II. Vecteurs - Les mathématiques en direct

CHAPITRE 2 – REPERAGE DANS LE PLAN – VECTEURS
CLASSE DE SECONDE
C. JOURDAIN
1
I. Repérage
1) Repérage des points du plan.
Définition : Un repère du plan est un triplet (O ; I ; J ) de points non alignés.
On dit que :
 O est l’origine du repère ,
 La droite graduée (O ; I ) est l’axe des abscisses,
 La droite graduée (O ; I ) est l’axe des ordonnées.
On distingue trois types de repère :
 Le repère orthonormal
 Le repère orthogonal,
 Le repère quelconque.
Repère orthonormal
Les axes sont perpendiculaires en O.
La maille est un carré.
OI = OJ
Repère orthogonal
La maille est un rectangle.
Les axes sont perpendiculaires en O.
Repère quelconque
La maille est un parallélogramme.
 Coordonnées d’un point
Le plan est rapporté à un repère (O ; I,J). Tout point M est repéré par un unique couple de réels (x,y), appelé couple de
coordonnées de M dans le repère.
 Notion de dimension
Une droite graduée forme un repère dit « de dimension 1 »
Un plan muni d’un repère (O, I, J) forme un repère dit « de dimension 2 ».
2) Repérage des cases d’un réseau carré ou rectangulaire
Dans un tableur, par exemple sous Excel, chaque « case » est appelée une cellule. L’ensemble des cellules forme un réseau
carré ou rectangulaire, selon la largeur des colonnes et la hauteur des lignes.
Exemple : C est la lettre de la cellule D3
Faire les exercices : n° 1, 3, 4 p 274 – n°6, 8 p 275

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II. Vecteurs
1) Vecteurs et égalité vectorielle
Définitions et propriétés :
a. A tout couple de points (A, B) est associé un vecteur
Error!
, défini par :
1. sa direction,
2. son sens
3. et sa longueur AB.
b. Lorsque A et B sont confondus, on pose
Error!
=
Error!
, appelé vecteur nul.
c.
Error!
= 
Error!
d. La norme du vecteur
Error!
est la longueur AB. Elle est notée : ||
Error!
|| = AB.
Un vecteur
Error!
est dit unitaire si sa norme est 1 : ||
Error!
|| = 1.
Propriétés :
Error!
=
Error!
si, et seulement si la translation qui transforme A en B transforme aussi C en D
Error!
=
Error!
si, et seulement si ABDC est alors un parallélogramme
Error!
=
Error!
si, et seulement si [AD] et [BC] ont même milieu.
2) Addition de deux vecteurs
Théorème : (Relation de Chasles)
Pour tout point M du plan, on a :
Error!
=
Error!
+
Error!
Interprétation : Le chemin choisit pour aller de A à B
n’importe pas dans une égalité vectorielle. (Attention, un
chemin est un trait continu sur un graphique)
Théorème : (Règle du parallélogramme)
On a équivalence entre les deux propositions suivantes :
 ABDC est un parallélogramme
Error!
+
Error!
=
Error!
3) Soustraction de deux vecteurs
La différence
Error!
-
Error!
des vecteurs
Error!
et
Error!
est définie par :
Error!
-
Error!
=
Error!
+ (-
Error!
)
Exemple : Calcul de
Error!
-
Error!
Faire les exercices : n°9, 11 à 14 p 275 – 17 et 19 p 276

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III. Coordonnées de vecteurs
1) Coordonnées d’un vecteur
(O, I, J) est un repère du plan. En posant
Error!
=
Error!
et
Error!
=
Error!
, le repère s’écrit aussi : (O,
Error!
,
Error!
).
Les coordonnées de M sont alors aussi celles du vecteur
Error!
:
Error!
Error!
, on les note généralement en colonne pour les
distinguer des coordonnées du point.
Propriétés : Si A (xA ; yA) et B(xB ; yB), alors :
Error!
Error!
et : ||
Error!
|| ² = ( xB  xA ) ² + ( yB  yA )².
Exemples : Si A(4 ; 1) et B(2, 3) dans un repère (O,I,J), calculer les coordonnées de
Error!
,
Error!
,
Error!
dans ce
repère puis la distance AB.
2) Traductions analytiques
Propriétés : Dans un repère,
Error!
(x, y) et
Error!
(x’,y’) sont deux vecteurs.
Error!
=
Error!
si, et seulement si, x = x’ et y = y’, ce qu’on écrit :
Error!
Error!
a pour coordonnées
Error!
Error!
+
Error!
a pour coordonnées
Error!
Application : Déterminer les coordonnées du milieu I du segment [AB].
Faire les exercices : n°21 à 23 p 276 – n°30 à 33 p 277
IV. Vecteurs k
Error!
avec k réel
1) Multiplication par un réel d’un vecteur

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Définition : Soit un vecteur
Error!
et deux points A et B tels que
Error!
=
Error!
. On appelle produit du vecteur
Error!
par le nombre réel k, le vecteur noté k.
Error!
tels que
 Si k > 0 et
Error!
≠
Error!
, le vecteur k.
u
a la même direction, le même sens que le vecteur
Error!
et a pour longueur k.AB
 Si k < 0 et
Error!
≠
Error!
, le vecteur k.
u
a la même direction, le sens contraire du vecteur
Error!
et a pour longueur – k.AB
 Si k = 0 ou
Error!
≠
Error!
, le vecteur k.
u
est le vecteur nul noté
Error!
Propriétés : Quels que soient les nombres réels h et k et les vecteurs
u
et
v
 h.
Error!
+ k .
Error!
= (h + k) .
Error!
 h ( k
Error!
) = h k
Error!
 h(
Error!
+
Error!
) = h
Error!
+ h
Error!
Proposition : Le plan étant muni d’un repère, soient deux vecteurs
u
(x ; y) et
v
(x’ ; y’) et k un nombre réel.
Le vecteur k
Error!
a pour coordonnées
Error!
Faire les exercices : 34 page 277 ; 39, 40, 42, 48 page 278.
2) Vecteurs colinéaires et points alignés
Propriété : Si
Error!
Error!
et
Error!
Error!
, on a équivalence entre :

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Error!
et
Error!
sont colinéaires
 il existe k  IR tel que :
Error!
= k
Error!
(Deux vecteurs non nuls
u
et
v
sont colinéaires lorsqu’ils ont la même direction.)
Propriété : Les points A, B et C distincts deux à deux sont alignés si, et seulement si les vecteurs non nuls
AB
et
AC
sont colinéaires.
Méthode 1 : Comment trouver l’équation d’une droite (AB) ?
La droite (AB) est l’ensemble des points M tels que :
Error!
= k
Error!
, k décrivant IR, donc :
M  (AB) si, et seulement si il existe k  IR, tel que
Error!
= k
Error!
3) Expression analytique de la colinéarité
Théorème : Le plan étant muni d’un repère, soient deux vecteurs non nuls
u
( )
x ; y et
v
( )
x’ ; y’ .
Le vecteur
u
est colinéaire au vecteur
v
équivaut à : x y’ = x’ y
Ce qui reviens à dire qu’il y a proportionnalité entre les coordonnées des deux vecteurs.
Méthode 2 : Comment démontrer que deux droites sont parallèles ?
(AB) parallèle à (CD) si, et seulement si il existe k  IR, tel que
Error!
= k
Error!
Méthode 3 : Comment démontrer que trois points sont alignés ?
A, B et C alignés si, et seulement si il existe k  IR, tel que
Error!
= k
Error!
Méthode 4 : Comment démontrer que G est le centre de gravité d’un triangle ABC ?
Le centre de gravité d’un triangle ABC est le point G tel que :
Error!
+
Error!
+
Error!
=
Error!
Et si A’ est le milieu de [BC], on a :
Error!
=
Error!
Error!
Le meilleur moyen reste de montrer que G est le point d’intersection des médianes du triangle.
Révision : QCM page 279 et VRAI – FAUX page 279.
Faire les exercices : 82, 83 page 281 ; 87, 88 page 282 ; 93 page 284.