Méthodologie de conversion des paramètres S du

METHODOLOGIE DE CONVERSION DES PARAMETRES S DU
MODE COMMUN AU MODE DIFFERENTIEL
Ye ZHU (1,2) - Marco KLINGLER (1) - Françoise PALADIAN (2)
(1) PSA Peugeot Citroën, Vélizy-Villacoublay, [email protected]
(2) LASMEA, Université Blaise Pascal, fra[email protected]
Résumé. Cet article propose une méthodologie
originale pour la détermination des paramètres de
diffraction de mode différentiel à partir des
paramètres S de mode commun. En effet, dans un
véhicule automobile, le conducteur de référence
correspond à un fil de masse et non à un plan
conducteur, d’où l’intérêt de caractériser un système
linéaire par des paramètres de mode différentiel.
L’efficacité de cette approche est illustrée par des
résultats relatifs à la mise en évidence de phénomènes
de diaphonie sur un réseau de câbles.
I. CONTEXTE DE L’ETUDE
De nombreuses approches concernant la
caractérisation de ligne de transmission par des
paramètres S ont été développées [1] [2]. Dans le cas
d’une ligne au-dessus d’un plan de masse, les
paramètres S11 et S21 sont mesurés suivant le montage
illustrée figure 1, S22 et S12 étant déterminés en
inversant les ports d’entrée/sortie.
1 2
UV
1
Z
0
Z
0
V
2
2221
1211
SS
SS
I
1
I
2
Fig.1 – Cas d’une ligne à deux conducteurs
La relation matricielle définissant la matrice S en
fonction des vecteurs des tensions et courants aux
deux ports de la configuration est donnée par :
(
)
IVSIV 00 ZZ +=− où  = =
2
1
2
1,I
I
V
VIV (1)
Z0 étant l’impédance de référence (50Ω en général).
On obtient à partir de (1) et en adaptant la ligne au
niveau du port 2 :
11
11
11 IZV
IZV
S
c
c
+
−
=
11
22
21 IZV
IZV
S
c
c
+
−
= (2)
où Zc est l’impédance caractéristique de la ligne.
Pour une ligne multifilaire à (n+1) conducteurs, la
mesure des paramètres S de mode commun est
réalisée suivant le montage indiqué figure 2. D’après
[6] [7], les charges sont représentées par un réseau de
résistances, chacune des sources de tension étant
introduite entre ce réseau et chaque port de la ligne.
Pour une ligne adaptée par un circuit dont les
constituants correspondent aux termes de sa matrice
impédance Zc, nous désignerons par paramètres S
généralisés les paramètres S correspondants.
VA
UA
ZCAIA
VB
ZCBIB
I1In+1
I2n In
S
UAUB
.
.
.
.
.
.
Fig.2 – Cas d’une ligne à (n+1) conducteurs : mode
commun
Les paramètres S caractérisant une ligne multifilaire
sont définis par une relation analogue à (1).
Néanmoins, il s’agit de paramètres de mode commun
définis par rapport à un plan de masse, d’où un
problème de représentativité des lignes multifilaires
modélisant des faisceaux automobiles. En effet, en
pratique, les signaux sont référencés à un fil de masse
correspondant à l’un des conducteurs de la ligne
multifilaire, et non au châssis du véhicule [5]. Par
suite, il devient plus réaliste d’introduire les sources
de tension d’une part entre deux ports de la ligne et,
d’autre part, entre chacun des ports de la ligne et le
châssis (Fig.3).
V
A
U
A
Z
CA
I
A
V
B
Z
CB
I
B
I
1
I
n+1
I
2n
I
n
S
U
B
.
.
.
.
.
.
Fig.3 – Cas d’une ligne à (n+1) conducteurs : mode
différentiel
Par conséquent, vis-à-vis du contexte automobile, la
détermination des paramètres S généralisés de mode
différentiel s’avère indispensable, d’où la nécessité de
développer une méthodologie de conversion des
paramètres S de mode commun en paramètres de
mode différentiel.
II. PARAMETRE S DE MODE COMMUN
L’objectif est, dans un premier temps, d’établir les
expressions analytiques des paramètres S généralisés
de mode commun dans le cas de la ligne multifilaire
schématisée figure 2.

IA, IB, VA, VB, UA et UB représentent respectivement
les vecteurs des tensions, courants et des fem des
générateurs de tension à l’entrée (indice « A ») et en
sortie (indice « B ») de la ligne :
=
n
I
I
M
1
A
I =+
n
n
I
I
2
1
M
B
I =
n
V
V
M
1
A
V
=+
n
n
V
V
2
1
M
B
V =
n
U
U
M
1
A
U =+
n
n
U
U
2
1
M
B
U
= =BBBA
ABAA
SS
SS
S
nnn
n
SS
SS
L
MOM
L
1
111
(4)
Les paramètres S généralisés de mode commun de la
ligne étudiée sont définis par :
+ = −
B
A
C
C
B
A
B
A
C
C
B
A
I
I
Z0
0Z
V
V
S
I
I
Z0
0Z
V
V (5)
où ZC est la matrice des impédances caractéristiques
de la ligne.
Par application de la loi d’Ohm, nous avons :
+= +=
BCBB
ACAA
IZVU
IZVU (6)
(5) s’écrit alors :
(
)
( ) +=−− +=−−
BBBABABBB
BABAAAAAA
USUSVUV
USUSVUV (7)
Les termes de la matrice S sont alors obtenus en
activant individuellement chaque source de tension.
Ainsi, imposer 0UB= dans (7), permet de
déterminer les expressions des sous-matrices SAA et
SBA :
==−
ABAB
AAAAA
USV
USUV
2
2 (8)
La seconde équation matricielle de (8) permet, avec
les notations de (4), d’obtenir les termes de SBA :
+++=
+++= +++=
++++
++++
nnnnAnn
nnnnAnn
nnnnnn
USUSUSV
USUSUSV
USUSUSV
,222,211,22
)2(22)2(11)2(2
)1(22)1(11)1(1
2
2
2
L
M
L
L
(9)
Si toutes les sources de tension sont éteintes, exceptée
celle connectée au port i ( ni K1
=
) à l’entrée A, on
obtient, pour les termes de SBA :
[ ] [ ] nnjniUU
U
V
Sji
i
j
ji 2,1,,10,0
2+∈∈=≠=
(10)
De plus, en développant la première équation
matricielle de (8), les termes de SAA s’écrivent :
[ ] [ ]
njniUU
U
V
S
U
V
S
ji
i
j
ji
i
i
ii
,1,,10,0
2
1
2
∈∈=≠
=
−= (11)
En procédant de la même manière pour la
détermination des termes de SBB et SAB , on obtient
l’expression générale des termes de la matrice S
généralisée de mode commun, pour i, j = 1…2n :
0,0
2
1
2
=≠
=
−=
ji
i
j
ji
i
i
ii
UU
U
V
S
U
V
S (12)
Ces expressions sont ensuite directement utilisées
pour l’évaluation des paramètres S généralisés de
mode différentiel.
III. PARAMETRES S DE MODE DIFFERENTIEL
III.1 Définition du mode différentiel
Tensions et courants de mode commun sont définis à
partir d’un potentiel de référence, comme par exemple
le châssis du véhicule [3] [4]. En mode différentiel,
c’est l’un des conducteurs de la ligne qui assure le
retour du courant et peut être considéré comme le
conducteur de référence des autres conducteurs. Pour
les applications automobiles, c’est ce dernier mode de
transmission qui s’avère être le plus représentatif pour
les analyses tant fonctionnelles que CEM.
En particulier, pour l’analyse de faisceaux électriques,
la tension différentielle V(i,j) telle que :
( )
ji
ji VVV −= , (13)
est introduite pour représenter la tension au port i, le
conducteur j correspondant au conducteur de
référence. Cette notion est illustrée figure 4, dans le
cas d’une ligne à (4+1) conducteurs.
12 3
V
(1,2)
V
(1,0)
Potential reference
4
V
(4,5)
Fig.4 – Définitions du mode commun et du mode
différentiel
Au niveau des câblages automobiles, deux types de
couplage de mode différentiel doivent être pris en
compte :
- entre un conducteur et une paire,
- entre deux paires.
Les paramètres S généralisés de mode différentiel,
devant être représentatifs de ces interactions, sont
obtenus à partir des paramètres S de mode commun
définis par les relations (12). La première étape est
d’établir la relation entre les fem des sources de
tension intervenant dans les montages permettant la
détermination des paramètres S de mode commun et
de mode différentiel.

III.2 Relations de passage entre sources de mode
commun et sources de mode différentiel
L’évaluation des paramètres S généralisés de mode
différentiel se déduit du montage présenté figure 5a.
Par exemple, pour l’étude du paramètre correspondant
au couplage du conducteur n sur la paire constituée
par les conducteurs 1 et 2, il est nécessaire d’activer la
source de tension Vtnn (les autres sources étant
éteintes). L’influence de la paire des conducteurs 1 et
2 sur le conducteur n est obtenue en activant la source
Vt12.
Vt12
1
2
n
V
I
Rnn
Vtnn
R22
Vt22
R11
Vt11 Vt1n
R1n
R12
…
…
(a) Mode différentiel
1
2
n
V
I
Rnn
R22
R1n
R12
…
…
U
…
Ue1
Ue2
Uen
(b) Mode commun
Fig.5 – Détermination des paramètres S généralisés :
sources de tension
A partir du circuit donné figure 5a, l’équivalence entre
les modèles de Thévenin et de Norton est ensuite
utilisée pour déterminer les valeurs Ie des sources de
courant équivalentes aux fem Vt des sources de
tension (figure 6) .
I enn
I e22
I e11
1
2
n
V
I
Rnn
R22
R1n
R12
I e12
R11
I e1n
…
…
…
I’
Fig.6 – Détermination des paramètres S généralisés de
mode différentiel : sources de courant
III.3 Expressions analytiques
Les équations suivantes correspondent aux relations
de circuit issues de la loi d’Ohm et de la loi de
Kirchhoff des courants, appliquées au circuit présenté
figure 6 :
∆−= −= III'
I'ZV c (14)
et :
−
−
= −
−
+ =∆
∑
∑∑
∑
∑
∑∑
∑
=
+==
≠
−
=
+=
−
=
≠
n
j
enj
n
ij
eij
i
j
eij
j
jee
n
j
enj
n
ij
eij
i
j
eij
j
je
enn
eii
e
I
II
II
I
II
I
I
I
I
1
11
1
111
1
1
1
1
1
1
1
11
M
M
M
M
M
M
I
(15)
où
ij
ij
eij R
Vt
I= pour nji K1,
=
Les termes de la matrice ∆
∆∆
∆I correspondent aux
courants injectés dans les conducteurs par les sources
de courant équivalentes.
En introduisant (15) dans (14), on obtient une relation
du type :
ec UIZV +−= (16)
où:
−
−
=
∑
∑∑
∑
=
+==
≠
n
j
enj
n
ij
eij
i
j
eij
j
jee
I
II
II
1
11
1
111
M
M
ce ZU (17)
La tension au port i est ensuite obtenue par application
du principe de superposition, et correspond à la
somme des tensions produites par Ue :
∑
== ≠=
=
j
UUU
ii jmeijm
VV 0, (18)
pour nji K1,
=
Finalement, les équations (12) et (18) permettent
d’obtenir les expressions des tensions Vi pour des
sources associées à ce même port ou à un port
différent :
∑
+=
j
Sij
j
U
ii U
2
1
V (19)
III.4 Paramètres S de mode différentiel
En accord avec la définition des tensions de mode
différentiel, les paramètres S généralisés de mode
différentiel ),)(,( qprm S sont associés aux paires (m, r) et
(p, q) (figure 7). Leur expression en fonction des
tensions de mode commun Vm et Vr est donnée par :

( )( )
(
)
pq
rm
qprm Vt
VV
S
−
=2
,, (20)
la source Vtpq étant activée.
…
a
b
p
q
( )( ) qprm
S,,
( )( ) qpm
S,0,
Potential reference
…
r
m
c
d
…
Fig.7 – du paramètre ),)(,( qprm S
D’après (19), le paramètre ),)(,( qprm S peut s’écrire sous
la forme suivante, Ue correspondant à la source
équivalente Vtpq :
( )( )
(
)
pq
j
rjmjjrm
q,pr,m Vd
SSUUU
S
∑
−+−
= (21)
III. APPLICATION
Considérons l’exemple d’une ligne à (4+1)
conducteurs (figure 8) dont la section est illustrée
figure 9. Les conducteurs, de longueur 1 mètre, sont
située à une hauteur de 20mm au-dessus d’un plan de
masse constituant la référence de potentiel. d23
désigne la distante entre les conducteurs 2(6) et 3(7).
1
23
4
Potential reference
5
6
7
8
Load Load
Fig.8 – Configuration étudiée
Fig.9 – Section des conducteurs
La figure 10 compare les valeurs obtenues pour le
paramètre de mode différentiel S(5,6)(3,4) pour
différentes valeurs de la distance d23 . L’amplitude de
ce paramètre, caractérisant le couplage entre les paires
(5,6) et (3,4), décroît lorsque distance d23 augmente.
Ces résultats mettent ainsi en évidence l’intérêt de
cette méthode vis-à-vis de la prédiction des couplages.
Fig.10 – Comparaison des paramètres S(5,6)(3,4)
III. CONCLUSION
Cet article présente une méthode originale permettant
de déterminer les paramètres S de mode différentiel à
partir des paramètres S de mode commun. Ces
caractéristiques, bien adaptée aux configurations des
câblages automobiles, permettent en effet de mettre en
évidence les phénomènes de couplage inhérents aux
faisceaux électriques.
REFERENCES
[1] David E. Bockelman, William R. Eisenstadt,
"Combined differential and common-mode scattering
parameters: theory and simulation", IEEE Trans.
Microwave Theory Tech., vol.43, No.7, July1995, pp.
1530 – 1539
[2] David E. Bockelman, William R. Eisenstadt, R.
Stengel, "Accuracy estimation of mixed-mode
scattering parameter measurements", IEEE
Transactions on Microwave theory and techniques,
vol. 47, No. 2, January 1999, pp. 102 – 105
[3] S. Back, S. Ahn, J. Park, Joungho. Kim, Jonghoom.
Kim, J-H. Cho, "Accurate high frequency lossy model
of differential signal line including mode-conversion
and common-mode propagation effect", IEEE
International symposium on electromangnetic
compatibility, Santa Clara, CA, August 9-13 2004, pp.
562 – 566
[4] Yoshio Kami, Fengchao Xiao, "Equivalent two-port
network for indoor outlet and its application",
International Symposium on Electromagnetic
Compatibility, Barcelona, Spain, 4-8 September 2006,
pp. 420– 425
[5] S. Egot, M. Klingler, L. Koné, S. Baranowski, F.
Lafon, C. Marot, "Modeling automotive electronic
equipment in a realistic sub-system", International
Symposium on Electromagnetic Compatibility,
Barcelona, Spain, 4-8 September 2006
[6] C. E. Baum, "Electromagnetic Topology for the
Analysis and Design of Complex Electromagnetic
Systems", Fast Electrical and Optical Measurements,
Vol. I, eds. I.E. Thompson and L.H. Luessem,
Martinus Nijhoff, Dordrecht, 1986
[7] C. E. Baum, T. K Liu, F. M. Tesche, "On the Analysis
of General Multiconductor Transmission Line
Networks", Interaction Note 350, Kirtland AFB, NM,
1978