Méthodologie de conversion des paramètres S du

METHODOLOGIE DE CONVERSION DES PARAMETRES S DU
MODE COMMUN AU MODE DIFFERENTIEL
Ye ZHU (1,2) - Marco KLINGLER (1) - Françoise PALADIAN (2)
(1)
(2)
PSA Peugeot Citroën, Vélizy-Villacoublay, [email protected]
LASMEA, Université Blaise Pascal, [email protected]
Résumé. Cet article propose une méthodologie
originale pour la détermination des paramètres de
diffraction de mode différentiel à partir des
paramètres S de mode commun. En effet, dans un
véhicule automobile, le conducteur de référence
correspond à un fil de masse et non à un plan
conducteur, d’où l’intérêt de caractériser un système
linéaire par des paramètres de mode différentiel.
L’efficacité de cette approche est illustrée par des
résultats relatifs à la mise en évidence de phénomènes
de diaphonie sur un réseau de câbles.
constituants correspondent aux termes de sa matrice
impédance Zc, nous désignerons par paramètres S
généralisés les paramètres S correspondants.
I. CONTEXTE DE L’ETUDE
Les paramètres S caractérisant une ligne multifilaire
sont définis par une relation analogue à (1).
Néanmoins, il s’agit de paramètres de mode commun
définis par rapport à un plan de masse, d’où un
problème de représentativité des lignes multifilaires
modélisant des faisceaux automobiles. En effet, en
pratique, les signaux sont référencés à un fil de masse
correspondant à l’un des conducteurs de la ligne
multifilaire, et non au châssis du véhicule [5]. Par
suite, il devient plus réaliste d’introduire les sources
de tension d’une part entre deux ports de la ligne et,
d’autre part, entre chacun des ports de la ligne et le
châssis (Fig.3).
De
nombreuses
approches
concernant
la
caractérisation de ligne de transmission par des
paramètres S ont été développées [1] [2]. Dans le cas
d’une ligne au-dessus d’un plan de masse, les
paramètres S11 et S21 sont mesurés suivant le montage
illustrée figure 1, S22 et S12 étant déterminés en
inversant les ports d’entrée/sortie.
I1
Z0
U
1
V1
 S11
S
 21
S12 
S 22 
2
I2
V2
Z0
UA
UB
UA
In
I1
ZCBIB
In+1
VA
VB
Fig.2 – Cas d’une ligne à (n+1) conducteurs : mode
commun
In
UA
Fig.1 – Cas d’une ligne à deux conducteurs
ZCAIA
I1
VA
I2n
UB
.
.
.
S
.
.
.
La relation matricielle définissant la matrice S en
fonction des vecteurs des tensions et courants aux
deux ports de la configuration est donnée par :
V 
I 
V − Z 0 I = S(V + Z 0 I ) où V =  1 , I =  1 
(1)
V
 2
I 2 
Z0 étant l’impédance de référence (50Ω en général).
On obtient à partir de (1) et en adaptant la ligne au
niveau du port 2 :
V − Z c I1
V − Zc I2
S11 = 1
S 21 = 2
(2)
V1 + Z c I 1
V1 + Z c I 1
où Zc est l’impédance caractéristique de la ligne.
Pour une ligne multifilaire à (n+1) conducteurs, la
mesure des paramètres S de mode commun est
réalisée suivant le montage indiqué figure 2. D’après
[6] [7], les charges sont représentées par un réseau de
résistances, chacune des sources de tension étant
introduite entre ce réseau et chaque port de la ligne.
Pour une ligne adaptée par un circuit dont les
.
.
.
S
.
.
.
ZCAIA
I2n
ZCBIB
In+1
VB
Fig.3 – Cas d’une ligne à (n+1) conducteurs : mode
différentiel
Par conséquent, vis-à-vis du contexte automobile, la
détermination des paramètres S généralisés de mode
différentiel s’avère indispensable, d’où la nécessité de
développer une méthodologie de conversion des
paramètres S de mode commun en paramètres de
mode différentiel.
II. PARAMETRE S DE MODE COMMUN
L’objectif est, dans un premier temps, d’établir les
expressions analytiques des paramètres S généralisés
de mode commun dans le cas de la ligne multifilaire
schématisée figure 2.
IA, IB, VA, VB, UA et UB représentent respectivement
les vecteurs des tensions, courants et des fem des
générateurs de tension à l’entrée (indice « A ») et en
sortie (indice « B ») de la ligne :
 I n +1 
 I1 
V1 




I A = M  I B = M  VA = M 
 I 2 n 
 I n 
Vn 
Vn +1 
U n +1 
U 1 





VB = M  U A = M  U B = M

V2 n 
U 2 n 
U n 
 S11 L S1n 
S AB 
S
S =  M O M  =  AA
S
 S n1 L S nn   BA S BB 


 V  Z
0  I A 
= S  A +  C
 VB   0
ZC  I B 

(5)
où ZC est la matrice des impédances caractéristiques
de la ligne.
Par application de la loi d’Ohm, nous avons :
(6)
(5) s’écrit alors :
VA − (U A − VA ) = S AA U A + S AB U B

VB − (U B − VB ) = S BA U A + S BB U B
(7)
Les termes de la matrice S sont alors obtenus en
activant individuellement chaque source de tension.
Ainsi, imposer U B = 0 dans (7), permet de
déterminer les expressions des sous-matrices SAA et
SBA :
2VA − U A = S AA U A
(8)

2VB = S BA U A
La seconde équation matricielle de (8) permet, avec
les notations de (4), d’obtenir les termes de SBA :
2Vn +1 = S ( n +1)1 U 1 + S ( n+1) 2 U 2 + L + S ( n +1) n U n

2Vn + 2 = S ( n + 2)1 U A1 + S ( n + 2) 2 U 2 + L + S ( n + 2) n U n

M

2V = S U + S
2 n ,1
A1
2 n , 2 U 2 + L + S 2 n ,n U n
 2n
(9)
Si toutes les sources de tension sont éteintes, exceptée
celle connectée au port i ( i = 1K n ) à l’entrée A, on
obtient, pour les termes de SBA :
S ji =
2V j
Ui
(11)
En procédant de la même manière pour la
détermination des termes de SBB et SAB , on obtient
l’expression générale des termes de la matrice S
généralisée de mode commun, pour i, j = 1…2n :
(12)
Ces expressions sont ensuite directement utilisées
pour l’évaluation des paramètres S généralisés de
mode différentiel.
(4)
0  I A  
ZC  I  
 B 
 U A = VA + Z C I A

U B = VB + Z C I B
i ∈ [1, n ], j ∈ [1, n ]
S = 2Vi − 1
ii
Ui

U i ≠ 0,U j = 0

2
V
S ji = j
Ui

Les paramètres S généralisés de mode commun de la
ligne étudiée sont définis par :
 VA  ZC
V  −  0
 B 
 S = 2Vi − 1
Ui
 ii
U i ≠ 0, U j = 0

2
V
 S ji = j

Ui
U i ≠ 0,U j = 0 i ∈ [1, n], j ∈ [n + 1,2n]
(10)
De plus, en développant la première équation
matricielle de (8), les termes de SAA s’écrivent :
III. PARAMETRES S DE MODE DIFFERENTIEL
III.1 Définition du mode différentiel
Tensions et courants de mode commun sont définis à
partir d’un potentiel de référence, comme par exemple
le châssis du véhicule [3] [4]. En mode différentiel,
c’est l’un des conducteurs de la ligne qui assure le
retour du courant et peut être considéré comme le
conducteur de référence des autres conducteurs. Pour
les applications automobiles, c’est ce dernier mode de
transmission qui s’avère être le plus représentatif pour
les analyses tant fonctionnelles que CEM.
En particulier, pour l’analyse de faisceaux électriques,
la tension différentielle V(i,j) telle que :
(13)
V(i , j ) = Vi − V j
est introduite pour représenter la tension au port i, le
conducteur j correspondant au conducteur de
référence. Cette notion est illustrée figure 4, dans le
cas d’une ligne à (4+1) conducteurs.
1
V (1,0)
V (1,2)
2
3
4
Potential reference
V (4,5)
Fig.4 – Définitions du mode commun et du mode
différentiel
Au niveau des câblages automobiles, deux types de
couplage de mode différentiel doivent être pris en
compte :
- entre un conducteur et une paire,
- entre deux paires.
Les paramètres S généralisés de mode différentiel,
devant être représentatifs de ces interactions, sont
obtenus à partir des paramètres S de mode commun
définis par les relations (12). La première étape est
d’établir la relation entre les fem des sources de
tension intervenant dans les montages permettant la
détermination des paramètres S de mode commun et
de mode différentiel.
III.2 Relations de passage entre sources de mode
commun et sources de mode différentiel
L’évaluation des paramètres S généralisés de mode
différentiel se déduit du montage présenté figure 5a.
Par exemple, pour l’étude du paramètre correspondant
au couplage du conducteur n sur la paire constituée
par les conducteurs 1 et 2, il est nécessaire d’activer la
source de tension Vtnn (les autres sources étant
éteintes). L’influence de la paire des conducteurs 1 et
2 sur le conducteur n est obtenue en activant la source
Vt12.
R1n
Vt11
Vt12
I
Vt1n
…
…
R22
n
Vtnn
V
Rnn
(a) Mode différentiel
Ue1
1
Ue2
I
…
…
…
R22
n
U
Fig.5 – Détermination des paramètres S généralisés :
sources de tension
A partir du circuit donné figure 5a, l’équivalence entre
les modèles de Thévenin et de Norton est ensuite
utilisée pour déterminer les valeurs Ie des sources de
courant équivalentes aux fem Vt des sources de
tension (figure 6) .
R1n
1
R12
I’
Ie1n
Ie11
Ie12
I
2
…
…
…
Ie22
R22
n
Rnn
Ienn
∑
∑
∑
∑
(15)
∑
∑
Vt ij
Rij
pour i, j = 1K n
Les termes de la matrice ∆I correspondent aux
courants injectés dans les conducteurs par les sources
de courant équivalentes.
En introduisant (15) dans (14), on obtient une relation
du type :
(16)
V = −Z c I + U e
où:


 I e11 − I e1 j 


j ≠1
 M



n
 i

(17)
U e = Z c  I eij −
I eij 
 j =1

j =i +1


 M

 n

 I enj

 j =1

La tension au port i est ensuite obtenue par application
du principe de superposition, et correspond à la
somme des tensions produites par Ue :
(18)
Vi = ∑ Vi U =U ,U = 0
∑
V
(b) Mode commun
R11
∑
∑
2
Uen
Rnn

 

− I e1 j
  I e11 − I e1 j 
 j ≠1
 

j ≠1
 I e11  
  M

M

 
 

M
n
n

  i −1
  i

∆I =  I eii  +  I eij −
I eij  =  I eij −
I eij 

  j =1
  j =1

j =i +1
j =i +1
M  
  M

M
I  
 

 enn 
 n−1
  n

 I enj
  I enj

 j =1
  j =1

où I eij =
Vt22
R12
et :
2
R11
R1n
I' = I − ∆I
∑
1
R12
Kirchhoff des courants, appliquées au circuit présenté
figure 6 :
 V = − Z c I'
(14)

V
∑
∑
j
m= j
ei
m≠ j
pour i, j = 1K n
Finalement, les équations (12) et (18) permettent
d’obtenir les expressions des tensions Vi pour des
sources associées à ce même port ou à un port
différent :

1
(19)
Vi =  U i + ∑ U j Sij

2
j


III.4 Paramètres S de mode différentiel
Fig.6 – Détermination des paramètres S généralisés de
mode différentiel : sources de courant
III.3 Expressions analytiques
En accord avec la définition des tensions de mode
différentiel, les paramètres S généralisés de mode
différentiel S ( m ,r )( p , q ) sont associés aux paires (m, r) et
Les équations suivantes correspondent aux relations
de circuit issues de la loi d’Ohm et de la loi de
(p, q) (figure 7). Leur expression en fonction des
tensions de mode commun Vm et Vr est donnée par :
S (m,r )( p ,q ) =
2(Vm − Vr )
Vt pq
(20)
la source Vtpq étant activée.
r
a
S (m , r )( p ,q )
m
…
…
b
…
c
p
d
q
S( m , 0 )( p , q )
Potential reference
Fig.10 – Comparaison des paramètres S(5,6)(3,4)
Fig.7 – du paramètre S ( m ,r )( p , q )
III. CONCLUSION
D’après (19), le paramètre S ( m ,r )( p , q ) peut s’écrire sous
la forme suivante, Ue correspondant à la source
équivalente Vtpq :
(
U m − U r + ∑ U j S mj − S rj
S (m, r )(p,q ) =
)
(21)
j
Vd pq
Cet article présente une méthode originale permettant
de déterminer les paramètres S de mode différentiel à
partir des paramètres S de mode commun. Ces
caractéristiques, bien adaptée aux configurations des
câblages automobiles, permettent en effet de mettre en
évidence les phénomènes de couplage inhérents aux
faisceaux électriques.
REFERENCES
III. APPLICATION
[1] David E. Bockelman, William R. Eisenstadt,
Considérons l’exemple d’une ligne à (4+1)
conducteurs (figure 8) dont la section est illustrée
figure 9. Les conducteurs, de longueur 1 mètre, sont
située à une hauteur de 20mm au-dessus d’un plan de
masse constituant la référence de potentiel. d23
désigne la distante entre les conducteurs 2(6) et 3(7).
1
Load
[2]
5
6
2
3
4
Load
7
[3]
8
Potential reference
Fig.8 – Configuration étudiée
[4]
[5]
Fig.9 – Section des conducteurs
[6]
La figure 10 compare les valeurs obtenues pour le
paramètre de mode différentiel S(5,6)(3,4) pour
différentes valeurs de la distance d23 . L’amplitude de
ce paramètre, caractérisant le couplage entre les paires
(5,6) et (3,4), décroît lorsque distance d23 augmente.
Ces résultats mettent ainsi en évidence l’intérêt de
cette méthode vis-à-vis de la prédiction des couplages.
[7]
"Combined differential and common-mode scattering
parameters: theory and simulation", IEEE Trans.
Microwave Theory Tech., vol.43, No.7, July1995, pp.
1530 – 1539
David E. Bockelman, William R. Eisenstadt, R.
Stengel, "Accuracy estimation of mixed-mode
scattering
parameter
measurements",
IEEE
Transactions on Microwave theory and techniques,
vol. 47, No. 2, January 1999, pp. 102 – 105
S. Back, S. Ahn, J. Park, Joungho. Kim, Jonghoom.
Kim, J-H. Cho, "Accurate high frequency lossy model
of differential signal line including mode-conversion
and common-mode propagation effect", IEEE
International symposium on electromangnetic
compatibility, Santa Clara, CA, August 9-13 2004, pp.
562 – 566
Yoshio Kami, Fengchao Xiao, "Equivalent two-port
network for indoor outlet and its application",
International Symposium on Electromagnetic
Compatibility, Barcelona, Spain, 4-8 September 2006,
pp. 420– 425
S. Egot, M. Klingler, L. Koné, S. Baranowski, F.
Lafon, C. Marot, "Modeling automotive electronic
equipment in a realistic sub-system", International
Symposium on Electromagnetic Compatibility,
Barcelona, Spain, 4-8 September 2006
C. E. Baum, "Electromagnetic Topology for the
Analysis and Design of Complex Electromagnetic
Systems", Fast Electrical and Optical Measurements,
Vol. I, eds. I.E. Thompson and L.H. Luessem,
Martinus Nijhoff, Dordrecht, 1986
C. E. Baum, T. K Liu, F. M. Tesche, "On the Analysis
of General Multiconductor Transmission Line
Networks", Interaction Note 350, Kirtland AFB, NM,
1978