Ce qu`il y a de commun Enquête de police : Le coupable a passé un
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Ce qu’il y a de commun Enquête de police : Le coupable a passé un coup de fil avec son téléphone à moins de 50 mètres (5 cm sur le schéma) de l’émetteur noir (partie ronde du dessus). Dessine la zone dans laquelle il peut se cacher. Tu dois faire tomber un objet du bureau : un cadre, un globe, un cube, un anneau, un cylindre, un parchemin, un ruban. Tu peux l’incliner (le bureau) dans tous les sens. A ton avis, quels objets tomberont en premier et pourquoi ? Qu’y a-t-il de commun entre les quatre réponses que tu viens de faire ? Comment l’expliquer ? Maman fabrique un gâteau qu’elle voudrait partager facilement en 6 parts égales. Quelles formes peut-elle facilement donner à ce gâteau ? Voix et vues de classe – Géométrie – Cercles et arcs - 2014 Page 1 La famille « cercle » Trie ces images et indique les critères tu as choisis : Voix et vues de classe – Géométrie – Cercles et arcs - 2014 Page 2 Des critères pour ne pas se tromper Placer une épingle au centre du cercle pour la fixer Agrandis l’image sur l’écran. sur un bouchon. Le faire tourner sur lui-même le Vois-tu les lignes bouger ? plus vite possible. Que voit-on des couleurs ? Ces formes sont-elles des cercles, des spirales ? Sont-elles rondes ou ovales ? Quel point est le centre du cercle ? La forme au centre a-t-elle des côtés droits ou courbes ? Dans chaque case, les trois formes sont-elles identiques ou non ? Voix et vues de classe – Géométrie – Cercles et arcs - 2014 Page 3 Placer le centre d’un cercle ou d’une courbe Reproduis ces trois modèles sur quadrillage. Trouve le centre des cercles qui ont permis de tracer ces arcs. Précise si les cercles ou arcs de cercle sont concentriques (de même centre) ou non. Crée des pavages différents avec les trois modèles ci-dessus. Reproduis les modèles ci-dessous : Voix et vues de classe – Géométrie – Cercles et arcs - 2014 Page 4 Les arcs en architecture Reproduis les arcs des constructeurs du Moyen-âge. Les points noirs indiquent les centres des arcs. Arc de plein cintre Roman et Renaissance Arc déprimé Arc Bombé ou surbaissé Roman Arc surhaussé Arc en fer à cheval Arc en ogive ou arc gothique Voix et vues de classe – Géométrie – Cercles et arcs - 2014 Page 5 Les arcs en architecture (suite) Reproduis les arcs des constructeurs du Moyen-âge. Les points noirs indiquent les centres des arcs. Arc à contre-courbures Arc angulaire Arc en accolade Arc en anse de panier Renaissance Arc rampant, non symétrique Invente l’arcade de ton choix. Voix et vues de classe – Géométrie – Cercles et arcs - 2014 Page 6 Les arcs Reproduis ces arcs : attention au rayon des cercles qui servent à les construire ! Voix et vues de classe – Géométrie –Des ronds non circulaires - 2014 Page 7 Reproduis ces arcs : attention au rayon des cercles qui servent à les construire ! Voix et vues de classe – Géométrie –Des ronds non circulaires - 2014 Page 8 La spirale Trace un quart de cercle dans chacun des carrés de couleur (pas le blanc !). Puis découpe-les et reconstitue une spirale. Voix et vues de classe – Géométrie –Des ronds non circulaires - 2014 Page 9 Construire des spirales : spirale sur carré La spirale d’or est formée de quarts de cercle successifs, chacun d’entre eux ayant un rayon touchant le bord de l’arc précédent. Les centres de ces arcs sont tous placés sur les sommets du même carré central. Sur le schéma, ils sont de la même tonalité que les arcs tracés à partir d’eux. On peut changer la forme de la spirale si les centres des cercles se déplacent euxmêmes en même temps qu’elle. Quand les rayons suivent les nombres 1, 2, 3, 5, 8, 13 … la suite de Fibonacci (chaque nombre est la somme des deux précédents.), la spirale est dite de Fibonacci. Voix et vues de classe – Géométrie –Des ronds non circulaires - 2014 Page 10 Continue cette spirale en regardant comment est construit chacun des segments : Moulinet à air chaud Découpe une spirale et place son centre au centre de la base d’un bouchon en liège. Place-la au-dessus d’une petite bougie chauffe-plat. La spirale va se mettre à tourner. Il est possible aussi de faire tourner en même temps plusieurs spirales. Etre prudent avec la bougi chauffe-plat. Ne pas trop s’approcher de la flamme : risque de brûlure ou que le papier s’enflamme. Voix et vues de classe – Géométrie –Des ronds non circulaires - 2014 Page 11 Spirale sur triangle On construit des spirales à partir de toutes les formes régulières : triangle équilatéral, carré, pentagone, hexagone, heptagone … en déplaçant l’angle d’un côté à chaque fois pour placer le nouvel arc. La spirale tourne dans le sens inverse des lignes de construction. Voix et vues de classe – Géométrie –Des ronds non circulaires - 2014 Page 12 Spirale sur carré On construit des spirales à partir de toutes les formes régulières : triangle équilatéral, carré, pentagone, hexagone, heptagone … en déplaçant l’angle d’un côté à chaque fois pour placer le nouvel arc. La spirale tourne dans le sens inverse des lignes de construction. Voix et vues de classe – Géométrie –Des ronds non circulaires - 2014 Page 13 Spirale sur pentagone On construit des spirales à partir de toutes les formes régulières : triangle équilatéral, carré, pentagone, hexagone, heptagone … en déplaçant l’angle d’un côté à chaque fois pour placer le nouvel arc. La spirale tourne dans le sens inverse des lignes de construction. Voix et vues de classe – Géométrie –Des ronds non circulaires - 2014 Page 14 Spirale sur hexagone On construit des spirales à partir de toutes les formes régulières : triangle équilatéral, carré, pentagone, hexagone, heptagone … en déplaçant l’angle d’un côté à chaque fois pour placer le nouvel arc. La spirale tourne dans le sens inverse des lignes de construction. Voix et vues de classe – Géométrie –Des ronds non circulaires - 2014 Page 15 Spirale sur heptagone On construit des spirales à partir de toutes les formes régulières : triangle équilatéral, carré, pentagone, hexagone, heptagone … en déplaçant l’angle d’un côté à chaque fois pour placer le nouvel arc. La spirale tourne dans le sens inverse des lignes de construction. Voix et vues de classe – Géométrie –Des ronds non circulaires - 2014 Page 16 Spirales et sens de rotation Les spirales ont un sens de rotation : pour l’inverser, il suffit d’inverser les lignes de construction. Les constructions de cette page sont les images inversées des constructions des fiches précédentes. A toi de tourner maintenant dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Voix et vues de classe – Géométrie –Des ronds non circulaires - 2014 Page 17 Plusieurs figures à partir d’une même construction Compare les formes suivantes : que remarques-tu ? Si tu devais en construire une avant toutes les autres, laquelle choisirais-tu ? Voix et vues de classe – Géométrie –Des ronds non circulaires - 2014 Page 18 Cercles et polygones Les diagonales joignent les sommets opposés d’un quadrilatère. La médiane est la ligne qui joint un sommet au milieu du côté (segment) opposé. La médiatrice est la hauteur qui passe par le milieu d’un segment. La bissectrice est la ligne qui partage un angle en deux angles égaux. Construis ces lignes pour les figures suivantes : - en quatre couleurs différentes sur une seule feuille - ou sur quatre feuilles photocopiées différentes (à superposer pour comparaison). Cherche quelles sont celles qui permettent de tracer un cercle : - qui touche les côtés de la figure - ou qui passe par ses sommets. Voix et vues de classe – Géométrie –Des ronds non circulaires - 2014 Page 19 cercles et polygones Les diagonales joignent les sommets opposés d’un quadrilatère. La médiane est la ligne qui joint un sommet au milieu du côté (segment) opposé. La médiatrice est la hauteur qui passe par le milieu d’un segment. La bissectrice est la ligne qui partage un angle en deux angles égaux. Construis ces lignes pour les figures suivantes : - en quatre couleurs différentes sur une seule feuille - ou sur quatre feuilles photocopiées différentes (à superposer pour comparaison). Cherche quelles sont celles qui permettent de tracer un cercle : - qui touche les côtés de la figure - ou qui passe par ses sommets. Voix et vues de classe – Géométrie –Des ronds non circulaires - 2014 Page 20 Les cercles et les arcs Cherche où se trouve le centre de ce cercle. Comment peux-tu faire ? Trace une cercle à l’intérieur, puis à l’extérieur de ce triangle. Comment peux-tu faire ? Trace des arcs concentriques (ayant le même centre mais pas le même rayon.) Trace des morceaux d’arcs qui se raccordent, continue la figure déjà commencée. Trace des arcs qui se raccordent en inversant les parties concaves / convexes. Voix et vues de classe – Géométrie –Des ronds non circulaires - 2014 Page 21 Placer le centre d’un cercle Marque l’emplacement des centres des cercles : Voix et vues de classe – Géométrie –Des ronds non circulaires - 2014 Page 22 Fiche outil : trouver le centre d’un cercle Pour tracer un cercle, planter un clou et enrouler un fil autour, au bout duquel on a attaché un crayon. La médiatrice d’une corde passe toujours par le centre d’un cercle. Celui-ci se situe en son milieu. On peut aussi croiser les médiatrices de deux cordes différentes : le centre du cercle se trouve à leur point de rencontre. Voix et vues de classe – Géométrie –Des ronds non circulaires - 2014 Page 23 Fiche outil : cercles inscrits et circonscrits Construis les formes suivantes en te servant des images : Cercle inscrit dans un carré. Cercle circonscrit au carré. Cercle inscrit dans un triangle équilatéral. Cercle circonscrit au triangle équilatéral. Cercle circonscrit à un rectangle ou un triangle rectangle. Cercles inscrits dans un angle. Cercles inscrits dans un triangle équilatéral. Jeu de billard ! … Voix et vues de classe – Géométrie –Des ronds non circulaires - 2014 Page 24 Fiche outil : les cercles et les arcs Le centre d’un cercle inscrit se situe au croisement. Des bissectrices d’un triangle. Le centre d’un cercle inscrit entre trois points Se situe au point de rencontre des médiatrices des segments reliant ces points. Deux arcs parallèles. Le centre de l’arc est le même. Seul le rayon change. Pour enchaîner des arcs, déterminer le rayon de chacun d’entre à partir de leur point de rencontre sur l’axe qui les relie. L’arc en anse. Tracer la base de l’arc et la diviser en six parties égales. A partir des points verts extrémités de la base de l’arc, tracer deux arcs de cercle de la longueur de cette base. Tracer la ligne point vert / point de rencontre des arcs. Trace la parallèle de cette ligne passant par les trois divisions à gauche de la base. Puis tracer à partir de la gauche successivement des arcs ayant pour centre les points successifs de division de la base. Leurs rayons permettront le raccordement à l’arc précédent : - Centre ocre, rayon partant du point vert - Centre violet, rayon partant de l’arc ocre, - Centre rouge, rayon partant de l’arc violet. Recommencer la même opération du côté droit de la figure en inversant la procédure. Voix et vues de classe – Géométrie –Des ronds non circulaires - 2014 Page 25 Construire un ove ou un œuf L’ovale n’est pas une forme mathématique. Il peut être un cercle allongé par un quadrilatère en son centre, un ove (un œuf) ou même une ellipse (qui elle, est une forme mathématique définie). Voici deux exemples d’ovales : L’ovale comme allongement d’un cercle par un carré ou un rectangle : Il s’agit tout simplement d’insérer un carré ou un rectangle entre les deux moitiés d’un même cercle. La forme construite obtenue sera un ovale. L’œuf Trace le cercle en premier. Couper ce cercle en deux. A partir de chacun des points du bord de cercle, trace un arc ayant le diamètre pour rayon. Trace les lignes qui passent par chacun de ces points centre des arcs et la médiatrice (perpendiculaire au milieu) à la ligne qui les relient. Ces lignes se croisent sur le bord u cercle. C’est le centre du dernier petit cercle dont le rayon coupe les arcs. Il reste à effacer les lignes de construction et à marquer celles qui constituent l’œuf. Voix et vues de classe – Géométrie –Des ronds non circulaires - 2014 Page 26
