Mémoire d`actuariat - Ressources actuarielles

Portefeuilles répliquant et calcul du capital économique
en assurance vie: nouvelles approches de calibration
TOUKOUROU Ademola
Tuteur en entreprise: VISCUSO Jeremie
Tuteur Pédagogique ISFA: Bienvenüe Alexis
ISFA, Mars 2013

Résumé
Dans le cadre de la mise en oeuvre sous Solvabilité 2 d’un modèle interne, les assureurs
vie sont très souvent limités dans le choix d’une méthode efficace d’obtention de la distri-
bution des fonds propres économiques à 1 an. En effet la méthode des simulations dans
les simulations s’avère couteuse en temps de calcul et ne constitue pas une solution pé-
renne dans le cadre d’un processus de calcul trimestriel du SCR de marché. Le recours
à des proxy pour l’évaluation des passifs est donc indispensable. Parmi les alternatives
possibles au SdS classique, la méthode des replicating portfolio s’avère très efficace pour
accélérer ces calculs et repose sur un principe assez simple : utiliser un portefeuille d’actifs
financiers reproduisant la valeur économique des passifs. L’utilisation de cette méthode
soulève toutefois de nombreuses interrogations dont deux cruciales qui vont nous intéres-
ser particulièrement dans ce mémoire :
– Comment choisit-t-on les actifs candidats qui vont composer le portefeuille connais-
sant la structure du portefeuille ? Une automatisation ou au moins une accélération
de cette étape du processus est-t-elle possible ?
– Une fois les actifs candidats choisis, quelle est la méthode de calibration la plus
efficace des poids du portefeuille pour une estimation la plus précise de la Value-at-
risk à 99,5% ?
Nous présentons dans ce mémoire des pistes pour répondre à ces deux questions que
nous avons développées dans le cadre de l’amélioration de la méhodologie d’AXA pour le
calcul de son Solvency Capital Requirement (SCR) de marché.
Mots clés : Solvabilité 2, modèle interne, régression PLS, régression LAR, Orthogonal
Matching Pursuit, portefeuille répliquant, cashflow mismatch, simplexe, optimisation, gé-
nérateur de scénario, modèle ALM, risque de marché, SCR.

Abstract
In the framework of the implementation of Solvency 2 internal model, life insurers are
often limited in choosing an effective method for obtaining the one-year time horizon
distribution of own funds. Indeed the classical full nested method is expensive in compu-
tation time and is not a permanent solution in the framework of calculating the market
SCR on a quarterly basis. The use of proxy for the valuation of liabilities is essential.
Among the possible alternatives to traditional full nested solution, the method of re-
plicating portfolio is very effective in accelerating these calculations based on a simple
concept : use a portfolio of financial assets reproducing the economic value of liabilities.
The use of this method, however, raises many questions which are both crucial and that
will particularly interest us in this paper :
– How does one choose the candidates who will compose active portfolio knowing the
structure of the liabilities ? Is an Automation or at least acceleration of this stage
of the process possible ?
– Once the assets candidates have been selected, what is the most efficient calibration
method of the portfolio weights that will be the most accurate estimate of the 99.5
% value-at-risk ?
We present in this paper ways to answer these two questions that we developed in the
context of improving the AXA’s mehodology for computing the market SCR.
Keywords : Solvency 2, internal model, Partial Least Square regression, Least Angle
Regression, Orthogonal Matching Pursuit, portefeuille répliquant, cashflow mismatch,
simplex method, optimisation, economic scenario generator, Asset Liability Manage-
ment (ALM) model, market instruments, SCR.
2

Table des matières
Remerciements 4
Introduction 5
I La directive Solvabilité 2 7
1 Rappels sur Solvabilité 1 8
2 Focus sur Solvabilité 2 10
2.1 Pilier 1 : Exigences en capital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Pilier 2 : Activités de contrôle et de supervision . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Pilier 3 : Discipline de marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Modèle Interne vs Formule Standard 12
3.1 Laformulestandard ............................. 14
3.2 Les approches par modèle interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.1 Les Simulations dans les simulations . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.2 L’accélérateur SdS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.3 Lecurvefitting ............................ 17
3.2.4 LaméthodeLSM........................... 19
II La méthode des replicating portfolio 22
4 Généralités 23
4.1 Réplication parfaite à l’aide de Zéro-Coupons . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2 La participation aux bénéfices et les calls . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5 Description de la méthode des replicating portfolio pour le calcul du
SCR à 1 an 26
5.1 Actifs candidats à la réplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.2 Résolution du programme d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.3 Validation du portefeuille répliquant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.3.1 Validation statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.3.2 Analyse de la structure générale du portefeuille . . . . . . . . . . 31
5.3.3 Validation sur des sensibilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.4 Application du portefeuille répliquant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1

III Applications à un portefeuille d’épargne Euros 33
6 Description du portefeuille 34
6.1 LeModèleALM................................ 34
6.1.1 Modélisation du passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.1.2 Modélisation de l’actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.2 Le Générateur de scénario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.2.1 Les univers monde réel et risque-neutre . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.2.2 LemodèleAction........................... 37
6.2.3 Lemodèledetaux .......................... 38
6.2.4 Discrétisation des processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.2.5 Génération des déflateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.2.6 Test de martingalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.3 Calibration des portefeuilles : Réplication de passifs ou de marges ? . . . 41
6.3.1 PortefeuilleA............................. 42
6.3.2 PortefeuilleB ............................. 44
6.3.3 PortefeuilleC ............................. 45
6.3.4 Calibration des portefeuilles : vision marges . . . . . . . . . . . . 46
7 Développements réalisés 48
7.1 La régression Partial Least Square (PLS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7.1.1 Présentation de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7.1.2 Présentation des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.2 CashFlowmismatch ............................. 58
7.2.1 Initialisation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.2.2 Absolute CashFlow mismatch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.2.3 Conditional Value-at-risk mismatch . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.2.4 Conditional Value-at-risk and Absolute mismatch . . . . . . . . . 67
7.2.5 Conclusion............................... 69
7.3 Sélection automatique des instruments financiers . . . . . . . . . . . . . . 70
7.3.1 Least Angle Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.3.2 Orthogonal matching pursuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.3.3 Conclusion............................... 87
Conclusion 89
Annexe 91
Bibliographie 121
2