Mouvement rectiligne uniformément accéléré Equation différentielle

Mouvement rectiligne uniformément accéléré
• Mouvement d’un point matériel se déplaçant en ligne
droite avec une accélération constante
v(t)
dv(t)
a(t) = a0 = constante
dt
– On cherche x(t)
– Solution:
v(t) = a0 t + v0 ,
x(t) = a0 t2/2 + v0t + x0 ,
x
O
où v0 = v(0) = vitesse initiale
où x0 = x(0) = position initiale
– On vérifie la solution (quels que soient v0 et x0) en calculant la
dérivée seconde de x(t).
– Cas particulier: a0 = 0 mouvement rectiligne uniforme
OS, 01 novembre 2005
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Au tableau
Complément
Equation différentielle: première sensibilisation
• Nous allons «intégrer» l’équation du mouvement rectiligne
uniformément accéléré:
d2x
équation différentielle pour
˙˙ dt = a0
x
la fonction inconnue x(t)
Cherchons v(t) et x(t) avec les conditions v(0)=0 et x(0)=0
• On écrit (avec un abus de notation):
v = dx/dt dx = v dt
a = dv/dt dv = a dt
«dt» = intervalle de temps très petit,
«dx» = variation de x pendant dt
«dv» = variation de v pendant dt
• On divise l’intervalle de temps de 0 à t en N parties égales
dti = t/N= dt délimitant les temps ti = i dt:
dt2
dt1
t0=0
OS, 01 novembre 2005
t1
dt4
dt3
t2
t3
dtN
dt5
t4
t5
……...
tN1
tN=t
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Complément
Equ. diff.: première sensibilisation (suite)
• Variation de v dans l’intervalle dti: dvi = a0 dti
limite
N
N
N
N
i=1
t
i=1
t
i=1
t
0
0
0
v(t) = dvi = a0 dti = a0 dti = a0 t
v(t) = dv' = a0 dt' = a0 dt' = a0 t
• Variation de x dans l’intervalle dti: dxi = v(ti) dti = a0 ti dti
N
N
N
x(t) = dxi = a0 ti dti = a0 i (dti ) = a0 (dt)
2
i=1
i=1
i=1
2
2
N
i
i=1
t N(N+1) = a0 t2 N+1
= a0 N
2
2 N
()
limite
N
t
t
t
2
x(t) = dx' = a0 t' dt' = a0 t' dt' = a0 t2
0
0
0
OS, 01 novembre 2005
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Galilée et la chute des corps
• Le mouvement «naturel» des corps est
rectiligne uniforme (principe d’inertie);
toute déviation est due à une force.
• La chute des corps (dans le vide, v0=0) est
un mouvement rectiligne uniformément
accéléré sous l’effet de la force de
pesanteur.
Galileo Galilei (15641642)
– Prouvé expérimentalement par Galilée
• Galilée constate que la période d’un
pendule est indépendante de sa masse m
force de pesanteur proportionnelle à m
OS, 01 novembre 2005
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Parenthèse sur Galilée
Les quatre satellites de Jupiter
découverts en 1610 par Galilée
Io (1996 Galileo)
Téléscope
de Galilée
Europa (1996 Galileo)
Jupiter
(1996 Galileo)
Ganymède
(1996 Galileo)
Dessins de la Lune
par Galilée
Callisto
(1972 Voyager)
Sonde «Galileo»: 18 oct 1989 21 sep 2003
OS, 01 novembre 2005
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Lois de Newton
«Philosophiae Naturalis Principia Mathematica» (1687)
• Lex prima (loi d’inertie):
Sir Isaac Newton (16421727)
– «Tout corps persévère dans l’état de repos ou de
mouvement uniforme en ligne droite à moins
qu’une force n’agisse sur lui et ne le contraigne à
changer d’état»
r
mouvement rectiligne uniforme F = 0
• Lex secunda:
– «Les changements dans le mouvement d’un
corps sont proportionnels à la force et se font
dans la direction de la force»
r
r
F = ma
• Lex tertia (action-réaction):
– «A chaque action, il y a toujours une réaction
égale et opposée; si un corps exerce une force sur
un autre, cet autre corps exerce une force égale et
opposée sur le premier»
r
r
F12 = F21
OS, 01 novembre 2005
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Force de pesanteur et chute des corps
• Modèle phénoménologique:
F = mg
démo «tube de Newton»
– l’attraction terrestre donne lieu à
force verticale (appelée le poids)
proportionnelle à la masse m:
F = mg
– facteur de proportionnalité:
g constante = 9.8 m/s2
démo «mesure de g»
0.0 m = x0 au temps t0 = 0
x = g t2 / 2
v0=0
• Application de la 2ème loi de Newton:
– Si le poids est la seule force appliquée
à un point matériel:
F = ma a = g = constante
F = ma
dans le vide les corps ont un
mouvement uniformément accéléré
d’accélération g
0.5 m = x1 au temps t1
g = 2x1 / t12
v1
1.0 m = x2 au temps t2
v2
g = 2x2 / t22
x
OS, 01 novembre 2005
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Au tableau
Projectile sous l’effet de la force de pesanteur
• On peut toujours choisir un repère
Oxyz (avec z vertical) tel quel les
conditions initiales s’écrivent:
z
v0
mg
0 r x0 r v0x v0x
y r 0
g= 0 v0 = v0y = 0
x0 = y0 = 0
v0z z g x
0 0 v0z O
r
r
• Application de la loi de Newton, F = ma , dans chacune des directions x, y, z:
m˙x˙ = 0
x(t) =
v 0x t + x 0 = v 0x t
y(t) =
v 0y t + y 0 = 0
m˙y˙ = 0
m˙z˙ = mg z(t) = 1 gt 2 + v t + z = 1 gt 2 + v t
0z
0
0z
2
2
• En éliminant t, on obtient l’équation d’une parabole dans le plan y=0:
x 2
1
z = 2 g + v0z x v0x v0x OS, 01 novembre 2005
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Décomposition du mouvement balistique
z
démo : deux boules, dont les conditions
initiales ne diffèrent que par la
vitesse horizontale, touchent le
sol en même temps
x
• Le mouvement d’un corps en
chute libre peut être vu comme
la superposition de deux
mouvements:
– un mouvement rectiligne
horizontal uniforme
x(t) = v0xt
– un mouvement rectiligne vertical
uniformément accéléré
x(t) = v0xt
z(t) = 12gt2
z(t) = 12gt2
OS, 01 novembre 2005
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Plan incliné sans frottement (table à air)
N
N = force de «liaison» qui
contraint le point matériel
a rester sur le plan incliné
(perpendiculaire au plan)
F = mg + N = ma
mg
x
z
Projection sur axe x: Fx = 0
Projection sur axe y: Fy = mg cos N = 0
Projection sur axe z: Fz = mg sin = maz
y
0
r a=
0
g sin démos avec petit «g»: 1) a indép. de m, 2) intersection balistique
OS, 01 novembre 2005
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Expérience de Stévin (15481620)
• Une masse est suspendue à deux fils obliques dont on mesure
les tensions avec des dynamomètres
démo
• La diagonale verticale du parallélogramme construit sur les
deux vecteurs forces est indépendante de la direction des fils
F1
F2
F2
F1
F2
F1
• Conclusion: il est possible de représenter l’effet global des
deux forces au moyen d’une seule force égale à F1+F2
– cette résultante est en l’occurrence opposée au poids de la masse
puisque cette dernière est à l’équilibre (immobile)
OS, 01 novembre 2005
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Balistique avec frottement dans l’air
• Notre modèle balistique avec
F=mg est-il bon ?
– vz(t) ne croît pas à l’infini !
• Modèle plus réaliste:
– On tient compte de la résistance
de l’air
O
– Force de frottement
opposée
r
r
à la vitesse: Ffrot = bv ,
b = constante
• Attention:
bv
z
v0
mg
y
x
bv
– Les forces s’additionnent comme des vecteurs
– La 2ème loi de Newton s’applique en
F=ma
utilisant la somme vectorielle des forces
(comme dans l’exemple précédent de la table à air)
OS, 01 novembre 2005
mg
40