Calcul différentiel - Institut de Mathématiques de Toulouse
CALCUL DIFFÉRENTIEL 0.6.0 UNIV.JEANPAULCALVI.COM
Préfaces
0.4
Ce texte est issus d’un cours que j’ai donné dans le cadre du module de calcul
différentiel de la licence de mathématiques appliquée à l’ingénierie (MAPI) de
l’université Paul Sabatier. Il contient les exercices traités en travaux dirigés ainsi que
les énoncés des contrôles. Pour l’essentiel, le contenu correspond à un celui d’un
cours d’introduction classique. Le cadre est celui des espaces vectoriels normés
abstraits mais, dans toutes les applications, ceux-ci seront de dimension finie. Les
aspects computationnels sont privilégiés. Les possibilités qu’offrent les logiciels de
calculs formels seront signalées et des exemples seront proposés utilisant le logiciel
MAXIMA librement téléchargeable sur la page http ://maxima.sourceforge.net
Les graphes de fonctions de deux variables et certains autres calculs sont effectués à
l’aide du logiciel SCILAB aussi librement téléchargeable sur http ://www.scilab.org
Foix, Mars 2011, JPC.
0.5 et 0.6
J’ai apporté quelques améliorations typographiques et augmenté le texte de quelques
exercices, spécialement dans le chapitre sur les équations différentielles. J’ai com-
mencé la rédaction des démonstrations des résultats fondamentaux. Foix,
Avril 2013, JPC
CALCUL DIFFÉRENTIEL 0.6.0 UNIV.JEANPAULCALVI.COM
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Table des matières
Préface 4
Table des matières 5
1 Différentielles 1
1 Introduction et définition.............................. 1
1.1 La définition d’une différentielle...................... 2
1.2 L’application tangente et l’hyperplan tangent . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Comment rechercher une différentielle à partir de la définition . . . . 7
1.4 Deux règles de calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 La fonction différentielle.......................... 9
2 Dérivées suivant un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1 Définition .................................. 10
2.2 Les dérivées partielles ordinaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Le lien entre les dérivées directionnelles et la différentielle d’une fonction 11
2.4 La matrice d’une différentielle....................... 12
2.5 Insuffisance des dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6 Autres notations pour les différentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.7 Calcul automatique des dérivées partielles et des différentielles (avec
Maxima)................................... 14
3 Différentielle de la composée de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4 Extremums...................................... 18
5 Théorème des accroissements finis......................... 20
5.1 Le théorème élémentaire des accroissements finis............ 20
5.2 Enoncéduthéorème ............................ 20
5.3 Caractérisation des fonctions de différentielle nulle . . . . . . . . . . . 22
5.4 Obtention de la différentiabilité à partir des dérivées partielles . . . . 22
5.5 Suites de fonctions différentiables..................... 24
6 Exercicesetproblèmes ............................... 25
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