑛+1
𝑛𝑠
,
or la série de droite
(appelée fonction êta de Dirichlet) converge pour tout s de partie réelle strictement positive. On prolonge
ce ainsi ζ à tous les s≠1 de partie réelle ›0.
On montre ensuite, pour tout s de partie réelle strictement comprise entre 0 et 1, l'identité fractionnelle
𝜋𝑠
ς(s)=2𝑠 𝜋 𝑠−1 sin( )г(1-s) ς(1-s) où г est la fonction Gamma d'Euler.
2
Il devient alors possible d'utiliser cette formule pour définir zêta pour tout s de partie réelle négative
1
(avec ζ=− ), on déduit que les entiers pairs strictement négatifs sont des zéros de zêta (appelés zéros
2
triviaux) et que les zéros non triviaux sont symétriques par rapport à l'axe Re(s)=
1
2
et sont tous de partie
réelle comprise, au sens large, entre 0 et 1; cette région du plan complexe s'appelle bande critique.
18
L'hypothèse de Riemann peut se reformuler ainsi: si 0‹Re(s)‹1 et si s est un zéro de ζ, alors sa partie
réelle vaut
1
2
.
* Conjecture de Syracuse (1952):
“ La suite de Syracuse de n'importe quel entier strictement positif atteint 1”
Soit un nombre entier plus grand que zéro, s'il est pair, on le divise par 2, s'il est impair, on le multiplie
par 3 et on ajoute 1. en répétant l'opération, on obtient une suite d'entiers positifs dont chacun ne
dépend que de son prédécesseur.
Par exemple à partir de 14,on construit la suite des nombres 14,7,22,11,34, 17,52,26,13,40,5,16,8,4,2,1
c'est ce qu'on appelle la suite de Syracuse du nombre 14.
Si l'on était parti d'un autre entier, en lui appliquant les mêmes règles, on aurait obtenu une suite de
nombres différente. A priori, il serait possible que la suite de Syracuse de certaines valeurs de départ
n'atteigne jamais 1.
* Conjecture de Brocard:
2
“ Il y a au moins quatre nombres premiers entre 𝑝𝑛2 et 𝑝𝑛+1
, pour tout n›1, où 𝑝𝑛 est le 𝑛è𝑚𝑒 nombre
premier”
n
𝑝𝑛
𝑝𝑛2
Nombres premiers
∆
1
2
4
5,7
2
2
3
9
11,13,17,19,23
5
3
5
25
29,31,37,41,43,47
6
4
7
49
53,59,61,67,71...
15
5
11
121
127,131,137,139,149...
9
∆ est le nombre de nombres premiers.
A la lecture de ce tableau, en prenant les valeurs de n›1, on constate par exemple pour
2
𝑝𝑛 =3 (𝑝𝑛2=9), 𝑝𝑛+1 =5 (𝑝𝑛+1
=25), on peut dès lors montrer que les nombres premiers compris entre 9 et
25 sont: 11,13,17,19,23..Pour le reste des éléments de ce tableau le raisonnement demeure isomorphe.
* Conjecture des nombres premiers jumeaux:
“ Il existe une infinité de nombres premiers jumeaux”
Deux nombres premiers jumeaux sont deux nombres premiers qui ne diffèrent que de 2. hormis le
couple (2,3), cet écart entre nombres premiers de 2 est le plus petit possible. Les plus petits nombres
premiers jumeaux sont 3 et 5, 5 et 7, 11 et 13.
Au 25 décembre 2011, les plus grands nombres premiers jumeaux connus, découverts dans le cadre du
projet de calcul PrimeGrid sont (3 756 695 685 * 2666 669 )±1.
Les observations numériques et des raisonnements heuristiques justifient la conjecture, mais aucune
démonstration n'en a encore été faite.
19
A2. Quelques Théorèmes fondamentaux de la théorie de nombres
*Divisibilité:
*Théorème de Bézout
L'identité de Bachet-Bézout ou théorème de Bézout est un résultat d'arithmétique élémentaire, qui
prouve l'existence de solutions à l'équation diophatienne linéaire ax + by=pgcd(a,b) d'inconnues x et y
entiers relatifs et où a,b sont des coefficients entiers relatifs et où pgcd(a,b) est le plus grand commun
diviseur de a et b.
Le théorème de Bézout affirme que ax + by=1 admet des solutions si et seulement si les entiers relatifs
a et b sont premiers entre eux.
*Théorème de deux carrés
Le théorème des deux carrés de Fermat énonce les conditions pour qu'un nombre entier soit la somme
de deux carrés parfaits. Selon ce théorème, un nombre premier impair p est somme de deux carrés
parfaits si et seulement si p est un nombre premier de Pythagore, c'est à dire congru à 1 modulo 4:
(∃(x,y)∈ 𝑁 2 / p=𝑥 2 + 𝑦 2 ) ⇔ p≡1 (mod 4).
*Théorème de Wilson
Le théorème de Wilson s'énonce comme suit: un entier p est strictement plus grand que 1 est un nombre
premier si et seulement s'il divise (p-1)! +1, c'est à dire si et seulement si (p-1)! +1 ≡0 (mod p).
*Entiers premiers:
*Théorème de Breusch
Pour tout n≥48, il existe un entier premier entre n et
9
8𝑛
. ce théorème démontré en 1931 améliore le
postulat de Bertrand.
*Théorème de Jensen
Il existe une infinité d'entiers premiers irréguliers congrus à 3 modulo 4; le plus petit entier de cette
famille est 59.
*Théorème de Littlewood
Soit
𝜋(x) le nombre
de nombres premiers inférieurs ou égaux au nombre réel positif x et Li(x) le
logarithme intégral de x. Le théorème de Littlewood (1914) affirme que 𝜋(x)-Li(x) change de signe une
infinité de fois.
20
*Théorème Tchebychev
Le nombre 𝜋(x) de nombres premiers inférieurs ou égaux à x est équivalent, lorsque le réel x tend vers
+∞, au quotient de x par son logarithme népérien. Soit:
𝜋(x)~
𝑥
ln(𝑥)
(x→ +∞), c'est à dire lim𝑥→+∞ 𝜋(𝑥)
ln(𝑥)
𝑥
=1
Le russe Pafnouti Tchebychev a établi en 1852 que si x est assez grand, 𝜋(x) est compris entre
0,921𝑥
𝑙𝑛𝑥
et
1,106𝑥
𝑙𝑛𝑥
*Equations algébriques:
*Théorème de Sturm
Soit P un polynôme de degré n de R[X] n'ayant que des racines simples. On considère la suite p, 𝑝0 ,
𝑝1 ,..., 𝑝𝑖 ,..., 𝑝𝑘 de polynômes où 𝑝0 est le polynôme dérivé de p, où −𝑝1 est le reste de la division
euclidienne de P par 𝑝0 et où pout tout i∈{2,3,...,k}, le polynôme −𝑝1 est le reste de la division de 𝑝𝑖−2
par 𝑝𝑖−1 , le polynôme 𝑝𝑘 étant contant. Etant donné deux réels 𝛼 𝑒𝑡 𝛽 (𝛼 < 𝛽) le théorème de Sturm
affirme que si p est le nombre de variations de signe dans la suite p(𝛼), 𝑝0(𝛼), 𝑝1(𝛼),..., 𝑝𝑘 (𝛼) et q le
nombre de variation de signes dans la suite p(𝛽), 𝑝0(𝛽),..., 𝑝𝑖 (𝛽),..., 𝑝𝑘 (𝛽), alors le polynôme p possède
p-q racines réelles entre 𝛼 𝑒𝑡 𝛽.
*Equations diophantiennes:
*Théorème de Faltings
Proposé par Gerd Faltings en 1954, ce théorème affirme que pour tout entier n≥3 l'équation
diophantienne 𝑥 𝑛 +𝑦 𝑛 =𝑧 𝑛 a au plus un nombre fini de solutions primitives.
*Théorème de Matjasevich
Ce théorème apporte une réponse négative au dixième problème d'Hilbert: il n'est pas possible d'avoir
un algorithme pour décider si une équation diophantienne donnée quelconque possède ou non une
solution. Sa démonstration utilise des développements récents de la logique mathématique.
*Nombres algébriques, complexes, p-adiques, réels et transcendants:
*Théorème de Folkman
Si un graphe n'a pas de 4-clique comme sous-graphe et si, quelle que soit la coloration de ses arêtes à
l'aide de deux couleurs, il existe un triangle monochromatique, alors le nombre des sommets est
supérieur ou égal à 107𝐼 .
La notation 107𝐼 représente le nombre:
21
10
.
.
.
10
6 étages
10
10
*Théorèmes de Baker
Ils généralisent le théorème de Gelfond-Schneider:
𝛽
𝛽
1) soient 𝛽0 , 𝛽1 ,..., 𝛽𝑛 , 𝛼1,… , 𝛼𝑛 des nombres réels algébriques non nuls; le nombre 𝑒 𝛽0 𝛼1 1 ... 𝛼𝑛 𝑛 est
3
transcendant; par exemple 𝑒 √2 est un nombre transcendant;
2) soit 𝛼 ≠1 un nombre réel algébrique strictement positif; alors ∝ est transcendant; en particulier, ln2
est un nombre transcendant.
3) soient 𝛼1 ,… , 𝛼𝑛 des nombres non nuls, et 𝛽1 ,..., 𝛽𝑛 des nombres algébriques. Si x=𝛽1 log𝛼1 +...+𝛽𝑛 log𝛼𝑛
n'est pas nul (log𝛼𝑖 est une détermination du logarithme de 𝛼𝑖 ), alors x est transcendant.
*Théorème de Steinitz
Tout corps commutatif K admet une clôture algébrique; deux clôtures de K sont isomorphes. Exemples:
la clôture algébrique de Q est le corps 𝑄̅ des nombres algébriques, celle de R est le corps C des nombres
complexes.
*Théorème de Weierstrass
Le lemme ou théorème de préparation de Weierstrass, sous forme concise peut être énoncé comme suit:
1) soit K un corps. l'anneau K[X1,...,Xn] est factoriel;
2) l'anneau C{X1,...,Xn} des séries entières convergentes est un anneau factoriel.
*Théorème de Gelfand
Le théorème d'Israël Moisievitch Gelfand, proposé en 1913 s'énonce comme suit:
Une algèbre de Banach sur R qui est un corps commutatif est isomorphe soit à R soit à C.
*Théories additive et multiplicative:
*Théorèmes de Gauss
1) Théorème des trois carrés: un entier n est somme de trois carrés si et seulement si n est de la forme
4𝑎 (8b-1) avec a,b∈Z.
2) Tout entier positif est somme de trois nombres triangulaires.
3)Un polygone régulier à n côtés est constructible à la règle et au compas si et seulement si n est de la
forme 2r p1 p2...ps avec r,s∈N et où les pi sont des nombres premiers de Fermat distincts. En particulier
les polygones à 3,4,5,6,8,10,12,15,16,17 ou 20 côtés sont constructibles.
22
*Théorème de Lagrange
1) Théorème de quatre carrés: Tout entier naturel est somme de quatre carrés.
2) L'ordre d'un sous-groupe est un facteur de l'ordre du groupe.
*Théorème de Vaughan
Du nom de son auteur Robert Charles Vaughan (1945), le théorème s'énonce comme suit:
Tout entier pair est somme d'au plus vingt-six nombres premiers.
*Théorème de Waring
Tout entier positif n peut s'écrire comme somme de quatre carrés parfaits au plus, comme somme de
neuf cubes parfaits au plus, comme somme de dix-neuf puissances quatrième au plus et d'une manière
générale comme somme d'un nombre fini r=g(k) de puissance k-ième au plus.
*Théorème Wieferich
1) Le nombre g(3) intervenant dans l'un des problèmes de Waring est égal à 9. Notons que 23 s'écrit
comme somme de 9 cubes au minimum:
23=23+23+13+13+13+13+13+13+13.
2) Soit un nombre premier p>2. D'après le petit théorème de Fermat de nombre n=(2𝑝−1 - 1)/p est un
entier. Le théorème Wieferich affirme que si n n'est pas divisible par p, alors le premier cas de la
conjecture de Fermat est vrai pour l'exposant p.
*Théorème de Bang
Soit a≥2 un entier, le théorème de Bang affirme que pour tout entier n≠6 il existe un nombre premier p
tel que l'ordre de a dans Z/pZ soit égal à n.
*Théorie des nombres premiers:
*Théorème de Bombieri
Il existe une infinité de nombres premiers p tels que p+2 ait au plus quatre facteurs premiers. Ce
théorème constitue l'un des meilleurs résultats en direction de la conjecture sur les nombres premiers
jumeaux.
*Théorème de Vinogradov
15
Tout entier impair et supérieur à 33 est somme de trois nombres premiers.
23
*Théorème d'Euler
Si n est un nombre parfait pair, alors il s'écrit n=2𝑝−1 (2𝑝 -1) où 2𝑝 -1 est premier. Si n est un nombre
2𝑒1
impair, alors sa décomposition e facteurs premiers est de la forme n= 𝑝𝑒 𝑝1
2𝑒𝑘
... 𝑝𝑘
où p et les pi sont
distincts et impairs et où p≡e≡1 mod 4. On a montré depuis que k était nécessairement supérieur ou
égal à 6.
*Théorème de Staudt
Le nombre de Bernoulli 𝐵2𝑘 est de la forme 𝐵2𝑘 = 𝐺2𝑘 - ∑𝑝−1⁄
1
2𝑘 𝑝
où 𝐺2𝑘 est un entier et où les nombres p
sont des nombres premiers tels que p-1 divise 2k. Il permet donc de calculer le dénominateur des
nombres de Bernoulli. Par exemple :
1
1
1
2
3
7
B6=G6 - ( + + ), donc le dénominateur de B6 est égal à 42. On énonce fréquemment ce théorème en
disant que dans Z(p) , localisé dans Z en pZ, on a p𝐵2𝑘 ≡-1 mod pZ(p) pour tout entier p premier tel que p1 divise 2k.
24