enseigner le triangle au collège

Commentorganiserunparcourspourenseignerletriangleau
collège ?
I. Aquelleoccasionlesélèvesrencontrentilsdestrianglesdansleprogrammedesixième? ...... 2
1) Lapremièrerencontreavecletriangledansleprogrammedesixièmesefaitdanslaleçon
surlecercle. ................................................................................................................................ 2
2) Ladeuxièmerencontreavecletriangleensixièmesefaitdanslaleçonsurlesangles......... 4
3) Pourterminer....................................................................................................................... 4
II. Triangledéterminéparladonnéedesestroiscôtés :................................................................ 5
III. Déterminationdestriangles ................................................................................................. 9
IV. Ontravaillemaintenantl’inégalitétriangulaire. ................................................................. 10
1) Desproductionsd’élèvespourlecaslimite: ..................................................................... 11
2) Lamiseencommun :......................................................................................................... 17
a) Leprofesseurrevientsurlebilandelaséanceprécédenteaprèsavoirvulestravauxde
chaqueélèveetrepérécertains:............................................................................................. 17
b) Démonstration : ............................................................................................................. 17
c) Formulationdesrésultats:Lesélèvesontdumalàledireavecdesphrases................... 19
d) Réciproque:Leprofesseurconduitladémonstrationenclasseentière. ......................... 19
e) Versunautrethéorèmeoùadésigneunedestroismesures,pasnécessairementlaplus
grande. .................................................................................................................................. 19
V. Sommedesanglesd’untriangle: .......................................................................................... 20
VI. Enquatrième,lethéorèmedeThalès,lethéorèmedePythagoreetlecosinus. ................... 20
Notreméthodedetravailconsisteàrechercherunenchaînementdequestionsàproposerauxélèves
desortequel’étudeduthèmesepoursuiveaucoursdutempsetdanslesclassessuccessives.C’est
ainsiquenousentendonslemot« parcours».
Achaqueétapedel’étude,nousveillonsàcequel’objetmathématiqueapparaissecommeréponseà
unproblème.Lesélèvesontlesmoyensdecomprendreceproblèmeetdelerésoudreoudumoins
d’envisager une solution. Les situations proposées leur permettent de mettre en œuvre la notion
étudiée dans une situation problématique où elle prend du sens. Les élèves doivent pouvoir
s’approprier la situation concrètement assez facilement et l’utilité de la notion mathématique
étudiée doit apparaître sans ambiguïté. Le plus souvent, nous préférons utiliser un matériel assez
dépouillé,pourresterleplusprochepossibledesmathématiquesétudiées,celafaciliteladévolution
delaquestionparlesélèves.
Larésolutiondechaqueproblèmeamèned’autresquestionsquimotiventl’étudeproposéedansles
situations suivantes. L’enchaînement des questions a une importance fondamentale, car c’est
justementl’ordrechoisiquigarantitquelesélèvesontlesmoyensdecomprendrelesréponsesaux
questionsposées.
Nous essayons d’organiser les situations de manière à favoriser qui favorisent l’expression des
élèves, la possibilité qu’ils auront de mettre en œuvre des stratégies diverses. Ainsi, souvent les
questions suivantes découlent de leurs interrogations lors du travail de recherche, ou de
l’observationdeleursproductions.Parfoisleprofesseurleurditquelaréponseàcertainesdeleurs
questionsviendralorsdesétudesqu’ilsferontlesannéessuivantes.
Lesélèvesrépondentdoncàdesquestionsqu’ilsseposentvraiment,enclasse.
Le sens se construit ainsi pour eux à deux niveaux : localement lors de chaque séance (AER) et
globalementdufaitl’enchaînementdesproblèmesaucoursdutemps(PER).

I. Aquelleoccasionlesélèvesrencontrentilsdestrianglesdansle
programmedesixième?
1) Lapremièrerencontreavecletriangledansleprogrammedesixièmesefait
danslaleçonsurlecercle.
Leproblèmecentraldecetteleçonestdeplacerdespointstoussituésàunemêmedistancedonnée
d’unpointdonné.C’estainsiquel’ondéfinitlecercledecentreAetderayon rcommel’ensemble
detouslespointssituésàladistancerdeA.
a)Letriangleapparaîtcommesolutionduproblèmesuivant:Etantdonnéunsegment[AB]de6cm
delongueur,placertouslespointssituésà5cmdeAetà4cmdeB.
Les élèves dessinent d’eux mêmes le segment
[AB] horizontalet entraçant les deuxcercles ils
obtiennentlafiguresuivante:
Ilsvoientdeuxtrianglessymétriquesetdisentque
cesdeuxtrianglessontégaux,carleurstroiscôtés
ontlamêmelongueur.
Certains  élèves voient aussi un « cerfvolant»
selon la terminologie apprise à l’école
élémentaire.
b) Le professeur peut leur proposer de répondre à la même question en prenant des longueurs
différentes afin qu’ils soient confrontés à d’autres types de figures, où les triangles ont une
apparencemoinsfamilièreetoùle« cerfvolant»estplusdifficileàvoir..
Parexemple:
Le professeur peut aussi proposer aux élèves de faire une construction similaire en partant d’un
segmentnonhorizontal,tracéàl’avanceparl’enseignantsurunefeuilleblanche,afinquelafigure
soitlaplusgénéralepossible.
Acestade,il nefaitaucundoutepourlesélèvesquelesdeuxtrianglessymétriquesobtenussont
les«mêmes».
c)Leprofesseurpeutensuiteposerleproblème:Dessinerun
triangle dont les trois côtés ont les mêmes longueurs que
cellesdecestroissegments.
d) Ou bien encore: Construire un triangle ayant ces trois
mesurescommelongueursdecôtés.

Pour les problèmes c) et d), le professeur choisit bien  entendu des mesures pour lesquelles le
triangleexiste.
Ainsiposée,lesconsignesn’induisentpasl’ordredanslequellesélèvesvontchoisirlescôtésetla
positiondanslaquelleilsvontdessinerletriangle(surtoutsionestsurdupapiernonquadrillé).
Ilestpresquecertainqu’ilsvontpositionnerlepremiercôtéqu’ilstracenthorizontalement,maisils
necommencerontpasforcémenttousparlemême(certainscommencentparlapremière mesure,
d’autrecommencentparlaplusgrandequin’estpasnécessairement lapremière).Ilsaurontalors
destrianglesdontlesformespeuventleursemblerdifférentes.
L’objectifdecesproblèmesestdepersuaderlesélèvesquepourdessineruntriangleconnaissant
les longueurs de ses trois côtés, il faut utiliser un compas et tracer des cercles ou des arcs de
cerclesetnontâtonneraveclarèglegraduéeseulecommelefontencorebeaucoupd’élèves.
Cependant, des questions surgissent posées par les élèves eux
mêmes,danslesproblèmesc)etd) :
Dansunefigurecommecicontre,lesdeuxtrianglessontilsles
mêmes?
Lestrianglestracéspartouslesélèvesdelaclassesontilsles
mêmes?
Le professeur doit donc préciser ce que l’on entend par
l’expression«lesmêmestriangles»,dansunpremiertemps,onpeutdirequedeuxtrianglessont
lesmêmes,s’ilssontsuperposables.
Reprenonslafigurecidessus:Al’aided’uncalque,jepeuxfairecoïnciderlesdeuxcôtés[AC]et
[A’C’],puisqu’ilsontlamêmelongueur.Ensuite,lepointBestsituéàladistanceABdeAetàla
distanceCBdeC:c’estleproblèmea).Onadoncdeuxpossibilités,oubienc’estlemêmetriangle,
oubienilssontsymétriquesetdanscecas,onaadmisqu’ilssontsuperposables.

Cette explication n’est pas vraiment une démonstration, mais c’est déjà une façon un peu plus
convaincante que de simplement déplacer un calque sans décomposer ce déplacement en deux
temps(fairecoïnciderd’abordunseulcôtéetsonhomologue,puislestriangles).
2) Ladeuxièmerencontreavecletriangleensixièmesefaitdanslaleçonsurles
angles.
Les élèves étudient ce qu’est un angle en partant de ce qu’ils ont appris à l’école primaire. On
travaille avecdes gabarits, l’objectif est d’insister sur le fait que deux anglessont égaux si leurs
côtés sesuperposent surau moins unepartie(les deux demidroites sont les mêmes), la longueur
descôtéstracésn’ayantaucuneinfluencesurlamesuredel’angle.
Leprofesseurdemandeauxélèvesdereproduireletrianglesuivant
dessinéainsisurlemanuel :
Des élèves veulent commencer par le côté horizontal sur lequel ils
n’ont aucun renseignements et sont bloqués. D’autres font un
segmentde4cm,penchépresquecommelecôté[AB]etobtiennent
untrianglequin’apaslamêmepositionqueceluidumanuel,lecôté
[BC]n’étantpashorizontal.
Ils se demandent si leur triangle est bien le même que
celuiqu’onleurademandédereproduire.
AveclecalqueonpeutamenerlepointA’surlepointA
et lepoint B’sur lepointB, puisque les deux segments
ontlamêmelongueur.
Les deux angles A et A’ étant  égaux, les deux côtés
[AC] et [A’C’]vont se superposerou êtresymétriques
parrapportà(AB)etcommeilsont la mêmelongueur,
lespointsCetC’vontcoïncider,ouêtresymétriquespar
rapportà(AB). Lesdeuxtrianglessontdoncidentiques.
Onprocèdedemêmepouruntriangledéterminépardeuxanglesetuncôtécompris.
3) Pourterminer
lorsde laleçonsur lasymétrie,onpeutproposerauxélèvesdefairecoïnciderdeuxsegmentsde
mêmelongueuràl’aidededeuxsymétriesaxiales,enlesguidant.Lafigurepeutêtreréaliséegrâce
àunlogicieldegéométrie.
Trouverl’axed’unesymétriequiamèneAsurA’,dessinerlesymétrique[A’B1]dusegment[AB].
Trouver alors l’axe d’une deuxième symétrie qui amène B1 sur B’, le symétrique du segment
[A’B1]estlesegment[A’B’].

Ainsi,onarrivedemanièrepresquerigoureuse,comptetenuduniveaudesélèves,àdémontrerque
les triangles que les élèves ont tracés dans l’année, sont bien superposables quelle que soit leur
positiondanslafeuille.
Les critères de détermination des triangles en question, ne sont pas définis, sauf pour le cas des
longueursdestroiscôtés.
C’estencinquièmequel’onabordelaquestiondeladéterminationdestriangles.
II. Triangledéterminéparladonnéedesestroiscôtés:
Onreprendd’abordavecuntriangledéterminéparleslongueursdesestroiscôtésdanslecasoùil
existe,leprofesseurchoisissantluimêmelestroismesuresencm.
La consigne est la suivante: Combien pouvez vous tracer de triangles ayant ces trois nombres
commelongueursdecôtés?
Les élèves proposent 2 triangles symétriques, 4 triangles (en prenant les symétriques de chaque
triangle par rapport au côté et par rapport à la médiatrice du côté), 3 triangles (en commençant
successivement par chacun des côtés), 6 triangles ( avec en plus les symétriques des 3 triangles
obtenus)ou12trianglesencombinanttoutescespossibilités.
Quetrouvetoncommeproductionsdesélèvesdanslecasoùletriangleexiste?
1)3trianglescarilsfontdespetitsarcsdecerclemaisilscommencenttouràtourparchacundes
côtés.Parfoisilleurparaîtquecestriangles(ou2d’entreeux)nesontpasisométriques.
Parexempleuneélèvetrace troistrianglespourconclureque2sontdifférents(triplet4,7,5)