Vincent Létourneau - Papyrus : Université de Montréal

Université de Montréal
Cobordismes lagrangiens et uniréglage
par
Vincent Létourneau
Département de mathématiques et de statistique
Faculté des arts et des sciences
Mémoire présenté à la Faculté des études supérieures
en vue de l’obtention du grade de
Maître ès sciences (M.Sc.)
en mathématiques
5 janvier 2015
c
Vincent Létourneau, 2014

Université de Montréal
Faculté des études supérieures
Ce mémoire intitulé
Cobordismes lagrangiens et uniréglage
présenté par
Vincent Létourneau
a été évalué par un jury composé des personnes suivantes :
François Lalonde
(président-rapporteur)
Octav Cornea
(directeur de recherche)
Iosif Polterovich
(membre du jury)
Mémoire accepté le
12 novembre 2014

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SOMMAIRE
Ce mémoire traite de la question suivante : est-ce que les cobordismes la-
grangiens préservent l’uniréglage ? Dans les deux premiers chapitres, on présente
en survol la théorie des courbes pseudo-holomorphes nécessaire. On examine
d’abord en détail la preuve que les espaces de courbes J-holomorphes simples
est une variété de dimension finie. On présente ensuite les résultats nécessaires à
la compactification de ces espaces pour arriver à la définition des invariants de
Gromov-Witten. Le troisième chapitre traite ensuite de quelques résultats sur la
propriété d’uniréglage, ce qu’elle entraine et comment elle peut être démontrée.
Le quatrième chapitre est consacré à la définition et la description de l’homologie
quantique, en particulier celle des cobordismes lagrangiens, ainsi que sa structure
d’anneau et de module qui sont finalement utilisées dans le dernier chapitre pour
présenter quelques cas ou la conjecture tient.
Mots-clés : Courbes pseudoholomorphes, espaces de module, compacité de
Gromov, invariants de Gromov-Witten, uniréglage, homologie quantique, com-
plexe de perles, produit quantique, cobordismes lagrangiens, sous-variétés lagran-
giennes.