Merabti Abde louahab
Groupe : 2
mias
On remarque que, dans les deux cas, il s'agit de le même méthode: opération algébrique de
symétrisation.
L'ensemble Q est un corps commutatif (rappel de la définition).
On dit que un ensemble K muni des deux lois de composition internes + et . est un corps si
(K, +) est un groupe abélien,
la loi . est associative, commutative, unitaire, distributive sur +,
tout élément différent de l'élément neutre de + admet un inverse.
Exemples :
les corps de nombres Q, R, et C pour l'addition et la multiplication habituelles
les corps finis Fp pour les opérations déduites de celles de Z par passage au quotient.
D'autre part les entiers naturels servent à ordonner (premier, second,..) ; la relation d'ordre sur N se
prolonge sur Z puis sur Q. Cette relation d'ordre ( total) notée est compatible avec la structure de
corps (rappel de la définition).
La relation d’ordre est compatible avec la structure algébrique (corps) de Q.
ce qui signifie:
en particulier
La construction de R est une opération plus difficile, il existe plusieurs méthodes suivant que
l'on cherche à combler l'une ou l'autre des "lacunes" de Q. On admet ici l'existence de R, on
en donne les propriétés fondamentales : propriétés algébriques, propriétés de l'ordre total (ces
propriétés sont liées par la condition de compatibilité), propriétés topologiques. Des propriétés
de la relation d'ordre se dégage le concept de borne supérieure , des propriétés topologiques
celui de voisinage. Il s'agit de notions qui sont à la base de l'étude des suites comme de l'étude
locale des fonctions. Notons l'importance, théorique et pratique, du fait que Q est dense dans
R.
L'ensemble R n'en a pas moins des "lacunes", ainsi l'équation x2+1=0 n'a pas de racines
réelles; d'où la nécessité de construire C (construction algébrique exclusivement).
Sur R la relation est une relation d'ordre total, ce qui signifie que deux éléments
quelconques de R sont comparables ou encore que deux réels x et y vérifient x y ou y x .
Cette relation d'ordre total prolonge celle de Q.
On note .