Défis mathématiques Par Octavian Lecca, Académie DELFO [email protected] www.delfoacademy.com Problème no 1 Trouvez les nombres naturels (a), (b), (c) et (d) dans les égalités : a) 1000(d − 1) + 100(3 − c) + 10(1 − b) + a = 918; b) 2,1a + 3, b 2 = 0, a8 + 5, 4b si le chiffre (b) est le double du chiffre (a). Problème no 2 Les résultats des opérations suivantes représentent les termes d’une suite : Premier rang : (1 − 2) × (3 − 4) × (5 − 6) × ... × (99 − 100) Deuxième rang : −30 × 32 − 33 2 − 2×3− 3 ÷ (2 2 × − 4 ÷ − 2 − − 4 ) (a + a + a + a + a + a + a ) ÷ a Troisième rang : 1 ÷ (b + b + b ) ÷ b 2 3 × (1719 − 1917 ) ÷ (1917 − 1719 ) 3 × ? Quel rang représente le résultat des opérations suivantes : 999 6 2 ÷ 6 − 6 − 7 × (7 − 6 ) 7 98 Problème no 3 Étant donné un polygone régulier avec 30 côtés, trouvez : a) la valeur de l’angle formé par deux côtés consécutifs; b) la valeur de l’angle formé entre le premier et le cinquième côté; c) si A, B et C sont 3 sommets consécutifs et si O est le centre du cercle circonscrit au polygone, OB est perpendiculaire à AC ; d) deux côtés parallèles; e) entre quels côtés on retrouve le plus petit angle et quelle est sa valeur? Solutions aux pages 44 - 45 8 ENVOL no 145 — octobre-novembre-décembre 2008 GRMS Solutions des défis mathématiques Par Octavian Lecca, Académie DELFO [email protected] www.delfoacademy.com Solution du problème no 1 Solution du problème no 2 a) Si on fait la multiplication on obtient : 1000d + 100 × 3 + 10 × 1 + 1 × a (1000 × 1 + 100c + 10b + 1 × 0) Cela représente la soustraction entre les nombres (d31a) et (1cb0). On peut écrire l’égalité de la manière suivante : d31a - 1c b0 9 18 Deuxième rang : en appliquant premièrement les exposants, on arrive a : −1 × 9 − 27 ÷ (4 × − 4 ÷ − 2 − −4 ) = 2 − 2 × 3 − 3 −9 − 27 ÷ (−16 ÷ − 2 − −4 ) = 2−6−3 −36 −36 3 ÷ (8 − −4 ) = ÷ 12 = −4 − 3 −7 7 (a + a + a + a + a + a + a ) ÷ a 1 ÷ = b + b + b ÷ b ( ) a = 8, b = 0, c = 4 et d = 2 b) Étant donné que le nombre des entiers à gauche de l’égalité est le même que le nombre des entiers à droite, nous pouvons les éliminer et réécrire l’égalité uniquement avec les périodes (puisqu’elles sont de deux chiffres partout). Donc : (1a) + (b2) = (a8) + (4b) 2 2 2 7a ÷ a 3 3 1 ÷ 3b ÷ b = 1 × 7 = 7 2 Calcul des opérations pour le rang inconnu : 3 × (1719 − 1917 ) ÷ (1917 − 1719 ) 3 × = 999 6 2 ÷ 6 − 6 − 7 × (7 − 6 ) 7 98 98 3 × −1 98 −3 3 3 3 × = × = 999 6 − 6 − 7 ×1 −7 7 7 7 Ou bien : 10 + a + 10b + 2 = 10a + 8 + 40 + b 9b – 9a = 36 Pour chaque (b), il y a 2 (a), donc on peut écrire : 44 Premier rang : on observe qu’il y a 50 parenthèses, chacune ayant la valeur (-1). (-1)50 = 1 Troisième rang : On trouve facilement : 9 × 2a − 9a = 36 Problèmes à la page 8 99 Comme la soustraction entre les nombres 1719 et 1917 représente la distance entre les nombres, la valeur de la soustraction va être la même, peu importe le point de départ. C’est seulement le signe qui va être différent. Le résultat de la division entre deux nombres identiques mais de signes différents est (-1). La suite est : 0 1 3 7 3 7 2 On trouve : 3 7 3 7 a = 4 et b = 8 Le dernier rang est le 100e rang. ENVOL no 145 — octobre-novembre-décembre 2008 99 GRMS Solution du problème no 3 a) On applique la formule pour l’angle interne : (n − 2 )× 180 = (30 − 2 )× 180 = 168 n 0 30 b) Comme l’angle externe entre deux côtés consécutifs est de 180 – 168 = 12° et comme entre le premier et le cinquième côté, il y a 4 augmentations de 12°, l’angle demandé est de 48°. (une autre démonstration serait de construire des parallèles aux 4 côtés consécutifs au sommet du premier côté; l’augmentation de 12° pour chaque nouveau côté serait évidente); c) L’angle AOB est 360 ÷ 30 = 12°; le triangle AOC est un triangle isocèle, avec l’angle O = 2 x 12 = 24°; l’angle OAC = (180 – 24) ÷ 2 = 78°; si (D) est l’intersection entre AC et OB , alors la somme des angles intérieurs dans le triangle AOD est de 180° (180° - 12° - 78° = 90°); alors l’angle ADO est de 90°; OB est perpendiculaire à AC; d) Chaque côté du polygone forme un triangle isocèle avec le centre (O). Les côtés parallèles du polygone sont ceux qui ont les côtés de leurs triangles en prolongation, parce que les angles alternes internes sont congrus. Les côtés parallèles du polygone dans cette situation sont les côtés opposés, par exemple le premier avec le 16e côté. On peut aussi calculer combien de côtés il y a entre les côtés parallèles en calculant combien de fois 12 entre en 180 : il y a 15 côtés entre les parallèles. e) Entre un côté et le côté adjacent au côté parallèle au premier, ce qui veut dire, entre le premier et le 14e ou le 16e côté. L’angle est justement l’angle externe entre deux côtés adjacents, qui est 12°. 36e SESSION DE PERFECTIONNEMENT : La mathématique, un parcours de choix Cégep de Granby Haute-Yamaska, Granby 26 mai au 29 mai 2009 Visitez le site du GRMS pour plus de détails : www.grms.qc.ca GRMS ENVOL no 145 — octobre-novembre-décembre 2008 45