Exercices de logique et théorie des ensembles

Université Blaise Pascal
Département de Mathématiques
Module S1 A ou B Math
Année 2007-2008
http://math.univ-bpclermont.fr/~royer/ens/L1S1/
Exercices de logique et théorie des ensembles
Exercice 1
Écrire la négation des propositions suivantes :
1) Toutes les voitures rapides sont rouges ;
2) Il existe un mouton écossais dont au moins un côté est noir ;
3) Pour tout ε ≥ 0, il existe q ∈ Q∗ tel que 0 ≤ q ≤ ε ;
4) Pour tout x ∈ R, x2 < 0.
Exercice 2
Soit P, Q, R des propositions. Dans chacun des cas suivants, les propositions citées sont-elles la négation
l'une de l'autre ?
1) (P et Q) ;
(non P et non Q) ;
2) (P ⇒ Q) ;
(non Q ⇒ non P ) ;
3) (P ⇒ Q) ;
(P et Q).
Exercice 3
Soit a, b, c des réels. Écrire la négation des propositions suivantes :
1) a ≤ −2 ou a ≥ 3 ;
2) a ≤ b ou |a| > c ;
3) 3 ≤ a ≤ 7 ou 10 ≤ b ≤ 17.
Exercice 4
Démontrer les énoncés suivants par contraposée ou par l'absurde :
1) Soit a un réel. Si a2 n'est pas un multiple entier de 16, alors a/2 n'est pas un entier pair ;
2) L'équation 2x7 − 4x4 + 2x + 3 = 0 n'a pas de solution entière ;
3) Les solutions entières de l'équation x5 − 2x4 − 8x + 16 = 0 sont toutes paires.
Exercice 5
Démontrer les énoncés suivants par récurrence (éventuellement forte) :
P
1) Pour tout naturel n, on a nk=0 2k = 2n+1 − 1 ;
P
3) Pour tout entier naturel n, on a nk=0 k 2 = n(n + 1)(2n + 1)/6 ;
3) Pour tout naturel n avec n ≥ 10, on a 2n ≥ n3 (remarquer pour commencer que pour n ≥ 10, on a
2 ≥ (1 + 1/n)3 ).
Exercice 6
Dresser la liste de toutes les inclusions et égalités entre les ensembles suivants :
A = {x ∈ Q : x ≤ 0} ;
B = { ab : a, b ∈ Z, b 6= 0 et b pair } ;
C = {z ∈ C : z 2 = −4} ;
D = {z ∈ R : z 2 = −4} ;
E = Q;
F = ∅.
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Exercice 7
Soit E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} et soit les parties suivantes de E :
A = {1, 2, 3, 4} ;
B = {4, 5, 6, 7} ;
C = {1, 3, 5, 7} ;
D = {2, 3, 4, 5, 6}.
Calculer (A ∩ B) ∪ (C ∩ D), (A ∪ C) ∩ (B ∪ D) et (Ac ∩ D)c ∩ (B ∪ C)c .
Exercice 8
Soit A, B deux parties d'un ensemble E . A-t-on nécessairement :
(A ∩ B)c ⊂ Ac ∩ B c ?
(A ∩ B)c ⊃ Ac ∩ B c ?
(A ∪ B)c ⊂ Ac ∪ B c ?
(A ∪ B)c ⊃ Ac ∪ B c ?
Justier chaque cas par une preuve ou un contre-exemple !
Exercice 9
Dessiner les parties suivantes de R2 :
a) ([−1, 1] × [−1, 1])c ;
b) [−1, 1]c × [−1, 1]c ;
c) {(a, b) ∈ Z2 : a2 + b2 ≤ 4}.
Exercice 10
Soit A, B, C, D quatre parties d'un ensemble E . A-t-on nécessairement :
(A ∩ B) × (C ∩ D) ⊂ (A × C) ∩ (B × D) ?
(A ∩ B) × (C ∩ D) ⊃ (A × C) ∩ (B × D) ?
(A ∪ B) × (C ∪ D) ⊂ (A × C) ∪ (B × D) ?
(A ∪ B) × (C ∪ D) ⊃ (A × C) ∪ (B × D) ?
Justier chaque cas par une preuve ou un contre-exemple !
Exercice 11
Soit les fonctions f : R → R; x 7→ x3 − x + 2 et g : R → R; x 7→ x2 − 4. Calculer f ◦ g , g ◦ f , ainsi que la
fonction f g : R → R; x 7→ f (x)g(x).
Exercice 12
Une fonction f : R → R est dite paire si f (−x) = f (x) pour tout x ∈ R et impaire si f (−x) = −f (x) pour
tout x ∈ R. Soit s : R → R; x 7→ −x.
1. Exhiber une fonction paire, mais pas impaire ;
2. Exhiber une fonction impaire, mais pas paire ;
3. Existe-t-il des fonctions qui ne sont ni paires, ni impaires ?
4. Trouver toutes les fonctions qui sont à la fois paires et impaires ;
5. Montrer que toute fonction de R vers R se décompose de manière unique comme somme d'une fonction
paire et d'une fonction impaire ;
6. Montrer qu'une fonction g : R → R est paire si et seulement si g ◦ s = g ;
7. Montrer qu'une fonction g : R → R est impaire si et seulement si g ◦ s = s ◦ g .
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Exercice 13
Donner f (]0, 1[), f ([1, 2[), f ([−3, −2]), f −1 (]0, 1[), f −1 ([1, 2[), f −1 ([−3, −1]) et f −1 ([− 12 , 3]) pour chacune
des fonctions f : R → R suivantes :
1) f : x 7→ x2 ;
2) f : x 7→ xx ;
3) f : x 7→
1
1+x
;
4) f : x 7→ sin x.
Exercice 14
Soit f : E → F une application, soit A, B ⊂ E et soit C, D ⊂ F . A-t-on nécessairement :
f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B) ?
f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B) ?
f −1 (C ∩ D) = f −1 (C) ∩ f −1 (D) ?
f −1 (C ∪ D) = f −1 (C) ∪ f −1 (D) ?
f −1 (f (A)) = A ?
f (f −1 (A)) = A ?
Justier chaque cas par une preuve ou un contre-exemple !
Exercice 15
Soit n un naturel. On note Sn l'ensemble des bijections de l'ensemble {1, . . . , n} vers lui-même. Calculer le
nombre d'éléments de Sn ;
Exercice 16
Construire des applications injectives f : ]0, 1[ → ]0, 1[×]0, 1[ et g : ]0, 1[×]0, 1[ → ]0, 1[.
Exercice 17
Soit A un ensemble et soit FA l'ensemble des applications de A vers {0, 1}. Exhiber une bijection entre FA
et P(A).
Exercice 18
Construire une application injective de P(N) vers R.
Exercice 19
Soit E un ensemble tel qu'il existe une application i : E → E injective, mais pas surjective. Construire une
injection de N vers E .
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