Le plus court chemin d`un graphe

Le#plus#court#chemin#:#PCC#
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Exemple'd’un'graphe'non'pondéré,'non'valué'
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Voici#un#algorithme#de#bases#pour#tracer#le#plus#court#chemin#de#ce#graphe,#
en#partant#de#s#pour#arriver#à#t!
!
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L’arbre#des#distances#de#ce#graphe#:#
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On#en#déduit#un#tableau#des#parents,#par#exemple#4#a#pour#père#6,#donc#à#la#case#4,#on#
mettra#6#au#dessus#
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2#
2#
2#
6#
3#
2#
1#
2#
3#
4#
5#
6#
Formalisation#:##
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#I#:#G#=#(V,E),#S#∈#V#(depart),#t#(arrivé)#
S#:#{path#(S,t)G#}#
F#:#|#path#(S,t)G#|#
Opt#:#min#
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"!#!$%!
&!#!'!
()*+,!!&!-#!.!/!
!"0*1.,2'345&6!
!&!#!7$&%!
",'&21!"0*1.,2'345.6!
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Problème'du'plan'du'métro'paris'
On#cherche#à#trouver#le#plus#court#chemin#entre#2#stations#données#(s#station#de#départ,#
t#d’arriver).#
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Formalisation#:#
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𝐼∶𝐿=𝐿!,…𝐿!" !𝑡,𝑠!!𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛##
𝑆∶{!𝑆!,𝑆!,…𝑆!" !!!/!!∀!𝑖!1≤𝑖<𝑘−2!!∃!𝜆!𝑡𝑞!𝑠!!∈𝐿!!∧𝑠!!!!!∈𝐿!!!∧𝑠!!!!!∉𝐿!!!!##
f#:#k#
opt#:#min#
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G=#(V,E)#
𝑉={!𝑆𝑡!,…,𝑆𝑡!"#}##
𝐸={𝑥,𝑦!!!/!!#∃!𝑖!𝑥!∈𝐿!!!𝑒𝑡!𝑦!∈𝐿!!}#
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TD'partie'1'
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Exemple#d’un#graph#à#cycle#:#
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On#a#un#cycle#négatif,#
ex#ici#en#calculant#les#distances#si#on#fait#3#tours#:#
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sU>##((5#+#2#–#8#+#1#+#4#=#4)#+#2#–#8#+#1#+#4#=#3)#+#2#–#8#+#1#+#4#=#2#U>t#
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On#fait#U1#à#chaque#fois#que#l’ont#a#fait#un#tour#complet#
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On#obtient#une#loi#tel#que#:#
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𝑠!≡𝑆!!𝑒!
→𝑆!!𝑒! →𝑆!!𝑒! →…!𝑆!!!!𝑒! →𝑆!≡𝑡#
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min 𝑤(𝑒)
!!∈!"#!!,!!
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Exemple#d’estimation#:#
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Estimation#:#on#donne#un#chemin#le#plus#cours#provisoire#
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En#partant#de#s,#si#on#cherche#à#passer#par#z#pour#atteindre#x#plus#vite,#si#on#met#entre#z#
et#x#la#valeur#55,#on#a#pas#améliorer#le#chemin#provisoire,#car#50+55#>#100,#mais#si#on#
met#35#entre#z#et#x,#on#l’a#améliore,#le#chemin#provisoire#w(z,x)#+#le#chemin#de#s#à#z#est#
plus#court#que#celui#de#s#à#x.#
##
On#dit#alors#que#w(z,x)#est#tense#car#8*.'$9%!:!8*.'$;%!<!=3;596#
!
Arrête#tense#:##
Arrête#qui#contribue#a#changer#un#schéma#provisoire#(ici#w(z,x))#
lorsqu’on#trouve#une#arrête#tense#satisfaisable,#on#a#trouvé#le#plus#cours#chemin#
!
ici#on#a#donc#choisis#35#comme#valeur#à#w(z,x)#car#100#>#50#+#35,#on#attribue#donc#à#x#
une#nouvelle#distance#:#dist[x]#<U#85#
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Algorithme'noyau(G,u)'
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8*.'!#!$∞!𝑓𝑜𝑟!𝑢!𝑖𝑛!𝐺%!
>#?.@!
=)*+,!>!/!
!;!#!>08,+,.,36!!U>#on#prends#un#élément,#on#le#choisis#et#on#le#vide#
!AB2!9!*1!C8D$;%!
! ! *A!𝑀!
!!*.!',1.,!
!!!8*.'$9%!EF!8*.'$;%!<!=3;596!
!!!>0C88396!
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Nota#bene#:#𝑀!
!#le#chemin#de#x#à#z#
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Cet#algorithme#est#une#adaptation#de#l’algorithme#de#ford#en#1956,##ainsi#que#celui#de#
Dijkstra
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Algorithme#du#schéma#:#la#plus#petite#distance#entre#un#point#et#un#autre#sommet#
quelconque#
#
8*.'!#!$∞!𝑓𝑜𝑟!𝑣!𝑖𝑛!𝐺]!
8*.'$.%!#!4!
7$.%!#!.!
>!#!G!
=)*+,!>!/!
!;!#!>08,+,',FH*136!!
!!!!!!!!!!!//on#supprime#le#sommet#avec#le#plus#petit#chemin!provisoire#:#O(v)!
AB2!9!*1!C8D!$;%!
! ! *A!8*.'$9%!:!8*.'$;%!<!=3;596!
!!!8*.'$9%!#!8*.'$;%!<!=3;596!
!!!7$9%!#!;!!F:!I,2,!8,!9!#!;!
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On#calcule#la#complexité#de#l’algorithme#:#
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𝑂𝑣+![𝑂𝑣+!𝑂(𝐸)]
!!!"!!
=𝑂𝑣+𝑣!+𝐸=!𝑂(𝑣!+𝐸)!#
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O(v)#
On#a#calculé#pour#chaque#
sommet,#la#valeur#du#plus#
court#chemin#en#partant#de#a#
(notre#point#de#départ#s),#et#
on#l’a#noté#en#bleu#à#coté#de#
chaque#sommet#(sauf#d,#qui#
est#égal#à#4#évidement)#
#

Algorithme'DIJKSTRA(G,u)'
#
J*.'!#!$*1A*1*'K!AB2!&!*1!L%!
J*.'$.%!#!4!
7$.%!#!.!
>!#!M!
()*+,!>!/!
!;!#!>08,+,',NH*136!
! ! AB2!9!*1!C8D$;%!/!
!!!",+C93;596!
O!
2,'&21!E!75!8*.'!:!!
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Méthodes#pour#les#tris#par#tas#(heap#=#tas)#
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Heap_push#(heap,#item)#
Heap_pop(heap)#
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