ELECTROPHORESE

ELECTROPHORESE
De nombreuses substances en solution, des protéines par exemple, se chargent électriquement, soit par ionisation directe, soit
par adsorption d'ions d'autres substances présentes dans la solution.
La technique consistant à séparer des espèces moléculaires ou
macromoléculaires dissoutes dans un liquide électriquement
conducteur, en fonction de leurs vitesses de migration dans
un champ électrique est appelée électrophorèse.
Une procédure possible consiste à déposer le mélange de
substances à séparer dans une zone très étroite d'une colonne
de solution électrolytique aux extrémités de laquelle
est appliquée une différence de potentiel continue .
Les substances à séparer, chargées électriquement, se mettent en mouvement sous l'action du champ électrique avec des
vitesses de migration différentes.
Ainsi. au cours d'une expérience d'électrophorèse, la zone étroite initiale se sépare au cours du temps en plusieurs zones
contenant chacune des espèces moléculaires pures.
Les éventuels mouvements de convection de l'électrolyte constituent un phénomène parasite qu'il convient d'éliminer. On
stabilise donc le liquide du point de vue mécanique en l'incluant dans une structure poreuse telle que du papier par exemple.
De plus, les inévitables phénomènes de diffusion constituent une cause d'élargissement des zones au cours du temps.
Le problème proposé étudie les conditions de la séparation en zones distinctes des différentes espèces moléculaires d'un
mélange.
PARTIE I. Modélisation de la colonne poreuse.
I-1) On réalise une colonne poreuse de section S' = 3.0 cm2 et de longueur ’ = 30 cm constituée de fibres de cellulose dont la
masse volumique vaut  = 1,5.103 kg.m-3. La masse de la colonne poreuse est M = 53 g
L'espace libre entre les fibres est ensuite imprégné d'un électrolyte de conductivité  = 1,51 -1.m-1 qui le remplit
complètement.
Une différence de potentiel U1 - U2 = 120 V est appliquée aux extrémités de la colonne. On constate qu'elle est alors parcourue
par un courant d'intensité I = 100 mA.
I-1-a) Exprimer la conductivité apparente ' de la colonne, considérée globalement comme un milieu conducteur homogène.
I-1-b) Calculer numériquement '.
i-2) On explique la différence observée entre  et ' par un double effet :
- la présence des fibres isolantes diminue la section réelle de la colonne d'électrolyte pur, qui n'est en fait que S < S'.
- la présence des fibres, dont l'orientation est aléatoire, augmente légèrement, pour les ions de l'électrolyte, la distance à
parcourir entre les deux électrodes. Cette distance moyenne est alors  > ’’.
I-2-a) Exprimer le volume S effectivement occupé par l'électrolyte en fonction de S', '.  et M.
I-2-b) En déduire S et  en fonction de S', ’, , M,  et '
I-2-c) Calculer numériquement S et .
PARTIE Il. Étude du mouvement d'un ion.
Le milieu conducteur étant ainsi modélisé comme une colonne d'électrolyte de conductivité , de longueur  et de section S, les
ions à séparer sont ajoutés dans une zone centrale très étroite, d'épaisseur  considérée comme négligeable. On admettra que
la présence des ions à séparer ne modifie pas sensiblement la conductivité de l'électrolyte.
II-1) La différence de potentiel aux extrémités de la colonne étant maintenue à la valeur U1 - U2 = 120 V, exprimer le champ
électrique
E Eux
qui règne dans l’électrolyte ainsi que la force électrostatique
F Fux
qui s'exerce sur un ion de charge
q.
II-2) Sous l'effet de cette force, l'ion se met en mouvement. Il est accompagné d'un cortège de molécules d'eau qui lui sont liées
par des forces électrostatiques. La masse totale de l'ensemble en mouvement est m. Le mouvement de cet ensemble est freiné
par le milieu environnant qui exerce sur
lui une force de frottement
F fv fvux
où
v
est la vitesse de l'ion et f un coefficient positif qui dépend de
l'encombrement de l'ion et de son cortège de molécules liées.
A la date t0 = 0. l'ion est supposé immobile en 0, origine du repère cartésien Oxyz dans le référentiel lié à la colonne. A cet
instant précis, on applique la différence de potentiel U1 - U2 = 120 aux extrémités de la colonne.
II-2-a) Ecrire l'équation différentielle à laquelle obéit la vitesse v de l'ion en fonction de m, q, E et f.
II-2-b) Déterminer l'expression de la vitesse v en fonction du temps.
II-2-c) Exprimer. en fonction m, q. E et f, le temps t1 au bout duquel une vitesse limite V = constante est atteinte à 5 % près.

II-2-d) On appelle mobilité de l'ion le coefficient  tel que:
v E
.
En prenant comme ordres de grandeurs : m = 10-25 kg ,  = 5.10-8 m2 . s-1 . V-1 et q = 1,6.10-19 C, calculer numériquement
l'ordre de grandeur de t1. Que peut-on en conclure ?
Quel est l'ordre de grandeur de la vitesse limite V ?
En déduire l'ordre de grandeur de la durée possible d'une expérience.
PARTIE III. Etude de la diffusion.
Dans un premier temps, on étudie la diffusion de la zone initiale en l'absence de champ électrique E.
On note n(x,y,z,t) la densité de macromolécules (nombre de macromolécules par unité de volume) au point de coordonnées x,
y et z, à la date t.
A t = 0, on place les macromolécules en x = 0 avec la densité n0.
III-1) Justifier que n ne dépend que de x et de t.
Le modèle utilisé est le suivant : les macromolécules diffusent à travers les molécules du milieu en obéissant à la loi de Fick,
avec un coefficient de diffusion D
j D n x t
xux
,
où
j
est le vecteur densité de flux de macromolécules.
III-2) Quelles sont les unités de j et D ?
III-3) Traduire la conservation de la matière en prenant un système compris entre les abscisses x et x + dx pour trouver une
relation entre
n x t
t,
et
j x t
x,
.
III-4) En déduire l'équation de la diffusion, équation différentielle dont n(x,t) est solution.
III-5) Montrer que la fonction :
n x t A
t
Bx
t
, exp 
2
est solution du problème et calculer B. On admettra que :
An
D
0
4
.
III-6) Tracer l'allure des courbes n(x,t) en fonction de x pour différentes dates.
III-7) On rappelle que pour une fonction de probabilité (loi de GAUSS) :
p x x
1
22
2
2
exp
, la probabilité pour
que Ixl >  est de 5 %.
On appelle largeur de la zone de macromolécules, la longueur  de l'intervalle centré sur x = 0 et contenant 95 % des
macromolécules.
Déterminer l'expression de la largeur de la zone à la date t.
PARTIE IV. Etude du phénomène général.
On étudie simultanément les phénomènes de diffusion et de séparation des différentes zones sous l'influence du champ
électrique appliqué
E
On veut séparer deux sortes de macromolécules (1) et (2), de concentrations initiales identiques n0 en x = 0 (et nulles ailleurs),
de coefficients de diffusion D1 et D2, se déplaçant aux vitesses V1 et V2 sous l'effet du champ électrique.
On prendra les valeurs suivantes : D1 = D2i = 1,0.10-9 u.S.I ; V1 = 20 cm/h ; V2 = 25 cm/h.
IV-1) Par quelques graphiques clairs, représenter n1(x,t) et n2(x,t) en fonction de x pour plusieurs dates : t0 = 0, t 1 > 0 et t2 > t1.
IV-2) A partir de quelle date peut-on séparer les macromolécules si on considère que la séparation est convenable lorsque le
mélange contient moins de 2,5 % de macromolécules (2) dans la zone des macromolécules (1) ?
Remarque : En réalité, on réalise l'expérience pendant une durée plus grande, comme calculé dans la partie II, et on obtient
ainsi des espèces moléculaires beaucoup plus pures.