1 Soit ABC un triangle, H son orthocentre et O le centre du cercle circonscrit à ABC. Notons E et F les points d’intersection de la médiatrice du segment [A ;C] avec les droites (CH) et (AH). Notons D et G les points d’intersection de la droite (BH) avec les médiatrices des segments [BC]et [AB]. Démontrer que HDOF et HGOE sont des parallélogrammes. A O E B F D G H C H A' 2 Soit C un cercle de diamètre [AB], A’ et B’ deux points de C tels que (AA') et (BB’) sont sécantes en H, et (AB') et (A'B) sont sécantes en C. Démontrer que (CH) est perpendiculaire à (AB). C B' C A' 3 Soit ABC un triangle, H le projeté orthogonal de A sur (BC), A' le milieu du côté [BC], D et E les projetés orthogonaux de A' sur (AB) et (AC). Démontrer que A, A', D, E et H sont sur un même cercle dont on précisera un diamètre. A D B 4 Soit ABCD un carré dont les côtés mesurent 4 cm, I est le point du côté [A ;B] tel que AI =1 cm, La parallèle à (AC) passant par I coupe (BC) en J. La parallèle à (BD) passant par J coupe (DC) en K. La parallèle à (AC) passant par K coupe (AD) en L. 1° Démontrer que le quadrilatère IJKL est un rectangle dont on précisera les dimensions. 2° La droite (BD) coupe (IJ) en E. Calculer l'aire du triangle IBJ, puis la longueur BE. C F D 30° A B E H B A E D K C J E L A I 5 On a fait à main levé la figure ci-contre avec les conditions suivantes (en plus de celles indiquées sur la figure) D est le projeté orthogonal de B sur (CE) F est l'intersection de (BD) et (AC) L'angle ;EAC mesure 30° Les distances BF et CF sont égales 1° Que peut-on dire des angles suivants a) ;EAC et ;DFC ? b) ;DFC et ;AFB ? c) ;AFB et ;BFC ? 2° Calculer les mesures des angles ;FBC et ;FCB 3° On sait que : AE = 10 et FD = 5 a) Calculer CE, CD et DE b) Que représente F dans le triangle .ACF? En déduire la distance FB. B Aide à la démonstration. 1 Dans le triangle ABC (HD) est une hauteur donc (HD) (AC) (OF) est la médiatrice de [ AC ] donc (OF) (AC) (HD) (AC);(OF) (AC) } donc (OF) // (HD). De même (OD) (BC) car (OD) est la médiatrice de [ BC ];(FH) (BC) donc (OD) // (FH) HDOF a ses côtés parallèle deux à deux c'est donc un parallélogramme. Même chose pour HGOE car (FH) est la hauteur issue de A } 2 A' est sur le cercle de diamètre [ AB] donc (AA') (A'B) donc, dans le triangle ACH, (A'B ) est la hauteur issue de C. De même B' est sur le cercle de diamètre [ AB] donc (AB') (B'B) donc, dans le triangle ACH, (B'B ) est la hauteur issue de H. Les droites (A'B) et (BB') se coupent donc en B orthocentre du triangle AHC. (AB) est donc la troisième hauteur donc (AB) (CH). (AH) (A'A) donc H est sur le cercle de diamètre [ AA' ]. (A'D) (DA) donc D est sur le cercle de diamètre [ AA' ]. (A'E) (AE) donc E est sur le cercle de diamètre [ AA' ]. 3 H projeté orthogonal de A sur (BC) donc (AH) (A'H) donc H est sur le cercle de diamètre [AA'] D projeté orthogonal de A' sur (BA) donc (A'D) (AD) donc D est sur le cercle de diamètre [AA'] E projeté orthogonal de A' sur (AB) donc (A'E) (EA) donc E est sur le cercle de diamètre [AA'] 4 1° (IJ) // (AC) et (AC) // (LK), (LI) // (BD) et (BD) // (KJ). On a donc (IJ) // (LK) et (IL) / ;/ (KJ) donc IJKL est un parallélogramme. (IJ) // (AC);(IL) // (BD);(BD) (AC) } donc (IJ) (IL). IJKL est donc un rectangle. 2° BIJ est rectangle en B donc Aire(BIJ) = Error! BI BJ = Error! 3 3 = Error! Dans le triangle BIJ [ BE ] est la hauteur relative au côté [ IJ ] Aire (BIJ) = Error! BE IJ. NIJ est rectangle isocèle en B donc IJ = BI Error! = 3 Error!. On a : Error! BE 3 Error! = Error! donc BE = Error! = Error!. 5 1° a) b) c) 2° ;EAC et ;DFC sont "correspondants" ;DFC et ;AFB sont "opposé par le sommet" ;AFB et ;BFC sont "supplémentaires" ;AFB = ;EAC = 30° donc ;BFC = 180° – ;AFB = 150° BFC est isocèle en F donc ;FBC = ;FCB = Error! = 15° 3° Dans le triangle CDF rectangle en D : tan ;CFD = Error! donc Error! = Error! donc CD = 5 Error! = Error! Dans le triangle AEC rectangle en E : tan ;CAE = Error! donc Error! = Error! donc CE = 10 Error! = Error! DE = CE – CD = Error! – Error! = Error! 4° On a CD = DE et D [CE] donc D est le milieu de [CD] (On pouvait le démontrer sans calculer CD et CE avec le théorème de Thales). Dans le triangle ACE on a : D est le milieu de [CE];(FD)//(AE) } donc F est le milieu de [AC] Comme ACE est rectangle en E F est le centre du cercle circonscrit au triangle.