MPSI 1

¤ MPSI 1 ¤ T2. Statique des fluides.
Ex. 1. Structure hydrostatique d'une étoile.
Une étoile est formée d'une certaine masse Mo de gaz, qui adopte une configuration sphérique du fait de
l'interaction gravitationnelle entre les atomes d'hydrogène qui la composent. On négligera tout effet de
rotation et on considérera qu'à tout instant cette masse de gaz est en équilibre hydrostatique, disposée
dans le vide. A tout instant de la formation, les répartitions de masse volumique, de pression et de
température dans l'étoile sont à symétrie sphérique. On notera G la constante de la gravitation universelle
(ou constante de Cavendish) et on appellera r la distance d’un point P au centre de l’étoile. Le rayon de
l’étoile est noté Ro.
Données numériques:
Constante de Cavendish G = 6.67 10-11 m3.kg-1.s-2
Constante de Boltzmann k = 1,38 10-23J.K-1
Nombre d'Avogadro NA = 6,02 1023 mol-1
Masse de l'atome d'Hydrogène m = 1,67 10-27 kg
Masse du Soleil Mo = 1,99 1030kg
Rayon du Soleil Ro = 6,96 108 m
On appelle µ(r) la masse volumique de l’étoile à la distance r du centre et M(r) la masse de la fraction de
l'étoile qui est située à une distance de son centre inférieure ou égale à r. On appelle aussi p(r) la pression
qui règne à cette distance r du centre.
On admettra, qu’à l’intérieur de l’étoile, que la norme G(r) du champ de gravitation à une distance r < Ro
est donné par la relation
2
()
() Mr Gr r G
où
()Mr
est la masse de l’étoile contenue dans la sphère de
rayon r.
1. Quelle relation intégrale lie µ(r) et M(r).
2. Etablir l'équation d'équilibre hydrostatique du gaz qui forme l'étoile, sous forme d'une équation
différentielle liant p(r) et M(r) et leurs dérivées, la distance r et la constante G.
Pour les questions 3 et 4, on considère que l'hydrogène atomique constituant l’étoile est un fluide
incompressible.
3. Etablir l’expression de la pression pC au centre C de l'étoile, en fonction de G , de la masse Mo
de l’étoile et de son rayon Ro. On supposera que la pression à la surface de l’étoile est nulle.
Application numérique : Calculer pC dans le cas du Soleil.
4. Assimilant localement l’hydrogène au gaz parfait, déterminer la température TC au centre C de
l'étoile en fonction de G, Mo, Ro, de la constante de Boltzmann k et de la masse m de l’atome
d’hydrogène. Application numérique : Calculer TC dans le cas du Soleil.

Ex. 2. Aérostat dans l’atmosphère terrestre.
On peut considérer que dans une zone de l'atmosphère d'environ 10 km d'épaisseur la température varie
en fonction de l'altitude z suivant une loi de la forme:
T=To(1 -kz)
avec k une constante, et que le champ de pesanteur g reste constant.
L'air est assimilé à un gaz partait de masse molaire M.
L'indice zéro est relatif aux grandeurs au sol.
1. Montrer que la pression suit une loi de la forme :
1
o
P P kz
Déterminer l’expression de la constante que l’on prendra comme une donnée pour la suite de
l’exercice.
2. Exprimer la masse volumique de l'air
()z
en fonction de Po et
o
.
Un aérostat est constitué par une enveloppe remplie d'hélium (dont le volume ne peut dépasser la valeur
maximale Vmax) à laquelle est attachée une nacelle. L'enveloppe nacelle, accessoires et passagers a une
masse Mo. Il y a constamment communication entre l'air atmosphérique et le gaz du ballon ce qui assure
l'équilibre mécanique et thermique entre les deux fluides.
3. Faire le bilan des forces appliquées à l'aérostat.
Exprimer la force résultante
R
en fonction de
g
, , Mo, V, de la masse molaire M de l’air et
celle M' de l'hélium, de la masse volumique
o
de l'air et de la pression P.
A quelle condition, liant le volume initial Vo et la masse Mo, le ballon pourra-t-il s'élever?
4. Exprimer la force résultante
R
en fonction de
g
, Mo, V, M’,
He
.
Quels sont les termes de cette expression qui varient lorsque l'altitude z augmente ? Expliquer
pourquoi l'ascension est la succession d'une phase à masse constante et d'une phase à volume
constant.
5. Quelle est l'altitude d'équilibre, appelée plafond, de l'aérostat ?

Ex.3. Obturation d’une canalisation.
Un flotteur sphérique S de masse m et de rayon R est enfoncé dans un tuyau T obturant ainsi l’évacuation
d’un liquide de masse volumique contenu dans un réservoir R.
Un point M quelconque de S est repéré par sa cote z comptée à partir de celle du point O.
On désigne respectivement par z1 et par z2 la cote d’un point de la surface libre du liquide et celle d’un
point du fond du réservoir.
On note Po la pression atmosphérique et g l’accélération de la pesanteur.
1. Déterminer l’expression de la réaction du tuyau en fonction de m, g, , z1 et z2.
2. Montrer que le module de la réaction passe par un extremum pour une valeur particulière de la
hauteur de fluide dans le réservoir.
3. En supposant que le rayon r du tuyau est égal à R/2, déterminer une valeur critique de la masse
volumique
S de S au dessus de laquelle S ne peut jamais se soulever.