Mouvement rectiligne uniformément accéléré Equation différentielle

OS, 01 novembre 2005 29
Mouvement rectiligne uniformément accéléré
• Mouvement d’un point matériel se déplaçant en ligne
droite avec une accélération constante
– On cherche x(t)
– Solution:
v(t) = a0 t + v0 , où v0 = v(0) = vitesse initiale
x(t) = a0 t2/2 + v0t + x0 , où x0 = x(0) = position initiale
– On vérifie la solution (quels que soient v0 et x0) en calculant la
dérivée seconde de x(t).
– Cas particulier: a0 = 0  mouvement rectiligne uniforme
a(t)  dv(t)
dt = a
0
= constante
O
xv(t)
OS, 01 novembre 2005 30
Equation différentielle: première sensibilisation
• Nous allons «intégrer» l’équation du mouvement rectiligne
uniformément accéléré:
Cherchons v(t) et x(t) avec les conditions v(0)=0 et x(0)=0
• On écrit (avec un abus de notation):
v = dx/dt  dx = v dt
a = dv/dt  dv = a dt
• On divise l’intervalle de temps de 0 à t en N parties égales
dti = t/N= dt délimitant les temps ti = i dt:
˙ ˙ x  d2x
dt = a0
équation différentielle pour
la fonction inconnue x(t)
Au tableau
«dt» = intervalle de temps très petit,
«dx» = variation de x pendant dt
«dv» = variation de v pendant dt
t0=0 t2t3t4t5tN=tt1tN1
……...
dt1dt2dt3dt4dt5dtN
Complément

OS, 01 novembre 2005 31
Equ. diff.: première sensibilisation (suite)
• Variation de v dans l’intervalle dti: dvi = a0 dti
• Variation de x dans l’intervalle dti: dxi = v(ti) dti = a0 ti dti
Complément
v(t) = dv
i
i=1
N
= a
0
dt
i
i=1
N
= a
0
dt
i
i=1
N
= a
0
t
v(t) = dv'
0
t
= a
0 dt'
0
t
= a0 dt'
0
t
= a0 t
limite
N
x(t) = dx
i
i=1
N
= a 0
t
i
dt
i
i=1
N
= a 0
i (dt
i
)
2
i=1
N
= a 0
(dt)
2
i
i=1
N
= a
0
t
N
()
2
N(N+1)
2 = a
0
t
2
2 N+1 N
x(t) = dx'
0
t
= a
0 t' dt'
0
t
= a0 t' dt'
0
t
= a0 t
2
2
limite
N
OS, 01 novembre 2005 32
Galilée et la chute des corps
• Le mouvement «naturel» des corps est
rectiligne uniforme (principe d’inertie);
toute déviation est due à une force.
• La chute des corps (dans le vide, v0=0) est
un mouvement rectiligne uniformément
accéléré sous l’effet de la force de
pesanteur.
– Prouvé expérimentalement par Galilée
• Galilée constate que la période d’un
pendule est indépendante de sa masse m
 force de pesanteur proportionnelle à m
Galileo Galilei (15641642)

OS, 01 novembre 2005 33
Parenthèse sur Galilée
Téléscope
de Galilée
Dessins de la Lune
par Galilée
Les quatre satellites de Jupiter
découverts en 1610 par Galilée
Io (1996 Galileo)
Europa (1996 Galileo)
Ganymède
(1996 Galileo)
Callisto
(1972 Voyager)
Jupiter
(1996 Galileo)
Sonde « Galileo»: 18 oct 1989 21 sep 2003
OS, 01 novembre 2005 34
Lois de Newton
• Lex prima (loi d’inertie):
–«Tout corps persévère dans l’état de repos ou de
mouvement uniforme en ligne droite à moins
qu’une force n’agisse sur lui et ne le contraigne à
changer d’état»
• Lex secunda:
–«Les changements dans le mouvement d’un
corps sont proportionnels à la force et se font
dans la direction de la force»
• Lex tertia (action-réaction):
–« A chaque action, il y a toujours une réaction
égale et opposée; si un corps exerce une force sur
un autre, cet autre corps exerce une force égale et
opposée sur le premier
»
Sir Isaac Newton (16421727)
«Philosophiae Naturalis Principia Mathematica» (1687)
r
F = mr a
mouvement rectiligne uniforme 
r
F = 0
r
F
12 = 
r
F
21

OS, 01 novembre 2005 35
Force de pesanteur et chute des corps
• Modèle phénoménologique:
– l’attraction terrestre donne lieu à
force verticale (appelée le poids)
proportionnelle à la masse m:
F = mg
– facteur de proportionnalité:
g  constante = 9.8 m/s2
• Application de la 2ème loi de Newton:
– Si le poids est la seule force appliquée
à un point matériel:
F = ma  a = g = constante
 dans le vide les corps ont un
mouvement uniformément accéléré
d’accélération g
 démo «tube de Newton»
 démo «mesure de g»
F = mg
F = ma x
v0=0
v1
v2
0.0 m = x0 au temps t0 = 0
 x = g t2 / 2
0.5 m = x1 au temps t1
 g = 2x1 / t12
1.0 m = x2 au temps t2
 g = 2x2 / t22
OS, 01 novembre 2005 36
Projectile sous l’effet de la force de pesanteur
• On peut toujours choisir un repère
Oxyz (avec z vertical) tel quel les
conditions initiales s’écrivent:
• Application de la loi de Newton, , dans chacune des directions x, y, z:
• En éliminant t, on obtient l’équation d’une parabole dans le plan y=0:
Au tableau
r
x
0 =
x0
y0
z0
=
0
0
0
r v
0 =
v0x
v0y
v0z
=
v0x
0
v0z
m˙ ˙ x = 0  x(t) = v
0x
t + x
0
= v
0x
t
m˙ ˙ y = 0  y(t) = v
0y
t + y
0
= 0
m˙ ˙ z = mg  z(t) = 
1
2
gt
2
+ v
0z
t + z
0
= 
1
2
gt
2
+ v
0z
t
z =  1
2 g x
v
0x
2
+ v
0z
x
v
0x
y
x
z
v0mg
O
r
g = 0 0
g
r
F = mr a

OS, 01 novembre 2005 37
Décomposition du mouvement balistique
• Le mouvement d’un corps en
chute libre peut être vu comme
la superposition de deux
mouvements:
– un mouvement rectiligne
horizontal uniforme
– un mouvement rectiligne vertical
uniformément accéléré
 démo : deux boules, dont les conditions
initiales ne diffèrent que par la
vitesse horizontale, touchent le
sol en même temps
x(t) = v
0x
t
z(t) = 
1
2
gt
2
x
z
x(t) = v
0x
t
z(t) = 
1
2
gt
2
OS, 01 novembre 2005 38
Plan incliné sans frottement (table à air)
z
y
x
mg
N
F = mg + N = ma
Projection sur axe x: Fx = 0
Projection sur axe y: Fy = mg cos  N = 0
Projection sur axe z: Fz =  mg sin = maz
r
a =
0
0
 g sin
N = force de «liaison» qui
contraint le point matériel
a rester sur le plan incliné
(perpendiculaire au plan)
 démos avec petit «
g »: 1) a indép. de m, 2) intersection balistique