Sur un espace abstrait de Hilbert H, on définit les états T, vecteurs

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Annexe F. L’appareil mathématique de la physique quantique et de la
théorie quantique des champs. Quelques résultats expérimentaux récents.
Les théories de cordes.
NB. 1. A côté de questions, que j’espère avoir éclairées, j’en ai rencontré
beaucoup d’autres, auxquelles je n’ai pas de réponse. Elles sont posées, en notes
en caractères « arial », à mesure de leur apparition dans ce « text in progress ».
Là où – sans être sûr de la réponse – je penche d’un côté, je l’indique par un (oui ?)
ou un (non ?). Les questions proprement dites sont mises en italiques. Leur
numérotation peut comporter des trous : ils correspondent à des questions
antérieures, qui ont trouvé leur solution. Je serai reconnaissant à mes lecteurs de
me donner (par courriel – [e-mail]) leur point de vue, ou de
m’indiquer quelles lectures ils pourraient me recommander.
2. Les références de type 14-4B concernent la section 4B du chapitre 14
de « Science et philosophie ».
3. Rappelons que la physique quantique est traitée au chapitre 4 de
« Science et philosophie ». Depuis la publication de la deuxième édition en 2010, j’ai
eu accès à quelques données récentes. Du coup, j’ai mis sur mon site l’annexe X,
actualisant la totalité de ce chapitre. Je conseille au lecteur de l’annexe F de s’y référer,
en attendant une édition ultérieure de l’ouvrage complet.
1A. La physique quantique se fonde mathématiquement sur les
espaces de Hilbert, d’une façon assez simple et cohérente.
Sur un espace abstrait de Hilbert H, on définit les états T, vecteurs
normalisés, et les observables A, opérateurs hermitiens. Deux
utilisations bien différentes en sont faites : l’étude des états stables,
avec la procédure, liée, de réduction du paquet d’ondes; l’équation
dynamique de Schrödinger, avec son opérateur d’évolution. Nous
nous focaliserons sur la première. Rappelons qu’une observable ne
peut prendre que les valeurs de son spectre; quand celui-ci est
discret, on a donc « quantification ». Par ailleurs, on peut calculer la
probabilité que la mesure de l’observable A, pour un système dans
l’état , donne la valeur particulière an; dans le cas simple où un
seul vecteur propre <un correspond à an, cette probabilité est donnée
par: <un>2, la valeur moyenne de A étant donnée par : A =

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<A>.
Une autre présentation recourt à l’opérateur statistique D, de trace
1 (on a alors : A = tr.AD et l’équation de Schrödinger devient :
ih.d/dt.D(t) = (H, D(t)) , où H est l’hamiltonien); elle a plusieurs
avantages : dans la première de ces deux formules, A (le mesurable)
est relié directement (sans hypothèses sur le sens profond de la
fonction d’onde) à un opérateur statistique. La définition de l’opérateur
s’étend aux mélanges, il sera donc utilisé aussi en physique statistique
(voir chapitre 5). L’espace des opérateurs statistiques est convexe.
Enfin, dans les cas d’intrication, des opérateurs statistiques « réduits »
s’appliquent aux sous-systèmes (ils interviennent en particulier dans la
décohérence).
Les résultats mathématiques essentiels sont les suivants :
Les équations sont linéaires; on peut donc superposer des états;
mais, comme les probabilités correspondent à des carrés
d’amplitude, il apparaît des termes d’interférence, qui rendent
compte de l’aspect onde de la dualité onde-particule.
Le théorème spectral décompose tout opérateur hermitien A selon
une formule du type :
A = ∫. dE , où E, mesure spectrale, est un projecteur sur H.
Quand A est compact, son spectre ponctuel (par opposition au
spectre continu) est fini, ou dénombrable (dans ce cas, 0 est le seul
point d’accumulation); des résultats analogues sont obtenus pour les
opérateurs de Hilbert-Schmidt et ceux à inverse compact.
L’inégalité mathématique de Schwartz permet d’obtenir pour
deux observables quelconques A et B la relation suivante, reliant
leurs deux écarts quadratiques moyens : A. B  1/2A,B, où
A,B désigne le commutateur de A et B. Cette généralisation des
relations d’incertitude de Heisenberg traduit l’impossibilité de
mesurer simultanément deux observables ne commutant pas; d’où
l’intérêt de la recherche d’un « E.C.O.C. » (ensemble complet
d’observables qui commutent). Cette recherche peut être facilitée

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par le théorème suivant : si A et B commutent, ils sont tous deux
fonctions d’un même observable C, « plus large ». Par l’opérateur
densité, on démontre enfin le résultat naturel suivant : si A et B =
f(A) sont deux observables, et si A a la valeur propre an, alors B a la
valeur propre f(an).
Les espaces de Hilbert de la physique quantique ont généralement
(en dehors des espaces de spin) un nombre infini de dimensions. Si,
sur beaucoup d’aspects, ils généralisent l’espace euclidien, ils
recèlent aussi des propriétés nouvelles. Par exemple, pour eux et à
la différence des espaces de dimension finie, tr(AB-BA)  0, si A et
B ne sont pas compatibles; ceci nie la possibilité de certaines
méthodes finitistes d’approximation.
En revanche, il existe des résultats mathématiques, montrant que
des opérateurs, « proches » d’un opérateur ayant un spectre
discontinu, ont eux aussi un tel spectre, avec des valeurs propres
proches de celles du premier. C’est probablement par là que l’on
peut expliquer la stabilité des atomes ou molécules.
Remarques plus générales : La physique quantique ne nous dit
guère quand on peut considérer des opérateurs non bornés, comme
les opérateurs position. Le passage des opérateurs de la mécanique
classique à ceux de la physique quantique nécessite une dose de
« flair ». Enfin, l’interprétation de l’expérience peut conduire à
élargir le Hilbert de base.
Un fait remarquable de la physique quantique est son aptitude
dans beaucoup de cas simples à des méthodes de résolution
mathématique précises, souvent même explicitement calculables.
Citons, parmi les phénomènes vérifiés par l’expérience : l’effet
tunnel; l’oscillateur harmonique et la découverte de « l’énergie du
vide », la quantification et la composition des moments cinétiques;
le cas des espaces à deux dimensions, et l’introduction des spins ½;
les raies de l’atome d’hydrogène, y compris les structures fine et
hyper-fine ; les effets Zeeman (électrique) et Stark (magnétique) ;
l’oscillateur harmonique, le calcul de l’ énergie du vide (1/2hω) et

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les opérateurs de création ou d’annihilation ; les systèmes de
particules identiques; l’effet Zénon quantique (voir plus loin) ; en
théorie quantique des champs, l’effet Aharonov-Bohm1 ; en chimie,
les orbitales; en physique statistique, les phonons, la superfluidité,
l’effet Hall quantique... Pour les cas plus complexes, la question F3
constate que les calculs d’approximations sont souvent très
valables, mais se demande si, d’un point de vue mathématique,
l’existence de niveaux quantifiés d’énergie reste prouvée.
Pour étudier un état pur intriqué, la décomposition bi-
orthonormale (de Schmidt) est utile.
1B. Les approches axiomatiques.
Il est utile d’introduire la notion d’observables compatibles, plus
chargée de sens que celle d’opérateurs commutables, qui en est
l’expression dans le formalisme hilbertien. Beaucoup
d’épistémologues, voulant aller plus loin, se sont penchés sur le sens et
le contenu d’une logique quantique. Rappelons que la proposition la
plus générale de la physique quantique est du type : « dans l’état ,
l’observable A a sa valeur comprise dans le borélien  »; la physique
quantique assigne ensuite à cette proposition une probabilité. Par le
théorème spectral, une telle proposition peut être décomposée en
propositions portant sur des projecteurs. On sait que deux projecteurs P
et Q ne commutent que s’ils sont de la forme : P=A+B; Q=A+C, avec
B et C orthogonaux. Considérant l’ensemble des sous-espaces clos de
H, on peut donc définir sur lui un « treillis -orthocomplet,
orthomodulaire2 », donnant du sens à la notion d’observables
1 Par cet effet, une figure d’interférence d’électrons est modifiée par un champ
magnétique dans une région extérieure aux électrons. A côté des célèbres
problèmes étudiés en sp-4-2, c’est un autre exemple de non-localité quantique.
2 Orthomodulaire est plus faible que normal, qui est lui-même plus faible que
le plus connu distributif.

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compatibles. Mais tout ce savant appareil n’est qu’une présentation des
règles de la physique quantique, à laquelle il n’apporte rien de plus.
D’autres ont essayé la démarche inverse, décidé à l’avance que dans un
monde où il y a des observables incompatibles, les propositions
élémentaires devaient satisfaire à certains axiomes logiques. Les ayant
posés, ils ont retrouvé le treillis précédent, mais au prix de deux
restrictions, qui en enlèvent l’intérêt : Les règles imposées aux
propositions élémentaires sont logiques, mais invérifiables. Le treillis
des sous-espaces de Hilbert, quoique non booléen, est plus particulier
que ce treillis très général; on ne peut donc à partir de ce dernier (et de
la logique spéciale, auquel il correspond) retrouver la physique
quantique. Cet argument technique renforce la position de principe,
prise dans le corps du texte, que la physique quantique doit utiliser la
logique classique (qui sait fort bien traiter des treillis) et la théorie
classique des probabilités (en 4-5); il faut seulement renoncer à la
possibilité (et même au sens) de mesurer simultanément deux
observables non compatibles.
Il est clair que l’algèbre des opérateurs bornés de H joue un rôle
essentiel : relations de commutation; fonctions d’opérateurs;
recherche d’E.C.0.C... Là encore, on peut essayer de partir
d’algèbres « naturelles », posées a priori, et de parvenir à l’espace
de Hilbert traditionnel. Les algèbres de Segal rendent bien compte
de la notion d’observables compatibles; mais elles sont trop
générales pour être utilisables. On peut se restreindre aux C*-
algèbres, aux très belles propriétés mathématiques. En particulier, le
célèbre théorème « GNS » permet de retrouver l’espace de Hilbert.
Mais une C*-algèbre est-elle plus naturelle, plus explicative, qu’un
espace de Hilbert?
D’autres ont insisté sur un théorème, lié, de Gleason ; celui-ci fait
des hypothèses simples sur la fonctionnelle qui, à partir d’un état
donné de l’espace de Hilbert, calcule la valeur moyenne de tout
observable ; il retrouve l’opérateur statistique (donc la stochasticité) et
la règle de Born ; utilisant une notion de convexité, il peut décomposer
cet opérateur « nucléaire » et retrouver les « états purs ». Mais ce beau
résultat, pas plus que des approches très générales de la convexité, ne