I- Définition:

RECTANGLE
I- Définition:
Le quadrilatère ABCD a quatre angles droits
ABCD est un rectangle
Un rectangle est un quadrilatère ayant quatre angles droits
II- Remarque:
Si ABCD un rectangle, alors (AB) est parallèle à (DC) et(AD) est parallèle à (BC)
Donc: Tout rectangle est un parallélogramme
III- Symétries:
Un rectangle possède:
- deux axes de symétrie
- un centre de symétrie
IV- Propriétés des côtés:
Soit ABCD un rectangle
Alors:
(AB) est parallèle à (DC)
(AD) est parallèle à (BC)
AB = DC et AD = BC
Dans un rectangle, les côtés opposés sont parallèles et ont la même longueur
V- Propriétés des diagonales:
Soit ABCD un rectangle et O le point d'intersection de ses
diagonales
Alors:
O est le milieu de [AC]
O est le milieu de [BD]
AC = BD
Dans un rectangle, les diagonales se coupent en leur milieu et ont la même longueur
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VI- Quadrilatère ayant trois angles droits:
Construire un quadrilatère ABCD tel que A = B = D = 90
On obtient la figure ci-contre, qui est un rectangle
Si un quadrilatère a trois angles droits, alors ce quadrilatère est un rectangle
VII- Parallélogramme ayant un angle droit:
1) Propriété:
Construire un parallélogramme ABCD tel que A = 90°
1) On trace deux segments [AB] et [AD] perpendiculaires
2) On trace la parallèle à (AB) passant par D et la parallèle à
(AD) passant par B. Elles se coupent en C
On obtient la figure ci-contre, qui est un rectangle
Si un parallélogramme a un angle droit, alors ce parallélogramme est un rectangle.
2) Exemple d'utilisation:
Montrer que KLMN est un rectangle
Le codage indique que les angles KLN et LNM sont égaux.
Donc (KL) est parallèle à (NM) car:
Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles
alternes-internes égaux, alors ces droites sont parallèles.
De plus KL = NM
Donc KLMN est un parallélogramme car:
Si un quadrilatère non croisé a deux côtés parallèles et de la
même longueur, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
De plus l'angle LMN est un angle droit.
Donc KLMN est un rectangle car:
Si un parallélogramme a un angle droit, alors ce parallélogramme
est un rectangle.
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3) Attention:
La phrase "Si un parallélogramme a un angle droit, alors ce
parallélogramme est un rectangle" est fausse si on y remplace le mot
"parallélogramme" par le mot "quadrilatère".
Un quadrilatère ayant un angle droit n'est pas obligatoirement un
rectangle, comme le montre la figure ci-contre
VIII - Parallélogramme ayant ses diagonales de la même longueur:
1) Propriété:
Construire un parallélogramme ABCD tel que AC = BD
Remarque: Pour que ABCD soit un parallélogramme, il faut que
les diagonales se coupent en leur milieu.
On trace donc deux segments [AC] et [BD] de même longueur
et ayant le même milieu O:
On obtient la figure ci-contre, où ABCD est un rectangle
Si un parallélogramme a ses diagonales de la même longueur, alors ce parallélogramme est un
rectangle.
2) Exemple d'utilisation:
Soit IJK un triangle isocèle en K
1) Construire les points L symétrique de I par rapport à K et M symétrique de J par rapport à
K
2) Montrer que IJLM est un rectangle
1) On obtient la figure ci-contre.
2) Par construction des symétriques on a:
K milieu de [IL] et [JM], donc IJLM est un parallélogramme car: Si
les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce
quadrilatère est un parallélogramme
De plus, d'après le codage, IL = JM
Donc IJLM est un rectangle car:
Si un parallélogramme a ses diagonales de la même longueur, alors
ce parallélogramme est un rectangle.
3) Attention:
La phrase "Si un parallélogramme a ses diagonales de la
même longueur, alors ce parallélogramme est un rectangle"
est fausse si on y remplace le mot "parallélogramme" par le
mot "quadrilatère".
Un quadrilatère ayant ses diagonales de la même longueur
n'est pas obligatoirement un rectangle, comme le montre la
figure ci-contre
Sur cette figure on a AC = BD et ABCD n'est pas un
rectangle
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IX - Exercices:
Exercice 1:
Sur la figure ci-contre:
C est un cercle de centre O
[PR] et [QS] sont deux diamètres de ce cercle
Montrer que PQRS est un rectangle
Exercice 2:
1) Calculer la mesure de l'angle GH
2) La parallèle à (GH) passant par I et la parallèle à (HI)
passant par G se coupent en J.
Montrer que GHIJ est un rectangle
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RECTANGLE - CORRECTION DES EXERCICES
Exercice 1:
Comme [PR] et [QS] sont deux diamètres et
O le centre de ce cercle, on a:
O milieu de [PR] et [QS] et PR = QS
Comme O est le milieu de [PR] et [QS],
PQRS est un parallélogramme car: Si les
diagonales d'un quadrilatère se coupent en
leur milieu, alors ce quadrilatère est un
parallélogramme
Comme, de plus, PR = QS, PQRS est un
rectangle car:
Si un parallélogramme a ses diagonales de la
même longueur, alors ce parallélogramme est
un rectangle.
Exercice 2:
1) La somme des angles d'un triangle est
égale à 180°
Donc:
GHI = 180 - (27 + 63) = 180 - 90 = 90°
2) On obtient la figure ci-contre.
Comme (GH) est parallèle à (JI) et (GJ) est
parallèle à (HI), alors GHIJ est un
parallélogramme.
De plus, d'après la première question, l'angle
GHI est un angle droit.
Donc GHIJ est un rectangle car:
Si un parallélogramme a un angle droit alors
ce parallélogramme est un rectangle
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