cours - LTHE

Mécanique des fluides
Rappels
Jean-Martial Cohard
[e-mail]
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Mécanique des fluides :
Plan du cours
I- GENERALITE
II- RAPPEL DE STATIQUE
1- Principe fondamentale de la statique
2- efforts sur les parois immergées
III- RAPPEL D’HYDRODYNAMIQUE
1- notion de flux – conservation de la masse
2- équations intrinsèques
3- Relation de Bernoulli
4- Théorème des quantités de mouvement
5- Cas des fluides réelles
6- Notion d’Analyse dimensionnelle
IV- ECOULEMENT A SURFACE LIBRE – REGIME PERMANENT
1- Introduction
2- Géométrie
3- Formule de Chezy, …
V- ECOULEMENT GRADUELLEMENT VARIE
1- Charge spécifique
2- Ligne d’eau
3- Le ressaut hydraulique
4- Passage d’obstacle
VI- INTRODUCTION AUX ECOULEMENT EN MILIEUX POREUX
1- Loi de Darcy
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Mécanique des fluides :
Généralités
Qu’est ce qu’un fluide
les gaz :
Molécules libres
(mouvement brownien)
les solides :
Agencement cristalin des
molécules
les fluides :
État intermédiaire
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Mécanique des fluides :
Introduction
Particule fluide
Suffisamment grand pour contenir un grand nombre de molécules
Suffisamment petit pour qu’on ne puisse distinguer des hétérogénéités.
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Mécanique des fluides :
Généralités
Effort sur une particule fluide
S
∂S
S : domaine matériel de masse m
∂S : surface qui délimite S
F = m f; avec f : densité massique d’effort
T = S t ; avec t : densité surfacique d’effort
F
T
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Mécanique des fluides :
Généralités
Force de pesanteur
S
P
P = m . g
f = g
L’énergie potentielle massique
associée epest tel que :
dep= -g dl = -g dz ez= g dz
Soit :
ep= g.z + cte
Réciproquement :
g = -grad ep= -grad(g.z)
ez
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Mécanique des fluides :
Généralités
Vecteur contrainte
A
dA
M
en
dF dM
Torseur des actions exercées sur A :
{dF; dM}
On défini le vecteur contrainte :
t (M, en) = dF/dA
Contrainte normale :
σn = t . en
Contrainte tangentielle :
σt et = t - σnendA
M
σn.en
dF en
σt.et
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Mécanique des fluides :
Généralités
Qu’est ce qu’un fluide
Déformation + état d’équilibre
Application d’une force
de cisaillement
Comportement des solides Comportement des liquides
Déformation …
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Mécanique des fluides :
Généralités
Fluide newtonien
Fluide épaississant
Fluide solidifiant stable
Plastique
Plastique de Bingham
τxy
τ0
pente = μ
dU/dy
Qu’est ce qu’un fluide
Comportement des fluides et autres ….
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Mécanique des fluides :
Généralités
Compressibilité
Variables : ρ, P, T
Pour un gaz :
Loi des gaz parfaits :
p/ ρ= R.T/M ; avec R = 8,32 J.K-1.kg –1
Ou équation de Van der Waals :
p.M/(ρ.R.T) = 1+ ρ.C(T) + ρ2.D(T) + …
L’air est en général considéré comme un gaz parfait
incompressible si U ≤100 m.s-1
ρ= cte
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Mécanique des fluides :
Généralités
Compressibilité
Pour un liquide :
(ρ-ρ0)/ ρ0= - β.(T-T0) + χ.(p - p0)
Avec βest le coefficient de dilatation et χ, le coefficient de
compressibilité
-χdp = dρ/ ρ0≈0
Pour l’eau : β= 1/5000 °K-1; χ= 1/22400 bar –1 (5. 10-10 Pa-1)
Pourtant les ondes se propagent (coup de bélier, chant des
baleines …) à la vitesse ctel que :
c2= (∂p/ ∂ρ)T=cte
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Mécanique des fluides :
Généralités
Compressibilité
Coef.
De com
p
ressibilité
Célérité du son
c
(
m/s
)
Air 1,00E-05 330
eau 5E-10 1420
Nombre de Mach : Ma = U/c
Fluide incompressible pour Ma << 1
Dans le cadre de ce cours on supposera l’eau et l’air comme des
fluides incompressibles :
ρair = 1,3 kg/m3
ρeau = 103kg/m3
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Mécanique des fluides :
Généralités
Notion de Pression
Contrainte normale résultant des chocs des molécules sur
les parois. L’intensité de cette contrainte est caractérisée par
un scalaire : la pression
- Défini en chaque point du fluide
- C’est une grandeur locale
- Fluide en mouvement ou pas
- Besoin d’une surface pour être révélée
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Mécanique des fluides :
Généralités
A
dA
M
en
dF
dM
dF = - p endA
σn= - p
enest la normale sortante
La pression s’exprime en
N. m -2 = kg.s-2.m –1
F = ∫A-p e
ndA
P
Force de Pression
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Mécanique des fluides :
Généralités
Pa bar mm CE mm Hg atm
Pascal 1,00E+00 1,00E-05 1,02E-01 7,50E-03 9,87E-06
bar 1,00E+05 1,00E+00 1,02E+04 7,50E+02 9,87E-01
mm C.E. 9,81E+00 9,81E-05 1,00E+00 7,35E-02 9,68E-05
mmHg = torr 1,33E+02 1,33E-03 1,36E+01 1,00E+00 1,32E-03
Atmosphère 1,01E+05 1,01E+00 1,033.1047,60E+02 1,00E+00
Conversion des unités de Pression
Pabs est la pression absolue
Peff est la pression effective mesurée par rapport à la
pression atmosphérique (Patm)
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Mécanique des fluides :
Généralités
Viscosité
z
Pour un fluide réel en mouvement, il
y a glissement et frottement entre le
fluide et les parois solides mais
également glissement et frottement
entre les couches de fluide
u(z)
z
u(z)
Fluide parfait Fluide réel
≠de gaz parfait
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Mécanique des fluides :
Généralités
u0
h
F = μu0/h
Paroi fixe
Viscosité
Paroi mobile
z
Pour maintenir la vitesse u0, il faut
exercer sur la paroi mobile une force
Ftel que
μest la viscosité dynamique
Elle s’exprime kg.m-1.s-1, l’unité SI
est le poiseuille (Pl) ou le Pa.s
F
Le travail F*Δl fourni est dissipé en chaleur
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Mécanique des fluides :
Généralités
Viscosité; fluide Newtonien z
u + du
u
x
dA
dF
dF
Le fluide est soumis à une
contrainte de cisaillement
σt et = dF / dA
σt= μ ∂u/∂y
Les fluides qui vérifient cette
relation linéaire entre la
contrainte et le gradient de vitesse
sont des fluides newtonien
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Mécanique des fluides :
Généralités
Viscosité
On définit également la viscosité cinématique
ν = μ / ρ [poise]
Masse
volumique (kg/m3)
Viscosité
dynamique (kg/(m.s))
Viscosité
dynamique (m2/s)
Air 1,29E+00 1,85E-05 1,43E-05
eau 1,00E+03 1,00E-03 1,00E-06
Ordre de grandeur
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Mécanique des fluides :
Statique des fluides
Equation fondamentale de la statique
Etude des fluides au repos;
pas de mouvement relatif entre les particules fluide
σt= 0
ρfz.dV
(p+dp).dx.dy
p.dx.dy
y
z
x
dx dy
dz
p.dx.dy - (p + dp).dx.dy + ρ.fz.dx.dy.dz = 0
dp/dz -ρ.fz= 0
∂p/∂z - ρ.fz= 0
De même dans les autres directions, il vient
grad p - ρ.f = 0
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