Cours Parallélogramme, triangles et parallèles _Prof

TRIANGLES ET PARALLELES
I) Rappel sur les parallélogrammes :
1) Définition :
Un parallélogramme est un quadrilatère ayant ses côtés opposés
parallèles.
A
B
D
C
ABCD est un parallélogramme donc (AB)//(CD) et (AD) //(BC).
2) Propriétés :
Propriété 1 :
Un parallélogramme a ses diagonales qui se coupent en leur milieu.
A
B
O
D
C
ABCD est un parallélogramme donc le point O est le milieu de
[AC] et le milieu de [CD].
Propriété 2 :
Un parallélogramme a ses côtés opposés de la même longueur.
A
B
D
C
ABCD est un parallélogramme donc AB = CD et
AD = BC.
1
Propriété 3 :
Un parallélogramme a ses angles opposés de la même mesure.
A
B
D
C
ABCD est un parallélogramme donc
෣ = mesure BCD
෣ et
une mesure DAB
෢ = mesure CDA
෣.
une mesure ABC
3) Montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme :
Définition :
Un quadrilatère ayant ses côtés opposés parallèles est un
parallélogramme.
A
B
D
C
(AB)//(CD) et (AD) //(BC) donc ABCD est un parallélogramme.
Propriété 1 :
Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu
alors c’est un parallélogramme.
A
B
O
D
C
Le point O est le milieu de [AC] et le milieu de [BD] donc ABCD
est un parallélogramme.
2
Propriété 2 :
Si un quadrilatère a ses côtés opposés de la même longueur alors
c’est un parallélogramme.
A
B
D
C
AB = CD et AD = BC donc ABCD est un parallélogramme.
Propriété 3:
Si un quadrilatère a deux côtés opposés parallèles et de la même
longueur alors c’est un parallélogramme.
A
B
D
C
(AB)//(CD) et AB = CD donc ABCD est un parallélogramme
Propriété 4 :
Si un quadrilatère a ses angles opposés de la même mesure alors
c’est un parallélogramme.
A
B
D
C
෣ = mesure BCD
෣ et
mesure DAB
෢ = mesure CDA
෣ donc ABCD est un parallélogramme.
mesure ABC
3
Exemple :
Soit ABCD un trapèze. La parallèle à (AD) passant par B coupe
(CD) en K.
A
B
D
C
1) Compléter la figure.
2) Montrer que le quadrilatère ABKD est un parallélogramme.
4) Parallélogramme, rectangle, losange et carré:
II) Plan d’une démonstration :
On note les hypothèses : ce qui est dit dans l’énoncé.
On rédige la démonstration :
- On démarre des hypothèses
- On justifie rapidement les déductions simples
- Pour les déductions importantes, on utilise le plan :
On sait que noter les hypothèses nécessaires à la
propriété
Or
citer la propriété
Donc
conclure
4
III) Triangles et parallèles :
1) Activité :
2) Théorème 1 :
Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés alors
elle est parallèle au troisième côté.
A
I
J
B
I est le milieu de [AB]
J est le milieu de [AC]
donc (IJ) // (BC)
C
Démonstration :
3) Théorème 2 :
Dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux
côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté.
A
I
B
J
I est le milieu de [AB]
J est le milieu de [AC]
BC
donc IJ = 2
C
5
4) Exemple :
Soit ABCD un parallélogramme de centre O tel que AD = 3 cm.
Le point I est le milieu du segment [AB].
a) Faire une figure.
b) Montrer que les droites (OI) et (AD) sont parallèles.
c) Calculer la distance OI. Justifier.
5) Théorème 3 :
Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle
à un autre côté alors elle coupe le troisième côté en son milieu.
A
I
B
J
d
I est le milieu de [AB]
d passe par I, d // (BC)
et d coupe [AC] en J
donc J est le milieu de [AC]
C
6) Exemple :
ABCD est un parallélogramme de centre O. La droite (d) est parallèle à la
droite (BC) et passe par O. Elle coupe le segment [AB] en T.
a) Faire une figure.
b) Montrer que le point T est le milieu du segment [AB].
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