pression du milieu cosmique

PRESSION DU MILIEU COSMIQUE
CONSEQUENCES
Philippe Magne
Mars 2004
Introduction
Habituellement, la pression est définie comme une densité superficielle de force, ce qui
permet de calculer la force qui s’exercerait sur une paroi plane de surface connue.
Ajoutons que cette force ne peut exister que si la pression est plus grande d’un côté de la paroi
que de l’autre.
Dans l’univers uniforme, tous les endroits sont pareils et la pression est la même partout, il
n’y a pas de gradient de pression, aucune force comme celle évoquée ci-dessus ne peut se
manifester.
Alors, on peut se poser la question : comment la pression peut-elle affecter l’expansion ?
Pour répondre, il faut prendre conscience que la pression est une forme de l’énergie, laquelle
comme toutes les autres énergies, est source de gravitation à cause de l’équivalence masse
énergie exprimée par la célèbre formule E = m c²
Traduite dans le langage de la Relativité Générale, la pression contribue à courber l’espacetemps comme le fait la présence de la matière.
D’une façon très simple on peut montrer le caractère énergétique de la pression P par
l’analyse dimensionnelle suivante :
Classiquement P 
Force
F
 2
Surface L
(1)
Si l’on multiplie le numérateur et le dénominateur de cette fraction par une longueur L , on ne
change pas la dimension de P, on aboutit à :
P
F L F  L Energie
  3 
 densité d’énergie
Volume
L2 L
L
(2)
Champ de gravitation et Pression, conséquences
D’une manière générale le champ de gravitation peut s’écrire :

GM
( 3 )  formule qui exprime une accélération négative
R2
G  CUG  6.62  1011
M = masse en kg
R  distance au centre de gravité en mètres
R
Si l’on considère un volume sphérique de rayon R la masse M est égale au produit de ce
volume par la densité  . Etant donnée l’équivalence masse énergie il faut grever la densité de
la pression P convertie en masse
P
c²
Plus exactement de
3P
parce que le milieu est isotope et homogène, la pression existe dans
c²
les 3 dimensions de l’espace ( équipartition de l’énergie )
M
4 3 
3P 
R  

3
c² 

(4)
Pour alléger l’écriture faisons c  1 , le champ de gravitation s’écrit alors :
4 G R3
R
(   3P )
3 R2

(5)
Voyons maintenant comment on peut mettre en évidence la contribution de la pression à la
dynamique de l’expansion. Pour cela il faut établir une relation où interviennent à la fois la
pression et la constante de Hubble.
On part de l’équation de Friedmann :
4 GR3
2

1
kc ²
3
R 

2
R
2
(6)
Différentions cette équation par rapport au temps :
 
R R
Bien noter que
l’occurrence )
 
4 G  2 d 
R

2

R
R
0 (7)
3 
dt

 est une fonction du temps au même titre que R ( facteur d’échelle en

Portons l’expression de R ( 5 ) dans cette expression, il vient :

 
4 G 
4 G  2 d 
R R (   3P ) 
R

2

R
R
0
3
3 
dt

D’où l’on tire :

3R R   R 2

d
 3PR R
dt
(8)
(9)
En multipliant par R les deux membre de cette dernière équation on aboutit à :

d
2
3R R   R
 3PR R ( 10 )
dt
2

3
On aura reconnu dans cette expression les dérivées ci- dessous :
d ( R3  )
d ( R3 )
 P
dt
dt
( 11 )
d ( R3  ) est une variation différentielle d’énergie en raison de l’équivalence masse énergie
d ( R 3 ) a la forme d’une variation différentielle de volume
On retrouve ainsi l’équation d’état classique :
dE  PdV ( dans la condition adiabatique ) ( 12 )
Dans la phase actuelle de l’expansion on peut admettre que la pression est nulle, mais il n’en
fut pas toujours ainsi comme nous le verrons plus loin.
Si la pression est nulle on a :
d ( R3  )
 0 ( 13 )
dt
Ce qui exprime la conservation de la masse, d’où l’égalité R
3
  R03 0 = Cte , l’indice 0
signifiant que les paramètres sont pris au temps présent t0
Revenons maintenant à l’expression générale ( 10 ) pour introduire la constante de Hubble

3 R 2 R  R3
Divisons tous les termes par R

d
 3PR 2 R
dt
( 14 )
3


R d
R
3 
 3 P
R dt
R
( 15 )

R
 H constante de Hubble ( constante partout dans l’espace, mais pas dans le temps )
R
Il vient alors
d
 3H (   P)
dt
( 16 )
Phases de l’expansion de l’univers
Trois sortes d’énergies interviennent par leur équivalent massique.
Par ordre d’entrée en « scène » :

Le rayonnement électromagnétique ( EM ) du corps noir cosmologique à très haute
température à partir duquel se formèrent toutes les particules pendant son
refroidissement.
Ce rayonnement est encore perçu aujourd’hui comme bruit cosmique que l’on appelle
aussi Fond Diffus Cosmologique ( FDC ) ou Cosmic Microwave Background ( CMB )
Sa température a été mesurée avec précision, elle est de 2.725 K

La matiére sous toute ses formes, noire non baryonique, noire baryonique et lumineuse
baryonique ( galaxies et étoiles )

La quintessence ou énergie noire répulsive du vide découverte récemment ( de façon
indirecte ) en constatant que l’expansion s’accélère.
Nous verrons que cette composante a la particularité d’avoir une pression négative.
C’est une notion un peu difficile à comprendre, elle a le sens d’une contrainte en
expansion, la pression peut s’annuler bien que la densité ne soit pas nulle, ce qui peut
mettre sur la voie de son adoption.
Pression dans la phase où l’EM gouverne l’expansion
Pour mieux analyser son rôle on se place dans la condition où elle supplante les deux autres
énergies, c’est à dire lorsque l’univers primordial est uniquement composé de radiations EM,
les particules de matière naissante sont ultra relativistes et se comportent comme des photons,
on assimile le milieu à un gaz de photons.
Voyons maintenant en quoi la vitesse des particules intervient.
Dans un gaz, la vitesse du son est donnée grossièrement par la formule approximative :
1
2
P
v 

 est la densité du gaz ( 17 )
Nous pouvons aussi écrire cette équation en divisant les deux membres par la vitesse de la
lumière c
1
v  P 2

c   c ² 
avec
 c 2  densité d’énergie du gaz de photons ( 18 )
On peut ainsi mettre en évidence l’importance de la pression par le rapport
v
c
Classiquement on sait que la vitesse du son est en gros égale à la moyenne des vitesses des
particules qui le composent, laquelle en général est beaucoup plus faible que celle de la
lumière.
Un ordre de grandeur est que
P
1012 ( 19 )
 c²
Ce qui permet de négliger la pression quant à son effet gravitationnel.
Mais en ce qui concerne l’univers primordial il en va tout autrement car la température est
extrêmement élevée, toutes les particules sont assimilables à des photons qui se déplacent à la
vitesse de la lumière
Une conséquence importante en découle :
La pression a un effet exactement opposé à celui auquel on pourrait s’attendre, la pression
ralentit l’expansion en accroissant les forces de gravitation.
Nous allons analyser cette effet en isolant par la pensée un cube transparent, figure 1, au sein
du corps noir cosmologique; les photons y circulaient en tous sens, ne pas confondre ce
mouvement avec l’expansion dont la vitesse apparaît radiale et proportionnelle à la distance à
l’observateur qui se trouve à l’origine du référentiel comobile .
Figure 1
La figure 1 montre que tout ce qui entre dans ce cube en ressort en vertu de l’isotropie et de
l’homogénéité du milieu.
Si les parois de ce cube étaient parfaitement réfléchissantes rien ne changerait dans l’espace
contenu dans ce cube.
Les vecteurs représentés par des flèches sur cette figure sont les forces de pression qui
s’exerceraient si les parois étaient matérielles, la pression interne compenserait exactement la
pression externe.
Le bref séjour du rayonnement à l’intérieur de ce cube transparent donne la valeur de
l’énergie qui semble y séjourner, elle est égale à 3P
Si les arêtes de ce cube font 1mètre alors nous obtenons la densité d’énergie  r du milieu
Réciproquement P 
r
3
Il nous faut maintenant introduire la température. On sait que la densité d’énergie du corps
noir est proportionnelle à la quatrième puissance de la température T
 r  7.5656  1016  T 4 en Joules / m3
( 20 )
Une autre propriété du corps noir est que le produit de chaque longueur d’onde
température T est égale à une constante :
T  C te
 par la
( 21 )
Par ailleurs, l’expansion étale les ondes ( phénomène du red-shift ) proportionnellement au
facteur d’échelle « a » :
  Ka ( 22 )
D’où la relation donnant la densité du rayonnement en fonction du facteur d’échelle et de la
température :
r 
7.5656  1016  T 4
a4
( 23 )
Exemple, à l’époque actuelle, a  1 et T  2.725K on trouve :
 r  4.17  1014 J / m3 ou 260keV / m3
Par comparaison, la densité de la matière est équivalente à une énergie de :
0.27  densité critique =1.43GeV soit environ un proton par mètre cube
Finalement la densité totale d’énergie qui courbe l’espace-temps dans la phase primordiale est
égale à
 r  3P et comme P 
r
3
cela fait 2  r , ce qui confirme l’effet ralentisseur de la
pression du rayonnement EM, en doublant la densité d’énergie.
Indiquons que le modèle consensuel de l’histoire de l’univers, ainsi que les observations
conduisent à l’assimiler grossièrement à un corps noir dont la température décroît comme
l’inverse de la racine carré du temps :
1.3  1010 0
en K , t s en secondes
ts
T
( 24 )
Exemple, lorsque l’univers était âgé de 1 seconde, la température était de 1.3  10 K , et la
pression :
10
P
r
3

7.5656  1016  T 4
3
7  1024 J / m3
( 25 )
C’est une pression fantastique, traduite en densité de force superficielle cela fait :
7  1024 Newtons / m 2
La figure 2 montre la décroissance de la pression en fonction du facteur d’échelle dans
l’intervalle :
2  1010  a  103
3
La limite supérieure 10 a été choisie parce que pour cette valeur de « a » la température a
chu à aux alentours de 3000K , l’énergie cinétique des électrons devient si faible que les
protons peuvent les capter, le milieu devient un gaz d’hydrogène.
La pression, peu avant cette capture était de l’ordre de 3.6  10
après elle chute d’un facteur 10
9
2
J / m3 ou 20GeV / m3
, on peut alors la considérer comme pratiquement nulle.
Le calcul montre que cet événement se produit lorsque l’âge de l’univers est de 379000 ans,
l’univers devient transparent aux photons car leur temps de libre parcours est alors supérieur à
cet âge.
En fonction du facteur d’échelle a
2  1010  a  103
Figure 2
Pression dans la phase actuelle où la matiére gouverne l’expansion
On peut la considérer comme nulle comme on vient de le montrer, mais ce n’est pas tout à fait
exact.
Des observations ont montré que l’expansion s’accélère, elle a été décelée à z = 0.43,
l’univers était alors âgé de 9 milliards d’années.
La cause en est attribuée à une énergie répulsive du vide, noire, dans le sens où elle ne
s’accompagne pas d’émission de lumière.
Pression négative de l’énergie répulsive du vide et conséquences
Rappelons comment on en est venu là !
C’est en constatant un petit écart de la magnitude apparente de certaines sources de lumière
considérées comme des étalons de luminosité .
La méthode est assez semblable à ce qu’avait proposé Allan Sandage en 1961, une déduction
que l’on peut faire à partir d’un diagramme magnitude apparente / red shift..
Il s’agit d’une comparaison entre deux courbes, l’une calculée à partir d’un modèle, et, l’autre
construite à partir de résultats d’observation.
La concordance ou l’écart entre les deux courbes permet de confirmer ou d’infirmer la
vraisemblance du modèle, de le perfectionner éventuellement.
Tout cela a été rendu possible grâce à ces nouveaux étalons de luminosité évoqués ci-dessus,
à savoir l’éclat de lumière gigantesque produit par l’explosion d’étoiles appelées supernovae
type Ia.
La découverte de l’accélération de l’expansion de l’univers est attribuable au « Supernova
Cosmology Project » ( Perlmutter et al 1998). On jugera de la prouesse sachant que l’écart
révélateur est de 0.25 magnitude à z = 0.43, le signe de cet écart indique que c’est bien d’une
accélération dont il s’agit.
Ce résultat a été confirmé par d’autres observations notamment celles du télescope spatial
Hubble.
La physique ne peut encore expliquer l’existence et la nature de l’énergie répulsive
responsable de cette accélération, c’est un vaste chantier qui s’ouvre aux chercheurs.
En attendant l’élucidation de cette mystérieuse énergie répulsive vide, il a suffit d’ajuster la
constante cosmologique d’Einstein et d’autres paramètres cosmologiques pour qu’un modèle
respecte un certain nombre de contraintes et soit en accord avec les observations de plus en
plus précises des astronomes.
On se souviendra qu’Einstein avait introduit sa constante cosmologique  pour annuler
l’attraction gravitationnelle et éviter que son modèle ne s’effondre sur lui même, convaincu
par ailleurs que l’univers est statique et immuable comme le sens commun l’admettait à
l’époque où l’expansion n’avait pas encore été découverte ni confirmée par Hubble.
D’autres cosmologistes comme Eddington et Lemaître mettaient en doute la stabilité de
l’équilibre imaginé par Einstein !
Actuellement, et, confirmée par la mission WMAP, les contributions respectives des trois
potentiels qui gouvernent l’expansion , exprimées dans l’unité densité critique, les omégas :
Rayonnement EM et neutrinos
Matière sous toutes ses formes
Energie répulsive du vide (  )
 r  0.000082392
m  0.27
  0.73
En tenant compte du facteur d’échelle « a » la somme de ces trois potentiels s’exprime par :
0.27
0.000082392
 0.73a 2 
a
a2
( 26 )
Lorsque « a » est grand, voisin de l’unité ou supérieur à l’unité, c’est l’énergie répulsive du
vide qui l’emporte sur toutes les autres.
Son émergence peut être évaluée par l’égalité : matière = énergie répulsive du vide
0.27
 0.73a 2  a  0.717
a
( 27 )
1
on en déduit que z  0.393 red shift voisin de l’observation citée
a
précédemment z  0.430
Sachant que 1  z 
Voyons maintenant ce qu’implique l’accélération de l’expansion :
4 Ga 3
a
(   3P )
a2

La dérivée seconde du facteur d’échelle doit être positive
Ce qui implique que
  3P  0
( 28 ) ( a facteur d’échelle normalisé à l’unité pour t0 )
L’équation d’état, relation entre la pression et la densité, P  w , peut satisfaire ( 28 ) si par
exemple w  1
Alors, l’accélération est positive et la pression négative.
Calculons maintenant l’énergie répulsive du vide lorsque a  1 , d’après ( 26 ) elle est égale à
3H 02
10
3
26
3
0.73 fois la densité critique
qui vaut environ 10 kg / m ou 8.5  10 J / m ou
8 G
3
5.3GeV / m soit environ l’équivalent de 5 protons par m3 .
D’où l’énergie répulsive du vide au temps présent :
   5.3  0.73  3.87GeV / m3 ou 3.87keV / cm3
Elle dépend évidemment de la constante cosmologique d’Einstein  , nous supposerons dans
ce qui suit qu’elle est à la fois constante dans l’espace et le temps.
Alors,
   3P avec P  w      vaut 7.74GeV / m3 ( 28 )
Reste en compétition pour la gouvernance de l’expansion à la fois l’énergie répulsive du vide
avec sa pression négative et la matière sous toutes ses formes dont la densité décroît comme
l’inverse du cube du facteur d’échelle a
3
.
Pour a  1, cette densité exprimée en énergie équivalente vaut 0.27 fois la densité critique
exprimée dans la même unité soit 1.43GeV / m
3
L’énergie totale qui gouverne l’expansion a donc la forme suivante :
1.43
1.43
    3P  3  7.74
3
a
a
( 29 )
La figure 3 montre que l’énergie qui gouverne l’expansion et l’accélère, tend, lorsque le
facteur d’échelle a devient grand, vers la limite :
   3P  7.74GeV / m3 ce qui implique que
d (    P)
0
dt
Question importante, quelle en est la conséquence ?
Il est facile de montrer que l’expansion devient exponentielle.
Pour cela, reprenons l’équation de la dérivée seconde du facteur d’échelle a ( normalisé à 1
pour t = t0 ) :
d 2a
4 Ga3    3P 
4 Ga    3P 






3  c 2 
dt 2
3a 2  c 2 
Le terme c² a été introduit pour la cohérence des unités, a est en mètres
4 G     3P 
 3.856  1036


2
3  c

L’équation à résoudre pour obtenir a(t ) est la suivante :
On trouve que 
d 2a
 3.85  1036  a
2
dt
( 31 )
( 30 )
. Figure 3
La solution s’obtient de la façon classique :
2
da d 2 a
da
 2  2  3.85  1036  a
dt dt
dt
( 32 )
Après une première intégration on obtient :
2
 da 
36
2
   3.85  10  a
 dt 
( 33 )
Après une deuxième intégration on aboutit à :
 t

a  exp 
17 
 5  10 
( 34 )
Expression dans laquelle t est en secondes
En conclusion
La constante de temps de l’expansion sera de 5  10 secondes soit environ 16 Giga ans
tous les 16 milliards d’années l’univers s’accroîtra par un facteur 2.718281828
17
La figure 4 montre l’évolution du facteur d’échelle dans un futur lointain si la constante
cosmologique est vraiment constante dans l’espace et dans le temps comme nous en
avons fait l’hypothèse
Figure 4
Remarque
Une expansion qui ne cesse de s’accélérer a pour conséquence que le facteur d’échelle devient
une fonction exponentielle du temps, cela a une conséquence surprenante comme nous allons
le montrer.
Les relations suivantes entre pression, volume, et densité, doivent être satisfaites
dE  PdV
( 30 )
et si la pression P est négative et égale à - 
dE   dV
Par ailleurs

E
V
( 31 )
( 32 )
Différentions cette dernière expression
dE   dV  Vd 
( 33 )
On constate que ces relations ne peuvent être satisfaites que si d   0 , cela signifie que
la création d’espace s’accompagne de création de masse énergie puisque la densité reste
constante.
C’est une contrainte qui rappelle celle de l’inflation qui a précédé l’expansion classique.
On peut imaginer cette création de masse énergie un peu à la façon dont Hawking explique le
rayonnement des trous noirs.
L’expansion accélérée devient si rapide que pendant la courte vie des particules et
antiparticules virtuelles du vide quantique leur distance respective dépasse la portée de
l’interaction d’annihilation .
De ce fait elles deviennent réelles et perdurent.
En somme ce sont les relations d’indétermination d’Heisenberg qui se trouvent violée
d’une certaine façon.
Nota : la durée maximum de l’emprunt d’énergie nécessaire pour que naissent un proton et un
antiproton virtuels est de l’ordre de 10
25
seconde.
Conclusion génerale
L’importance de la pression dans le déroulement de l’expansion ne saurait être sous-estimée.
L’analyse de son influence conduit à distinguer trois phases successives qui correspondent à
la suprématie de chacune des trois composantes qui habitent le milieu cosmique.
De l’équation ( 16 ) on tire
d
 4 H 
dt
( 34 )
P0
d
 3H 
dt
( 35 )
P  
d
0
dt
( 36 )
P

3