Contrôle de connaissances – 6 novembre 2007

Contrôle de connaissances – 6 novembre 2007 - Sans documents – temps indicatifs
I Exercice 1 (25’)
V(x)
V0
I
II
0
On considère le mur de potentiel 1D indiqué dans la figure pour des particules de masse m.
1) On s’intéresse aux états stationnaires d’énergie inférieure à V0. Donner la forme générale des fonctions
d’ondes dans les zones I et II. Ecrire les conditions aux limites pertinentes.
2) On considère une source de particules d’énergie E<V0 placée à x = -∞. Que se passe-t-il pour ces particules
lorsqu’elles arrivent sur le mur de potentiel ? Interpréter physiquement les constantes d’intégration dans la
fonction d’onde du côté I, calculer le coefficient de réflexion en amplitude et phase fonction de l’énergie.
3) Quelles modifications faut-il apporter aux réponses des questions 1) et 2) si E>V0 ?
II Exercice 2 (20’)
On considère une observable A et une observable B dans un espace d’états quantiques de dimension 3. Les
matrices dans la base orthonormée {ϕ1 , ϕ 2 , ϕ 3 }sont de la forme :
2 
3 i


A = α  . 0 1− i 
. . −2


 2 0 0


B = β  0 0 0
0 0 1


où α et β sont des constantes.
1) Remplacer les points par les valeurs manquantes
2) Quels sont les trois résultats de mesure possibles de la grandeur physique B associée à l'observable B ?
Soit l’état quantique ψ = ϕ1 − i ϕ 2 + 3i ϕ 3 . Calculer les probabilités de trouver ces divers résultats
lorsque le système est dans l’état ψ . En déduire la valeur moyenne de B .
3) Calculer la valeur moyenne de
méthode différente de 2).
A
lorsque le système est dans l’état ψ . On utilisera de préférence une
III QCM – à insérer dans la copie (15')
NOM :
PRENOM :
GROUPE :
Cocher directement sur le questionnaire la ou les bonne(s) réponse(s) parmi les 4 proposées (15’).
Attention il peut n’y en avoir aucune (barrer toutes les cases :
), mais il peut y avoir jusque 4
bonnes réponses. Seul l’ensemble exact des réponses sera compté.
Réponse 1
2
3
Le principe de superposition :
X
1) s’exprime dans la linéarité de l’équation de Schrödinger
2) permet d’additionner deux fonctions d’ondes pour en une construire une autre
3) permet d’additionner deux états quantiques pour en une construire un autre
4) apparaît dans certaines expériences (fentes d’Young) mais n’a pas de portée
générale
X
X
Une expérience de spectroscopie d’émission ou d’absorption atomique permet :
1) de vérifier que le spectre des états propres de l’hamiltonien est continu donc
quantifié
2) de mettre en évidence l’effet photoélectrique
3) de mesurer les différences d’énergie des électrons dans l’atome par l’intermédiaire
des photons
4) pour l’hydrogène, de vérifier que les longueurs d’ondes des raies sont en accord avec
le modèle planétaire de Bohr
L’équation de Schrödinger dépendant du temps :
1) est toujours vérifiée
2) est vérifiée sauf pendant une mesure
3) n’est vérifiée que pour les états stationnaires
4) n’est vérifiée que pour les états non stationnaires
X
Pour un état stationnaire :
1) la fonction d’onde ne dépend pas du temps
2) l’énergie est parfaitement définie
3) toute probabilité de résultat de mesure est nécessairement constante avec le temps
4) la phase varie linéairement avec le temps
X
Si on illumine un écran avec un faisceau de particules :
1) la répartition des impacts est uniforme à l’intérieur de la zone éclairée en raison de
l’incertitude quantique
r 2
2) la répartition des impacts est en proportion de ψ (r )
3) la répartition des impacts dépend de la diffraction par l’écran
4) la répartition des impacts résulte du principe de superposition des particules sur
l’écran
X
La relation d’incertitude de Heisenberg pour x et px.:
1) résulte de la compatibilité de ces grandeurs physiques
2) exprime l’impossibilité de mesurer précisément ces grandeurs
3) a pour expression σ xσ p x ≤ h / 2
4) traduit le gain de connaissance sur x quand on mesure simultanément px.
4
X
X
X
X
La tache d’Airy :
1) traduit la limite de résolution spatiale d’un microscope optique
2) détermine l’illumination d’un écran après passage de l’onde quantique par un trou
3) est un phénomène lié à la diffraction
4) se manifeste pour des ondes quantiques comme pour la lumière
X
X
Le « théorème d’Ehrenfest »
1) permet de retrouver la loi fondamentale de la dynamique classique
2) est obtenu en calculant les dérivées temporelles de valeurs moyennes d’observables
3) projette toutes les probabilités vers 1 ou 0 pour retrouver la physique classique
4) montre l’inexistence des états stationnaires en mécanique classique
X
X
L’onde plane :
1) n’est pas un état quantique physiquement réalisable
2) intervient dans la décomposition de Fourier du paquet d’ondes
3) décrit des particules d’impulsions identiques et parfaitement connues
4) est une fonction d’onde normalisable
X
X
Une 2ème mesure de A juste à la suite d’une première donne comme résultat :
X
1) un résultat identique parce que l’état entre les deux est état propre de A
2) un résultat différent parce que l’état entre les deux n’est généralement pas état
propre de A
3) une probabilité égale à 1 pour la valeur propre déjà mesurée
4) une probabilité égale à 0 pour les valeurs propres non trouvées la 1ère fois
X
X
X
X
Le principe de réduction du paquet d’ondes :
X
1) exprime la modification fondamentale apportée à une grandeur physique par une
mesure
2) résulte en la projection de l’état avant mesure sur la grandeur physique mesurée
3) implique qu’après une mesure on ne peut pas connaître exactement l’état quantique
qui est fondamentalement aléatoire
4) est nécessaire à la théorie quantique car il existe forcément une relation entre l’état
après mesure et le résultat de cette mesure
X
X
La densité de probabilité d’un résultat de mesure d’impulsion pour une particule dans
un état quantique normé vaut :
r
r 2
r 2
r 2
1) ψ ( p )
2) ψ ( p )
3) − ih∇ψ (r )
4) ψ ( p ) / ψ ψ
X
X
Une observable est :
1) une expérience permettant de mesurer une grandeur physique
2) un opérateur susceptible de représenter une grandeur physique
3) un opérateur auto-adjoint et diagonalisable
4) un état quantique qui peut être déterminé expérimentalement
X
X
Le spectre continu
X
1) est la dénomination d’un ensemble continu de valeurs propres
2) est la dénomination d’un ensemble continu de résultats de mesure
3) se caractérise par l’impossibilité de mesurer exactement la grandeur physique
concernée
4) aboutit à des densités de probabilité et non à des probabilités discrètes
X
X
X
Contrôle de connaissances – 6 novembre 2007
Corrigé
Exercice 1
1/ Zone I : ψ I ( x ) = A exp(ikx ) + B exp(− ikx )
Zone II : ψ II ( x ) = C exp(Kx ) + D exp(− Kx )
Avec k = 2mE / h 2 et K = 2m(V0 − E ) / h 2
L’exponentielle croissante à droite n’est pas physique, donc C=0. D’autre part On a la continuité de ψ et
partout. Donc : A + B = D
dψ
dx
ik ( A − B ) = − KD
2/ On va éliminer D pour calculer B/A qui est le coefficient de réflexion complexe de l’onde quantique, A étant
l’amplitude de l’onde incidente et B celle de l’onde réfléchie (cf PC n°3) :
1+
B D
=
A A
1−
B
K D
=i
A
k A
donc 2 =
D
K
1 + i 
A
k
⇒
d’où le coefficient de réflexion en amplitude (complexe) : R =
D
2k
=
A k + iK
B k − iK
=
A k + iK
2
On en déduit naturellement R = 1 , c'est-à-dire que le coefficient de réflexion des flux de particules est égal à
1. Comme E<V0, toutes les particules sont réfléchies, il n’y a pas ici d’effet tunnel car la barrière est infiniment
épaisse. En revanche il y a un déphasage à la réflexion, résultant de l’one évanescente qui pénétre dans le
barrière. Si V0 est très élevé, K>>k et R ≈ −1 . On retrouve alors une inversion de la phase nécessaire pour
annuler la fonction d’onde à l’interface et dans la barrière, car la pénétration de l’onde est nulle.
3/ si E>V0, la fonction d’onde dans la Zone II devient : ψ II ( x ) = C exp(iKx ) + D exp(− iKx ) , avec
K = 2m(E − V0 ) / h 2 . D’autre part comme il n’y a pas de source de particule en x=+∞, D=0. Il suffit donc
dans les calculs de la question précédente de remplacer K par –iK pour avoir automatiquement la solution. Cela
donne :
E − E − V0
B k−K
R= =
=
<1
A k+K
E + E − V0
Cette fois le coefficient de réflexion en amplitude complexe est réel positif, et inférieur à 1. Cela traduit une
réflexion partielle, et une tranmission partielle au-dessus de la barrière de potentiel.
Réponse supplémentaire (non demandée) :
2
2
Attention ! La relation R + T = 1 n’est pas vérifiée si on ne prend pas des précautions. En effet l’onde
transmise possède un vecteur d’onde K et non k. Or c’est la conservation du courant de probabilité qu’il faut
vérifier, c'est-à-dire le produit du module carré de l’amplitude par le vecteur d’onde (cf PC n°1). Il faut donc
tenir compte du différentiel de vecteur d’onde :
2
B
k k−K
R =
× =
A
k k+K
2
2
2
2
(
k − K)
=
(k + K )2
T
2
Ce qui permet d’aboutir à kla relation R + T
2
2
2
C
K
2k
K
4kK
=
× =
× =
A
k
k+K
k (k + K )2
= 1 souhaitée
Exercice 2
i
2 
3


1/ A = α  − i 0 1 − i 
 2. 1 + i − 2 


puisque A est hermitique (matrice = transconjuguée)
2/ Les trois résultats de mesure possibles de B sont les valeurs propres, i.e. 2β, 0 et β puisque B est diagonale.
P(2β ) = ϕ1 ψ
2
/ ψ ψ = 1 / 11
P(0) = ϕ 2 ψ
2
/ ψ ψ = 1 / 11
car ψ ψ = 1 + 1 + 9 = 11
Donc
B =
2β × 1 + 0 × 1 + β × 9
=β
11
3/ Pour A qui n’est pas diagonal, on utilise l’expression trouvée en PC :
i
2  1 
3

  − 19
ψ Aψ
1
A =
= α (1 i − 3i ) − i 0 1 − i  − i  =
α
ψψ
11
11
 2. 1 + i − 2  3i 

 
P (β ) = ϕ 3 ψ
2
/ ψ ψ = 9 / 11