1 Éléments de base, cercle, triangles

11
1Élémentsdebase,cercle,triangles
Danscepremierchapitredegéométrieplane,lesrappelsthéoriquesaborderontsuccessivementlespre‐
miersconceptsgéométriques(axiomesdebaseetleursconséquences),lecercleet,enfin,lestriangles
(caractéristiquesetpropriétés).
Lespropriétésquiserontétudiéesdanscechapitrenerelèventpastoutesdel’écoleprimaire;certaines
sontauprogrammedupremiercycledusecondaire.C’estdansuneperspectived’arrimageentrelesdif‐
férentsordresd’enseignementquenouslesprésentons.
1.1Rappelsthéoriques
1.1.1Premierséléments
Lesdéfinitionsquisuivent(définition1,définition2etdéfinition4)sontinspiréesdesdéfinitions,postu‐
latsetautresaxiomestelsqueprésentésdansleLivreIdesÉlémentsd’Euclide(environ300ansav.J.‐C.),
danslatraductiondePeyrard2(1804).
Points,droites,segments
a) Lepoint
Définition1:«Lepointestcequin’aaucunepartie».
Autrementdit,unpointgéométriqueestuneentitéabstraitequel’onmatérialiseparunpoint(●)ouune
croix(×)etquel’ondésignesouventparunelettremajuscule.
b) Ladroite
Définition2:«Laligneestunelongueursanslargeur»;
Définition4:«Lalignedroiteestcellequiesttoutégalementinterposéeentresespoints».
Entermescontemporains,ladroitegéométriquealespropriétéssuivantes:
 Pardeuxpointsgéométriquesdistincts,ilnepassequ’unedroiteetuneseule.Parlespointset
,ilnepassequeladroite;
 Entrelespointset,ilyauneinfinitédepointsgéométriques. 
2ConsultésurInternetle03/03/2016:http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k110982q.r=.langFR.

1 Lagéométrieàl’écoleprimaire
12
Ladroitepassantparlespointsetestnotée.
Onditquetroispointssontalignésquandilssontsituéssurlamêmedroitegéométrique,ouqu’uneseule
droitepasseparcestroispoints.
c) Lesegment
Lesegmentdedroiteestlaportiondedroitecompriseentredeuxpointsdecelle‐ci;lesdeuxpointssont
alorslesextrémitésdusegment.Lesegmentd’extrémitéset,estnoté
.
Lesegmentd’extrémitésetcontientuneinfinitédepointsgéométriques.Cespointssonttousdes
pointsdeladroite,maistouslespointsdeladroitenesontpasdespointsdusegment
.
Surlafigureci‐dessus,lesegment
estenrouge;ladroiteestennoiretenrouge.Lepointestun
pointdusegment
.Lepointestunpointdeladroite.
Lepointestunpointdusegment
:ilesttoujoursentrelespointset,surletracérougedela
figureci‐dessus.
Lepointestunpointdeladroite:ilpeutêtren'importeoùsurletracéquipasseparlespoints
et,enrougeetennoirsurlafigureci‐dessus.
Lalongueurdusegment
estladistancelapluscourtequiexisteentrelesdeuxpointset.
Positionsrelativesdedeuxdroites
a) Droitessécantes
Onditquedeuxdroitessontsécantesquandellesontunpointgéométriquecommunetunseul.Cepoint
s’appelleaussilepointd’intersectiondesdeuxdroites.
Danslafigureci‐dessus,lepointestlepointd'intersectiondesdroiteset.Onditaussiqueles
droitesetsontsécantesen. 
AB
C
AB
C
DAC
B
AB
C
D
O

Élémentsdebase,cercle,triangles 1
13
b) Droitesperpendiculaires
Lesdroitesperpendiculairessontunesituationparticulièrededroitessécantes.DansleLivreIdesÉlé‐
mentsd’Euclide,onpeutlire:
Définition10:«Lorsqu’unedroitetombantsurunedroitefaitdesanglesdesuiteégauxentreeux,chacun
desangleségauxestdroit.Ladroitetombanteestditeperpendiculaireàcellesurlaquelleelletombe.»
End'autrestermes,sideuxdroitessecoupentenformantquatreanglesisométriques,cesquatreangles
sontdesanglesdroits.Onditalorsquelesdroitessontperpendiculaires.
Surlafigureci‐dessus,ladroiteetladroitesontperpendiculairesen.Onditaussiqueladroite
perpendiculaireàladroitepassantparlepointcoupeladroiteen.Iln’existequ’uneseule
droitepassantparlepointquisoitperpendiculaireàladroite.
Onécrit:
c) Droitesparallèles
D’aprèsleLivreIdesÉlémentsd’Euclide,définition35:«Lesparallèlessontdesdroitesqui,étantplacées
dansunmêmeplan,etquiétantprolongéesdepartetd’autreàl’infini,neserencontrentnullepart.»
Deuxdroitesparallèlessontdeuxdroitesquin’ontaucunpointd’intersection.
Surlafigureci‐dessus,ladroiteestladroiteparallèleàladroitepassantparlepoint.Cettedroite
estunique.Onditaussique,parunpointextérieuràunedroite,ilnepassequ’unedroiteetuneseule
quisoitparallèleàlapremière.
Onécrit: //
A
B
C
D
P
A
B
C
D

1 Lagéométrieàl’écoleprimaire
14
d) Parallèlesetperpendiculaires
LesdéfinitionsproposéesparEuclideontdeuxconséquencesimportantesliantlesdroitesperpendicu‐
lairesetlesdroitesparallèles.
 Sideuxdroitessontperpendiculairesàunemêmetroisième,alorsellessontparallèlesentreelles.
Ci‐dessus,lesdroitesetsonttouteslesdeuxperpendiculairesàladroite,ellessontdoncpa‐
rallèlesentreelles.
 Sideuxdroitessontparallèles,alorstoutedroiteperpendiculaireàl’uneestperpendiculaireà
l’autre.
Ci‐dessus,lesdroitesetsontparallèles.Siladroiteestperpendiculaireàladroite,comme
lesdroitesetsontparallèles,alorsladroiteestperpendiculaireàladroite. 
A
B
C
D
F
E
A
B
C
D
E
G
F

Élémentsdebase,cercle,triangles 1
15
Angles
a) Anglesforméspardeuxdroites
Deuxdroitessécantesdéterminentquatrerégionsduplanqu’onappelleangles.Lepointd’intersection
decesdroitesestlesommetcommundesquatreangles.
Ci‐dessus,lesdroitesetsecoupenten.Ellesdéterminentquatreanglesdesommet:l’angle
(noté),l’angle(noté),l’angle(noté)etl’angle(noté).
Lesdemi‐droitesd’originesontlescôtésdesangles:lademi‐droited’originepassantpar,la
demi‐droited’originepassantpar,lademi‐droited’originepassantparetlademi‐droite
d’originepassantpar.
Lesanglesetsontopposésparlesommetetsontisométriques.Onremarquequ’ilssont
moins«ouverts»qu’unangledroit:cesontdesanglesaigus(etleurmesureserainférieureàcelled’un
angledroit).
Lesanglesetsontaussidesanglesopposésparlesommetetisométriques.Ilssontplus
ouvertsqu’unangledroit(leurmesureestplusgrande):cesontdesanglesobtus.
Attention:Quandondésigneunanglepar3lettres,lesommetdel’angleest
lalettredumilieu.Quandonécrit ,estlesommetdel'angle.
b) Anglesforméspardeuxdemi‐droites
Quandlesdeuxdemi‐droitesetsontdansleprolongementl’unedel’autre,lesdeuxcôtésde
l'angleformentunedroite,ilsdéterminentdeuxanglesplats.
Quandlesdeuxcôtésnesontpasdansleprolongementl’undel’autre,ilsdéterminentdeuxangles:un
anglesaillantquiestpluspetitqu’unangleplatetunanglerentrantquiestplusgrandqu’unangleplat.
Danslafigureci‐dessus,l’anglesaillantestenrose;l’anglerentrantestenjaune.
A
B
C
D
O
A
B
O
B
A
O